应用统计-卡方检验与方差分析
卡方检验和方差分析
F(10,4)
它是一种非对称分布,图
F(10,10)
形的形状取决于分子和 分母的自由度.
F(10,50)
F
17
一向方差分析的方差分析表
变异源 处置 误差 总
自由度
k-1
n-k n-1
平方和 均方和
F值
P-值
SSC MSC=SSC/(k-1)
SSE MSE=SSE/(n-k)
SST
MSC/MSE
当检验统计量（ MSC/MSE）超过对应于显著系数的F
第七讲 卡方检验和方差分析
一、卡方检验 1. 拟合优度检验 1）指定分布率的拟合优度检验 2）理论概率分布的拟合优度检验 2. 独立性检验 1）列联表 2）独立性检验
1
Probability
Chi-square Curve
0.100 0.090 0.080 0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0.000
15.367
F 14.659
Si g. .001
24
样本成双比均值，独立配对法不一。 配对小样先算差，显著与否看t值。 样本独立路有歧：西格码已知直求z； 西格码未知s代，合并估计再求t。
25
处置是否有效果， 方差分析列表格。 组间组内均方比， F分布右尾拖。 P值偏大均值等， P值偏小拒假设。
HOUR
Descriptiv es
1 2 3 T o ta l
Std. N Mean Deviation
5 24.80
4.82
5 32.20
3.56
5 18.80
3.19
15 25.27
6.73
Std. Error
统计学对比分析方法
统计学对比分析方法统计学中的对比分析方法是用于比较两个或多个样本或群体的数据，以了解它们之间的差异和相似之处。
这些方法可以帮助研究人员在不同条件下评估群体之间的差异，并确定这些差异是否具有统计学意义。
在下面的文章中，我们将讨论几种常见的对比分析方法。
一、t检验t检验是一种用于比较两个样本均值是否存在显著差异的方法。
它基于样本均值与总体均值的比较，通过计算t值来判断两个样本均值是否具有统计学差异。
t检验可以应用于两个独立样本（独立样本t检验）或配对样本（配对样本t检验）。
独立样本t检验适用于两个不同的群体或实验条件，而配对样本t检验适用于同一群体在不同时间点或条件下的比较。
二、方差分析方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值是否存在显著差异的方法。
它基于对比组间变异与组内变异的比较来判断群体之间的差异是否统计学显著。
方差分析可以应用于独立样本（单因素方差分析）或配对样本（重复测量方差分析）。
单因素方差分析用于比较一个自变量对一个因变量的影响，而重复测量方差分析用于比较同一群体在不同时间点或条件下的变化。
三、卡方检验卡方检验是一种用于比较两个或更多个分类变量之间的差异是否存在显著性的方法。
它基于观察频数与期望频数之间的比较来判断变量之间的关联性。
卡方检验可以应用于独立性检验（比较两个或更多个分类变量之间的关系）或拟合度检验（比较观察频数与期望频数之间的拟合程度）。
四、相关分析相关分析用于研究两个连续变量之间的关系，并确定它们之间的相关性强度和方向。
常见的相关分析方法包括Pearson相关系数和Spearman 等级相关系数。
Pearson相关系数适用于两个变量之间的线性关系，而Spearman等级相关系数适用于两个变量之间的任意关系。
五、回归分析回归分析用于研究一个或多个自变量与一个连续因变量之间的关系，并建立预测模型。
线性回归分析是最常见的回归分析方法，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
多元回归分析则可考虑多个自变量对因变量的影响。
统计学中的方差分析与卡方检验
方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。
方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。
方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。
在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。
方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。
通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。
方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。
卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。
分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。
卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。
卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。
尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。
首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。
其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。
最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。
如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。
当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。
总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。
卡方检验与方差分析
第十三章 2χ检验与方差分析我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数检验的问题。
现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以上样本的差异，2χ检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。
2χ检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则可以对多个总体均值是否相等进行检验。
后者由于通过各组样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检验统计量，所以又称F 检验。
第一节 拟合优度检验1．问题的导出第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布与理论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方法。
2χ拟合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在评估从经验上得到的频数和在一组特定的理论假设下期望得到的频数之间是否存在显著差异时，是一种更普遍的检验方法。
2．拟合优度检验(比率拟合检验)据经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设，检验统计量是2o χ＝频数理论理论频数观察频数∑-/)(2 理论证明，当n 足够大时，该统计量服从2χ分布。
因此对给定的显著性水平α，将临界值2αχ与2o χ比较，可以就H o 作出检验结论。
对于拟合优度检验，在试验规模小时，否定零假设的意义大，接受零假设的意义不大；若试验规模大时，则接受零假设的意义大，否定零假设的意义不大。
3．正态拟合检验第二节 无关联性检验2χ检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。
由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以，①2χ检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟的优点；②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。
1．独立性、理论频数及自由度检验统计量 2oχ＝∑-e e o f f f 2)(＝∑∑==-c i r j eij eij oij f f f 112)( 进一步上式可变为 2o χ＝-∑∑==c i r j eij oij f f 112n在使用2χ检验法进行列联表检验之前，还必须确定与2o χ这个检验统计量相联系的自由度，即 (r ×c -1)-(r -1)-(c -1)＝(c -1)(r -1)。
t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析
统计中时常会用到百般考验，怎么样知讲何时用什么考验呢，根据分离自己的处事去道一道：之阳早格格创做t考验有单样本t考验，配对于t考验战二样本t考验.单样本t考验：是用样本均数代表的已知总体均数战已知总体均数举止比较，去瞅察此组样本与总体的好别性.配对于t考验：是采与配对于安排要领瞅察以下几种情形，1，二个共量受试对于象分别交受二种分歧的处理；2,共一受试对于象交受二种分歧的处理；3，共一受试对于象处理前后.u考验：t考验战便是统计量为t,u的假设考验，二者均是罕睹的假设考验要领.当样本含量n较大时，样本均数切合正态分散，故可用u考验举止分解.当样本含量n小时，若瞅察值x切合正态分散，则用t考验（果此时样本均数切合t 分散），当x为已知分散时应采与秩战考验.F考验又喊圆好齐性考验.正在二样本t考验中要用到F考验.从二钻研总体中随机抽与样本，要对于那二个样本举止比较的时间，最先要估计二总体圆好是可相共，即圆好齐性.若二总体圆好相等，则曲交用t考验，若没有等，可采与t'考验或者变量变更或者秩战考验等要领.其中要估计二总体圆好是可相等，便不妨用F考验.简朴的道便是考验二个样本的圆好是可有隐著性好别那是采用何种T考验（等圆好单样本考验，同圆好单样本考验）的前提条件.正在t考验中，如果是比较大于小于之类的便用单侧考验，等于之类的问题便用单侧考验.卡圆考验是对于二个或者二个以上率（形成比）举止比较的统计要领，正在临床战医教真验中应用格外广大，特天是临床科研中许多资料是记数资料，便需要用到卡圆考验.圆好分解用圆好分解比较多个样本均数,可灵验天统造第一类过失.圆好分解(analysis of variance,ANOVA)由英国统计教家R.A.Fisher最先提出，以F命名其统计量，故圆好分解又称F考验.其手段是估计二组或者多组资料的总体均数是可相共，考验二个或者多个样本均数的好别是可有统计教意思.咱们要教习的主要真量包罗单果素圆好分解即真足随机安排或者成组安排的圆好分解（oneway ANOVA）：用途：用于真足随机安排的多个样本均数间的比较，其统计估计是估计百般本所代表的各总体均数是可相等.真足随机安排（completely random design）没有思量个体好别的做用，仅波及一个处理果素，但是不妨有二个或者多个火仄，所以亦称单果素真验安排.正在真验钻研中按随机化准则将受试对于象随机调配到一个处理果素的多个火仄中去，而后瞅察各组的考查效力；正在瞅察钻研（考察）中按某个钻研果素的分歧火仄分组，比较该果素的效力.二果素圆好分解即配伍组安排的圆好分解（twoway ANOVA）：用途：用于随机区组安排的多个样本均数比较，其统计估计是估计百般本所代表的各总体均数是可相等.随机区组安排思量了个体好别的做用，可分解处理果素战个体好别对于真验效力的做用，所以又称二果素真验安排，比真足随机安排的考验效用下.该安排是将受试对于象先按配比条件配成配伍组（如动物真验时，可按共窝别、共性别、体沉相近举止配伍），每个配伍组有三个或者三个以上受试对于象，再按随机化准则分别将各配伍组中的受试对于象调配到各个处理组.值得注意的是，共一受试对于象分歧时间（或者部位）沉复多次丈量所得到的资料称为沉复丈量数据（repeated measurement data），对于该类资料没有克没有及应用随机区组安排的二果素圆好分解举止处理，需用沉复丈量数据的圆好分解.圆好分解的条件之一为圆好齐，即各总体圆好相等.果此正在圆好分解之前，应最先考验百般本的圆好是可具备齐性.时常使用圆好齐性考验（test for homogeneity of variance）估计各总体圆好是可相等.本节将介绍多个样本的圆好齐性考验，本法由Bartlett于1937年提出，称Bartlett法.该考验要领所估计的统计量遵循分散.通过圆好分解若中断了考验假设，只可证明多个样本总体均数没有相等或者没有齐相等.若要得到各组均数间更仔细的疑息，应正在圆好分解的前提上举止多个样本均数的二二比较.。
分类资料组间比较的统计方法选择与应用
分类资料组间比较的统计方法选择与应用在统计学中，分类资料组间比较是指对不同分类资料组之间的差异进行统计分析。
分类资料是指将个体按其中一种特征分组，而分类资料组是指这些不同特征组成的组。
此时，为了确定不同组之间的差异，我们需要选择适当的统计方法进行比较。
下面介绍几种常用的分类资料组间比较的统计方法选择与应用。
1.基本原则：在选择分类资料组间比较的统计方法时，需要根据变量的测定水平来确定，通常可以根据资料的测定水平来进行分类资料分析的方法选择。
对于分类资料，我们可以采用卡方检验分析，对于有序分类资料，我们可以采用秩和检验分析。
2.卡方检验：卡方检验适用于分类资料的比较，其基本思想是比较实际观测频数与理论频数之间的差异。
卡方检验有两种形式：独立性检验和拟合优度检验。
独立性检验用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联；拟合优度检验用于检验观测频数与理论频数之间的差异是否显著。
3.秩和检验：对于有序分类资料，我们可以采用秩和检验进行比较。
秩和检验的基本思想是将不同组之间的观测值按顺序排列，并将其转化为秩次，然后将秩次相加得到秩和，通过比较秩和的大小来判断不同组之间的差异是否显著。
4.t检验：当分类资料分为两个组进行比较时，可以采用t检验。
t检验的基本思想是通过比较两个组的均值差异来判断两个组之间的差异是否显著。
但是需要注意的是，t检验要求数据满足正态分布的假设，所以在进行t检验之前需要进行正态分布检验。
5.方差分析：当分类资料包含多个组时，可以使用方差分析进行比较。
方差分析的基本思想是比较组间方差与组内方差之间的差异，通过计算F值来判断不同组之间的差异是否显著。
方差分析也需要满足正态分布的假设。
6.非参数检验：如果数据不满足正态分布假设，或者样本量较小，可以使用非参数检验。
非参数检验不依赖于总体分布形式的假设，比如Mann-Whitney U检验适用于两个独立样本的比较，Kruskal-Wallis H检验适用于多个独立样本的比较。
卡方检验与方差分析
与邻近行或列中的实际频数合并 删去理论频数太小的格子所对切概率法
42
方差分析
为了进行两组以上均数的比较，通常可 以使用方差分析方法。本部分主要介绍 方差分析基本概念、单因素方差分析及 其在SPSS中的操作。
方差分析是R.A.Fister发明的，用于两 个及两个以上样本均数差别的显著性检 验。
卡方检验
在H0为真时，实际观察数与理论数之差
Ai－Ti 应该比较接近0。
所以在H0为真时，检验统计量
2 P
k i 1
( Ai
Ti )2 Ti
服从自由度为（r-1）×（c-1）的卡方分布。
当
2 P
2 ,v，拒绝H0。
上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问
题的检验，特别最常用的是两个样本率的检验
进一步，在掌握关键影响因素，如品种、施肥量因素等之后，我们 还要对不同的品种、不同的施肥量条件下的产量进行对比分析，研究究 竟哪个品种的产量高，施肥量究竟多少最合适，哪种品种与哪种施肥量 搭配最优，等等。在这些分析研究的基础上，我们就可以计算出各个组 合方案的成本和收益，并选择最合理的种植方案，主动的在农作物种植 过程中对各种影响因素加以准确控制，进而获得最理想的效果。
方差分析分类
单因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析
方差分析概述
方差分析的作用
在诸多领域的数量分析研究中，找到众多影响因素中重要的影响因 素是非常重要的。比如：在农业生产中，我们总是希望在尽量少的投入 成本下得到较高的农作物产量。这就需要首先分析农作物的产量究竟受 到哪些因素的影响。有许多因素会影响农作物的产量，如种子的品种、 施肥量、气候、地域等，他们都会给农作物的产量带来或多或少的影响。 如果我们能够掌握在众多的影响因素中，哪些因素对农作物的产量起到 了主要的、关键性的作用，我们就可以根据实际情况对这些关键因素加 以控制。
统计学中的卡方检验与方差分析
统计学中的卡方检验与方差分析统计学是一门重要的学科，它帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势。
在统计学中，卡方检验和方差分析是两个常用的分析方法，它们在研究中起着重要的作用。
一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联的方法。
它基于观察值和期望值之间的差异来判断变量之间的关系。
在卡方检验中，我们首先需要建立一个假设。
通常情况下，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指两个变量之间不存在关联，备择假设则是指两个变量之间存在关联。
然后，我们会进行观察值和期望值的计算。
观察值是指实际观察到的数据，而期望值是基于原假设计算得出的数据。
接下来，我们会计算卡方统计量。
卡方统计量是观察值和期望值之间差异的度量，它的计算公式是：卡方统计量= Σ((观察值-期望值)^2 / 期望值)最后，我们会根据卡方统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
自由度是指用于计算卡方统计量的独立变量的个数。
卡方检验可以应用于很多领域，比如医学研究、市场调查等。
它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在关联，从而对研究结果进行解释和推断。
二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。
它通过分析样本内部的差异和样本之间的差异来判断均值是否存在显著性差异。
在方差分析中，我们首先需要建立一个假设。
与卡方检验类似，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指样本之间的均值没有显著差异，备择假设则是指样本之间的均值存在显著差异。
然后，我们会计算组内方差和组间方差。
组内方差是指样本内部的差异，而组间方差是指样本之间的差异。
接下来，我们会计算F统计量。
F统计量是组间方差与组内方差的比值，它的计算公式是：F统计量 = 组间方差 / 组内方差最后，我们会根据F统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于很多领域，比如教育研究、工程实验等。
它可以帮助我们比较不同组别的均值差异，从而对实验结果进行评估和解释。
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• 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋
于对称，一般当k≥30时，χ2分布可用正态分
布近似计算
2分布
(图示)
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
2
2分布的使用
P{ 2
2
1
(n)}
2 1
2
( f0 fe)2 fe
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤三：取 0.05。由于 拟 2合优度检验是单边检验，
因为零的 表明2 分布是一致的。与零的任何偏差都
是正的，这是因为 是由 2 平方和确定的， 永远 2不会
是负值。在此题中，由于k＝4，所以k-1=3，即 自 由度为3，在 0.0的5 条件下，临界值为
2检验
• 2检验是运用 2分布作为理论工具，在非参数统
计中可用于对总体的分布或随机变量的独立性进 行的检验。
• 2检验是1900年由英国统计学家卡•皮尔生
(K.Person)提出的，称为皮尔生定理。 • 当我们研究 K (K>2) 个事件时，可以测定 K 个
观察值与相应的理论值之间的差异，为此而构造
2 ( f0 fe )2 df k 1 c fe
其中：f
观察值频数；
0
f：e 期望值频数；k
:类别总数；
c：样本数据中的参数数量。
– 因为期望频数的总数必须等于观察频数的总数，因此该检验丢失 了一个自由度，即来自样本的的观察总数被作为期望频数总数的 总数。
– 另外，在有些情况下，总体有参数。用样本数据估计，以确定期 望值的概率分布。每次进行估计，就丢失一个自由度。
χ2也较大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，
即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设
不一致。
2检验
(χ2) 0
k=4 α=0.05
χ2 0.05(4)
χ2
=9.488
2分布
(2 distribution)
• 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔 墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于 1875年和1900年推导出来
的统计量称为2 统计量。
2检验
• 皮尔生定理说明，当样本容量充分大时，样本
分成 K 类，每类实际出现的次数用f0表示，其理
论次数为fe，则2 统计量为
2 K f0 fe 2 且服从分布 2 (K 1)
i 1
fe
（f0-fe）比较小时，χ2值也较小；（f0-fe）比较大时，
是聘请了一家专门搞市场份额评估的公司。该评估公
司组织进行一个抽样调查：随机选择了该城市各大超 市购物的207个消费者，以了解他们会选择哪种产品。 结果选用A、B、C、D公司产品的消费者比例如下：
公司 比例
A 109/207
B 62/207
C 15/207
D 21/207
从抽样结果判断市场份额有没有发生变化？
(n)
2检验的功效
• 拟合优度检验
– 利用样本信息对总体分布作出推断，检验总体 是否服从理论分布（正态分布或二项分布）。
• 独立性检验
– 用于判断2组或多组的资料是否彼此关联。
2拟合优度检验
• 拟合优度检验主要是比较总体变量的期望或理论 频数与分布的观察或实际的频数，确定期望值与 观察值之间是否存在差异。
拟合优度检验的步骤
检验步骤
（1）对总体分布建立假设 H0：总体服从某种理论分布 H1：总体不服从该理论分布
（2）抽样并对样 本资料编成频数 分布（f0）
（3）以“原假设H0 为真”导出一组 期望频数（fe）
（4）计算检验统计量 χ2=∑(f0-fe)2/fe
（5）χ2=∑(f0-fe)2/fe 给 定的α查χ2表，得到临 界值
2 0.05
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
7.815
决策规则：如果计算得到的样本检验统计量的值大于 7.815，则拒绝原假设。
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤四：由样本计算样本检验统计量的值，分以 下几步完成：
（1）计算期望值（理论频数，见表） 表：公司份额期望频数的计算
公司 A B C
期望比例 47％ 34％ 11％
（6）比较χ2值与临界值 作出检验判断
注意事项
（1）各组理论 频数fe不得小于5 ，如不足5，可 合并组；
（2）为使组数 不致太少，总频 数n＞50；
（3）根据具 体情况确定自 由度。
2拟合优度检验
（例题分析）
【例1】有四家生产同种类型的产品在过去的一年里， 市场份额稳定在A公司47％，B公司34％，Ｃ公司11%, D公司8%. 最近各家公司都开发了各自“新型和改进 型”的产品代替当前在市场的产品。因此A公司市场 营销部门想知道这种新产品是否改变了市场份额。于
– 例如，航空业官员也许在理论上认为机票购买者的年 龄服从某种特殊的分布。为了接受或拒绝该分布，随 机选取机票购买者年龄的真实样本，使用拟合优度检 验比较观察值与期望值。
– 在皮鞋制造业，生产商可以使用拟合优度检验确定一 年当中对其商品的需求是否服从均匀分布。
2拟合优度检验
• 2拟合优度检验中用来对假设进行检验的检验 统计量的形式如下：
应用统计
第七章：卡方检验与方差分析
卡方检验
• 【非参数统计 】对总体的具体形式不必作任何的 限制性假设和不以总体参数具体数值估计为目的 的推断统计。
– 能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量） ； – 方法直观，易于理解，运算比较简单。 – 缺点是检验的功效不如参数检验方法。
• 主要方法： χ 2检验、曼—惠特尼U检验、等级相 关检验、成对比较检验、游程检验、多个样本的 检验。
2拟合优度检验
（例题1分析）
步骤一：建立如下假设：
H0 : 1 47%, 2 34%,3 11%, 4 8%
即各公司的市场份额没有发生变化
H1 :1 47%,2 34%,3 11%,4 8%至少有一个不成立
即各公司的市场份额发生了变化
步骤二：使用的检验统计量
期望频数（ fe ） (0.47)(207)=97.29 (0.34)(207)=70.38 (0.11)(207)=22.77
D
8%
(0.08)(207)=16.56
2拟合优度检验