通信原理第2章 确知信号

R( τ ) = ∫ s( t )s( t + τ )dt
−∞
∞
−∞ <τ < ∞
R( 0 ) = E R( τ ) = R( −τ )
R( τ ) ⇔ S ( f )
2
能量谱密度与自相关函数之间是一对傅立叶变换，即
R( τ ) = ∫
∞
−∞
S ( f ) e j 2πft df
2
2. 功率信号的自相关函数
−∞
若具有周期性
1 s ( t )dt = ∫−T / 2 T0
T/2 2
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s ( t )dt = ∑ C n
2 −∞
∞
2
周期信号功率谱密度
P ( f ) = ∑ C n δ ( f − nf 0 )
2 −∞
∞
2.3 确知信号的时域分析
表现在两个方面的描述：自相关函数、互相关函数。 1. 能量信号的自相关函数
R21 ( τ ) = R12 ( −τ ) S 12 ( f ) ⇔ R12 ( τ ) 互相关函数与互能量谱密度之间是一对傅立叶变换，即
S 12 ( f ) = ∫ R12 ( τ )e − j 2πfτ dτ
−∞
∞
其中，互能量谱密度
* S 12 ( f ) = S 1 ( f ) S 2 ( f )
n =1
∞
= C0 + 2∑ [ Cn cos( 2πnf 0 t + θ n ) ]
n =1
∞
其中
Cn =
1 2
2 a n + b n2
θ n = arctan( bn / a n )
即将数学上正负频率分量的模相加等于物理实信号的频谱的模。
Cn
θn
− 4 − 3 − 2 −1
n
− 4 − 3 − 2 −1 0
3 0
n
1
2
3
4
1
2
4
例：周期方波信号的频谱计算。
s( t )
− 2 T0
− T0
0
T0
2T0
t
1 Cn = T0
nπτ s( t )e − j 2π n f 0 t dt = Sa ( ) ∫−τ / 2 T0 T0
τ/2
τ
s( t ) = ∑
−∞
∞
τ
T0
Sa (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nπτ j 2π n f 0 t )e T0
第2章 确知信号
本章主要内容 确知信号的类型 确知信号的频域性质 确知信号的时域性质
2.1 信号的分类
信号：传递消息和信息的物理载体，如随时间变化的电压和电流。
数学上
f (t ), g (t , x L)
物理上
1. 确知信号和随机信号 确知信号：可以预先知道其变化规律的信号。 随机信号：没有规律的信号。如热噪声
E=∫
定义功率谱密度
2 −T / 2 T
T/2
s ( t )dt = ∫
∞
−∞
ST ( f ) df
2
P ( f ) = lim
1 2 ST ( f ) T →∞ T
∞
（W/Hz）
信号功率
1 P = lim T →∞ T
1 P = lim T →∞ T
∫
2 T −T / 2
T/2
s ( f )df = ∫ P ( f )df
−τ / 2
e − j 2π ft dt = τS a ( πft )
Δ( f )
0
t
f
3. 能量信号的能量谱密度 设能量信号s(t)的能量为E，则其能量为：
E = ∫ s 2 (t )dt
−∞
∞
根据Parseval定理得 E =
∫
∞
−∞
s ( t )dt = ∫ S ( f ) df = ∫ G( f )df
4. 功率信号的互相关函数 两个功率信号s1(t)和s2(t)的互相关函数定义为：
1 R12 ( τ ) = lim T →∞ T
∫
T/2
−T / 2
s1 ( t )s2 ( t + τ )dt
−∞ <τ < ∞
1 R12 (τ ) = 周期性功率信号 T0
∫
T0 / 2
−T0 / 2 1
s ( t ) s 2 ( t + τ )dt
实际通信系统中的信号和噪声实质上都是随机信号。
2. 周期信号和非周期信号 周期信号：以一定周期重复变化的信号。
s (t ) = s (t + T )
−∞ <t < ∞
− 2T
−T
0
T
2T
非周期信号：不具有重复变化性的信号。
3. 能量信号和功率信号
2 信号（电压或电流）s（t）在1欧姆电阻上的瞬时功率为 s (t )，则信号 的总能量为：
2 2 −∞ −∞
∞
∞
能量谱密度 G ( f ) = S ( f )
2
—— 单位频带内信号的能量（J/Hz）
若信号s(t) 是一个实函数，则 S ( f )是一个偶函数。
E = 2 ∫ G ( f )df
0
∞
4. 功率信号的功率谱密度 将功率信号s(t)截短为长度为T的截短信号sT(t),其傅立叶变换为ST(f),利用Parseval 定理有：
∫
∞
−∞
S ( ω )e jω t dω
S( f ) ——频谱密度，简称频谱。（V/Hz）
对实能量信号其频谱密度的正频率部分和负频率部分仍有复数共轭的关系。
例：方波脉冲信号的频谱密度计算。
ga( t )
Ga ( f )
−
τ
2
0
τ
2
t
f
Ga ( f ) = ∫
例：单位冲激函数的频谱密度。
δ(t )
τ/2
1 R( τ ) = lim T →∞ T
∫
T/2
−T / 2
s( t )s( t + τ )dt
−∞ <τ < ∞
周期性功率信号
1 R( τ ) = T0
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s( t )s( t + τ )dt
−∞ <τ < ∞
R( 0 ) = P R( τ ) = R( −τ )
R( τ ) ⇔ P ( f )
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s( t )e − j 2πnf0t dt
信号的频谱
C n = C n e jθ n
Cn
幅度谱 相位谱
θn
* 若s(t)为实信号，有 C− n = Cn，则周期实信号s(t)的三角形式的傅立叶级数为：
s( t ) = C0 + ∑ [ an cos( 2πnf 0 t ) + bn sin( 2πnf 0 t )]
E = ∫ s 2 (t )dt
−∞
∞
平均功率
P = lim
1 T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t )dt
能量（有限）信号： 0 < E < ∞, P → 0 特征：信号的振幅和持续时间有限、非周期性。 功率（有限）信号： E → ∞, 0 < P < ∞ 特征：信号的持续时间无限。如直流、周期和随机信号。
2.2 确知信号的频域分析
四个方面描述：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度 1. 周期功率信号的频谱——傅立叶级数 设s(t)是一个周期为T0的功率信号，且满足 Dirichlet条件，则可展成傅立叶级数：
s( t ) = ∑ Cn e
−∞
∞
j 2πnt / T0
1 Cn = C( nf 0 ) = T0
−∞ <τ < ∞
互相关函数与互功率谱之间是一对傅立叶变换，即
R12 ( τ ) = ∫ C 12 ( f )δ ( f − nf 0 )e j 2πnf 0 df
−∞
∞
其中，互功率谱密度
* C 12 ( f ) = ( C n )1 ( C n )2
本章作业：2－9
Cn
nω 0
2. 能量信号的频谱——傅立叶变换 设s(t)为一能量信号，则其傅立叶变换为：
S ( f ) = ∫ s( t )e
−∞
∞
− j 2 π ft
dt
s( t ) = ∫ S ( f )e j 2π ft df
−∞
∞
S ( ω ) = ∫ s( t )e
−∞
∞
− jω t
dt
1 s( t ) = 2π
对傅立叶变换，即 周期性功率信号的功率谱密度与自相关函数之间是一
R( τ ) = ∫ P ( f )e j 2πft df
−∞
∞
3. 能量信号的互相关函数 两个信号s1(t)和s2(t)的互相关函数定义为：
R12 ( τ ) = ∫ s1 ( t )s2 ( t + τ )dt
−∞
∞
−∞ <τ < ∞