等式性质与不等式性质【单元教学设计】-高中数学新教材必修第一册

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高中一年级上学期数学《等式性质和不等式的性质(第2课时)》教学设计

教学设计
问题1：类比等式的基本性质，试猜想不等式的基本性质并证明.
【设计意图】：通过复习回忆初中所学等式的基本性质，在这些性质的基础上进行类比、引深、推导出不等式的性质，方便同学们进行知识的迁移，从而更好地理解不等式的相关性质.
（一）新知探究
常用不等式的基本性质：
性质1：a b b a >⇔<；对称性
性质2：,a b b c a c >>⇔>；传递性
证明：()()0000a b a b a b b c a c a c
b c b c >⇒->⎫⇒-+->⇒->⇒>⎬>⇒->⎭
性质3：a b a c b c >⇒+>+；加法法则1
由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-
不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
性质4：如果a b >且0c >，那么ac bc >；乘法法则1
如果a b >且0c <，那么ac bc <
即：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同
乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.
性质5：如果a b >且c d >，那么a c b d +>+. 加法法则2。

等式性质与不等式性质教学设计(2021)-人教A版高中数学必修第一册

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法{a−b>0⟺a>ba−b=0⟺a=ba−b<0⟺a<b作商法{ab>1⟺a>bab=1⟺a=bab<1⟺a⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2（4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb 【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小(2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

高中数学必修一 (教案)等式性质与不等式性质

【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票。

每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。

从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。

老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．5 3．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。

师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）探索新知探究一用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。

试写出满足上述所有不等关系的不等式。

教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。

2.1等式性质与不等式性质(教学设计)(2课时)高一数学教学一课到位(人教A版2019)

2.1《等式性质与不等式性质》教学设计（日期：2024年9月4课时第3周）一.教学目标1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.二.教学过程(一)情景问题1（导学）1.情景在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示.2.问题各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质.（二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学）1.不等式的定义是什么？用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.例如2x−5 >−3 , 6 < 9 等.2.不等式的解集是什么？能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x −5>−3, 解得 x >1故原不等式的解集为 { x ∣x ＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示：3.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速 40 km ∕ℎ；解：设该路段行驶的汽车速度为 v km ∕ℎ，则“限速40km ∕ℎ ”可用不等式表示为0<v ≤40注：高中不等式的形式可能是三边及其以上（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；解：由题意可将题中不等关系表示为{f ≥2.5%p ≥2.3%注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解：由题意可将题中不等关系表示为{b +c >a b −c <a注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：设 C 是直线 AB 外任意一点，过点 C 作 CD ⊥AB , 垂足为 D ,E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点，则 CD < CE【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性.（三）探究新知2——实数的大小比较1.利用数轴法比较两数的大小(1)实数与数轴上的点是一一对应的．点 A 表示实数3，点 B 表示实数－2 ,点 A在点 B 右边，那么 3 ＞−2 ．(2)思考：当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小．(3)数轴法比较大小由思考及探究可得如下结论：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.2.利用作差法比较两个实数的大小（1）探究1：比较实数3与2的大小；解法一：∵3 −（− 2）=3+2=5＞0∴3＞−2解法二：∵（− 2）− 3=−5＜0∴− 2＜3（2）探究2：比较实数3 与 3 的大小解：∵ 3 −3=0∴ 3=3（3）利用作差法比较两个实数的大小作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b较大小的方法称为作差比较法.3.利用作商法比较两个正数的大小（1）探究3：比较正数 3 与 5 的大小解法一：∵ 35 < 1∴ 3＜5解法二：∵ 53 > 1 ∴ 5＞3（2）探究4：比较正数 3 与 3 的大小解：∵ 33 = 1∴3 = 3（3）利用作商法比较两个正数的大小作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a 1 ⟺ a >b a b <1 ⟺ a <b a3.小结（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养. （三）小组合作、讨论交流1(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1 比较 57 与 23 的大小.提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小例2 比较(x +2)(x +3)与(x +1)(x +4)的大小．提示：利用作差法比较大小【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1:解法一（作差法）：∵57−23=1521−1421=121>0∴57>23解法二（作商法）：∵57>0，23> 0而57÷23=57×32=1514>1∴57>23例2:解（作差法）：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=（x2+5x+6)−(x2+5x+4)=x2+5x+6−x2−5= 2＞0∴ (x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.（五）提升演练1（迁移变通、检测实践）例3.设a、b均为实数，试比较a2+b2−ab与ab的大小.解：∵(a2+b2−ab)−ab=a2+b2−ab−ab=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0∴(a2+b2−ab)≥ab(当且仅当a=b时等号成立)例4已知 a >b , 证明 a>a+b2> b .解（作差法）：∵已知 a >b∴ a −b >0又∵ a−a+b2=2a2−a+b2=2a−(a+b)2=a−b2> 0∴a>a+b2又∵a+b2−b=a+b2− 2b2=(a+b)−2b2=a−b2> 0∴a+b2>b综上所述， a>a+b2> b成立【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.（六）探究新知2——不等式的性质（互学）1.性质1：加法法则（可加性）（1）情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考：如果a＞b，那么a−c＞b−c成立吗？（3）（3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：如果a > b , 那么 a±c > b±c简称为：“加减同数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a > b, 那么a+c > b+c证明：∵已知a > b,∴a − b > 0又∵（a+c）− (b+c)= a + c − b − c= a − b>0∴a + c > b + c成立你们还能求证：如果a > b, 那么 a−c > b−c 成立吗？2.性质2：乘法法则（可乘性）（1）情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c 成立吗？（3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.简称为：“乘除正数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果 a > b ,c ＞0,那么 ac > bc .证明：∵ 已知 a > b ,c ＞0∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) >0∴ ac > bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c ”吗？（6）探究4探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;（8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.简称为：“乘除负数要变号”（9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果 a > b ,c ＜0,那么 ac ＜ bc证明：∵ 已知 a > b ,c ＜0，∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) ＜0∴ ac ＜ bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c <0, 那么 a c b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <bc . 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；从左向右：移负为正证明：∵ 已知 a > b ,b ＞c ，∴ a − b > 0,b − c ＞0又∵a − c = a − b + b − c = ( a − b ) + ( b − c ) ＞0∴ a ＞ c 成立4. 性质4（对称性）(1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a(2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b5.性质5（可移性）（1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质5 （可移性）（3）思考：你们能利用可加性证明可移性“ a +b > c ⇔ a > c − b ”成立吗？6.性质6（同向可加性）（1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？即： a > b ⟺ b < aa +b >c ⇔ a > c − b ；从左向右：移正为负如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a > b ,c＞d，∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性）∴a+c ＞b+d成立（传递性）（4）思考：如果 a＞b ,c＞d,是否有“a−c＞b−d”成立呢？解：不成立，反例为7.性质7（同向同正可乘性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（3）证明∵ a >b ,c >0,∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号）又∵c>d,b>0 ,∴bc > bd（可乘性：乘除正数不变号）故ac > bd（传递性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质8（同向同正可乘方性）9.性质9（同正可开方性）（1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质9（同正可开方性）10.性质10（同号可倒性）（1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ;如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（3）性质10（同号可倒性）11.小结：不等式的10条性质如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ; （1）性质1（可加性）如果 a > b , 那么 a ±c > b ±c ；（2）性质2（可乘性） ① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a +b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果 a ＞b ,c ＞d ,那么 a +c ＞b +d ；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ; （9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ;【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养.（七）小组合作、讨论交流2(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例4.已知 a > b > 0 ,c < 0, 求证ca >cb.【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质.（八）成果展示2(迁移变通、检测实践)证明：∵已知a > b > 0∴1a ＜1b（同号可倒性）又∵已知 c < 0∴ca >cb（可乘性：乘除负数要变号）【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性质，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.四、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.五、家庭作业1.记背今天所学知识点；2.完成导学案达标检测题目.。

新人教B版新教材学高中数学必修第一册第二章等式与不等式不等式及其性质教案

考点学习目标核心素养数（式）大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理问题导学预习教材P５8—P6３的内容，思考以下问题：１．如何比较两个实数的大小？２．不等式的性质有哪些？３．不等式的性质有哪些推论？１．比较实数a，b的大小（１）文字叙述如果a—b是正数，那么a>b；如果a—b等于零，那么a＝b；如果a—b是负数，那么a<b，反过来也对．（２）符号表示a—b>0⇔a>b；a—b＝0⇔a＝b；a—b<0⇔a<b.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p 与q可以互推．２．不等式的性质性质１：如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质２：如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质３：如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质４：如果a>b，b>c，那么a>c.（传递性）性质５：a＞b b＜a.推论１：如果a＋b>c，则a>c—b.（不等式的移项法则）推论２：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.（同向可加性）推论３：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推论４：如果a>b>0，那么a n>b n（n∈N，n>１）．推论５：如果a>b>0，那么错误!>错误!.■名师点拨（１）推论１表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．（２）推论２表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．（３）推论３表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）实数a不大于—２，用不等式表示为a≥—２．（）（２）不等式x≥２的含义是指x不小于２．（）（３）若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．（）（４）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）×设a，b，c∈R，且a>b，则（）Ａ．ac>bcＢ．错误!<错误!Ｃ．a２>b２Ｄ．a３>b３答案：D已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是（）Ａ．ad＞bc B．ac＞bdＣ．a—c＞b—d D．a＋c＞b＋d解析：选Ｄ．令a＝２，b＝—２，c＝３，d＝—6，可排除A，B，Ｃ．由不等式的推论２知，D一定成立．若x<１，M＝x２＋x，N＝４x—２，则M与N的大小关系为________．解析：M—N＝x２＋x—４x＋２＝x２—３x＋２＝（x—１）（x—２），又因为x<１，所以x—１<0，x—２<0，所以（x—１）（x—２）>0，所以M >N.答案：M >N数（式）大小的比较（１）比较３x３与３x２—x＋１的大小；（２）已知a≥１，试比较M＝错误!—错误!和N＝错误!—错误!的大小．【解】（１）３x３—（３x２—x＋１）＝（３x３—３x２）＋（x—１）＝３x２（x—１）＋（x—１）＝（３x２＋１）（x—１）．当x≤１时，有x—１≤0，而３x２＋１>0．所以（３x２＋１）（x—１）≤0，所以３x３≤３x２—x＋１．当x>１时，（３x２＋１）（x—１）>0，所以３x３>３x２—x＋１．（２）因为a≥１，所以M＝错误!—错误!>0，N＝错误!—错误!>0．所以错误!＝错误!＝错误!.因为错误!＋错误!>错误!＋错误!>0，所以错误!<１，所以M<N.错误!利用作差法比较大小的四个步骤（１）作差：对要比较大小的两个式子作差．（２）变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．（３）判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．（４）作出结论．[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．１．若x∈R，y∈R，则（）Ａ．x２＋y２>２xy—１B．x２＋y２＝２xy—１Ｃ．x２＋y２<２xy—１D．x２＋y２≤２xy—１解析：选Ａ．因为x２＋y２—（２xy—１）＝x２—２xy＋y２＋１＝（x—y）２＋１>0，所以x２＋y２>２xy—１，故选Ａ．２．已知x>y>0，试比较x３—２y３与xy２—２x２y的大小．解：由题意，知（x３—２y３）—（xy２—２x２y）＝x３—xy２＋２x２y—２y３＝x（x２—y２）＋２y （x２—y２）＝（x２—y２）（x＋２y）＝（x—y）（x＋y）（x＋２y），因为x>y>0，所以x—y>0，x＋y>0，x＋２y>0，所以（x３—２y３）—（xy２—２x２y）>0，即x３—２y３>xy２—２x２y.３．比较５x２＋y２＋z２与２xy＋４x＋２z—２的大小．解：因为５x２＋y２＋z２—（２xy＋４x＋２z—２）＝４x２—４x＋１＋x２—２xy＋y２＋z２—２z＋１＝（２x—１）２＋（x—y）２＋（z—１）２≥0，所以５x２＋y２＋z２≥２xy＋４x＋２z—２，当且仅当x＝y＝错误!且z＝１时取等号．不等式的性质（１）对于实数a，b，c，有下列说法：１若a>b，则ac<bc；２若ac２>bc２，则a>b；３若a<b<0，则a２>ab>b２；其中正确的是________（填序号）．（２）若c>a>b>0，求证：错误!>错误!.【解】（１）１中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故１不正确．２中，由ac２>bc２，知c≠0，故c２>0，所以a>b成立，故２正确．３中，错误!⇒a２>ab，错误!⇒ab>b２，所以a２>ab>b２，故３正确．故填２３.（２）证明：因为a>b>0⇒—a<—b⇒c—a<c—b.因为c>a，所以c—a>0．所以0<c—a<c—b.上式两边同乘错误!，得错误!>错误!>0．又因为a>b>0，所以错误!>错误!.错误!利用不等式的性质证明不等式的方法（１）简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．（２）对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．１a>b⇒a２>b２；２a２>b２⇒a>b；３a>b⇒错误!<１；４a>b⇒错误!<错误!.其中正确的命题个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ａ．由推论４可知，只有当a>b>0时，a２>b２才成立，故１２都错误；对于３，只有当a>0且a>b时，错误!<１才成立，故３错误；当a>0，b<0时，错误!＞错误!，故４错误．２．已知a>b>0，求证：错误!>错误!.证明：因为a>b>0，所以错误!>错误!>0．１又因为a>b>0，两边同乘正数错误!，得错误!>错误!>0．２１２两式相乘，得错误!>错误!.利用不等式性质求代数式的取值范围已知—１<x<４，２<y<３．（１）求x—y的取值范围；（２）求３x＋２y的取值范围．【解】（１）因为—１<x<４，２<y<３，所以—３<—y<—２，所以—４<x—y<２．（２）由—１<x<４，２<y<３，得—３<３x<１２，４<２y<6，所以１<３x＋２y<１8．１．若将本例条件改为—１<x<y<３，求x—y的取值范围．解：因为—１<x<３，—１<y<３，所以—３＜—y<１，所以—４<x—y<４．又因为x<y，所以x—y<0，所以—４<x—y<0，故x—y的取值范围为（—４，0）．２．若将本例条件改为—１<x＋y<４，２<x—y<３，求３x＋２y的取值范围．解：设３x＋２y＝m（x＋y）＋n（x—y），则错误!所以错误!即３x＋２y＝错误!（x＋y）＋错误!（x—y），又因为—１<x＋y<４，２<x—y<３，所以—错误!<错误!（x＋y）<１0，１<错误!（x—y）<错误!，所以—错误!<错误!（x＋y）＋错误!（x—y）<错误!，即—错误!<３x＋２y<错误!，所以３x＋２y的取值范围为错误!.错误!利用不等式的性质求取值范围的策略（１）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．（２）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．１．若—１<α<β<１，则下列各式中恒成立的是（）Ａ．—２<α—β＜0 Ｂ．—２<α—β<—１Ｃ．—１<α—β<0 D．—１<α—β<１解析：选Ａ．由—１<α<１，—１<β<１，得—１<—β<１，所以—２<α—β<２．又因为α<β，故—２<α—β<0．２．已知１２<a<60，１５＜b<３6，求a—b与错误!的取值范围．解：因为１５<b<３6，所以—３6<—b<—１５，所以１２—３6<a—b<60—１５，即—２４<a—b<４５．因为错误!<错误!<错误!，所以错误!<错误!<错误!，所以错误!<错误!<４．所以a—b和错误!的取值范围分别是（—２４，４５），错误!.１．已知b<２a，３d<c，则下列不等式一定成立的是（）Ａ．２a—c>b—３d B．２ac>３bdＣ．２a＋c>b＋３d D．２a＋３d>b＋c解析：选Ｃ．由于b<２a，３d<c，则由不等式的性质得b＋３d<２a＋c，故选Ｃ．２．已知a１∈（0，１），a２∈（0，１），记M＝a１a２，N＝a１＋a２—１，则M与N的大小关系是（）Ａ．M<NＢ．M>NＣ．M＝N D．M≥N解析：选Ｂ．因为a１∈（0，１），a２∈（0，１），所以—１<a１—１<0，—１<a２—１<0，所以M—N＝a１a２—（a１＋a２—１）＝a１a２—a１—a２＋１＝a１（a２—１）—（a２—１）＝（a１—１）（a—１）>0，所以M>N，故选Ｂ．２３．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________２b—错误!.（填“＞”“＜”或“＝”）解析：因为a≠b，a＜0，所以a—错误!＝错误!＜0，所以a＜２b—错误!.答案：＜４．已知a，b∈R，x＝a３—b，y＝a２b—a，试比较x与y的大小．解：因为x—y＝a３—b—a２b＋a＝a２（a—b）＋a—b＝（a—b）（a２＋１），所以当a>b时，x—y>0，所以x>y；当a＝b时，x—y＝0，所以x＝y；当a<b时，x—y<0，所以x<y.[A 基础达标]１．下列说法正确的是（）Ａ．若a>b，c>d，则ac>bdＢ．若错误!>错误!，则a<bＣ．若b>c，则|a|b≥|a|cＤ．若a>b，c>d，则a—c>b—d解析：选Ｃ．A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．２．设a，b∈R，则“（a—b）·a２<0”是“a<b”的（）Ａ．充分不必要条件B．必要不充分条件Ｃ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．（a—b）·a２<0，则必有a—b<0，即a<b；而a<b时，不能推出（a—b）·a２<0，如a＝0，b＝１，所以“（a—b）·a２<0”是“a<b”的充分不必要条件．３．若y１＝３x２—x＋１，y２＝２x２＋x—１，则y１与y２的大小关系是（）Ａ．y１<y２Ｂ．y１＝y２Ｃ．y１>y２D．随x值变化而变化解析：选Ｃ．y１—y２＝（３x２—x＋１）—（２x２＋x—１）＝x２—２x＋２＝（x—１）２＋１>0，所以y１>y２.故选Ｃ．４．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）Ａ．a＋错误!>b＋错误!Ｂ．a＋错误!≥b＋错误!Ｃ．错误!>错误!Ｄ．b—错误!>a—错误!解析：选Ａ．因为a>b>0，所以错误!>错误!>0，所以a＋错误!>b＋错误!，故选Ａ．５．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是（）Ａ．ab>bcＢ．ac>bcＣ．ab>acＤ．a|b|>c|b|解析：选Ｃ．因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．由b>c，a>0知，ab>ac.故选Ｃ．6．给出四个条件：１b>0>a，２0>a>b，３a>0>b，４a>b>0，能推得错误!<错误!成立的是________．解析：错误!<错误!⇔错误!<0，所以１２４能使它成立．答案：１２４7．若a１<a２，b１<b２，则a１b１＋a２b２与a１b２＋a２b１的大小关系是________．解析：（a１b１＋a２b２）—（a１b２＋a２b１）＝（a１b１—a１b２）＋（a２b２—a２b１）＝a１（b１—b２）＋a２（b２—b１）＝（a１—a２）（b１—b２），因为a１<a２，b１<b２，所以a１—a２<0，b１—b２<0，所以（a１—a２）（b１—b２）>0，所以a１b１＋a２b２>a１b２＋a２b１.答案：a１b１＋a２b２>a１b２＋a２b１8．已知三个不等式１ab>0；２错误!>错误!；３bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：１２⇒３，３１⇒２.（证明略）由２得错误!>0，又由３得bc—ad>0．所以ab>0⇒１.所以可以组成３个正确命题．答案：３9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a３＋b３与ab２＋a２b的大小．解：因为a＋b>0，（a—b）２≥0，所以a３＋b３—ab２—a２b＝a３—a２b＋b３—ab２＝a２（a—b）＋b２（b—a）＝（a—b）（a２—b ２）＝（a—b）（a—b）（a＋b）＝（a—b）２（a＋b）≥0，所以a３＋b３≥ab２＋a２b.１0．已知—２<a≤３，１≤b<２，试求下列代数式的取值范围．（１）|a|；（２）a＋b；（３）a—b；（４）２a—３b.解：（１）|a|∈[0，３]．（２）—１<a＋b<５．（３）依题意得—２<a≤３，—２<—b≤—１，相加得—４<a—b≤２．（４）由—２<a≤３，得—４<２a≤6，１由１≤b<２，得—6<—３b≤—３，２由１２得，—１0<２a—３b≤３．[B 能力提升]１１．（２0１9·河南省实验中学月考）若错误!<错误!<0，则下列结论中不正确的是（）Ａ．a２<b２Ｂ．ab<b２Ｃ．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选Ｄ．因为错误!<错误!<0，所以b<a<0，所以b２>a２，ab<b２，a＋b<0，所以A，B，C 均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误，故选Ｄ．１２．若α、β满足—错误!<α<β<错误!，则２α—β的取值范围是（）Ａ．—π<２α—β<0 B．—π<２α—β<πＣ．—错误!<２α—β<错误!Ｄ．0<２α—β<π解析：选Ｃ．由—错误!<α<β<错误!，得—π<α—β<0，又—错误!<α<错误!，所以—错误!π<α＋（α—β）<错误!，即—错误!π<２α—β<错误!.１３．已知0<a<b且a＋b＝１，试比较：（１）a２＋b２与b的大小；（２）２ab与错误!的大小．解：（１）因为0<a<b且a＋b＝１，所以0<a<错误!<b，则a２＋b２—b＝a２＋b（b—１）＝a２—ab＝a（a—b）<0，所以a２＋b２<b.（２）因为２ab—错误!＝２a（１—a）—错误!＝—２a２＋２a—错误!＝—２错误!＝—２错误!错误!<0，所以２ab<错误!.１４．若bc—ad≥0，bd＞0，求证：错误!≤错误!.证明：错误!⇒错误!≥错误!⇒错误!＋１≥错误!＋１⇒错误!≥错误!⇒错误!≤错误!.[C 拓展探究]１５．已知—错误!<a<0，A＝１＋a２，B＝１—a２，C＝错误!，D＝错误!，试判断A、B、C、D 的大小关系．解：因为—错误!<a<0，取a＝—错误!，则A＝错误!，B＝错误!，C＝错误!，D＝错误!，所以猜想C>A>B>D.则只需说明B—D>0，A—B>0，C—A>0即可．因为B—D＝１—a２—错误!＝错误!＝错误!，又—错误!<a<0，所以１—a>0，—１<a—错误!<—错误!，所以错误!<错误!错误!<１，故错误!错误!—错误!<0．所以错误!>0，所以B>D.因为A—B＝１＋a２—１＋a２＝２a２>0，所以A>B.因为C—A＝错误!—（１＋a２）＝错误!＝错误!，又１＋a>0，—a>0，错误!错误!＋错误!>0，所以错误!>0，所以C>A.综上可知，A、B、C、D的大小关系是C>A>B>D.。

新教材高中数学第二章等式性质与不等式性质教案新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥，即(15)1102xx -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－，而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b 时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定．题型二利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->，所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计3：2.1 第2课时等式性质与不等式性质教案

2.1第2课时等式性质与不等式性质教学目标1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识链接下面关于不等式的几个命题正确的有________.(1)若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；(2)若a >b ，则ac >bc ；(3)不等式2x ＋6>0的解集为(－3，＋∞)；(4)不等式－2x <3解集为(－∞，－32). 【答案】(1)(3)【解析】对于(2)，当c ≤0时，不成立；(4)中不等式的解集为(－32，＋∞). 教学导引一、等式的基本性质(1)如果a ＝b ，那么b ＝a .(2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .(4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc .(5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 二、不等式的性质(1)对称性：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .(2)传递性：如果a >b ，且b >c ，则a >c .(3)加法法则：如果a >b ，则a ＋c >b ＋c .推论1：(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论2：如果a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d .即：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.(4)乘法法则：如果a >b ，c >0，则ac >bc ；如果a >b ，c <0，则ac <bc ；推论1：如果a >b >0，c >d >0，则ac >bd .更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.推论2：如果a >b >0，则a n >b n (n ∈N ＋，n >1).推论3：如果a >b >0，则n a >n b (n ∈N ＋，n >1).课堂互动题型一利用不等式的性质判断命题真假例1 判断下列命题的真假：(1)若a >b ，则ac <bc ；(2)若ac 2>bc 2，则a >b ；(3)若a ab >b 2；(4)若a a b. 解 (1)由于c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小缺乏依据.故该命题是假命题.(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，c 2>0，所以a >b ，该命题为真命题.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧a ab ；又⎩⎪⎨⎪⎧a b 2. 所以a 2>ab >b 2，故该命题为真命题.(4)由a －b >0⇒a 2>b 2⇒a 2ab >b 2ab ，即a b >b a，故该命题是假命题. 规律方法要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论；若判断命题是假命题，只需举一反例即可.跟踪演练1 下列命题中正确的个数是( )①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ；③若a >b ，且ac >bd ，则c >d .A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错. ③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立.题型二利用不等式性质证明简单不等式例2 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >e b －d. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d. 又∵e <0，∴e a －c >e b －d. 规律方法利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化.跟踪演练2 若a >b >0，c <d <0，求证：a d －d >0.又a >b >0，∴－ac >－bd >0，∴ac <bd .又c <0，d <0，∴cd >0.∴ac cd <bd cd ，即a d <b c. 题型三应用不等式性质求取值范围例3 已知－6<a <8，2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围. 解 ∵－6<a <8，2<b <3，∴－12<2a <16，∴－10<2a ＋b <19.又∵－3<－b <－2，∴－9<a －b <6.又13<1b <12，当0≤a <8时，0≤a b<4；当－6<a <0时，－3<a b<0. ∴－3<a b<4. 规律方法解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错.同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.跟踪演练3 已知－π2≤α<β ≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围. 解 ∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 上面两式相加得：－π2<α＋β2<π2. ∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2. 又知α<β，∴α－β<0，故－π2≤α－β2<0. 课堂小结1.不等式的性质(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆.只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆.(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算.2. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.课堂达标1.已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A.a >b >－b >－aB.a >－b >－a >bC.a >－b >b >－aD.a >b >－a >－b【答案】C【解析】由a ＋b >0知a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .2.已知a >b ，则不等式：①a 2>b 2；②1a >1b ；③1a －b >1a成立的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 【答案】A【解析】由题意可令a ＝1，b ＝－1，此时①不对，③中，此时a －b ＝2，此时有1a －b <1a ，故③不对；令a ＝－1，b ＝－2，此时②不对，故选A.3.已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a >－d b，则( ) A.bc <ad B.bc >ad C.a c >b d D.a c 0，∴在－c a >－d b两侧乘ab 不变号，即－bc >－ad ，即bc <ad . 4.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，那么2α－β3的范围是________. 【答案】⎝⎛⎭⎫－π6，π【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π).∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴－β3∈⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴－π6<2α－β3<π.。

2-1等式性质与不等式性质(教案)-高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计一、教学目标1.了解不等式（组）的实际背景；2.了解不等式（组）的基本性质.二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.2.教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系.三、教学过程（一）探究一：不等关系及其表示教师：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a ,b 是两个实数，那么a ≥b 即为a ＞b 或a ＝b ；a ≤b 即为a ＜b 或a ＝b .探究二：实数的大小比较性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变关于实数a ，b 大小的比较，有以下基本事实：如果a -b 是正数，那么a ＞b ；如果a -b 等于0，那么a ＝b ；如果a -b 是负数，那么a ＜b ，反过来也对.这个基本事实可以表示为0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 总结：1. 要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2. 差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.探究三：一个重要不等式一般地，,a b R ∀∈，有a ²+b ²≥2ab当且仅当a ＝b 时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a ²+b ²-2ab =(a -b )².因为,a b R ∀∈，(a -b )² ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ²+b ²-2ab ≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a ²+b ²≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.探究四：等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；（对称性）性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；（传递性）性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；（同加性，同减性）性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；（同乘性）性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a b c c=.（同除性）探究五：不等式的性质类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即a b b a >⇔<.性质2 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c.即,a b b c a c >>⇒>.证明：由两个实数大小关系的基本事实知 0()()00.0a b a b a b b c a c a c b c b c >⇒->⎫⇒-+->⇒->⇒>⎬>⇒->⎭说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果a ≥b 且b ＞c ，那么a ＞c ；如果a ＞b ，且b ≥c ，那么a ＞c .如果两个不等式都带有等号，即若a ≥b 且b ≥c ，则a ≥c ，其中a ＝c 时必须有a ＝b 且b ＝c ，否则a ＝c 不成立. 类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：性质3 如果a ＞b ，那么a +c ＞b +c .文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.性质4 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n（n∈N，n≥2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.总结：（二）课堂练习1.若0a b>>,则下列不等式中一定成立的是( )A.11b ba a+>+B.11a ba b+>+ C.11a bb a+>+ D.22a b aa b b+>+答案：C解析：对于A，11(1)b b b aa a a a+--=++,因为0a b>>，所以0(1)b aa a-<+,即11b ba a+<+,故A错误；对于B ，取12a =,15b =,则1526125a b a b +=<=+,故B 错误；对于C ，11()(1)a b ab a b b a ab -+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,因为0a b >>，所以()(1)0a b ab ab -+>,即11b b a >+,故C 正确；对于D,2()()2(2)a b a b a b a a b b b a b +-+-=++,因为0a b >>，所以()()0(2)b a b a b a b -+<+,故22a b a a b b +<+，故D 错误.2.若,,a b c ∈R ,a b >，则下列不等式恒成立的是( )A.22a b >B.||||a c b c >C.11a b <D.2211a b c c >++ 答案：D解析：A 项，当1a =，1b =-时，22a b =，所以错误；B 项，当0c =时，||||a c b c =，所以错误；C 项，当1a =，1b =-时，11a b >，所以错误; D 项，因为a b >，2101c >+，所以2211a b c c >++，所以正确. 3.已知a ,b 满足等式2220x a b =++,4(2)y b a =-,则x ,y 的大小关系是( )A.x y ≤B.x y ≥C.x y <D.x y > 答案：B解析：2222204(2)(2)(4)0x y a b b a a b -=++--=++-≥,即x y ≥.故选B.4.实数a ,b ,c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系式成立的是( )A.c b a ≥>B.c a b >>C.a c b >≥D.c a b >≥答案：A解析：因为221a a c b =+--,所以2(1)0a c b -=-≥,所以c b ≥,因为210a b ++=,所以21a b =--, 所以213024b a b ⎛⎫-=++> ⎪⎝⎭,所以b a >,所以c b a ≥>. （四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.不等关系的表示；3.一个重要的不等式；4.等式、不等式的性质.作业：四、板书设计2.1等式性质与不等式性质1不等关系及其表示.2实数比较大小.3一个重要不等式.4等式的性质.5不等式的性质.。

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2.1 等式性质与不等式性质单元设计
一.内容和及其解析
1.1 内容
等式性质与不等式性质
1.2 内容解析
内容本质：第2.1节在给出实数大小的基本事实、梳理等式基本性质的基础上，通过类比研究了不等式的基本性质及其证明和应用，教科书首先让学生梳理等式的性质，并归纳其中蕴含的数学思想方法，然后猜想并证明不等式的基本性质，等式的基本性质包括在数学的推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括等式对四则运算的不变性．前者反映了相等关系的特性，后者则是从运算角度提出的，反映了等式在运算中的不变性，它们反映了“式的基本性质”的本质属性．类似地，不等式的基本性质既反映了不等关系的特性，又反映了不等式在运算中的不变性．但与等号不同，不等号有方向性，所以不等式的基本性质与等式的基本性质又存在差异．教科书利用这种内在联系，引导学生自主发现不等式的基本性质，使他们认识到“运算中的不变性”在研究代数问题中“引路人”的作用，从而使学生在加深对‘“代数性质”的认识过程中发展“四基”、提高“四能”．此外，本书用不等式的性质证明了一些简单命题，拓展了代数证明的范围，为后续学习打下了基础。

蕴含的思想方法：
1.本章在研究不等式的性质时，考虑到等式的基本性质与不等式的基本性质在表现“式
的基本性质”的本质属性方面是相通的，设计了一个学习过程。

先通过个思考栏
目，让学生梳理初中学过的等式的基本性质，并观察它们的共性，归纳总结，培
养学生类比，归纳的数学思想方法；
2.再通过一个探究栏目，让学生类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质。

这样
利用等式的基本性质中蕴含的数学思想方法，来引导学生探素、发现不等式的基
本性质，有利于加深他们对代数性质的认识，提高他们提出问题和解决问题的能
力。

知识的上下位关系：
等式与不等式有很多共同之处，也存在差异。

学生在初中学习了等式，方程的知识，在高中阶段将重点学习不等式的内容。

为此，教科书先通过梳理初中已经学的等式内容，引导学生归纳其中蕴含的思想方法，再通过类比等式的内容与思想方法，探索不等式的相关内容。

例如，学生在初中学习等式的内容时，先学习了用含有末知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，接着以解方程为目的，学习了等式的一些基本性质，然后研究了两种具体的方程——一元一次方程和一元二次方程的解法和应用．概括起来就是“现实背景——相等关系与等式——等式性质——方程及其解法——应用”。

本章在构建不等式内容的结构体系时，采用了与等式类似的顺序：现实背景——不等关系与不等式——关于两个实数大小关系的基本事实——不等式性质——不等式解法,证明——应用.
首先，类比“相等用等式表示”，举例说明了如何用不等式表示不等关系。

关于两个实数大小关系的基本事实，既是实数的基本性质，也是研究式的大小关系的基础。

因此，教科书接着安排了关于两个实数大小的基本事实，为不等式的研究奠定了逻辑基础。

其次，教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明。

最后，研究了基本不等式的证明和应用，一元二次不等式的解法和应用。

育人价值：
从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生数学抽象的素养；
类比等式性质，举例说明不等式的不等关系，培养学生分析，类比归纳的能力。

让学生逐渐养成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考，合作交流的学习习惯。

教学重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.
二、目标及其解析
2.1单元目标
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。

2.2目标解析
达成目标的标志：
1.通过设计两个问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些
性质包含在数学推理和运算中经常用到的“对称性”与“传递性”，还包含解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映的“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向。

2.通过具体实例，把不等关系“翻译”成不等式，学生明白“式的大小关系”。

3.从实数大小关系的基本事实，证明不等式的基本性质。

并且能用不等式性质解决一
些基本问题。

三．学情分析
在初中，学生学习了用含有未知数的等式《方程）表示问题中的相等关系，为了解方程研究了等式的一些基本性质．本节在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，展开不等式的研究．首先类比用等式表示相等关系，用不等式表示问题中的不等关系，然后在对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，并用不等式的性质证明简单命题．通过本节的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力。

教学难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异。

四.教学支持条件
教室多媒体设备齐全，展示动画与课件方便。

课堂评价平台完善。

五、课时教学设计
本单元共2课时，具体分配如下：
第1课时不等关系与作差比较大小
第2课时等式性质与不等式性质。