【解直角三角形】专题复习
中考《解直角三角形》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。
第一章 解直角三角形复习1
1、三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2、锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90º
Ｂ
3、边角之间的关系:
a sinA＝ c
a tanA＝ b cosA＝ b c
Ａ
c b
a
Ｃ
4、解直角三角形:
解 直 角 三 角 形
直的 角边 三角 角关 形系
解三 直角 角形
知一边一锐角解 直角三角形 知两边解直角 三角形
在Rt AOB中, OA 4200, AOB 90 74 16
北 A O
B
东
2、如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得 ∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花 圃的面积?
C
A
D
B
若∠A=30°, AC=40m,AB=25m呢?
1 s bcSinA 2
3、如图,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α ,
把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m 处，它离地面的高度为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离 BC=2.8m.这样∠α 求就可以算出来了.请你算一算.
4、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为
60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知 1 1 OA=100米，山坡坡度为 ，（即tan∠PAB= ）且O、 2 2 A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点
地板
地板
地板
图1
2
1
d2
B
d1
地板
例3、如图，在△ ABC中，AD是BC边上的高， A 若tanB=cos∠DAC， （１）AC与BD相等吗？说明理由； B D １２ （２）若sinC＝ ，BC=１２，求AD的长。 １３ C
解直角三角形专题复习
《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC B D2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义辅助线构造2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图2图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（ ）A.47B.12C ．13 D ．09、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。
解直角三角形复习课课件
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
第25页
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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演变
模型
BC＝EF；
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[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
中考数学总复习《解直角三角形》专项测试卷带答案
中考数学总复习《解直角三角形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A 层·基础过关1.已知∠A 是锐角,sin A =35,则tan A 的值是 ( )A .35B .34C .43D .452.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A =88°,∠C =42°,AB =60,则点A 到BC 的距离为 ( )A .60sin 50°B .60sin50°C .60cos 50°D .60tan 50°3.宽与长的比是√5-12的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点B'处,AB'交CD 于点E ,则sin ∠DAE 的值为 ( )A .√55B .12C .35D .2√554.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC 中,若|sin A -12|+(√22-cos B )2=0,则∠C 的度数是 .5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为m(结果保留根号).6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D 处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145).7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.(1)求BC的长;(2)求sin∠DAE的值.B 层·能力提升8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m 的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°,小军在小明的前面5 m 处用高1.5 m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°,则电子厂AB 的高度为 ( ) (参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)A .22.7 mB .22.4 mC .21.2 mD .23.0 m9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD 中,E ,F 是边BC 上两点,且BE =EF =FC ,连接DE ,AF ,DE 与AF 相交于点G ,连接BG.若AB =4,BC =6,则sin ∠GBF 的值为 ( )A .√1010B .3√1010 C .13 D .2310. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m 的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC=.C层·素养挑战12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入叫做介质的“绝对折射率”,简称射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.,β=30°,求该介质的(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=√74折射率;(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.参考答案A 层·基础过关1.(2024·潍坊寿光市二模)已知∠A 是锐角,sin A =35,则tan A 的值是 (B)A .35B .34C .43D .452.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A =88°,∠C =42°,AB =60,则点A 到BC 的距离为 (A)A .60sin 50°B .60sin50°C .60cos 50°D .60tan 50°3.(2024·泸州中考)宽与长的比是√5-12的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点B'处,AB'交CD 于点E ,则sin ∠DAE 的值为 (A)A .√55B .12C .35D .2√554.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC 中,若|sin A -12|+(√22-cos B )2=0,则∠C 的度数是 105° .5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60°,测得底部点B 的俯角为45°,点A 与楼BC 的水平距离AD =50 m,则这栋楼的高度为 (50+50√3) m(结果保留根号).6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D 处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为11.5米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145).7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.(1)求BC的长;(2)求sin∠DAE的值.【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6∴BD=√AB2-AD2=√102-62=8;∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6∴BC=BD+CD=8+6=14;(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE =12BC =7,∴DE =CE -CD =7-6=1,∵AD ⊥BC∴AE =√AD 2+DE 2=√62+12=√37∴sin ∠DAE =DEAE =√37=√3737.B 层·能力提升8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m 的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°,小军在小明的前面5 m 处用高1.5 m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°,则电子厂AB 的高度为 (A) (参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)A .22.7 mB .22.4 mC .21.2 mD .23.0 m9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD 中,E ,F 是边BC 上两点,且BE =EF =FC ,连接DE ,AF ,DE 与AF 相交于点G ,连接BG.若AB =4,BC =6,则sin ∠GBF 的值为 (A)A .√1010B .3√1010 C .13 D .2310. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m 的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m 至点Q 处,测得教学楼顶端点B 的俯角为45°,则教学楼AB 的高度约为 17 m .(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至或AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC=274.7C层·素养挑战12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入叫做介质的“绝对折射率”,简称射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=√7,β=30°,求该介质的4折射率;(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.【解析】(1)∵cos α=√74∴如图设b=√7x,则c=4x,由勾股定理得,a=√(4x)2-(√7x)2=3x∴sin α=ac =3x4x=34,又∵β=30°∴sin β=sin 30°=12∴折射率为sinαsinβ=3412=32.(2)根据折射率与(1)的材料相同,可得折射率为32∵α=60°∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32,∴sin β=√33.∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点∴AD=2OD,∠D=90°又∵∠OCD=β∴sin∠OCD=sin β=√33在Rt△ODC中,设OD=√3x,OC=3x由勾股定理得,CD=√(3x)2-(√3x)2=√6x∴tan β=ODCD =√3x√6x=√2.又∵CD=10 cm∴OD10=√2∴OD=5√2cm∴AD=10√2cm,∴截面ABCD的面积为:10√2×10=100√2cm2.。
第23章解直角三角形期末复习PPT课件(沪科版)
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F， C
求sin∠BCF的值.
E A
B F
D
解：(1)在Rt△CDE中，
∵
cos∠D
=
DE CD
DE=30，
cos∠D
=
3 5
∴
30 CD
=
3 5
C
∴CD=50
E A
∵B点是CD的中点，
B F
∴BE=
1 2
CD
=25
D
∴AB=BE－AE=25－8.3 =18.7 (海里) ．
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，
现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修
建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡
BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
解： ∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
∴ ∠BEF=45°.
∵ ∠DAC=∠BDF=30°， AD=BD=40米，
A
D 54°
30
EC B
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F． A 在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB， EC= 3 3
∴DF=CB＋EC =8＋3 3 ．
D 54°
在Rt△ADF中，tan∠ADF=
AF DF
，3E0°
C
F B
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= (8＋3 3 )×1.38 ≈18.20．
∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 480 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A B
中考专题复习：《解直角三角形》
N
A
Q
如图所示，在坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长 度至少需 ( D ) A．4m B.6m C．(6+2 )m D.(2+2 )m
1．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其 坡度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
0
2，山坡与地面成30
则他上升
30
的倾斜角，某人上坡走60米， 3 米，坡度是____________ 3
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c sin A c cos A 。 ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________
b cos A 。 b tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________
a a sin A 。 tan A ⑶已知∠A、 a，则b=__________;c=_________ 斜边
1
1 2
┌
3
BHale Waihona Puke A B53 3
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
链接中考
C
D A B
C
D
C
E
A
链接中考3
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上， AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°, AC=10,试求CD的长．
c a
2
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《解直角三角形》专题复习
一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2
1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21
AB=BD=AD 】
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2
AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a b c h •=•）
由上图可得：AB •CD=AC •BC
二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°
c a
sin =∠=斜边的对边A A
c b
cos =∠=斜边的邻边A A
b a
tan =∠∠=的邻边的对边A A A
a
b cot =∠∠=的对边的邻边A A A
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.
三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A
（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系
tanA=A A cos sin cotA=A
A sin cos
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
A
C B
D
sin A
2ab
=
）结论：直角三角形斜边上的高
东
西
2
即xcotβ-xcotα=a．
八、基本图形（组合型）
翻折平移
九、解直角三角形的知识的应用问题：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题
十、解题思路与数学思想方法
图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题
抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用
【聚焦中考考点】
1、锐角三角函数的定义
α
βcot
-
cot
a
x=
辅助线构造
2、特殊角三角函数值
3、解直角三角形的应用
【解直角三角形】经典测试题
（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若2
2cos =
A ，3tan =
B ，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A. sin65°< cos26°
B. sin65°> cos26°
C. sin65°= cos26°
D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A. 7米
B. 9米
C. 12米
D. 15米
4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交
角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）
A. αsin 1
B. α
cos 1
C. αsin
D. 1
5、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( )
A. 扩大5倍
B. 缩小5倍
C. 没有变化
D. 不能确定
6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则：
AC 的长为（ ）．
A ．3
B ．22
C ．3
D ．
3
22
7、如果∠A 是锐角，且3
sin 4
B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒
C ．4560A ︒<∠<︒
D ．6090A ︒<∠<︒
8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αα
αα
-+的值等于（ ）
A.47
B.1
2
C ．13
D ．0
9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。
10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。
11、如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,3
1tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。
图2 图1 D A
C
B
图3 图4
12、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方
向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了
半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为
每小时20海里，求A、D两点间的距离。
（结果不取
近似值）
13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．
14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）
15、今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．
16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC 中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；
（3）如图②，已知sinA=3
5
，其中∠A为锐角，试求sadA
的值。