一元二次方程根的差别式
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式
9 8
时，方程有两个相
（2）当△=8m+9＞0，即m＞ 等的实根；
（3）当△=8m+9＜0，即m＜ -
9 8 9 8
时，方程有两个不
时，方程没有实根。
尝试成功：
3、证明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有实数根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证： 方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
典型例题解析 例6.一元二次方程 m 1x 2mx m 2 0
2
有两个实数根,求m的取值范围.
解 2m 4m 1m 2 2 2 4m 4m 4m 8
2
变
4m 8 0 m 2 又 m 1 0即m 1
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax bx c 0 a 0 的根的判别式，
2
用符号“ ”表示，即 b 4ac
2
记住了， 别搞错!
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
知识运用：
例3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解： (2k 1) 2 4k (k 2) 12k 1
∵方程有两个不相等的实数根
0, 即 12k 1 0 1 k 12
又k 0
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
一元二次方程根的判别式-
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀 立即实行盐铁专卖 东川王在逃亡中抑郁死去 本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治） 便决心帮助素利击败轲比能 《历代兵制》： “自纳司马朗之言 文学著作 曾接受曹丕的“吴王”封爵 公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期 公元280年（天纪四年）5月1日 从另外一条路撤走了 基本沿袭汉制 保
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、重难点解析配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式02=++c bx ax （0≠a ）1．根的判别式(1) 当Δ＝ac b 42->0时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。
例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。
二、典型题1．若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．18a >- B ．18a ≥-C ．18a >-且1a ≠D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。
一元二次方程的求根公式是啥
一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。
首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。
如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。
如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。
接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。
1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。
例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。
在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。
例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。
在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。
例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
一元二次方程根的差别式
典型例题一例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则.36)4( 208)25(4.440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根，01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-<m当10-<m 时，.64-<+m36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-<m ，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.典型例题二例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况. （1）0)1(422=-+-k kx x ； （2）)0(02≠=+a bx ax ； （3）)0(02≠=+a c ax .分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a Θ)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b)2(4)44(416164222≥-=+-=+-=k k k k k∴方程有两个实数根. （2）0≠a Θ，∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.∴2204b a b =⋅-=∆.∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，02≥=∆b 恒成立.∴方程有两个实数根. （3）0≠a Θ，∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b .ac a 40402-=⋅-=∆，∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号. 当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.典型例题三例 已知一元二次方程02)(2)2(2=-+-+-ab a x a b x b ab 有两个相等的实根，求ba 11+的值. 分析：由已知方程有两个相等的实数根，得0=∆，从而得a 、b 间的关系，然后求ba 11+的值.解 ∵已知一元二次方程有两个相等的实根，∴0=∆，即.0)2)(2(4)(42=----ab a b ab a b0)242(222222=+---+-∴ab ab b a b a a ab b .0)22()2(222222=++-++b a ab b a b ab a .0)(2)(222=++-+b a b a ab b a ..0=-+∴ab b a∵要求b a 11+的值，说明a 1和b 1都有意义，0≠∴a 且0≠b ，0,0≠≠ab b .上式中两边都除以ab ，得111=+b a . 故ba 11+的值是1. 说明：由0=-+ab b a 得到111=+ba 这一步的前提条件是0≠ab .而0≠ab 不是题中明确给出的，这时就必须深入挖掘题目的隐含条件，为解题过程的顺利进行创造条件.本题的隐含条件有一元二次方程的二次项系数02≠-b ab ，分式ba 11+中的分母0≠a 且0≠b .典型例题四例 若a 是非负整数，且关于x 的一元二次方程01)1(2)1(22=--+-x a x a 有两个实数根，求a 的值.分析：本题对a 给出了三个限制条件，其中有两个明显条件，即a 是非负整数和0≥∆中对a 的限制，另一个条件是二次项系数012≠-a .解题时，可先由0≥∆和012≠-a 联立，求出a 的取值范围，然后再根据a 是非负整数，确定a 的取值.解：∵原一元二次方程有两个实数根，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅---=∆≠-.0)1()1(4)1(4,01222a a a解之，得⎩⎨⎧≤±≠.1,1a a1<∴a 且1-≠a .又∵a 是非负整数， ∴a 的值只能等于0.说明：对于此类问题要特别注意二次项系数012≠-a 的隐含条件，切勿遗漏.典型例题五例 设a 、b 、c 是互不相等的非零实数，试证三个方程022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能同时有两个相等的实数根.分析：运用根的判别式，结合反证法证之.证明 假设三个方程同时都有两个相等的实数根，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-.044,044,044222bc a ab c ac b ∴⎪⎩⎪⎨⎧===）（）（）（3 .2 ,1 ,222bc a ab c ac b因为a 、b 、c 是非零实数，由（1）、（2）得c b c b bcc b =⇒=⇒=3322. 同理，由（1）、(3)得a b a b ba ab =⇒=⇒=3322. c b a ==∴，这与题设a 、b 、c 是互不相等的非零实数矛盾.故这三个方程不可能同时都有两个相等的实数根.说明：对于“不可能……”一类问题可采用反证法证明.典型例题六例 已知关于x 的一元二次方程)0(056252≠=+-p q px x 有两个相等的实数根.求证：（1）方程02=++q px x 有两个不相等的实数根；（2）设方程02=++q px x 的两个实数根为21,x x ，若21x x <，则3221=x x . 分析：运用根的判别式证之.证明 ∵方程056252=+-q px x 有两个相等的实数根，.0554)62(21=⨯⨯--=∆∴q p整理，得2256p q =. （1）方程02=++q px x 的判别式2222225112644p p p q p =⨯-=-=∆. .0251,0,0222>=∆>∴≠p p p Θ ∴方程02=++q px x 有两个不相等的实数根. （2）解方程02=++q px x ，得.25122512p p p p x ±-=±-=.325352.53,52,212121=--=∴-=-=∴<p p x x p x p x x x Θ 说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.典型例题七例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）23534x x =+； （2）0132=+-x x ；（3）034)3(2=+-x x .分析 不解方程，要想判别方程的根的情况，只要把ac b 42-求出即可判别. 解 （1）原方程可化为043352=--x x ∵ 4,3,35-=-==c b a ，∴0)4(354)3(422>-⨯--=-ac b ，∴原方程有两个不相等的实数根； （2）∵1,1,3=-==c b a ，∴011134)1(422<-=⨯⨯--=-ac b ， ∴原方程没有实数根； （3）原方程可化为03322=++x x∵ 3,32,1===c b a ，∴0121234)32(422=-=⨯-=-ac b ，∴原方程有两个相等的实数根.说明：用根的判别式来判别根的情况，一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式. 例2 （1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，判别方程0)(222222=+-++c x a c b x b 根的情况；（2）若方程0122=+--m x x 没有实数根，判别方程0)12()2(2=+++-m x m x 根的情况；分析 两个方程的系数都含有字母，但字母人为地给出一定的条件，因此，是在特定的条件下，对“∆”的表达式进行分析，从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“∆”表达式之间的沟通.解 （1）2222224)(c b a c b --+=∆))()()((])][()[()2)(2(2222222222a c b a c b a c b a c b a c b a c b bc a c b bc a c b --+--+++=---+=--++-+=∵ a 、b 、c 为三角形的三边∴ 0,0,0,0<-->+->-+>++a c b a c b a c b a c b ∴0<∆∴原方程无实数根.（2） 方程0122=+--m x x 没有实数根的条件：0<∆，即0)1(4)2(2<+---m ，所以，0<m .对于方程0)12()2(2=+++-m x m x ，)4(4)12(4)]2([22-=-=+-+-=∆m m m m m m∵0<m ，∴04<-m ，∴0>∆∴方程0)12()2(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.说明：求解这类问题，首先要由给出的条件，确定字母的取值范围或字母之间的关系，然后在这样的特定条件下，确定“∆”的符号，以判定根的情况.典型例题八例 求证：当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.分析 要想证明方程有两个不相等的实数根，须先写出ac b 42-. 证明：在ac b 42-=∆中，当当a 和c 的符号相反时，有 04>-ac ， 又由于b 为任何实数时，总有02≥b ， 于是有 042>-ac b .所以，当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.说明：证明给出了一个命题，不必计算ac b 42-的值，只要看一看a 和c 的符号是否相反即可.一般情况下，a 为正值，只要c 是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.典型例题九例1 若关于x 的方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 分析 因为方程有两个不相等的实数根，所以方程是一元二次方程，因此，0≠k . 解 方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>--=-=∆≠036)6(4022k ac b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧<≠1k k所以，k 的取值范围是1<k ，但0≠k .说明：解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集.例2 （1）m 取何值时，关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根？（2）若关于x 的一元二次方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根，求k的最大整数值.解 （1） 关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根的条件是[]⎩⎨⎧≥---=∆≠0)3(4)1(202m m m m 解方程组，得：1-≥m 0≠m 且 .所以，当1-≥m 0≠m 且时，方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根. （2）方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>+---=∆≠-0)3)(1(4)2(012k k k k 解方程组，得：⎪⎩⎪⎨⎧<≠231k k∴123≠<k k 且 ∴k 的最大整数值为0.说明：一定不要忽略题目的隐含条件. 第（1）小题方程有两个实数根，一定为一元二次方程，所以一定有0≠m .第（2）小题说方程是一元二次方程，一定有二次项系数不为零.选择题1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）；A ．05522=+-x x B ．035422=++x x C ．0501522=--x x D ．022322=--x x2. 方程06752=+-x x 根的情况是（）A ．有二正实根B ．有二负实根C ．有二等根D ．无实根 3. 下列关于x 的一元二次方程中没有实数根的是（） A ．027122=+-x x ；B ．02322=+-x xC ．013422=-+x x ；D ．0322=--k x x （k 为任意实数）4. 若关于x 的方程06)4(22=+--x kx x 没有实数根，则k 的最小整数值是（ ）； A ．－1 B ．1 C ．2 D ．不存在 5. 下列命题中，正确的是（ ）；A ．方程x x =25只有一个实根 B ．方程082=-x 有两个相等的实数根 C ．方程02322=+-x x 没有实数根 D ．32>k ，方程032)1(2=-+-x x k 有两个不相等的实数根 6.一元二次方程0122=-++a ax x 的根的情况是（ ）. A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根7. 关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有实数根，则k 的取值范围（） A ．161->k B ．161->k 且0≠k C ．161-≥k D ．161-≥k 且0≠k 8.若代数式4)1(2)12(2+++-x m x m 是一个关于x 的完全平方式，则（） A ．1=m 或6B ．1=m 或5C ．5=m 或6D ．不能确定9. 关于x 的方程21)2(3x mx x =+-无实根，那么k 的最小整数值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）0122=+-x x （）（2）01262=-+x x （）（3）4)43(32-=-x x （）（4）02232=+-x x （）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程无实数根11．当5-=k 时，方程0122=+-x kx 和4)1(2=+-x k x 的根的情况是（）.A ．分别为无实根和有实根B ．分别为有两个不相等的实根和无实根C ．分别为有两个不相等的实根和有两个相等的实根D ．都有两个不相等实根12．若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则满足条件的k 的非负整数值是（）. A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3.答案：1. A2. D3. B4. C ；5. C ；6. B.7. D8. B9. B. 10．（1）B （2）A （3）B （4）C .11．D 12．A.填空题1．一元二次方程212=-x x 的根的判别式的值是 ，它的根的情况是 ； 2．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 ；3．关于x 的方程0)12(22=++-m x m x 的根的判别式的值是9，则____=m ； 4. 若方程01)1(42=++-x k x 有两个相等的实数根，则k =_________. 5．关于x 的方程0122=+-x mx 有两个实数根，则____=m ； 6. 方程0222=--x kx 没有实数根，则k 的取值范围是___________ 7. 若方程032=++m x mx 的根的判别式是18，则m =___________.8．关于x 的方程0)1(22=+--m x m x 的根判别式____=∆，当____=m 时，此方程有两个相等的实数根.9． 若02=-+b a ，且关于x 的一元二次方程022=-+bx ax 有两个相等的实根，则此方程的解为__________10. 当m ___________时，关于x 的方程01)1(2)3(22=+---x m x m 有两不等实根. 答案：1．3，有两个不相等的实数根；2. 没有实数根；3. 2或－1；4. 5-或3 5. 1≤m ； 6. 21-<k 7. 23±=m 8. 31,1232+--m m 或－1. 9. 121==x x 10. 2<m 且3±=m .解答题1. 已知关于x 的方程01)2(42=-++-k x k x 有两个相等的实数根，求k 的值，并求此时方程的根.2. m 为何值时，一元二次方程01)1(2)1(22=+-+-x m x m .①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？3.证明关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 没有实数根.4. 如果方程022=++m x x 有两个不相等的实数根，证明方程023)13(2322=-+--m x m x 也有两个不相等的实数根.5．证明（1）求证：方程2)2)(1(k x x =--有两个不相等的实数根。
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典型例题一
例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.
分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.
证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程
0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则
.
36)4( 208)25(4.
440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m
∵方程922+=+m x x 无实数根，
01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-<m
当10-<m 时，.64-<+m
36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .
故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.
说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-<m ，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.
典型例题二
例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.
（1）0)1(422=-+-k kx x ；
（2）)0(02≠=+a bx ax
； （3）)0(02≠=+a c ax .
分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.
解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a
)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b
)2(4)44(416
16422
2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根.
（2）0≠a ，
∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.
∴2204b a b =⋅-=∆.
∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，
02≥=∆b 恒成立.
∴方程有两个实数根.
（3）0≠a ，
∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=⋅-=∆，
∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号.
当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；
当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根；
当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.
说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.。