2010河南中考第22题矩形类比探究典例
河南中考数学类比探究学生精选文档
河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究 实战演练（一）22.（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA．中考数学类比探究 实战演练（二）22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究 实战演练（三）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ， 过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=，请直接写出CE 的长．图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究 实战演练（四）22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（五）22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究 实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究 实战演练（七）22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ；②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究 实战演练（八）22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）． C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究 实战演练（九）22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ． （1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）22.（10分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DB，DG，直接写出∠BDG的度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究 实战演练（十一）图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. （10分）已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 是斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．中考数学类比探究 实战演练（十二）22. （10分）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值． 类比归纳：在图1中，若13CE CD =，则AM BN 的值为__________；若14CE CD =，则AMBN 的值为__________；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值为__________．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设1AB BC m =（1m >），1CE CD n =，则AMBN的值为_______．（用含m n ，的式子表示）图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。
中考数学考点探究主题专题八--几何图形的类比探究
几何图形的类 比探究
图形的旋转；全等三角形的 判定和性质；三角形的面积； 等边三角形及菱形的判定和 性质
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续表
年份 题号 分值 题型
考点
2012 22
10
解答题
几何图形的类比 探究
2011 —— —— ——
——
考查内容
平行四边形的性质； 相似三角形的判定和 性质
——
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解：
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【解析】
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备战演练
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解：
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关于河南中考数学22题的解题心得
关于河南中考数学22题的解题心得：纵观近几年的22题发现解题的基本思路是和我们平时学习的过程一样，即发现问题，探究问题，应用解决问题。
一般这种类型题往往是有一般到特殊的数学思想，那么这类题目如何处理呢?首先要把问题弄清楚，已知是什么，结论是什么，其次，在应用该结论解决问题时，一定要把已知搞清楚，看是否符合已知条件，如果不符合已知条件，那么还要添加辅助线，使其符合已知条件，才能直接应用结论解决问题，例题22.（10分）（1）问题如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a,AB=b 。
填空：当点A 位于 时线段AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a ，b 的式子表示）分析：∵a+b ＞AC ∴只有AC=a+b 时，AC 才最大。
∴A 位于CB 的延长线上，且最大值是a+b（2）应用点A 为线段B 除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE ，连接CD,BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由②直接写出线段BE 长的最大值.（1)这一问较简单，这很明显是连体图形问题，只需证明两个三角形全等即可， (2)求BE 的最大值就是求CD 的最大值，这样就符合了问题中的条件， CD=DB+BC=3+1=4（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=900.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标。
分析：欲求AM 的最大值，结合已知条件，就应该考虑A 、B 、P 三点，可以把△MPA 绕点P 旋转，使PM 与PB 重合即可在求点P 的坐标时，关键要理解题目中的“此时”两个字的含义，此时也就是图2CD 图1bA B CAM 取得最大值时，即点N 在BA 的延长线上时，△APN 是等腰直角△解：（1）CB 的延长线上，a+b ；………………………………………2分（2）①DC=BE,理由如下∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分∴△CAD ≌△EAB （SAS ）,∴DC=BE ………………………………6分②BE 长的最大值是4. …………………………………………………8分（3）AM 的最大值为3+，点P 的坐标为（）……10分【提示】如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。
河南省中招22题 类比、 拓展探究题
中招22题 类比、拓展探究题作图微技能1. 如图①，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，点P 为射线BD ，CE 的交点，若把△ADE 绕点A 旋转，请在图②中作出当∠EAC ＝90°时的图形.第1题图2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，当CE ＝BC 时，请在图②中作出△EDC 旋转至A ，D ，C 三点共线时的图形.第2题图3. 如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，E 为AC 上一点，且AE ＝14AC ，过点E 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，连接CD ，分别取DE 、BC 、CD 上中点M ，N ，P ，若△DAE 绕点A 在平面内自由旋转，请在图②中作出当△MPN 面积最大时的图形.第3题图4. 如图①，已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝12AB ，连接BE ，BD ，CE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 的中点，连接GF ，FH ，GH .将△ADE 绕点A 自由旋转，请在图②③中作出在旋转的过程中GH最大和最小时的图形.第4题图5. 如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，点E、F分别是AB、AC的中点，连接EF.以点A 为旋转中心，将△AEF顺时针转动，连接BE，CF，设直线BE，CF相交于点P，请在图②③中作出当S△PBC面积为最大值和最小值时的图形.第5题图6. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.请在图②中作出点P到AB所在直线的距离最大时的图形.第6题图7. 如图①，射线OA与OB的夹角为α(0°＜α＜180°)，点P在∠AOB的平分线上，且OP＝a，点M 在射线OA上运动，在射线OB上取一点N，使得∠MPN＋∠AOB＝180°，请在图②中作出△PMN周长的值最小时的图形.。
河南中考：解答题重难点题型(九) 第22题类比、拓展探究题 (2)
解答题重难点题型(九)第22题类比、拓展探究题例1：(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB 外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．例子2：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AEBD＝；②当α＝180°时，AEBD＝；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．2．(1)发现如图1，直线l1∥l2，l1和l2的距离为d，点P在l1上，点Q在l2上，连接PQ，填空：PQ 长度的最小值为d；(2)应用如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上，AM＝3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值；(3)拓展如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．3．(1)问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC，CD，CE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断∠ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．图1图2图34．(1)探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°，∴P′P2＋BP2＝P′B2，即PA2＋PB2＝PC2.(2)类比延伸如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明；(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．5．已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图1，线段OF与EC的数量关系为；②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图2，OF与EC的数量关系为；(2)类比延伸将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明；(3)拓展探究将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．6．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是；(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．7．(1)问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，直接写出线段AF的长．8．(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．9．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为；猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图4 图5解答题重难点题型(九)第22题类比、拓展探究题答案例子1：(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB 外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．【思路点拨】(1)当点A在线段CB延长线上时，AC长度最大；最大值是AB与BC长度之和；(2)①图中与BE相等的线段是CD.运用三角形全等的判定方法即可证明；②因为BE ＝CD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根据(1)中结论可知CD的最大值为BD与CB的长度之和；(3)通过(2)的学习可知，如图4，需要构造△BPN≌△MPA，则BN＝AM，由(1)得当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如图5)，易得AN＝22，所以AM＝NB ＝3＋2 2.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝EA＝2，从所以P(2－2，2)．解：(1)CB的延长线上a＋b2分(2)①CD ＝BE ，理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°. ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ， 即∠CAD ＝∠EAB.5分在△CAD 与△EAB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB ，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )． ∴CD ＝BE.6分②BE 长的最大值是4.8分(3)AM 的最大值3＋22，点P 的坐标为(2－2，2).10分【解法提示】 如图4，连接BM ，∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN ＝PA ＝2，BN ＝AM.点B 的坐标为(5，0)， 长的最大值＝线段BN 长的最大值．的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值＝AB ＋AN.轴于点E ， 是等腰直角三角形，∴OE ＝OA －AE ＝2－ 2. ∴P(2－2，2)． 例子2：如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2②当α＝180°时，AE BD ＝2(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．【思路点拨】 (1)①根据题意可知DE 是△ABC 的中位线，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长度即可求解；②根据旋转180°，画出图形，结合①，分别得到AC ，CE ，BC 和CD 的长即可求解；(2)由(1)可知CE CA ＝CD CB ，结合旋转的性质得到CE CA ＝CDCB 任然成立，运用两边对应成比例，夹角相等求得，△ACE ∽△BCD ，利用相似三角形的性质，求得AEDB 的值．(3)当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时分两种情况讨论，即边DE 在BC 上方和在BC 下方，再针对每一种情况分类讨论计算即可．【自主解答】 (2)证明：在图1中，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，∴CE CA ＝CDCB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.∴AEBD的大小不变． (3)45或1255.提示：如图3，当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ＝45；如图4，当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得AD ＝AC 2－CD 2＝8，∴AE ＝AD －DE ＝6，根据AE BD ＝52可求得BD ＝1255.1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是PM ＝PN ，位置关系是PM ⊥PN ；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解：(2)等腰直角三角形，理由如下： CAE. ， SAS )， ＝∠ACE.，DE 的中点， 的中位线． CE.PN ∥BD.∴PM ＝PN ，∠MPD ＝∠ECD ，∠PNC ＝∠DBC.∴∠MPD ＝∠ECD ＝∠ACD ＋∠ACE ＝∠ACD ＋∠ABD. ∠DPN ＝∠PNC ＋∠PCN ＝∠DBC ＋∠PCN.∴∠MPN ＝∠MPD ＋∠DPN ＝∠ACD ＋∠ABD ＋∠DBC ＋∠PCN ＝∠ABC ＋∠ACB ＝90°.即△PMN 为等腰直角三角形． (3)492. 提示：由(2)知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ，∴PM 最大时，△PMN 面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上，∴BD ＝AB ＋AD ＝14，∴PM ＝7， ∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×72＝492.2．(1)发现如图1，直线l 1∥l 2，l 1和l 2的距离为d ，点P 在l 1上，点Q 在l 2上，连接PQ ，填空：PQ长度的最小值为d；(2)应用如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上，AM＝3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值；(3)拓展如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．解：(2)如图．MN的值最小，∴∠E＝45°.∴△EMN是等腰直角三角形，∵EM＝3，∴MN＝32＝322.(3)10.提示：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CMN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴CGBG＝12.∴G是BC上一定点．作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即DCHB＝12.∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB＋BH＝6＋4＝10，∴当MN ⊥AD 时，MN 的长最小，即为10.则线段MN 长度的最小值为10.3．(1)问题发现如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE.请填空： ①∠ACE 的度数为60°；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系为AC ＝CD ＋CE ；(2)拓展探究 如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点D 在边BC 上，连接CE.请判断∠ACE 的度数及线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题如图3，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AD ＝2，CD ＝1，AC 与BD 交于点E ，请直接写出线段AC 的长度．图1 图2 图3 解：(1)①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠B ＝60°.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE.∴△BAD ≌△CAE(SAS )．∴∠ACE ＝∠B ＝60°.②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系为：AC ＝CD ＋CE. 理由是：由①得：△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE. ∵AC ＝BC ＝BD ＋CD ，∴AC ＝CD ＋CE.(2)∠ACE ＝45°，2AC ＝CD ＋CE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE. ∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠B ＝45°. ∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CE.∵在等腰直角三角形ABC 中，BC ＝2AC ， ∴2AC ＝CD ＋CE. (3)14＋22. 提示：在CB 的延长线上截取BF ＝DC ，易证△ABF ≌△ADC.∴AF ＝AC ，∠FAB ＝∠CAD.∴∠FAC ＝∠FAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°. ∴△ACF 是等腰直角三角形，由(2)得2AC ＝BC ＋CD.∴AC ＝BC ＋CD 2＝7＋12＝14＋22.4．(1)探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°，∴P′P2＋BP2＝P′B2，即PA2＋PB2＝PC2.(2)类比延伸如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明；(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．解：(2)关系式为：2PA2＋PB2＝PC2.证明：将△APC绕A得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等腰直角三角形．∴∠APP′＝45°，PP，∵∠APB＝135°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴2PA2＋PB2＝PC2.(3)k＝ 3.提示：将△APC绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，可得∠APP′＝30°，PP′＝3PA，PC＝P′B.∵∠APB＝60°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴(3PA)2＋PB2＝PC2.∵(kPA)2＋PB2＝PC2，∴k＝ 3.5．已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图1，线段OF与EC的数量关系为OF＝2EC；②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图2，OF与EC的数量关系为OF＝2EC；(2)类比延伸将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明；(3)拓展探究将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．解：(2)OF＝22EC.证明：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，∴AF＝12AD＝22AE.在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，连接AO，∴AO＝2AC，∠BAO＝∠CAO＝45°.DAO＝∠CAE.提示：∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2，∴ED＝AE＝AB＝AC＝1.△ACD为直角三角形时，分两种情况：①当AD与AB重合时，如图4，连接CD，∵△ACD为直角三角形，AD⊥AC，即将△ADE逆时针旋转45°.∵AD＝2，AC＝1，∴由勾股定理可得CD＝（2）2＋12＝3；②当AE与AC重合时，如图5，△ACD为直角三角形，AC⊥CD，即将△ADE逆时针旋转90°，此时CD＝AC＝1.综上：CD的长为3或1.6．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C ＝90°，∠B ＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是DE ∥AC ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2.则S 1与S 2的数量关系是S 1＝S 2；(2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展探究已知∠ABC ＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E(如图4)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长． 解：(2)根据已知∠DCE ＝90°，作AN ⊥EC 交EC 延长线于点N ，则∠ANC ＝∠DCN ＝90°. 而∠ACB ＝90°，∠ACN ＝90°－∠NCM ＝∠DCM ， AC ＝DC ，MD ⊥BC 于点M ， 则∠DMC ＝90°.在△ANC 和△DMC 中，⎩⎨⎧∠ANC ＝∠DMC ，∠ACN ＝∠DCM ，AC ＝DC ，则△ANC ≌△DMC(AAS )，∴AN ＝DM.而CE ＝BC ，△BDC 和△AEC 等底等高，∴△BDC 和△AEC 面积相等，则S 1＝S 2的数量关系仍然成立． (3)BF 长度是433或833.图5提示：(3)如图5，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，∴BE ＝DF 1，且BE ，DF 1上的高相等，此时S △DCF 1＝S △BDE .过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D ＝∠ABC ＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°， ∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°.∴△DF 1F 2是等边三角形．∴DF 1＝DF 2.∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°. ∴∠CDH 1＝180°－∠BCD ＝180°－30°＝150°.∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°.∴∠CDF 1＝∠CDF 2.⎪⎧DF 1＝DF 2，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833. 故BF 的长为433或833.7．(1)问题发现：如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．解：(2)无变化．理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴sin ∠ABC ＝AC BC ＝22. 在正方形CDEF 中，∠FEC ＝12∠FED ＝45°， 在Rt △CEF 中，sin ∠FEC ＝CF CE ＝22，∴CF CE ＝AC BC. ∵∠FCE ＝∠ACB ＝45°，∴∠FCE －∠ACE ＝∠ACB －∠ACE.②当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3， ∵△ABC ，△CFE 为等腰直角三角形．易证：△ACF ∽△BCE. ∴BE AF ＝BC AC＝ 2.∴BE ＝2AF. 由(1)知，CF ＝EF ＝CD ＝ 2.在Rt △BCF 中，CF ＝2，BC ＝22，根据勾股定理得，BF ＝6，∴BE ＝BF ＋EF ＝6＋ 2.由(2)知，BE ＝2AF ，∴AF ＝3＋1.即当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF 的长为3－1或3＋1.8．(1)问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为60°；②线段AD ，BE 之间的数量关系为AD ＝BE ；(2)拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．解：(2)∠AEB ＝90°，AE ＝2CM ＋BE.理由：∵△ACB 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD ＝BE ，∠BEC ＝∠ADC ＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝135°－45°＝90°.在等腰直角三形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE ＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE.(3)3－12或3＋12. 提示：∵PD ＝1，∠BPD ＝90°.∴BP 是以点D 为圆心，以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点．第一种情况：如图4，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P′，可证△APD ≌△AP′B ，PD ＝P′B ＝1.∵CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP′＝12(PB －BP′)＝3－12. 第二种情况，如图5，可得AM ＝12PP′＝12(PB ＋BP′)＝3＋12.9．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则猜想论证：(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，图4 图5解：(2)①猜想：AD ＝12BC. 证明：如图5，延长AD 至点E ，使DE ＝AD.∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B ′D ＝C′D.∴四边形AB′EC′是平行四边形．∴EC ′∥B ′A ，EC ′＝B′A.∴∠AC ′E ＋∠B′AC′＝180°.由定义可知∠B′AC′＋∠BAC ＝180°，B ′A ＝BA ，AC ＝AC′，∴∠AC ′E ＝∠BAC ，EC ′＝BA.∴△AC ′E ≌△CAB(SAS )．∴AE ＝BC.∵AD ＝12AE ， ∴AD ＝12BC. (3)存在．以AD 为边向四边形ABCD 的内部作等边△PAD ，连接PB ，PC ，延长BP 交AD 于点F ， 则有∠ADP ＝∠APD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝6.∵∠CDA ＝150°，∴∠CDP ＝90°.过点P 作PE ⊥BC 于点E ，易知四边形PDCE 为矩形．∴CE ＝PD ＝6.∴tan ∠DPC ＝CD PD ＝236＝33. ∴∠DPC ＝30°，∠EPC ＝60°.∴BE ＝12－6＝6＝CE.又PE ⊥BC ，在Rt △ABF 中，AB ＝（73）2＋32＝239.∵△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∴△PAB 的“旋补中线”长为12AB ＝39.。
中考数学(河南专版)重点难点题型：·11解答题重难点题型(七) 第22题类比、拓展探究题
解答题重难点题型（七）第22题类比、拓展探究题1.（2017河南中原名校五模）已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=5．（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，∴∠BPE=∠CAD，∴△PBE≌△ACD，∴BE=CD，∴BD+BE=BD+CD=BC=5，故答案为5；（2）如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，∴△FPB是等边三角形，∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，∵△PDE是等边三角形，∴PD=PE，∠DPE=60°，∴∠BPE=∠FPD，∴△PBE≌△PFD，∴BE=DF，∴BD+BE=BD+DF=BF=4；（3）如图3，过点P作PF∥AC交BC于F，∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，∵AB=AC，∠BAC=70°，∴∠ABC=∠C=55°，∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，∴PF=PB=a，∵∠BPF=∠DPE=70°，∴∠DPF=∠EPB，∵PD=PE，∴△PBE≌△PFD，∴BE=DF，过点P作PG⊥BC于G，∴BF=2BG，在Rt△BPG中，∠PBD=55°，∴BG=BP•cos∠PBD=a•cos55°，∴BF=2BG=2a•cos55°，∴BD﹣BE=BD﹣DF=B F=2a•cos55°．2.（2017商丘市柘城县四模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答。
针对河南中考22题的特训 探究 探究
1.（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由2.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB 上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．3. 2014绍兴）（6分）（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．4. ．（本小题满分1 2分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．5.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．6.2014?海南）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．（1）求证：△OAE≌△OBG；（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：PGAE的值（结果保留根号）．7.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=3PC．（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．8.已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处． [图片] （1）如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4,求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数；（3）如图2, 在 (1) 的条件下 ,擦去折痕AO、线段OP,连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合）,动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由；若不变,求出线段EF的长度．9. 如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．10.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．11.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H。
2011——2016年河南中考数学第22题解析
2011——2016年河南中考数学第22题解析D图3O xy P A B MyxO备用图A B解：（1）CB 的延长线上，a+b ；………………………………………2分 （2）①DC=BE,理由如下∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分 ∴△CAD ≌△EAB （SAS ）,∴DC=BE ………………………………6分 ②BE 长的最大值是4. …………………………………………………8分 （3）AM 的最大值为3+22点P 的坐标为（2，2）……10分【提示】如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。
易得△APN 是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，∴AM=NB=AB+AN=3+22;过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，2,又A （2，0）∴P （2，2）y xO P A B MNy xO 备用图E P ABN22.（10分）（2015河南））如图1，在Rt △ABC 中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，连DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现 ①当α=00时，AE BD= ；②当α=1800时，AE BD= .（2）拓展探究试判断：当00≤α≤3600时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.谷瑞林制图备用图图2图1E DDEBCC BCA解：（1）①5 (1)分 52分提示：①当α=00时，在Rt △ABC 中，BC=2AB=8,∴AB=4；2284+5又点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB, ∴45AE CE CA BD CD CB ===5②当α=1800时，∴CE ∥AB, ∴555∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12 ∴512AE BD ==52（2）无变化。
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2010河南中考22题．（10分） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小 明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说 明理由．
⑴同意，连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED， EF＝EF． ∴ Rt△EGF≌Rt△EDF． ∴ GF＝DF． ……3分
AED源自F G B CBE
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2010河南中考22题．（10分） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠 后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC 于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． ⑶由⑴知，GF=DF，设DF＝x，BC＝y，则 有GF＝x，AD＝y． A ∵DC＝n· DF，∴DC＝AB＝BG＝nx． ∴CF＝(n－1)x，BF＝BG＋GF＝(n＋1)x． 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n －1)x]2＝[(n＋1)x]2． 2 y 2 n ∴y＝2 n x．∴ AD （或） ……10分 AB nx n n
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2010河南中考22题．（10分） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠 后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC 于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； ⑵ 由⑴知，GF＝DF．设DF＝x，BC＝y， 则有GF＝x，AD＝y. ∵DC＝2DF，∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝ A 2x． ∴BF＝BG＋GF＝3x． 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝ (3x)2． AD y ∴y＝2x，∴ AB 2x 2 ．……6分
2010河南中考22题．（10分） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠 后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC 于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
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2010河南中考22题．（10分） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE， 且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意 吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．