二次根式方程的解法
九年级根式方程的解法
九年级根式方程的解法根式方程是数学中的一种特殊形式，即方程中存在根号的方程。
解决根式方程的方法有很多，本文将介绍九年级数学中常用的根式方程的解法。
一、整式方程的根式求解对于整式方程中含有根号的情况，我们可以采用平方的方式进行消去。
例如：求解方程√(3x+2) - 2 = x首先，将根号两边平方消去，得到 3x + 2 - 4√(3x+2) + 4 = x^2整理后，得到 x^2 - 2x - 2 + 4√(3x+2) = 0接下来，我们再次进行平方操作，消去√(3x+2)，得到一个二次方程：(x^2 - 2x - 2)^2 = 16(3x+2)展开计算后，得到 x^4 - 4x^3 -10x^2 + 24x + 36 = 0二、有理方程的根式求解有理方程是指方程中含有根号并且存在分式的方程。
解决这类方程可以采用分式的通分方法。
例如：求解方程1/√(x+1) = 3-√x首先，我们将方程两边平方消去根号，得到 1/(x+1) = (3-√x)^2展开计算后，得到 (x+1) = (3-√x)^2再次展开计算，得到 x+1 = 9 + x - 6√x整理后，得到6√x = 8解方程得到 x = 16/9三、二次根式方程的求解二次根式方程是指方程中出现根号的次数为2的根式方程。
解决这类方程可以采用转换为一次根式方程的方法。
例如：求解方程√(2x+1) + √(x+2) = 3我们可以将方程两边进行平方操作，得到2x + 1 + 2√((2x+1)(x+2)) + x + 2 = 9整理后，得到3x + 4 + 2√(2x^2 + 5x + 2) = 9移项后，得到2√(2x^2 + 5x + 2) = 5 - 3x再次平方消去根号，展开计算后，得到 4x^2 + 16x - 7 = 0解方程得到 x = (-16 ± √352) / 8综上所述，九年级根式方程的解法主要包括整式方程的根式求解、有理方程的根式求解以及二次根式方程的求解。
专题01 二次根式的性质与化简(题型与解法)(解析版)
专题01 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简问题，是第16章二次根式这一章重难点内容，极易出现关于二次根式的计算或者含参数计算的易错题，解决此类题型有何方法？来看本节内容在二次根式的化简与求值问题中，关键是化简，化简过程中一定要结合已知条件。
解决此类问题需要关注以下三个步骤：步骤一:分析要化简的代数式所需的关键要素，如被开方式能否配方、被开方式的符号能否确定等；步骤二:分析已知条件经过变形以后,是否能提供步骤一中所需的条件；步骤三:利用二次根式的性质进行化简,再代入求值.题型1：利用二次根式性质的化简 (2)题型2：二次根式含参数问题 (5)题型3：二次根式的“配完全平方”的化简 (6)题型4：二次根式的运用...................................................................................................................12题型1：利用二次根式性质的化简1．设x 、y 为实数，且4y =+ ）A ．3B ．3±C ．9D ．9±【解答】解：根据题意可得:5050x x -³ìí-³î，解得：5x =当5x =时， 4.y =3==故选A.【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数是非负数．2．若a ，b 为实数，且4b =，则a b +的值为（ ）A ．13-B ．13C ．5-D ．5【解答】解：由题意，得90a -³，90a -³，解得9a =，当=9a 时，4044b ==+=，∴9413a b +=+=．故选：B ．3．设x 、y 为实数，且2y =+，则x y -的值是（ ）A ．1B ．5C ．2D ．0【解答】解：根据题意得：3030x x -³ìí-³î，解得：3x =，则2y =．∴321x y -=-=．故选：A ．4．已知实数aA ．23a -B ．1-C ．1D ．32a-【解答】解：由图知：12a <<，10a \->，20a -<，原式2[1123]2a a a a a =--=---+--=（）（）．故选：A5．实数a ，b 在数轴上位置如图所示，则化简代数式：a =_____．【解答】解：由数轴可得：0<a ，b a >，<0a b \-a \-()a b a =--+b =，故答案为：b ．6．实数a 、b 的结果是___________．【解答】解：根据图形可得，2112a b -<<-<<，，∴10a +<，10b ->，0a b -<()()()11a b a b -+-+=+-11a b a b =--+-+-2=-．7．如果2y =，那么y x 的值是______．【解答】解：∵2y =，∴150,150x x -³-³，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．8．实数a 、b ______．【解答】解：由数轴可得：a<0，0b >，a b >，∴0a b +<，+()a b a b =---+a b a b =----22a b =--．故答案为：22a b--【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a ，b 的取值范围是解本题的关键．9．已知x ，y 是实数，且4y =，则x y -=______．【解答】解：∵4y =，∴30x -³，30x -³，∴3x =，将3x =代入4y =，得：4y =-，∴()34347x y -=--=+=．故答案为：7．10．已知23x <<，则化简22-=______．【解答】解：∵23x <<，∴20,40,50x x x -<-<->，∴22-=245x x x -+-+-245x x x =--++-7x =-，故答案为：7x -．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，化简绝对值，整式的加减，掌握二次根式的性质是解题的关键．11．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图：(1)用“＜”连接0，a ，b ，c 四个数；(2)化简：①||||a c c b -+-；②a ．【解答】（1）解：由图可知：0c a b <<<．（2）解：①∵0c a b <<<，∴0,0a c c b ->-<，∴()()||||2a c c b a c c b a c c b a b c -+-=---=--+=+-；②∵0c a b <<<，且a b <，∴0,0a b c a +>-<，∴()()a a b c a a b c a b c =+--=++-=+．【点睛】本题考查有理数大小比较、数轴、绝对值，二次根式的化简，合并同类项，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．12．设a ，b ，c 为ABC V 【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC V 的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，0c b a --<，则原式a b c a b c b a c c b a =+++--+-----a b c b c a a c b c b a =++++-++-+--4c =．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键．题型2：二次根式含参数问题1．若a<0 ）A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：Q a<0，=-D ．2．实数a ，b 的值是（ ）A ．ab -B ．abC ．ab ±D ．a b【解答】解：由题意得00b a <>，()a b ab =-=-g ，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断出a ，b 正负．3．已知0xy >，化简二次根式-A B C ．D ．【解答】解：由二次根式有意义的条件可得：20x y³，∵0xy >，∴0x >，0y >，∴y y -=-=-=故选：C.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的(0)(0)a a a a a ³ì==í-<î．4．化简(1a -的结果是（ ）A C ．D 【解答】解：∵(1a -∴10a ->，则1a >，∴10a -<∴(1a -==B ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的除法公式和分母有理化是解题关键．5．已知a b < ）A ．-B ．-C ．D ．【解答】解：由题意，得：30a b -≥，∴30a b £，∵a b <，∴0a £==-A ．【点睛】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．6．若0x <A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：0x <Q ，==-D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7．把 ___．【解答】解：==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．8．ABC V 的三边长分别为1、k 、3，则化简7-3=﹣_____．【解答】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴73-()723k =--()79223k k =---+ 10292k k =--+ 1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．题型3：二次根式的“配完全平方”的化简1小红对式子进行计算得：第11==；第2==根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8；②对第n 个式子进行计算的结果1001；④将第n 个式子记为n a ，令1n n b a =，且229199575n n n n a a b b ++=，则正整数15n =．小红得到的结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C【解答】由题可知，第n ===，故②正确；那么第83=-3===-，故①正确；第100则前100个式子的和为：11-+=-……，故③正确；令1,n n a x b x ==，则229199575n n n n a a b b ++=可化为22119199575x x x x +×+=2219(556x x +=因为n n a b ====所以2219()556x x +=可化为： 229556éù+=êúëû若15n =，则229556éù+¹êúëû，故④错误．综上所述，①②③正确．故选：C【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化．2个问题，并得到一些结论，其中正确的有_________________．①a +a 的变化而变化，当2a =时，此代数式有最小值2；②在2a <的条件下化简a +2；③当a +a 的取值范围是3a £；④=，则字母a 必须满足3a ³．【解答】解：∵a +a =2a a =+-∴代数式有最小值随随a 的变化而变化，当2a <时， 222a a a a +-=+-=，当2a >时，2222a a a +-=->，当2a =时，22a a +-=，∴2a ³，故①和②正确，∵3a a a =+-，当3a £时，333a a a a +-=+-=，当3a <时，3233a a a +-=->，故③正确；∵()230a -³，故无论a =故④错误，故答案为：①②③．3．已知2022a =，则22022a -=__________．【解答】解：∵2022a =有意义，∴20230a -³，即2023a ³，∴2022a a -+=，2022=，∴220232022a -=，∴220222023a -=，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到2023a ³是解题的关键．4．化简：21)-+的结果是___．【解答】解：21)+51=+-62)=-64=-2=故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．5．设a ，b 是整数，方程20x ax b ++=a b +=___________．【解答】3===，∴把3代入方程有((2330a b ++=，整理得(11360a b a ++-+=，∵a ，b 是整数，∴113060a b a ++=ìí+=î，解得67a b =-ìí=î，∴671a b +=-+=．故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a ，b 是整数就可以求出a ，b 的值．64+=，则1a a-的值是________【解答】4=，∴216=，∴1216a a ++=∴114a a +=，∴2221114144192a a a a a a æöæö-=+-×=-=ç÷ç÷èøèø，∴1a a-=±故答案为：±．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知01x <<的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD ，P 为BC 边上的动点．设BP x =，则1PC x =-．则=______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知01x <<(3)【解答】（1AP DP =+的线段和；（2）作点D 关于BC 的对称点D ¢，连接AD ¢，则112DD ¢=+=，则AP PD +的最小值即为AD ¢的长，在Rt ADD ¢△中，由勾股定理得，AD ¢=，（3=，如图，3AB =，1CD =，6BC =，AB BC ^，CD BC ^，设BE x =，AE DE =-，\当点A 、D 、E 三点共线时，AE ED -的最大值为AD ，延长AD ，BC 交于E ，作DH AB ^于H ，可得2AH AB BH AB CD =-=-=，6DH BC ==，由勾股定理得，AD ===．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题．8．阅读下面的材料，并解决问题．1=-；=；¼(1)= ．(2)观察上述规律并猜想：当n = ．（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用（2）的结论计算：①1)´= ；②1)´．【解答】（12=（2==1)=+11)=+1)=-4=；②1)´11)=+´1)1)=´2020=．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、平方差公式、分母有理化是解题的关键．题型4：二次根式的运用1．已知x y ==+ ）A B ．34C 1D【解答】解：∵x y ==∴x y x y +==-==-，===C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．2．若()210x y -+=A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵()210x y -+=，()2100x y -+³³，∴()2100x y -+==，∴102100x y x y -+=ìí++=î，解得43x y =-ìí=-î，===D【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、算术平方根的非负性、算术平方根的求法，根据非负数的性质得到方程组是解题的关键．3．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如223=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令nA=n为非负数），则()()22m nA A A A m n+-==-=-；1nmA A==+．则下列选项正确的有（）个①若a是7A的小数部分，则3a2；②若54544b cA A A A-=-+（其中b c、为有理数），则15bc=-；2=6=④12233420222023111112324320232022A A A A A AA A++++=++++LA．4B．3C．2D．1【解答】解：由题意得7A=∵479<<，∴23<<，∴2a=-，∴32a====+，故①错误；∵54544b cAA A A-=+-+4=+，4=4=+，)()24b c b c-++=+，∵b c、为有理数，∴82b cb c-=ìí+=î，∴53bc=ìí=-î，∴15bc=-，故②正确；2=，∴2=+∴()1022n nA A+-=-，∴1022n n A A ++=-，6=，故③正确；====∴1223342022202311112324320232022A A A A A A A A ++++++++L=-+L =故选B ．【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．4．对于有理数,a b ，定义{}min ,a b 的含义为：当a b <时，{}min ,a b a =．例如：{}min 1,22-=-．已知}min a a =，}minb =a 和b}min a 的值为________．【解答】解：∵}mina a =，}min b ，∴a b <<，∵a b <<，且a 和b 为两个连续正整数，45<<，∴45a b ==，，}min a ===5：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么该三角形的面积为S =ABC V三边长分别为2，3ABC V 的面积是_________．【解答】解：∵ABC V又∵23+>c =，∴S ===3=．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、有理数的乘方、二次根式性质、算术平方根，掌握二次根式的性质是解题的关键．6，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道＝1”而老师却说小明错了，为什么呢？a 成立，必须具备条件0a ³，而1-0．正确的思路是先判断正负，然后开方：1=-，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：(1)＝ ．2．(3)已知a，b ，c．【解答】（10>=；（221=+…1=-；（3）∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴0a b c +->，0b a c --<，()2a b c a c b a b c a c b a =+-++-=+-++-=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的性质化简是解题关键．7．【探究函数1y x x=+的图象与性质】(1)函数1y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；(2)下列四个函数图象中，函数1y x x =+的图象大致是 ；(3)对于函数1y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵0x >，∴1y x x=+22=+2=+______．∵20³，∴y ³____．【拓展说明】【解答】（1）解：∵1y x x =+，∴0x ¹，故答案为：0x ¹；（2）解：∵函数1y x x=+，∴当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，故选：C ．（3）解：∵0x >，∴1y x x=+22=+22=+．∵20³，∴2y ³．故答案为：2，2；（4）解：∵0x >，∴25445x x y x x x-+==+-2241=+--21=-，∵20³，∴1y ³-．【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．8．阅读下面问题：1==-；=；2==-．(1)(2)n 为正整数）；(3)+【解答】（1；（2==（3）解：原式1=L1=-101=-9=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．9．我们将、称为一对“对偶式”，因为22a b =-=-，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，因此二次根式除法可以这样解：==3==+分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，解答下列问题：(1)”、 “<”或“=”填空)；(2)已知x =y =的值；(3)【解答】（1====>，2>23+>>（2）解：22()x y x y x y xy xy x y --=++，∵x y -=3x y +==，1xy ==∴原式=（3=1=-+--+…+-1=-=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．10．知识回顾我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论：I 0a ³．II ．二次根式的性质：①()20a a =³||a =．类比推广根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题．(1)根式在实数范围内有意义的条件是，根式在实数范围内有意义的条件是 ；(2)写出n 3n ³，n 是整数）在实数范围内有意义的条件和性质．【解答】（1）解：2014Q 为偶数，\根式0a ³；2015Q 为奇数，\根式a 为任意实数，故答案为：0a ³；a 为任意实数；（23n ³，n 是整数）有意义的条件：当n 为偶数时，0a ³；当n 为奇数时，a 为任意实数．3n ³，n 是整数）的性质：当n 为偶数时，①()0n a a =³当n 为奇数时，①n a =a =．【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识．11．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足2222a b c +=，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如ABCV2，因为22222+=´，所以ABC V 是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）(2)已知ABC V 的其中两边长分别为1ABC V 为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；(3)如果Rt ABC △是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x y <，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【解答】（1）解：设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a b c ==，∴2222a b c +=，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确，故答案为：正确；（2）解：设另一边长为x ，①22212x +=，解得2x =，符合题意；②22212x +=，解得x =③2221x +=，无解；故答案为：2（3）解：∵x y z <<，∴222x y z <<，∴2222y z x +>，2222x y z +<，∴2222x z y +=，∵222x y z +=，∴2223y z =，∴2213x z =，∴z =，y =，∴周长为：(1x ，面积为：212xy x =．【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．12．老师就式子39´+-W d ，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若W 代表2(2)-，d 代表3(3)-，计算该式的值．(2)小敏的问题：若W d a 的值．(3)小捷的问题：若394´+-<W d ，且W 和d 所代表的数是互为相反数，直接写出W 所代表的数的取值范围．【解答】（1）解：由题意，得()()233293´-+--34927=´++12927=+-48=；（2）解：由题意得9+-∵计算的结果是有理数，∴=∴45a =；（3）解：设口所代表的有理数为y ，则〇所代表的有理数为y -，则39()4y y +--<，解得54y <-，\口所代表的数的取值范围为54<-□．13==，．请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程，请写出 = ；(2)请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；(3)利用上面的解法，请化简：......====．（2）解：观察前面例子的过程和结果得：=（3............=+......=1=-+110=-+9=．14．已知实数x 、y 满足8y =．(1)求x 与y 的值；(2)符号*表示一种新的运算，规定a b *x y *的值．【解答】（1）解：Q 实数x 、y 满足8y =+，5050x x -³ì\í-³î5x \=，8y \=；（2）解：根据新的运算，可得：x y *=====【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．15．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵a b =-， ∴a b -=．例如：1=Q ，=这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：(1))...1++´(2)【解答】（1）)...1+´1...1=+´）))11=´20231=-2022===(()543=++=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的分母有理化是解题的关键．16．课本再现（1）方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为1x ，2x 满足：①12b x x a+=-；②12c x x a =．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明；知识应用（2）已知一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，求22【解答】解：（1）∵方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =且方程的两个根为1x ，2x ，∴1b x a=-，12x x =()22244b b ac a --=22244b b ac a -+=244aca =c a=；（2）∵元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，∴3122m n mn +==-，，∴()22313224m n mn mn m n æö+=+=´-=-ç÷èø．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，公式法解一元二次方程，二次根式的乘法和加法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【解答】解：第1个数：当1n =时，n n ùú-úû==1=．第2个数：当2n =时，n n ùú-úû22ùú=-ú=1=1=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．。
4 二次根式
二次根式目录第一学二次根式的定义与性质 (2)第二学二次根式的乘除运算 (7)第三学二次根式的加减及混合运算 (12)第四学二次根式解题一通百通 (15)第五学二次根式复习总结 (20)第六学二次根式超越梦想 (23)知识结构第一学 二次根式的定义与性质1．准确理解二次根式定义与性质．2．掌握用二次根式定义与性质解决问题的方法． 3．能够灵活运用二次根式的定义和性质解决问题．1．二次根式的定义：（1）式子a （0≥a ）叫做二次根式． （2）由定义知0≥a ，即a 和a 都是非负数．2．二次根式的性质： （1）()a a =2（0≥a ）．（2）a a =2．理解知识的来龙去脉，联系区分，使用方法，延伸拓展， 进而彻底掌握知识，做到融会贯通．学通A ：二次根式定义融会贯通 （一）要点理解1．根据二次根式的定义，自己写出两个二次根式．2．二次根式有意义的前提条件是什么？（二）运用举例例1．下列说法正确的有_____________________（1）1-x （1≥x ）是二次根式．（2）12--a 不是二次根式．（3）若011=-+-x x ，则1=x ． （4）若a 是二次根式，则0≥a 且0≥a ．例2．x 取何值时，根式521--x ：（1）无意义；（2）有意义．深入总结：1.二次根式a 中0≥a 是二次根式存在的前提；2. 0≥a 时二次根式0≥a 成立。
a 为非负数，若a +b =0，则a=b=0融会贯通测试1．下列根式是二次根式的有________________．（1）4 （2）x -)(0≤x （3）32 （4）1-x )(1<x （5）442++x x2．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义： （1）x 23-； （2）x x -++63； （3）x x -+-44．3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义： （1）32--x x ； （2）3121-+x ．4．（1）已知：012=-++y x ，则4)(xy =______．（2）1---=+b a b a ，则2000)(b a +=_______．学通B ：二次根式性质融会贯通 （一）要点理解1．二次根式的性质中，为什么a a =2，去掉绝对值可以吗？2．由二次根式性质可知：()a a a a ==⋅2．3．二次根式性质的作用：二次根式的性质是解决二次根式运算、化简的前提和依据．（二）运用举例例1．已知2<x ，化简：x x 36422-+-)(．例2．比较大小：72+与63+．深入总结：(1)类比分式方程，去掉分母化为整式是化简思维，同理去掉根号是一种化简思维。
思维特训(一) 含有二次根式的方程(或不等式)的解法含答案
x> .
7．解：
解不等式①，得x>－1－ .
解不等式②，得x<1.
所以不等式组的解集为－1－ <x<1，
因此不等式组的整数解为－2，－1，0.
8．解：(1)( ＋ )( － )＝x2＋42－(x2＋10)＝32.
∵ ＋ ＝16，
∴ － ＝2，
∴ ＝9， ＝7，
解得x＝± .
经检验，x＝± 是原方程的解．
典题讲评与答案详析
1．解：2x＝4 －2x－4，4x＝4 －4，x＝ －1.
2．解：x＝ ＝ ＝ ＝2－ ，
＝ ＝ ＝3＋2 ，
∴原方程为(2－ )a＋2 ＝3＋2 ，
∴a＝ ＝3(2＋ )＝6＋3 .
3．解：
①× ＋②× ，得
(3－ )x＋( ＋2)x＝5 ，
5x＝5 ，∴x＝ .
把x＝ 代入②，得3＋ － y＝3，解得y＝ .∴方程组的为4．解：解方程组 得
所以这个等腰三角形的三条边长分别为 ， ， 或 ， ， ，
所以这个等腰三角形的周长为 ＋ ＋ ＝ ＋ 或 ＋ ＋ ＝ ＋ .
5．解： x－ ≥ x＋ ，移项，得－2 ≥( － )x, ≥x，即x≤－3－ .
6．解：3－2 x<2＋6 x，
－2 x－6 x<2－3，
2．已知x＝ 是一元一次方程ax＋ ＝ 的解，求a的值．
类型二 二元一次方程组
3．解方程组：
4．已知等腰三角形两边的长分别为方程组
的两个根，求这个等腰三角形的周长．
类型三 一元一次不等式
5．解不等式： (x－ )≥ (x＋1)．
6．解不等式： (3－ x)<1＋ x.
类型四 一元一次不等式组
二次根式解法
二次根式解法二次根式是指含有平方根的代数式，通常可以表示为$a\sqrt{b}$的形式，其中$a$和$b$都是实数且$b>0$。
二次根式解法是指通过对二次根式进行化简、加减乘除等运算，得到简化形式的过程。
下面将通过几个例子来介绍二次根式的解法。
首先考虑如何化简一个二次根式。
例如，对于二次根式$\sqrt{8}$，可以将其化简为$\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
这里利用了平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$。
同样地，对于二次根式$\sqrt{18}$，可以化简为$\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
这里利用了平方根的性质$\sqrt{a^2}=a$。
通过不断利用这些性质，我们可以将复杂的二次根式化简为简单的形式。
其次考虑如何对二次根式进行加减运算。
对于相同的二次根式，可以直接相加或相减。
例如，$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$。
对于不同的二次根式，需要先进行化简，然后再进行运算。
例如，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$可以化简为$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$，但无法再进行简化。
注意在进行加减运算时，只能对相同的根式进行运算，不能将不同的根式进行合并。
再次考虑如何对二次根式进行乘除运算。
对于乘法，可以直接将二次根式相乘。
例如，$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}$。
注意乘法运算不仅仅是将两个根式相乘，还要考虑根号下的数的乘积。
对于除法，可以先将除数和被除数都进行化简，然后再进行运算。
例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
注意在进行除法运算时，要注意分母不能为0。
最后考虑如何解二次根式的方程。
对于形如$a\sqrt{b}=c$的方程，可以通过将等式两边平方来消去根号。
例如，解方程$2\sqrt{3}=x$，可以将等式两边平方得到$4\cdot3=x^2$，即$12=x^2$，再开方得到$x=\sqrt{12}$。
二次根式与二次方程的解法
二次根式与二次方程的解法在数学中，二次根式与二次方程是常见的概念和问题。
本文将介绍二次根式以及二次方程的解法，并通过例题展示其应用。
一、二次根式二次根式指的是形如sqrt(a)的表达式，其中a为非负实数。
对于二次根式，我们常常需要进行化简或者求值。
1. 化简二次根式当二次根式中含有多个根号时，我们可以通过合并根号下的项来进行化简。
例题1：化简根号12 + 根号27 - 根号75。
解析：首先，我们将12、27和75分解质因数，得到12 = 2^2 × 3，27 = 3^3，75 = 3 × 5^2。
然后，我们可以合并根号下的项，得到：根号12 + 根号27 - 根号75 = 2根号3 + 3根号3 - 5根号3 = 0。
因此，化简后的结果为0。
2. 求二次根式的值对于给定的二次根式，我们可以直接计算其值。
例题2：计算根号16 + 2根号9 - 3根号1的值。
解析：根号16 + 2根号9 - 3根号1 = 4 + 2 × 3 - 3 × 1 = 10。
因此，该二次根式的值为10。
二、二次方程的解法二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知实数且a≠0。
我们可以通过以下两种方法来解二次方程：1. 因式分解法当二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方法求解。
例题3：解方程x^2 + 3x + 2 = 0。
解析：我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x + 1) = 0。
然后，我们可以令每个因式等于零，得到x + 2 = 0和x + 1 = 0。
解方程得到x = -2和x = -1。
因此，方程的解为x = -2和x = -1。
2. 二次公式法当二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用二次公式求解。
例题4：解方程2x^2 + 5x + 3 = 0。
解析：根据二次公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以计算出方程的解。
二次根式方程的解法与应用
二次根式方程的解法与应用二次根式方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，同时a≠0。
二次根式方程在数学中具有重要的地位，它们的解法和应用涉及到许多领域，如代数、几何和物理等。
本文将介绍二次根式方程的解法和一些应用情况。
一、二次根式方程的解法二次根式方程最常见的解法是配方法、求根公式以及因式分解法。
1. 配方法配方法是将二次根式方程转化为完全平方形式来求解。
具体步骤如下：(1) 将方程中的x^2项进行因式分解，并将b项一分为二，即将bx拆分为px和qx，使得pq=b。
(2) 接下来，在方程两侧加上一个常数k(k=（q/2）^2)。
(3) 将方程两侧化简，并以完全平方形式表示，此时即可解得方程。
通过配方法，我们可以将二次根式方程转化为完全平方形式，从而求得解的数值。
2. 求根公式求根公式是指通过使用根的求解公式来得到方程的解。
对于一般的二次根式方程ax^2+bx+c=0，根的求解公式如下：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个相反的解，b^2-4ac被称为判别式。
判别式的正负与二次根式方程解的性质有关，判别式大于0时，方程有两个不等实根；判别式等于0时，方程有两个相等实根；判别式小于0时，方程无实根，但存在两个共轭复根。
3. 因式分解法对于某些特殊的二次根式方程，可以使用因式分解法进行求解。
这种方法基于二次根式方程的因式分解性质，将方程转化为两个一次根式因子相乘的形式，从而得到解的表达式。
二、二次根式方程的应用二次根式方程的应用广泛，涉及到数学、物理和工程等领域。
以下列举几个常见的应用情况。
1. 抛物线的研究抛物线是一种二次曲线，其方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
通过研究二次根式方程，可以分析抛物线的开口方向、顶点坐标以及轴对称性等特征。
2. 物体自由落体的模拟在物理学中，自由落体运动是一种常见的运动形式。
通过建立二次根式方程模型，可以模拟物体在自由落体过程中的运动状态。
根式方程解法
根式方程解法根式方程是指方程中含有根号的方程，方程中可能涉及一次、二次及更高次的根式。
根式方程经常出现于代数学中，它有许多解法，本文将介绍根式方程的解法。
1. 一次根式方程一次根式方程是最简单的根式方程，它的形式为√x + a = b，其中a、b为已知实数。
解这个方程时，需要将其转换为 x = (b -a)²，并检验所求得的解是否合法。
2. 二次根式方程二次根式方程的一般形式为√ax² + bx + c + d = 0，其中a、b、c、d 为已知实数，且a≠0。
解这个方程需要经过以下几个步骤：①将根式移项，得到√ax² + b x + c = -d②将方程两边平方，得到ax² + b x + c = d²③将d² 移至一边，得到ax² + b x + c - d² = 0④代入一般形式的二次方程求解公式，得到解x⑤检验所求得的解是否合法3. 多项式根式方程多项式根式方程即含有多个根式的方程，其解法难度相对较大，需要采用分离变量或消元的方法解决。
其中，分离变量法是将根式方程中含根的项移到一边，不含根的项移到另一边，然后多次进行平方，直至得到可解的方程求出解；消元法是将根式方程的根化为一个变量，然后通过消元的方式得到几个方程组成的新方程组，并通过代数运算求出解。
在解决根式方程的过程中，需要注意以下几点：1. 方程中可能存在解非实数的情况，需要进行检验；2. 二次根式方程可以通过配方法化简成一般的二次方程，并应用一般二次方程的求解公式求解；3. 多项式根式方程的求解需要理解并熟练掌握分离变量和消元的方法，并进行合理判断。
以上就是根式方程解法的分步骤阐述。
当然，如何选择合适的解法来解决根式方程还需要在实践中不断摸索和总结，才能得到更加完善的解法。
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二次根式方程的解法
二次根式方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解二次根式方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等，下面将一一介绍这些解法。
1. 因式分解法
当二次根式方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解法求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令括号内的两个因式分别等于0，即可得到方程的解x = 2和x = 3。
2. 配方法
当二次根式方程无法直接因式分解时，可以尝试使用配方法。
配方法的基本思想是通过将方程中的一项拆分为两个相同的项的和或差，从而使方程能够进行因式分解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以将其配方为(x + 2)(x + 4) = 0，然后令括号内的两个因式分别等于0，即可得到方程的解x = -2和x = -4。
3. 求根公式
求根公式是解二次根式方程最常用的方法之一，它可以直接求得方程的解。
二次根式方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中±表示两个解，√表示平方根。
通过代入方程的系数a、b、c，即可计算出方程的解。
需要注意的是，方程的解可能是实数
或者复数，取决于判别式D = b^2 - 4ac的正负情况：如果D > 0，方程有两个不相等的实数解；如果D = 0，方程有两个相等的实数解；如果D < 0，方程有两个共轭复数解。
除了上述常用的解法，还有其他求解二次根式方程的方法，例如图像法、完全平方公式等。
这些方法在特定情况下可能更加简便有效。
但不管采用何种方法，解二次根式方程的关键是要找到方程的解，即找到使方程成立的x的值。
为了更好地理解和掌握解二次根式方程的方法，我们需要不断进行练习和实践。
在解题过程中，可以利用一些技巧，如观察方程的特征、化简方程等，以便更快地找到方程的解。
总结起来，解二次根式方程的方法主要包括因式分解法、配方法和求根公式。
根据方程的具体形式和特点，选择适当的方法进行求解。
通过不断练习和实践，我们可以熟练地解决各种二次根式方程，并在实际问题中灵活运用。