统计学第八章方差分析

第八章方差分析

Ⅰ.学习目的

本章介绍方差分析的理论、方法与运用。通过学习，要求：1.了解方差分析的基本概念和思想；2.理解方差分解原理；3.掌握单因素、双因素（有、无交互作用）方差分析的原理和流程；4学会针对资料提出原假设，并能利用Excel进行方差分析。

Ⅱ.课程内容要点

第一节方差分析方法引导

一、方差分析问题的提出

方差分析，简称ANOVA（analysis of variance），就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。

二、方差分析的有关术语和概念

1．试验结果：在一项试验中用来衡量试验效果的特征量，也称试验指100

101

标或指标，类似函数的因变量或者目标函数。

2．试验因素：试验中，凡是对试验指标可能产生影响的原因都称为因素，或称为因子，类似函数的自变量。试验中需要考察的因素称为试验因素，简称为因素。一般用大写字母A 、B 、C 、……表示。方差分析的目的就是分析实验因素对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；如果在实验中变化的因素不止一个，这时的方差分析就称为多因素方差分析。

3．因素水平：因素在试验中所处的各种状态或者所取的不同值，称为该因素的水平，简称水平。一般用下标区分。同样因素水平有时可以取得具体的数量值，有时只能取到定性值（如好，中，差等）。

4．交互作用：当方差分析过程中的影响因素不唯一时，这种多个因素的不同水平的组合对指标的影响称为因素间的交互作用。

三、方差分析的基本原理 （一）方差分解原理

一般地，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不显著。

（二）检验统计量

检验因素影响是否显著的统计量是F 统计量：

组内方差的自由度

组内方差组间方差的自由度

组间方差//

F

102 F 统计量的值越大，说明组间方差是离差平方和的主要来源，因素影响

显著；F 统计量的值越小，说明组内方差是离差平方和的主要来源，因素影响不显著。

第二节 单因素方差分析

一、单因素条件下的平方和分解公式

设ij X 表示在i A 水平下，第j 次试验的试验结果。

.1

n

i ij j X X ==∑

..11

r n

ij i j X X ===∑∑

.

.i i X X n =

..X

X nr =

按方差分解的原理可得 T A E S S S =+

22..()()A i i S X X n X X =-=-∑∑∑

2.()E ij i S X X =-∑∑

A S 为组间方差，由不同水平下的各组均值和总平均值的残差平方和；E

S 是组内方差，即各组试验结果和各组均值的残差平方和。

二、因素作用显著性的检验

若记各水平下的总体均值为12,,,r μμμ ，则检验因素对试验结果影响的显著性就是检验假设：

103

012:r H μμμ=== 112:,,,r H μμμ 不全相等

可直接构造F 统计量来检验前面提出的假设，即统计量为：

()()~1,1A

E

S F F r r n S =

--

1A A S S r =

- ， ()

1E

E S S r n =-

F 值越大，越说明组间方差大于组内方差，因此组间方差构成了离差平

方和的主要来源，即因素的不同水平对试验结果影响较大，应拒绝原假设；反之，说明组内方差是主要来源，应接受原假设。对于给定的显著性水平α，查F 分布表得临界值()()

1,1F r r n α--，当αF F >时，拒绝原假设，认为因素对总体有显著影响；当αF F <时，接受原假设，即因素对试验结果的影响不显著。

三、应注意的问题

（一）方差分析需满足的假设条件。

（1）每次试验都是独立进行的；（2）各样本都是来自正态总体的；（3）各总体的方差是相等的。只有满足这些条件，方差分析的结果才是有效的。

（二）在实际问题中，各水平下的总体的试验次数可以相等也可以不等，分析过程和结论基本不变。但是当试验次数相差较大或因素较多时应该考虑

104 采用广义线性模型分析， 以消除非均衡试验设计的影响。

（三）方差分析只能判断各总体的均值是否相等，而不能判断出哪个总体的均值是大还是小，这时需要在均值不等的前提下，采用多重比较法进一步比较各个均值的大小。

第三节 双因素方差分析

一、无交互作用的双因素方差分析

A 与

B 是待确认是否对试验结果有显著影响的两个因素，假定,A B 之

间无交互作用，在两个因素的各种水平组合下进行重复试验可得表8-1。

()r ,,i X i ,21 . =是在因素A 的各个水平下s 个试验结果的均值；(),s ,,j X j 21 .=是在因素B 的各种水平下r 个试验结果的均值。根据方差分解原理可得：

T A B E S S S S =++

依次展开有

105

()

2

11r s

T ij i j S X X

===-∑∑

()()2

2

..111

r s

r

A i i i j i S X X s X X ====-=-∑∑∑

()()2

2

..111

r s s

B j j i j j S X X r X X ====

-=-∑∑∑

()2

..11

r s

E ij i j i j S X X X X ===--+∑∑

A S 表示的是因素A 的各个水平下各组试验结果与该组均值的残差平方

和，B S 是因素B 的各个水平下各组试验结果与该组均值的残差平方和，E S 是

,A B 所有水平组合下的试验结果和均值的残差平方和。类似单因素方差分析

可知，T S 的自由度为1rs -，A S 的自由度为1r -，B S 的自由度为1s -，E S 的自由度为()()11r s --。

对应的均方差为：

1A

A S S r =

- 1B B S S s =-

()()

11E

E S S r s =

--

检验因素A 与B 对试验结果的影响是否显著的F 统计量分别为

()~1,(1)(1)A

A E

S F F r r s S =

---

()~1,(1)(1)B

B E

S F F s r s S =

---

综合以上结论可以得到方差分析表。

106 表8-2 无交互作用的双因素方差分析表

二、有交互作用的双因素方差分析

当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，需要在不同的水平组合下进行重复试验。设在因素A 与因素B 每一个水平组合下等重复的试验t 次，得到表8-3。

表8-3：有交互作用的双因素方差分析数据表

r X 1r X 2X ijk X 表示的是在水平组合j i B A ,下第k 次试验的试验结果。在该组合下的试验结果的均值为：

.1

1t

ij ijk k X X t ==∑

进一步记：

107

..11

1s t

i ijk j k X X st ===∑∑

..

11

1r t

j ijk

i k X X rt ===∑∑

111

1r s t

ijk i j k X X rst ====∑∑∑ 和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为：

T A B AB E S S S S S =+++

其中

()2

111

r

s

t

T ijk i j k S X X ====-∑∑∑

()2

..1

r

A i i S st X X ==-∑

()2

..1

s

B j j S rt X X ==-∑

()

2

(11)

r s

ij i j AB i j S t X X X X ===--+∑∑

()

2

.

1

t

ij E ijk k S X X ==-∑

交叉项AB S 表示两个因素的取值水平组合下的试验结果产生的因素水

平组合方差。T S 、A S 、B S 、AB S 和E S 的自由度分别是1rst -、1r -、1s -、

108 ()()11r s --和()1rs t -。可计算出均方差

1A

A S S r =

- 1

B B S

S s =-

(1)(1)AB

AB S S r s =

-- (1)E

E S S rs t =

-

则F 统计量依次为

()~1,(1)A

A E

S F F r rs t S =

--

()~1,(1)B

B E

S F F s rs t S =

--

()~(1)(1),(1)AB

AB E

S F F r s rs t S =

---

总结以上结论可以得到方差分析表8-4。AB

AB E

S F S =

表8-4：双因素等重复试验方差分析表

Ⅲ.考核知识点与考核要求

一、方差分析的问题和基本概念

1、识记:

（1）方差分析的定义

（2）实验因素的概念，因素水平的含义。

2、领会：交互作用的含义。

二、方差的分解和F统计量的构造

1、识记：

（1）方差的分解；

（2）检验统计量。

2、领会：方差“自由度”的确定。

三、单因素方差分析

1、识记：

（1）单因素方差分析的意义；

（2）单因素条件下的离差平方和的分解；

（3）各个方差自由度的确定；

（4）F统计量的构造。

2、领会：

（1）单因素条件下的数据结构；

（2）方差分析中应注意的几个问题。

3、应用：

（1）单因素方差分析的应用；

（2）利用Excel进行单因素方差分析。

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