2018秋人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.3 切线的判定和性质(共30张PPT)
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人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件
即圆心O到直线AT的距离d＜R
３、切线垂直于过切点的半角径。三角形存在。连接切点与圆心是常用的辅助线。
2(2) 切线的判定与性质 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC， (2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，即无交点，作垂直,证半径。
九、作 业
发2(2现) ：切(1线)直的线判l 定经与过性半质径OA的作外端业点：A；
直线与圆相切的判定定理：
经2 过砂圆轮心打且磨垂工直件于飞切出线火的星直的线方必向经是过什切么点方向第？1 0 1 页 第 3 、 11 题
如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢? 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ∴直线AT 与⊙O 相交 ① 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 如果AB切⊙O于A， 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ② 数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 圆的切线垂直于经过切点的半径 反证法：假设AT与OA不垂直
方法小结: 证明过圆上一点的直线是圆的切线. 如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 发现：(1)直线l 经过半径OA的外端点A； 将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
同圆的切线垂直于经过切点的半同径，圆若题的中有切切线线，就垂有直直角三于角形经存在过。 切点的半径，若题中有切线，就有直
如求果证A：BA是C⊙与O⊙的O切相线切已，。O知A⊥A直B，线那么和A是 圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线
３、切线垂直于过切点的半角径。三角形存在。连接切点与圆心是常用的辅助线。
2(2) 切线的判定与性质 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC， (2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，即无交点，作垂直,证半径。
九、作 业
发2(2现) ：切(1线)直的线判l 定经与过性半质径OA的作外端业点：A；
直线与圆相切的判定定理：
经2 过砂圆轮心打且磨垂工直件于飞切出线火的星直的线方必向经是过什切么点方向第？1 0 1 页 第 3 、 11 题
如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢? 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ∴直线AT 与⊙O 相交 ① 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 如果AB切⊙O于A， 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ② 数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 圆的切线垂直于经过切点的半径 反证法：假设AT与OA不垂直
方法小结: 证明过圆上一点的直线是圆的切线. 如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 发现：(1)直线l 经过半径OA的外端点A； 将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
同圆的切线垂直于经过切点的半同径，圆若题的中有切切线线，就垂有直直角三于角形经存在过。 切点的半径，若题中有切线，就有直
如求果证A：BA是C⊙与O⊙的O切相线切已，。O知A⊥A直B，线那么和A是 圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线
人教版九年级数学上册第24章_24.2.2课时2+切线的判定和性质_教学课件
新课讲解
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线 交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D. 求证：AC与⊙D相切.
解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
因为∠ABC=90°，
E
所以AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
所以DE=DB，
所以AC与⊙D相切.
课堂小结
新课讲解
练一练
下列命题中，真命题是( D ) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
新课讲解
知识点2 切线的性质
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
应用格式 ∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA.
O l
A
新课讲解
性质定理的证明
B
证法1：反证法.
O
(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂
直于CD,垂足为M.
C
AM D
(2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相径，MN是⊙O的切线，切点为N，如
果∠MNB =知52识°点，那么∠NOA的度数为(A )
A.76° B.56° C.54
D.52°
分析：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38° ∴∠NOA=2∠B=76°．
九年级数学上册 第24章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 切线的判定和性质(
又∵OB＝BD，∴BC＝BD，∴∠BCD＝∠D. 又∵∠ABC＝60°，∴∠BCD＝30°，
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝60°＋30°＝90°.
∵点 C 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线精．选ppt
5
第2课时 切线的判定和性质
【归纳总结】1．判定圆的切线的“三种方法”： (1)定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)求值法(d＝r)：与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； (3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
精选ppt
14
精选ppt
7
第2课时 切线的判定和性质
目标二 会用切线的性质解决相关问题
例2 教材补充例题
(1)如图24－2－9，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点．如
果∠PAB＝30°，那么∠AOB＝______6_0_°；
[解析] 由于△OAB 为等腰三角形，要求∠AOB 的 度数，只需求∠OAB 的度数．因为 PA 是⊙O 的切线， 所以∠OAB＋∠PAB＝90°，故∠OAB＝90°－30°＝ 60°，所以△OAB 为等边三角形，所以∠AOB＝60°.
精选ppt
3
第2课时 切线的判定和性质
目标突破
目标一 能判断一条直线是不是圆的切线
例1 教材例1变式题 如图24－2－8，AB是⊙O的直径，点D在AB 的延长线上，BD＝OB，点C在⊙O上，∠CAB＝30°.求证：CD是 ⊙O的切线．
图精选p2pt4－2－8
4
第2课时 切线的判定和性质
[解析] 欲证 CD 是⊙O 的切线，由于直线 CD 与⊙O 有公共点 C，所以连
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.3 切线的判定和性质(共30张PPT)
果保留π)．
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
D C．30° D．27°
返回
11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
C C．48° D．49°
返回
9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
D C．30° D．27°
返回
11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
C C．48° D．49°
返回
9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为
人教初中数学九上 第24章《圆》切线的判定课件
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
作业：
• P98，1 P101，4
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
作业：
• P98，1 P101，4
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
初中数学人教九年级上册第二十四章圆切线定理PPT
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d<r
交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
小 结
例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d<r
交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
小 结
例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
人教版九年级上册数学精品课件 第24章 圆 第3课时 切线的判定和性质
• C．60°
• D．70°
• 6．如图所示，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接
OA，OB．若∠ABC＝70°，则∠A等于 • A．15°
B( )
• B．20°
• C．30°
• D．70°
• 7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上一点，∠CDB＝ 20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等B 于
4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，
点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝
1 2
∠BAC．求证：DE是⊙O的切
线．
解：连接OD，AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥
BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝
1 2
∠BAC，∵∠CDE＝
1 2
∠
BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠ADO
• CE的中点．
(2)解：∵PC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，∴∠ACO＋∠OCB＝ ∠BCP＋∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠ACO，而OA＝OC，∴∠ACO＝∠ A，∴∠BCP＝∠A．∵∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，且∠ACB ＝90°，∴2∠BCP＝90°－∠P，∴∠BCP＝12(90°－∠P)．
＝∠CDE，∵∠ADO＋∠ODC＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°，∴∠
ODE＝90°．又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
• 知识点2 切线的性质定理
• 5．(重庆中考)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，
OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为 • A．40°
D( )
• B．50°
() • A．40° • B．50° • C．60° • D．70°
人教版九年级上24.2切线的判定与性质 (共15张PPT)
连接圆心和切点的半径是常见辅助线
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版数学九年级上册24.切线的性质与判定课件
的距离d与 半径r的关系
直线名称
Or d
l A
1个 切点
d=r
切线
O
l 2.判断直线与圆相切有哪些方法？ 方法1：直线与圆只有一个公共点； 方法2：圆心到直线的距离等于半径.
1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并 利用切线的判定定理和性质定理解决相关问 题.
2.在解题过程中体会数形结合的思想. 3.体会数学与实际生活密切相关，感受生活中 蕴含的数学美.
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连 接OA，过点A作直线l⊥OA
(1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是
d=r 当直线l满足什么条件时， (2)直线l和直⊙线Ol有与什⊙么O位相置切关？系？
l
O A
相切
O l
A
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
请你判断下列说法是否正确：
3.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，点O 在AB上，⊙O经过点A、点D，与AB交于点 C.求证：BD是⊙O的切线.
D
A
O
C
B
请你谈谈今天有哪些收获？ 1.切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
公共点已知，连半径，证垂直 公共点未知，作垂直，证半径
2.切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
o
切线
②垂直于这条半径
A
l
切线性质定理： ①圆的切线 ②过切点的半径
垂直
已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB, CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.
O
A
C
B
已知：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边
直线名称
Or d
l A
1个 切点
d=r
切线
O
l 2.判断直线与圆相切有哪些方法？ 方法1：直线与圆只有一个公共点； 方法2：圆心到直线的距离等于半径.
1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并 利用切线的判定定理和性质定理解决相关问 题.
2.在解题过程中体会数形结合的思想. 3.体会数学与实际生活密切相关，感受生活中 蕴含的数学美.
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连 接OA，过点A作直线l⊥OA
(1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是
d=r 当直线l满足什么条件时， (2)直线l和直⊙线Ol有与什⊙么O位相置切关？系？
l
O A
相切
O l
A
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
请你判断下列说法是否正确：
3.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，点O 在AB上，⊙O经过点A、点D，与AB交于点 C.求证：BD是⊙O的切线.
D
A
O
C
B
请你谈谈今天有哪些收获？ 1.切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
公共点已知，连半径，证垂直 公共点未知，作垂直，证半径
2.切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
o
切线
②垂直于这条半径
A
l
切线性质定理： ①圆的切线 ②过切点的半径
垂直
已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB, CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.
O
A
C
B
已知：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边
人教版数学九年级上册24.切线的判定和性质课件(共25张)
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径 (即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
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第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第3课时 切线的判定和性质
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知识点 1 切线的判定
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且___垂__直___ 于这条半径的直线是圆的切线．
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2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一
返回
化不规则为规则法 16．(中考•临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，
以OA为半径的⊙O与BC 切于点D，与AC交于点E， 连接AD. (1)求证：AD平分∠BAC；
证明：如图，连接OD. ∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC. 又∵AC⊥BC，∴AC∥OD， ∴∠CAD＝∠ADO. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠OAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC.
切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝
21°，则∠ADC的度数为( )
A．46° B．47°
C
C．48° D．49°
返回
9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为
_∠__A_B_C__＝__9_0_°__(答__案__不__唯__一__)_____．
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3．下列说法中，正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆B的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为
S△ODB－S 扇形 DOF＝12×2×2 3－23π＝2 3－23π.
故阴影部分的面积为 2 3－23π.
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题型 2 切线的性质在求角的大小中应用 15．(中考·天津)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35°
A
C．40° D．55°
返回
题型 1 切线的判定在解题中应用
∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E 是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图①，求∠T和∠CDB的大小；
如图，连接AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠TAB＝90°. ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°. ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°. ∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
D C．30° D．27°
返回
11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
(2)如图②，当BE＝BC时，求 ∠CDO的大小．
如图，连接AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°. ∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝65°. ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结
果保留π)．
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
a．无交点型——“作垂直，证半径”判定切线
13．如分图线，交在BCR于t△点ADB，C中以，点∠D为ABC＝90°，∠BAC的平
圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E. ∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC， ∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于⊙D的半径， ∴AC与⊙D相切．
返回
4．(中考·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，
且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位
置关系是( )
A．相离
C
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
返回
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A
的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
A
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
返回
知识点 2 切线的性质 6．圆的切线___垂__直___于过切点的半径．
返回
7．(中考·泉州)如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝
60°，则∠A的大小为( )
A．15° B．30°
B
C．45° D．60°
返回
8．(中考·莱芜)如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相
∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC. ∴∠ODB＝∠C＝90°， 即OD⊥BC. 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切．
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
返回
b．有交点型——“连半径，证垂直”判定切线
14．(中考·枣庄)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点
O为圆心，OA为半径的圆 恰好经过点D，分别交AC， AB于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切． 理由：如图，连接OD. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第3课时 切线的判定和性质
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知识点 1 切线的判定
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且___垂__直___ 于这条半径的直线是圆的切线．
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2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一
返回
化不规则为规则法 16．(中考•临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，
以OA为半径的⊙O与BC 切于点D，与AC交于点E， 连接AD. (1)求证：AD平分∠BAC；
证明：如图，连接OD. ∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC. 又∵AC⊥BC，∴AC∥OD， ∴∠CAD＝∠ADO. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠OAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC.
切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝
21°，则∠ADC的度数为( )
A．46° B．47°
C
C．48° D．49°
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9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为
_∠__A_B_C__＝__9_0_°__(答__案__不__唯__一__)_____．
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3．下列说法中，正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆B的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为
S△ODB－S 扇形 DOF＝12×2×2 3－23π＝2 3－23π.
故阴影部分的面积为 2 3－23π.
返回
题型 2 切线的性质在求角的大小中应用 15．(中考·天津)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35°
A
C．40° D．55°
返回
题型 1 切线的判定在解题中应用
∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E 是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图①，求∠T和∠CDB的大小；
如图，连接AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠TAB＝90°. ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°. ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°. ∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
D C．30° D．27°
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11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
(2)如图②，当BE＝BC时，求 ∠CDO的大小．
如图，连接AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°. ∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝65°. ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结
果保留π)．
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
a．无交点型——“作垂直，证半径”判定切线
13．如分图线，交在BCR于t△点ADB，C中以，点∠D为ABC＝90°，∠BAC的平
圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E. ∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC， ∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于⊙D的半径， ∴AC与⊙D相切．
返回
4．(中考·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，
且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位
置关系是( )
A．相离
C
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
返回
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A
的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
A
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
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知识点 2 切线的性质 6．圆的切线___垂__直___于过切点的半径．
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7．(中考·泉州)如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝
60°，则∠A的大小为( )
A．15° B．30°
B
C．45° D．60°
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8．(中考·莱芜)如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相
∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC. ∴∠ODB＝∠C＝90°， 即OD⊥BC. 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切．
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
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b．有交点型——“连半径，证垂直”判定切线
14．(中考·枣庄)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点
O为圆心，OA为半径的圆 恰好经过点D，分别交AC， AB于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切． 理由：如图，连接OD. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.