等式的基本性质
等式的基本性质
反思小结： 1、等式的两个基本性质以及在解方程中的应用 2、解方程的一般性的步骤 3、检验
3
6
学习要求： 1、抽两名三号上黑板完成即时练习3，其余同 学独立完成即时练习3，时间2分钟 2、全班分析两学生的解答过程 3、集体评价订正并思考多种方法
星级达标 学习要求： 1、独立完成1-4和6，时间6分钟 2、分组展示 3、组内组间交流 4、集体订正 5、1-6组4号黑板展示5 6、小组改错，组间改错，评价加分
（1）解方程3x-3=2x-3 解法一：两边同时加上3,得：
3x=2x 两边同时除以x,得：
3=2 因此，原方程无解
解法二：两边同时加上3,得 3x=2x
两边同时减去2x,得 x=0
因此，x=0
总结：利用等式的基本性质2解方程时应注意：除数必须非零
即时练习3：
6x 2 2x
1 (x 1) 1
第2课时 等式的基本性质
十陵中学李艳
学习目标：
1、通过观察、实验，发现等式的基本性质 2、我会说出等式的基本性质 3、我能用等式基本性质解一元一次方程
学习要求：1、组长检查预习情况 2、小组内交流订正答案
录像3.lxe 观看录像3，完成性质探索一 录像4.lxe 观看录像4，完成性质探索二
典 例例2 展运示用：等式性质解方程： 3x 2 10
解：方程两边同时加2得：
x 3
12
方程两边同时乘以-3得：x 36
学习要求： 1、学生观察老师老师解方程的步骤 2、独立完成即时练习2，时间2分钟 3、展示两学生的练习 4、集体评价订正
拓展教材
5、利用等式性质解一元一次方 程
等式的基本性质1：等ห้องสมุดไป่ตู้两边同时加上 （或减去）相同的数，所得结果仍然是相 等的。用符号表示：若a=b,则a+m=b+m
《等式的性质》
同时加
3，得到
8=10，等式仍然成
立。
即：若 a=b，则 a+c=b+c（或 ac=b-c）。
等式的乘法性质
等式两边同时乘以（或 除以） 同一个非零数，等式仍然成立 。
即：若 a=b 且 c≠0，则 ac=bc（或 a/c=b/c）。
示例：若 6=9，两边同时乘以 2，得到 12=18，等式仍然成 立。
等式与不等式在解决实际问题中的应用
等式常用于求解未知数或验证数学定理；
不等式则更常用于解决实际问题中的大小、范围、最值等问题；
举例：利用不等式求解最优化问题（如线性规划），或者通过等式和不等式联合求 解实际问题（如方程组和不等式组的综合应用）。
高级等式性质与应
04
用
移项与合并同类项
移项
通过移项操作，可以将等式中的某些项移到等式的另一侧， 从而简化等式或解决问题。在移项时，需要保持等式的平衡 ，即等号两边的数学表达式在移项后仍然相等。
实际问题解决
等式的基本性质在几何中也有应用，例如 证明几何定理时，可以通过构建等式并应 用等式性质进行推导。
等式的基本性质可以用于解决实际问题中 的方程问题，如距离、速度、时间之间的 关系等。
等式的运算性质
02
等式的加法性质
等式两边同时加上（ 或 减去）同一个数 ，等式仍然成立。
示例：若 5=7，两边
学习等式性质的意义与价值
培养逻辑思维能力
通过学习等式的性质，我们可以培养逻辑思维能力，学会 从已知条件出发，通过逻辑推理得出未知数的解。
解决实际问题的基础
等式性质在实际问题中有广泛的应用，例如工程问题、经 济问题等。掌握等式的性质，能够帮助我们更好地解决这 些实际问题。
等式的基本性质
等式的基本性质：
1、等式两边同时加上或减去 相同的数，等式不变; 2、等式两边同时乘或除以相 同的数（0除外），等式不变。
四、及时检测，深化理解
在○里填运算符号，在□里填数。 ⅹ-20=30 3.6+ⅹ=5.7 ⅹ-20+20=30○□ 3.6+ⅹ-3.6=5.7○□
ⅹ÷6=18 0.7ⅹ=3.5 ⅹ÷6×6=18○□ 0.7ⅹ÷0.7=3.5○□
等式的基本性质
逸夫小学 沈雪飞
一、比对目标，明确方向
理解等式的基本性质。
二、聚焦问题，合作交流
书第64-65页：
1、观察64页书上的情境图，天平能平衡 吗？你发现了什么？ 2、观察书上65页的情境图，你又发现了什 么？ 3、用自己的话说说等式的基本性质有哪 些？
三、交流展示，互纠互补
1、观察64页书上的情境图，天平能平衡 吗？你发现了什么？ 2、观察书上65页的情境图，你又发现了什 么？ 3、用自己的话说说等式的基本性质有哪 些？
五、课堂总结、小组评价
1、这节课你学会了什么？ 2、小组统分、登分。
等式的性质
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等； 即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等； 即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0,4、等式的对称性： 即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换） 即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =； （2）若bc ab =，则c a =； （3）若bcb a=，则c a =；（4）若b c b a -=-，则c a =；（5）若1=xy ，则yx 1=；（6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例 2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ； （2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ；（6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ；（7）如果22-=-y x ，那么=x ； （8）如果32y x =，那么=x 3 ．说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
等式的基本性质
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
如果a=b, 那么ac=bc
类似地，如果a=b，那么
a c
b (c 0) c
等式的基本性质2：等式两边都乘（或
除以）同一个数（除数不能为零），所得 的结果仍是等式。
观察右面的三幅图：
（1）如图（2）从天平两端 各去掉3个砝码，天平还保持 平衡吗？
（2）如图（3）从天平两端各拿 去原来的一半，天平还保持平衡 吗？
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
答：巧克力糖ac元,果冻bc元.
（5）如果一袋巧克力糖与一袋果冻的售价相同 （即a=b），那么买c袋巧克力糖和买c盒果冻的价 钱相同吗？
从（5）中你发现了 什么结论？能用等式
把它表示出来吗？
3x-2x=2x+7-2x
所以x=7
1 回答下列问题：
（1）由等式x+5=y+5能不能得到等式x=y？为什么？ 能
（2）由等式-2x=-2y能不能得到等式x=y？为什么？ 能
2 在下列括号内填上适当的数或整式，使等式仍然成立：
(1）如果x+3=10，那么x=10-(3 )
(2)如果2x-7=15，那么2x=15+(7 )
（2）如果小莹和小亮同岁，（即a=b），那么再过c 年他们的岁数还相同吗？C年前呢？为什么？
等式的基本性质1和2和3
等式的基本性质1和2和3
等式是一种数学表达形式，被广泛用于求解数学问题和描述数学概念。
因此，了解等式的基本性质对于掌握数学非常重要。
首先，对等比数列性质1，当两个等式中的各项有相等的成比例关系时，这两个等式就叫做等比数列。
例如：式中x：2；y：4，则x:y=2:4，这叫做等比。
其次，性质2为线性性质，当一个等式中的各项按一定的线性关系分布时，它就叫做线性方程式。
例如：式中x：3；y：2，则x:y=3:2，这就叫做线性的。
最后，等式的性质3为一致性质，当两个等式中的术语完全相同时，这两个等式就叫做一致的。
例如：式中x：2；y：2，则x=y，这就叫做一致。
综上所述，等式的基本性质包括等比性质、线性性质和一致性质。
掌握等式的基本性质，对把握数学原理、解决数学问题有重要意义，也是数学学习的基础。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
初中数学知识点精讲精析 等式的基本性质
5.2 等式的基本性质学习目标1. 了解等式的两条性质。
2. 会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程。
知识详解1. 等式的性质1等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b ，那么a ±c=b ±c2. 等式的性质2等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或式，所得结果仍是等式。
如果a=b ，那么ac=bc 或(0)a b c c c=≠ 【典型例题】例1：如果x=-3,y=x ，那么y 的值为（ ）A.3B.-3C. 13D.-13【答案】B【解析】直接将x 的值代入原方程y=x 可得。
例2：下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A.x+y=x-2B.x+y=5C.4x=0D.6x+5【答案】C【解析】由一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.C.4x=0是一元一次方程。
例3：方程2x+1=5，那么6x+1等于（ ）A.13B.19C.25D.无解【答案】A【解析】先解方程2x+1=5，得x=2；把x=2代入6x+1得6x+1=6×2+1=13.【误区警示】易错点1：等式与代数式的区别1. 下列式子中哪些是等式，哪些是代数式？（1）2+3=5；（2）3x-1=0；（3）2x-1＞0；（4）7x-2；（5）2x -2x-1=0；（6）2m =0【答案】（1）、（2）、（5）、（6）是等式；（4）是代数式；（3）既不是等式，也不是代数式，是不等式。
【解析】等式与代数式的重要区别是等式有等号，而代数式仅是一个含有字母的式子。
易错点2：等式的性质2. 利用等式的性质解下列方程：（1）2x-4=0；（2）3x+15=8【答案】（1）两边同时加上4，得2x=4.两边同时除以2，得x=2.（2）两边同时减去15，得3x=8-15，即3x=-7.两边都除以3（或两边都乘以13），得x=-7×13,即x=-73. 【解析】解方程即是利用等式的性质，通过两边加减乘除变形为x=a 的形式。
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A、如果x y 5, 那么x 5 y
B、如果x y 5, 那么x y 5 0
C、如果x y 5, 那么1 x y 5
2
2
D、如果x y 5, 那么 x y 5 aa
5.由方程 1 3x 2x 1 变形可得（ ） 2
5
3、由 2 x,得x 2 （ ） （对称性）
1、在下面的括号内填上适当的数或者代数式
（1）∵ 2x 6 4
∴2x 6 6 4 6
（2）∵3x 2x 8
想一想、练一练
∴3x 2x 2x 8 2x
（3）∵ 10x 9 8 9x
∴10x 9x 9 9 8 9x 9x 9
左边加x，右边减去x.运算符号不一致
（５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 等式的传递性。
（６）由－2=x，得x=－2 等式的对称性。
7、判断下列说法是否成立，并说明理由
1、由a b,得 a b （ ） （因为x可能等于0）
xx
2、由x y, y 3 ,得x 3 （ ） （等量代换）
5
练习：1.下列方程变形是否正确？如果正确， 说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3
依据：等式性质1：等式两边同时加上3.
（２）由a=b，得a－6=b＋6
（３）由m=n,得m－2x2=n－2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x－5，得2x+x=－5
A. 3x 2x 3 2
B. 1 3x 2x 1 2
C. 1 1 3x 2x 2
D.1 3x 22x 1
6.如果ma=mb，那么在下列等式中不一定成立的是（ ）
A.ma 1 mb 1
C. 1 ma 1 mb
2
2
B.ma 3 mb 3
D.a b
练一练：判断对错，对的请说出根据等式的哪 一条性质，错的请说出为什么。
解：（1）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去
4 （2）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去 （y 3）不成立，根据等式的性质1
活动二 如图，图中字母表示小球的质量，你能根据
天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中 两个天平都保持平衡）
a
b
a
b
aa
bb
___a__=___b__
_3__a__=__3_b__
根据 等式性质2，在等式两边同时除以4 。
(4)、如果-0.2ｘ＝6，那么ｘ= -30 ， 根据 等式性质2，在等式两边同除-0.2或乘-5 。
2、下列变形符合等式性质的是（ D ）
A、如果2x-3=7，那么2x=7-3
B、如果3x-2=1，那么3x=1-2
C、如果-2x=5，那么x=5+2
D，如果 1 x 1, 那么x 3
5、如果a b,且 a b ，那么c应满足的条件是 c o .
cc
2
二、我会应用
1
、（1）、如果1 2
x
0.5，那么2
1 2
x
2x0.5
.
根据 等式性质2，在等式两边同时乘2 。
(2)、如果x-3=2，那么x-3+3=2+3 ，
根据 等式性质1，在等式两边同加3 。
(3)、如果4x=-12y，那么x= -3y ，
_a_+_c__=_b__+_c_
从从右左到到左右呢？，等式发生了怎样的变化？ 由此你发现了等式的哪些性质？ 等式的两边都加减上去同一个数，等式仍然成立
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一个 数或式所得结果仍是等式。
用字母可以表示为： 如果a=b，那么a±c=b±c。
已知y+4=2，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）y=2-4 （2）4=2-y （3）y=2-y
已知x+3=1，下列等式成立吗？根据是什么？
（1）3 1- x
（2） -（ 2 x 3） -2
（3）x 3 1
33
（4） x 1- 3
解：（1）成立，根据等式的性质1，两边都减去x
（2）成立，根据等式的性质2，两边都乘以-2
（3）成立，根据等式的性质2，两边都除以3
（4）成立，根据等式的性质1，两边都减去3
1) 如果 x y，那么 x 1 y 3
2) 如果 x y，那么 x 5 a y 5 a
3) 4)
1. 什么叫做一元一次方程？ 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的指数是一次的方程叫一元一次方 程。
2. 下列各式中，哪些是一元一次方程？
（1）7+8=15
（2）x+3=8
（3）3x-1
（4）x=0
（5）2x-y=3x+1 （6） 3x2 1 5
一、我会估算
知识 准备
1、你能估算出方程 4x 24, x 1 3的解吗？
cc
➢ 注意 1、等式两边都要参加运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是 同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除 数或分母.
用字母可以表示为：如果a=b，那么ac=bc，或
1、如果 ac=，bc那么 a=b， ，或
2、如果 a = b a(c=b0)，那么 ，或 c_b__ _3__a__=__3_b__
从从右左到到左右呢？，等式发生了怎样的变化？ 由此你发现了等式的哪些性质？
除数不能为0
等式的两边都乘除以同一个数，等式仍然成立
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一个数 或式所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么 a±c=b±c。
x 6, x 2 2、你能估算出方程 4x 32x 3 12 x 4的解吗？
x ？
活动一
如图，图中字母表示小球的质量，你能根据 天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中
两个天平都保持平衡）
a
b
ac
bc
___a__=___b__
_a_+_c__=_b__+_c_
a
b
ac
bc
___a__=___b__
等式的性质2：
等式的两边都乘以（或都除以）同一个数
或式（除数不能为0）所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么ac=bc，或
a = b (c 0) cc
等式的性质
【等式性质１】 如果a b，那么a c b c
【等式性质2】 如果a b，那么ac bc
如果a bc 0 , 那么 a b