2018-2019学年南京市秦淮区九年级上第二次月考数学试卷(含答案)
南京市秦淮区2018-2019年九年级上期末数学模拟试卷(一)含答案
一．选择题（共 6 小题，满分 12 分，每小题 2 分） 1． 已知关于 x 的一元二次方程 （k﹣1） x2+3x+k2﹣1＝0 有一根为 0， 则 k＝ （ A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 ）
2．如图，衣橱中挂着 3 套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相 同． 若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子， 它们取自同一套的概率是 （ ）
（2）如表是 y 与 x 的几组对应值．
x y
… …
﹣2
﹣1 ﹣
0 2
21． （6 分）在直角坐标平面 xOy 中，二次函数 y＝x2+2（m+2）x+m﹣2 图象与 y 轴交于（0，﹣3）点． （1）求该二次函数的解析式，并画出示意图； （2） 将该二次函数图象向左平移几个单位， 可使平移后所得图象经过坐标原点？ 并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
m．
16．如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠ BOM ＝ ．
三．解答题（共 11 小题） 17． （8 分）解方程： （1）x2+2x＝1； （2） （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0． 18． （6 分）甲乙两组各有 10 名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的 成绩进行统计，过程如下： 收集数据 各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如表： 输入汉字（个） 甲组人数（人） 乙组人数（人） 分析数据 两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示： 组 众数 中位数 平均数 （ ） 甲组 乙组 得出结论 （1）若每分钟输入汉字个数 136 及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、 乙两组哪个成绩更好一些？ （2） 请你根据所学的统计知识， 从不同角度评价甲、 乙两组学生的比赛成绩 （至 少从两个角度进行评价） ． 19． （8 分）一个不透明的布袋内装有形状、大小、质地等完全相同的 4 个小球， 分别标有数字 1，2，3，4． （1）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字恰好为 4 的概率； （2）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 x，不将取出的 小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 y，这样就 135 13 4 135 134.5 135 135 1.6 1.8 方差（s2） 132 1 0 133 0 1 134 1 4 135 5 1 136 2 2 137 1 2
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级(上)月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为( )A. (x−3)2=14B. (x−3)2=4C. (x+3)2=14D. (x+3)2=42.一元二次方程(x−5)2+1=0的根的情况是( )A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根3.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 18cm4.在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是( )A. ▵ACD的外心B. ▵ACD的内心C. ▵ABC的外心D. ▵ABC的内心5.已知⊙O的半径是1，弦AB=3，点C为⊙O上的一点(不与点A、B重合)，则∠ACB的度数为( )A. 60∘B. 30∘C. 60∘或120∘D. 30∘或150∘6.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC=PD=BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO=AB；(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.方程x2=4的解是_____．8.已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与⊙O的位置关系为______．9.若x=2是一元二次方程x2−mx+8=0的一个根，则m的值是______．10.某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程______．11.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．12.一元二次方程x2+3x−1=0的两个根分别是a和b，则(a−2)(b−2)=______．13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若∠ADC= 64∘，则∠AEC=______°．14.如图，在▵ABC中，AB=8，DE⊥AB于D，若▵ABC的外心O在线段DE上．∠BOC=120∘，则DE=______．15.如图，在直角坐标系中，点B(−7,0)，C(7,0)，AB−AC=2，则▵ABC的内切圆圆心M的横坐标为______．16.在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=n∘，点D在AB上，CD=1AB，若点D是AB的中点，则n的取值范围2是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
南京市秦淮区2018-2019年九年级上期末数学模拟试卷(一)含答案
江苏省南京市秦淮区2018-2019学年九年级上期末数学模拟试卷（一）一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（）A．1B．﹣1C．±1D．02．如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（）A．B．C．D．3．如果将抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2x2﹣1D．y＝﹣2x2+14．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝06．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB．设AP＝x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．已知，则的值是．8．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝4，则x12﹣x1x2+x22的值是．9．有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为cm．11．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是．12．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．13．如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是．14．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．16．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．三．解答题（共11小题）17．（8分）解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．18．（6分）甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：收集数据各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如表：分析数据两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：得出结论（1）若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）．19．（8分）一个不透明的布袋内装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4．（1）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字恰好为4的概率；（2）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为（x，y），用树状图或表格说明P落在直线y＝x+1上的概率．20．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）．（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B2C2（△ABC与△A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B2，C2）．（2）利用方格纸标出△A1B2C2外接圆的圆心P，P点坐标是，⊙P的半径＝．（保留根号）21．（6分）在直角坐标平面xOy中，二次函数y＝x2+2（m+2）x+m﹣2图象与y轴交于（0，﹣3）点．（1）求该二次函数的解析式，并画出示意图；（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．22．（8分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．23．（6分）小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．表中m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是．24．（8分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB 的高度．25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x 取何值时，商场获利润最大？26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．27．（12分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．参考答案一．选择题1．解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，得k2﹣1＝0，解得k＝﹣1或1；又k﹣1≠0，即k≠1；所以k＝﹣1．故选：B．2．解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，所以取自同一套的概率为＝，故选：D．3．解：∵将抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+1．故选：D．4．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．5．解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；故选：D．6．解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE＝PB，∴BF＝EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC＝＝，∵AP＝x，∴PC＝﹣x，∴PF＝FC＝（﹣x）＝1﹣x，∴BF＝FE＝1﹣FC＝x，∴S△PBE＝BE•PF＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，即y＝﹣x2+x（0＜x＜），∴y是x的二次函数（0＜x＜），故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．解：由等比性质，得＝＝，故答案为：．8．解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2﹣k，∵x12+x22＝4，∴＝4，（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4，2k2+2k﹣4＝0，k2+k﹣2＝0，k＝﹣2或1，∵△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k＝1，∴x1•x2＝k2﹣k＝0，∴x12﹣x1x2+x22＝4﹣0＝4．故答案为：4．9．解：所有这30个数据的平均数＝＝14．故答案为14．10．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP＝AB＝×10＝5﹣5，∴PB＝AB﹣PA＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm．故答案为（15﹣5）．11．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝58°，∴∠A＝32°，∴∠BCD＝32°，故答案为：32°．12．解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．故答案为：60π．13．解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．14．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．15．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．16．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为：48°．三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）17．解：（1）方程配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．18．解：（1）∵每分钟输入汉字个数136及以上的甲组人数有3人，乙组有4人，∴乙组成绩更好一些；（2）从中位数看，甲班每分钟输入135字以上的人数比乙班多；从方差看，S2甲＜S2乙；甲班成绩波动小，比较稳定；19．解：（1）共有4个球，标有4的有一个球，所以概率为；（2）共有12种情况，在直线y＝x+1上的情况数由3种，所以概率为．20．解：（1）如图，△A1B2C2为所作；（2）点P的坐标为（3，1），PA＝＝，1即⊙P的半径为．故答案为（3，1），．21．解：（1）由题意得m﹣2＝﹣3，解得m＝﹣1，故二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；如图，（2）令y＝0，即x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），故二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0）．22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝120°∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝3，CE＝2，∴；解得AB＝9．23．解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是：全体实数，故答案为：全体实数；（2）把x＝4代入y＝得，y＝＝，∴m＝，故答案为：；（3）如图所示，（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（5）由图象，得0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．24．解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴＝，＝，又∵CD＝EF，∴＝，∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，∴＝，∴BD＝9，BF＝9+3＝12，∴＝，解得AB＝6．答：路灯杆AB的高度是6m．25．解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，即x2﹣10x+16＝0，解得：x1＝2，x2＝8，经检验：x1＝2，x2＝8，答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）依题意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＝5时，y取得最大值为2250元．答：y＝﹣10x2+100x+2000，当x＝5时，商场获取最大利润为2250元．26．（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH＝CE，∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH＝＝4，∴CE＝4．27．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB＝4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC＝135°，∴设BD＝t，则CD＝t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴S△ABC＝AB•CD＝﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣＝2，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．。
九年级上第二次月考数学试卷含答案解析
2018-2019学年江苏省苏州市昆山市九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．下列方程中有实数根的是（）A．x2+2x+2=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2﹣3x+1=0 D．x2+3x+4=02．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x=0 D．x1=2，x2=13．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A．2 B．C．D．4．将二次函数y=的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（）A．y=﹣2 B．y=﹣2 C．y=+2 D．y=+2 5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=12，c=16，下面四个式中错误的有（）①sinA=；②cosA=；③tanA=；④sinB=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1 D．与x轴有两个交点7．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°8．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣9．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm D．5cm或13cm10．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．C．3 D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则BC：AC：AB=．12．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x=时，y取得最小值．13．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A=14．如图，⊙O的半径为2，过点A（4，0）的直线与⊙O相切于点B，则点B 的坐标为．15．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为9cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是°．16．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），下列判断：①ac＜0；②b2＞4ac；③b+4a＞0；④4a﹣2b+c＜0．其中判断一定正确的序号是．18．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为cm．三、解答题（本大题共10小题，共76分.）19．（8分）解下列方程．（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=2（x+3）20．（10分）计算（1）sin260°•tan45°﹣（﹣）﹣2（2）﹣（﹣1）+2sin60°﹣3tan30°．21．（6分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=．求四边形ABCD各内角的度数．22．（6分）等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．24．（6分）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；（2）求弧AC的长（结果保留π）；（3）连接AC、BC，则sinC=．26．（8分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．27．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．28．（10分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P 旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．2016-2017学年江苏省苏州市昆山市九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．下列方程中有实数根的是（）A．x2+2x+2=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2﹣3x+1=0 D．x2+3x+4=0【考点】根的判别式．【分析】由选项中的方程即可得根的判别式的符号，根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．【解答】解：A、△=22﹣4×1×2=﹣6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；B、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；C、△=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；D、△=32﹣4×1×4=﹣7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x=0 D．x1=2，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A．2 B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．4．将二次函数y=的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（）A．y=﹣2 B．y=﹣2 C．y=+2 D．y=+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y=x2向左移1个单位，再向下移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y=（x+1）2﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=12，c=16，下面四个式中错误的有（）①sinA=；②cosA=；③tanA=；④sinB=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵a=5，b=12，c=16，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，∴四个式都不对，故选D．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1 D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴交点的坐标进行判断即可．【解答】解：A、y=（x﹣1）2+2，∵a=1＞0，∴图象的开口向上，此选项错误；B、y=（x﹣1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；C、对称轴是直线x=1，此选项错误；C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点的判定方法是解决问题的关键．7．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．8．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解．【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵OA=2，∴⊙O的半径为1，∴OE=，CE=DE=，∴CD=2=，∴图中阴影部分的面积为：﹣×=﹣．故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积．9．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm D．5cm或13cm【考点】垂径定理．【分析】设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，有两种情况：①当此点在园内；②当此点在园外；分别求出半径值即可．【解答】解：设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，则：∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离∴有两种情况：当此点在圆内时，如图所示，半径OB=（PA+PB）÷2=6.5cm；当此点在圆外时，如图所示，半径OB=（PB﹣PA）÷2=2.5cm；故圆的半径为2.5cm或6.5cm故此应选A．【点评】本题考查了垂径定理的运用以及分类讨论思想的运用．本题注意要分两种情况分析解答．10．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．C．3 D．2【考点】切线的性质．【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为=．故选B．【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则BC：AC：AB=1：1：．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据角的比值得出三个角的度数，利用等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：因为∠A：∠B：∠C=1：1：2，可得：∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，所以可得BC：AC：AB=1：1：，故答案为：1：1：．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质问题，关键是根据角的比值得出三个角的度数．12．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x=2时，y取得最小值．【考点】二次函数的最值．【分析】根据抛物线的顶点坐标和抛物线的开口方向可以得到答案．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，3），且抛物线开口方向向上，∴当x=2时，y取得最小值．故答案是：2．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．13．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A= 1.2【考点】锐角三角函数的定义．【分析】作BE⊥AC于E，根据tan∠A=计算即可．【解答】解：作BE⊥AC于E，则BE=6，AE=5，∴tan∠A===1.2故答案为1.2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．14．如图，⊙O的半径为2，过点A（4，0）的直线与⊙O相切于点B，则点B的坐标为（1，）．【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】连接OB，根据切线的性质得出OB⊥AB，作BD⊥OA于D，易证得△BOD∽△AOB，得到=，求得OD的长，根据勾股定理即可求出BD的长，从而求得B点的坐标．【解答】解：如图，连接OB；∵直线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵⊙O的半径为2，点A（4，0），∴OB=2，OA=4，作BD⊥OA于D，∵∠BDO=∠ABO=90°，∠BOD=∠AOB，∴△BOD∽△AOB，∴=，∴OD==1，∴BD===，∴B（1，）．故答案为（1，）．【点评】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．15．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为9cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是80°．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，由题意得=2×π×2，解得n=80．故答案为80．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为15．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6=15．故答案为15．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），下列判断：①ac＜0；②b2＞4ac；③b+4a＞0；④4a﹣2b+c＜0．其中判断一定正确的序号是①②．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①正确，由函数图象开口向上可知，a＞0，由图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，故ac＜0；②正确，因为函数图象与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；③错误，因为抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），所以x1+x2=﹣=4，b=﹣4a，故b+4a=0；④错误，由于抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），所以x=﹣2在点A 的左边，把x=﹣2代入解析式得4a﹣2b+c＞0．所以一定正确的序号是①②．故答案为：①②．【点评】此题考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．18．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为cm．【考点】弧长的计算．【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣+=cm．【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣+=cm．【点评】本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的．三、解答题（本大题共10小题，共76分.）19．解下列方程．（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=2（x+3）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到（x+3）2﹣2（x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1；（2）（x+3）2﹣2（x+3）=0，（x+3）（x+3﹣2）=0，x+3=0或x+3﹣2=0，所以x1=﹣3，x2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．（10分）（2016秋•昆山市校级月考）计算（1）sin260°•tan45°﹣（﹣）﹣2（2）﹣（﹣1）+2sin60°﹣3tan30°．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质计算即可．【解答】解：（1）sin260°•tan45°﹣（﹣）﹣2=（）2×1﹣3=﹣3=﹣；（2）﹣（﹣1）+2sin60°﹣3tan30°=2×﹣+1+2×﹣3×=﹣1﹣+1+﹣=0．【点评】本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质是解题的关键．21．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=．求四边形ABCD各内角的度数．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】连结BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°﹣∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后计算∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．【解答】解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=70°，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠B=110°，∵弧AD=弧CD，∴∠DAC=∠DCA=（180°﹣110°）=35°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°，即四边形ABCD各内角的度数发你为55°，70°，125°，110°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．22．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC=BC=5cm，AB=AC=13cm，根据勾股定理得到AD=12，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是高，BC=10cm，∴BD=DC=BC=5cm，AB=AC=13cm，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，∴AD=12，∴tanC==．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，作出图形是解题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB ，则sin ∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB ∥PD ；（2）解：连接AC∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°又∵CD ⊥AB ，∴=，∴∠P=∠CAB ，又∵sin ∠P=，∴sin ∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．24．小张准备把一根长为32cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm．∴x2+（8﹣x）2=40，即x2﹣8x+12=0．∴x1=2，x2=6．∴小张应将40cx的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．2）他的说法对．假定两个正方形的面积之和能等于30cm2．根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30．即x2﹣8x+17=0，△=82﹣4×17＜0，方程无解．所以两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．25．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；（2）求弧AC的长（结果保留π）；（3）连接AC、BC，则sinC=．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC的垂直平分线，交点即为圆心，写出圆心坐标即可；（2）根据正方形的性质和勾股定理以及弧长公式计算即可；（3）根据正弦的定义计算即可．【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心．如图1所示，则圆心D的坐标是（2，0）；（2）由图1可知，∠ADC=90°，AD=，∴弧AC的长为：=π；（3）如图2，由勾股定理得AE=，AC=，由正方形的性质和格点的性质可知，∠AEC=90°，则sinC===，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、弧长的计算，掌握弦的垂直平分线经过圆心、弧长的计算公式是解题的关键．26．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C （4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．27．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；圆周角定理．【分析】（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，=AB•CD=×4×2=4，∴S△ABC∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD•cos30°=3，=OD•DE=×2×=，∴S△ODES△ADE=AE•DE=××3=，=S△BCD=×S△ABC=×4=，∵S△BOD=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．∴S△OEC【点评】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．28．（10分）（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．第31页共31页。
南京市秦淮区2019-2020年九年级上期末数学模拟试卷(一)含答案
江苏省南京市秦淮区2018-2019学年九年级上期末数学模拟试卷（一）一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（）A．1B．﹣1C．±1D．02．如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（）A．B．C．D．3．如果将抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2x2﹣1D．y＝﹣2x2+14．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝0 6．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB．设AP＝x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．已知，则的值是．8．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝4，则x12﹣x1x2+x22的值是．9．有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为cm．11．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD的度数是．12．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．13．如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x 的取值范围是．14．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．16．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM ＝．三．解答题（共11小题）17．（8分）解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．18．（6分）甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：收集数据各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如表：分析数据两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：）得出结论（1）若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）．19．（8分）一个不透明的布袋内装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4．（1）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字恰好为4的概率；（2）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为（x，y），用树状图或表格说明P落在直线y＝x+1上的概率．20．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）．（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B2C2（△ABC与△A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B2，C2）．（2）利用方格纸标出△A1B2C2外接圆的圆心P，P点坐标是，⊙P的半径＝．（保留根号）21．（6分）在直角坐标平面xOy中，二次函数y＝x2+2（m+2）x+m﹣2图象与y 轴交于（0，﹣3）点．（1）求该二次函数的解析式，并画出示意图；（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．22．（8分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．23．（6分）小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．表中m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是．24．（8分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利润最大？26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．27．（12分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．。
九年级上第二次月考数学试卷含答案解析 (3)
2018-2019学年江苏省盐城市响水县九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.1．数据﹣1，0，1，2，3的平均数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．52．若=，则的值为（）A．B．1 C．D．3．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）4．若方程：x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≥15．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定6．盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外完全相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是（）A．B．C．D．7．抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位后得到的抛物线为（）A．y=﹣3x2+2 B．y=﹣3x2﹣2 C．y=﹣3（x+2）2D．y=﹣3（x﹣2）28．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，﹣1]的函数的一些结论：①当m=﹣1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.9．如果抛物线y=（k﹣1）x2﹣3x+1的开口向上，那么k的取值范围是．10．已知线段a是线段b、c的比例中项，b=3cm，c=12cm，则a=cm．11．在一张比例尺为1：5000的地图上，艺术楼到学校食堂的图上距离为8cm，那么艺术楼到学校食堂的实际距离为m．12．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且AB=2，则线段BC=（精确到0.01）．13．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为．14．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是．15．已知抛物线y=a（x﹣2）2（a＞0，a，k为常数），A（﹣1，y1）、B（1，y2）是抛物线上两点，则y1y2．16．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（9，2），那么能使y2＞y1成立的x的取值范围是．17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行秒才能停下来．18．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是．（填序号即可）三、解答题：本大题共10题，第19题每小题8分，第20题6分，第21、22题每题8分，第23～26题每题10分，第27、28题每题12分，共96分. 19．（8分）求下列函数图象的顶点坐标：（1）y=x2﹣4x+1（配方法）（2）y=3x2+4x+6（公式法）20．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边）．（1）求A、B两点的坐标；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．21．（8分）已知：二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）运用对称性，画出这个二次函数图象；（2）当x满足条件条件时，y≥0，不等式﹣x2+2x+3＞0的解集为；（3）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围是．22．（8分）如图可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向数字1的概率为；（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．23．（10分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？24．（10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）直线AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）25．（10分）如图，抛物线y=x2﹣x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC 相交于点E．（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．26．（10分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．27．（12分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；（3）若点P为抛物线AB段上一点，求点P到直线AB的最大距离．2016-2017学年江苏省盐城市响水县九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.1．数据﹣1，0，1，2，3的平均数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】算术平均数．【分析】根据算术平均数的计算公式列出算式，再求出结果即可．【解答】解：数据﹣1，0，1，2，3的平均数是（﹣1+0+1+2+3）=1．故选：C．【点评】此题考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，关键是根据题意列出算式．2．若=，则的值为（）A．B．1 C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：=，得==，故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用分比性质是解题关键．3．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．【解答】解：二次函数y=2（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．4．若方程：x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≥1【考点】根的判别式．【分析】利用方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4m＞0，∴m＜1．故选B．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d ＜r时，点在圆内．6．盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外完全相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据等可能事件的概率公式可得出抽出绿球的概率为，由此得出结论．【解答】解：抽出绿球的概率P==．故选D．【点评】本题考查了等可能事件概率公式，解题的关键是根据概率公式算出结论．本题属于基础题，解决该题型题目时，将数据套入公式即可．7．抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位后得到的抛物线为（）A．y=﹣3x2+2 B．y=﹣3x2﹣2 C．y=﹣3（x+2）2D．y=﹣3（x﹣2）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据图形向左平移2个单位得到其关系式，再找出符合条件的选项即可．【解答】解：抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位后得到的抛物线y=﹣3（x+2）2．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的原则是解答此题的关键．8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，﹣1]的函数的一些结论：①当m=﹣1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】二次函数的性质．【分析】①把m=﹣1代入[m，1﹣m，﹣1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[m，1﹣m，﹣1]；①当m=﹣1时，y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，顶点坐标是（1，0）；此结论正确；②当m＞0时，令y=0，有mx2+（1﹣m）x﹣1=0，解得x=，x1=1，x2=﹣，|x2﹣x1|=+1＞1，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1，此结论正确；③当m＜0时，y=mx2+（1﹣m）x﹣1 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，=﹣＞，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④当x=1，m≠0时，y=mx2+（1﹣m）x﹣1=m+（1﹣m）﹣1=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当x=0时，函数图象都经过同一个点（0，﹣1），故不论m取何值，函数图象经过两个定点，此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．故选B．【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.9．如果抛物线y=（k﹣1）x2﹣3x+1的开口向上，那么k的取值范围是k＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线开口向上可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=（k﹣1）x2﹣3x+1的开口向上，∴k﹣1＞0，解得k＞1，故答案为：k＞1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的符号有关是解题的关键．10．已知线段a是线段b、c的比例中项，b=3cm，c=12cm，则a=6cm．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，b=3cm，c=12cm，∴a2=bc=3×12=36，∴a=6（负值舍去），故答案为：6．【点评】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．11．在一张比例尺为1：5000的地图上，艺术楼到学校食堂的图上距离为8cm，那么艺术楼到学校食堂的实际距离为400m．【考点】比例线段．【分析】根据比例尺的定义列式计算即可得解．【解答】解：设实际距离是为xcm，根据题意得，=，解得x=40000，40000cm=400m．故答案为：400．【点评】本题考查了比例线段，是基础题，要认真计算，并注意单位转换．12．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且AB=2，则线段BC= 1.24（精确到0.01）．【考点】黄金分割；近似数和有效数字．【分析】根据黄金比值是，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且AB=2进行计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC=AB=（﹣1）≈1.24，故答案为：1.24【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．13．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为2017．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】把点（m，0）代入抛物线的解析式得到m2﹣m=1，整体代入即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m=1，∴m2﹣m+2016=1﹣2013=﹣2017，故答案为2017．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用整体代入法解决问题．14．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是x＜1．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x 的增大而增大．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故答案为：x＜1．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．15．已知抛物线y=a（x﹣2）2（a＞0，a，k为常数），A（﹣1，y1）、B（1，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：由y=a（x﹣2）2，a＞0，得图象开口向上．由对称轴x=2，对称的左侧y随x的增大而减小，得﹣1＜1，y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质是解题关键．16．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（9，2），那么能使y2＞y1成立的x的取值范围是﹣2＜x＜9．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y2＞y1，故答案为：﹣2＜x＜9．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更简便．17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行20秒才能停下来．【考点】二次函数的应用．【分析】飞机停下时，也就是滑行最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t 值．【解答】解：由题意，s=60t﹣1.5t2=﹣1.5t2+60t=﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）=﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t=20秒时，飞机才能停下来．【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．18．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是①③④．（填序号即可）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=2，∴﹣=2，b=﹣4a，4a+b=0，故③正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，∴abc＞0，故①正确；由抛物线的单调性知：当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵=2，而对称轴方程为x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），故④正确．∵抛物线的对称轴为x=2，点（﹣3，y1）到对称轴的距离为5，（6，y2）到对称轴的距离为4，∴点（6，y2）在点（﹣3，y1）的下方，由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；故答案为：①③④．【点评】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析、解答是关键．三、解答题：本大题共10题，第19题每小题8分，第20题6分，第21、22题每题8分，第23～26题每题10分，第27、28题每题12分，共96分. 19．求下列函数图象的顶点坐标：（1）y=x2﹣4x+1（配方法）（2）y=3x2+4x+6（公式法）【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）将a=3，b=4，c=6代入顶点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标为（2，﹣3）；（2）y=3x2+4x+6，∵a=3，b=4，c=6，∴﹣=﹣=﹣，==，∴顶点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．20．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边）．（1）求A、B两点的坐标；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0求得x即可得；（2）根据△ABP的面积为10求得P点纵坐标的绝对值，再由y=5或y=﹣5分别求出x即可得．【解答】解：（1）令y=0得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）∵AB=4，且S△ABP=10，∴AB•|y P|=10，即×4•|y P|=10，解得：|y P|=5，当y=5时，由x2﹣2x﹣3=5，得：x=﹣2或x=4，即点P坐标为（﹣2，5）或（4，5），当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；综上，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，根据三角形的面积求得点P的纵坐标是解题的关键．21．已知：二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）运用对称性，画出这个二次函数图象；（2）当x满足条件x＜﹣1或x＞2条件时，y≥0，不等式﹣x2+2x+3＞0的解集为﹣1＜x＜3；（3）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围是﹣4≤y＜5．【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）首先求得函数顶点坐标和对称轴，以及函数与x轴的交点坐标，据此即可作出函数图象；（2）根据函数图象即可直接写出x的范围；（3）对称轴在﹣1和4之间，然后确定﹣1和4哪个离对称轴较远，里用图象确定y的范围．【解答】解：（1）函数的对称轴是x=1，当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，则顶点坐标是（1，﹣4）．令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1．则函数与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0）．；（2）当x＜﹣1或x＞2时，y≥0；不等式﹣x2+2x+3＞0，即x2﹣2x+3＜0的解集为：﹣1＜x＜3．故答案是：x＜﹣1或x＞2，﹣1＜x＜3；（3）当x=4时，y=16﹣8﹣3=5，则y的取值范围是：﹣4≤y＜5．故答案是：﹣4≤y＜5．【点评】本题考查了二次函数的对称性，以及利用函数图象解决实际问题，考查了数形结合思想的实际应用．22．如图可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向数字1的概率为；（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）三个等可能的情况中出现1的情况有一种，求出概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；故答案为：；（2）列表得：所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，∵＞，∴该游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．（10分）（2014•南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【解答】（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x ﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．24．（10分）（2014秋•阜宁县校级期中）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）直线AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BDC=60°，再根据平行线的性质，由AC∥BD得∠A=∠OBD=30°，则∠ACO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC为⊙O的切线；（2）根据平行线的性质，由OC⊥AC，BD∥AC得OC⊥BD，再利用垂径定理得BE=DE=BD=3，则利用∠OBE=30°，可计算出OE=BE=3，OB=2OE=6，接着=S△OBE，所以由弦CD、BD与弧BC所围成判断四边形BODC为菱形，得到S△CDE的阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式求解．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切．理由如下：连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，∵∠BOC=2∠BDC=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠ACO=180°﹣∠A﹣∠AOC=90°，∴OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（2）解：∵OC⊥AC，BD∥AC，∴OC⊥BD，∴BE=DE=BD=3，∵∠OBE=30°，∴OE=BE=3，OB=2OE=6，∴CE=OE，∴OC和BD互相垂直平分，∴四边形BODC 为菱形，∴S △CDE =S △OBE ，∴由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积=S 扇形BOC ==6π（cm 2）．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．25．（10分）（2016秋•响水县校级月考）如图，抛物线y=x 2﹣x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E ．（1）求直线BC 的解析式；（2）当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的最值．【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A 、B 、C 点的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，则坐标为（m ， m 2﹣m +2），则E 点的坐标为（m ，﹣ m +2），设DE 的长度为d ，构建二次函数即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=x 2﹣x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C，∴令y=0，可得x=1或4，∴A（1，0），B（4，0）；令x=0，则y=2，∴C点坐标为（0，2），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，m2﹣m+2），∴E点的坐标为（m，﹣m+2），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=﹣m+2﹣（m2﹣m+2），整理得，d=﹣m2+2m=﹣（m﹣2）2+2，∵a=﹣1＜0，∴当m=2时，d最大=2∴D点的坐标为（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．26．（10分）（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．27．（12分）（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x ﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【解答】解：（1）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．28．（12分）（2016秋•响水县校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；（3）若点P为抛物线AB段上一点，求点P到直线AB的最大距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、C关于对称轴对称，根据两点之间线段最短，可得AB，根据勾股定理，可得AB的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得M的坐标；（3）当AB⊥AP时，点P到直线AB的距离最大．【解答】解：（1）将A、B、C的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，连接AB交对称轴于M，连接MC，由A、C关于对称轴对称，得AM=MC．。
南京市秦淮区2018届九年级上学期期中考试数学试题
南京市秦淮区2018届九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置．．．．．．．上） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．2310x y ++=B ．210x -=C ．2(2)y x =-D ．11x x+= 【答案】B【解析】一元二次方程判定条件：①一个未知数； ②未知数最高次数为2； ③整式方程； ④二次项系数不为0；C 、A 不满足①，D 不满足③，B 同时满足①②③④．2．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：）．A ．9和10B ．9.5和10C ．10和9D ．10和9.5【答案】D【解析】个数为10的人数为5最多，故众数是10；共10人，中位数应在第5名与第6名成绩中取均值，即9109.52+=．3．设1x 、2x 是一元二次方程2410x x --=的两个根，则12x x +的值为（ ）． A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-【答案】B【解析】2410x x --=．“韦达定理”有：12441x x -+=-=．4．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，C 是»AB 的中点，25CDB ∠=︒，AOB ∠的度数是（ ）． A ．50︒B ．100︒C ．125︒D ．150︒【答案】B【解析】250COB CDB ==︒∠∠， ∵C 是»AB 中点，∴2100AOB COB ==︒∠∠．5．如图，正八边形ABCDEFGH 的两条对角线AC 、BE 相交于点P ，EPC ∠的度数为（ ）．完成引体向上的个数 7 8 9 10 人数1 1 3 5A ．67.5︒B ．69︒C ．72︒D ．112.5︒PH GFED CB A【答案】A【解析】如图，圆O 为正八边形ABCDEFGH 的外接圆，则360458AOB ︒==︒∠， ∴122.52ACB AOB ==︒∠∠，同理90COE =︒∠．1452CBP COE ==︒∠∠．∴67.5EPC ACB CBP =+=︒∠∠∠．A B C DE FG H P6．如果四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等，那么这个四边形一定．．有（ ）． A ．一组邻角相等 B ．一组对角相等C ．两组对角分别相等D ．两组对角的和相等【答案】D【解析】如图⊙O 是四边形ABCD 外接圆，则1(360)2ABC AOC =︒-⨯∠∠，12ADC AOC =∠∠，∴111360180222ABC +ADC AOC AOC =︒⨯-+=︒∠∠∠∠，同理180BAD BCD +=︒∠∠，∴ABC ADC BAD BCD +=+∠∠∠∠．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卷相应位置．．．．．．上） 7．将方程2410x x +-=化为2()x a b +=的形式为__________． 【答案】2(2)5x +=【解析】2410x x +-=，2(44)410x x ++-=，2(2)5x +=．8．圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的侧面积为__________．（结果保留π） 【答案】15π【解析】如图，5R =，3r =，22πππ15π2πrS R Rr R=⋅==侧．9．小亮本学期数学的平时作业、期中考试、期末考试及数学综合实践活动的成绩分别是88分、82分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为30%、30%、35%、5%，则小亮的数学学期成绩是__________分．【答案】87【解析】学期成绩8830%8230%9035%905%87=⨯+⨯+⨯+⨯=（分）．10．已知关于x 的一元二次方程3(1)()0x x m --=的两个根是1和2，则m 的值是__________． 【答案】2【解析】3(1)()0x x m --=化为2(1)0x m x m -++=， 两根121212(1)1111,2m x x m m x x m x x -+⎧+=-=+⎪⎪⎪⋅==⎨⎪==⎪⎪⎩，解得2m =．11．甲、乙两地5月下旬10天的日平均气温统计如下表（单位：℃）：则甲、乙两地这10天日平均气温的方差的大小关系为：s 甲__________2s 乙．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】>【解析】26x =甲，26x =乙．25.8s =甲．2 2.2s =乙，22s s>甲乙．12．某电视机厂今年3月的产量为50万台，5月上升到72万台，求该厂平均每月产量增长的百分率．若设该厂平均每月产量增长的百分率为x ，则列出的方程是__________． 【答案】250(1)72x +=【解析】4月份产量：50(1)x +，5月份产量：50(1)(1)x x +⋅+，故250(1)72x +=．13．在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽600mm AB =，则油的最大深度为__________mm ．【答案】200【解析】如图，连接OB 、过O 作OC AB ⊥于点C ，“垂径定理”可知13002BC AB ==，且BOC △为Rt △． Rt BOC △中：125(mm)OC =，∴最大深度200(mm)h r OC =-=．CABO14．如图，四边形ABCD 中，AB 、CD 分别与以AD 为直径的半圆O 切于点A 、D ，BC 切半圆O 于点E ，若4cm AB =，9cm CD =，则AD =__________cm ．【答案】12【解析】连接OB 、OC 、OE ，由于AB 、CD 、BC 均为切线， 故OA AB ⊥、OD CD ⊥、OE BC ⊥且OE OA OD ==， ∴AOB △≌EOB △，∴4(cm)BE AB ==， 同理9(cm)CE CD ==，13(cm)BC BE CE =+=， 过B 作BG CD ⊥于G ，则四边形ABGD 矩形， 4GD AB ==，5(cm)CG CD DG =-=，∴12(cm)BG ==即12(cm)AD BG ==．G 94A B CDEO15．如图，四边形OABC 为菱形，点B 在以点O 为圆心、以OC 为半径的»EF上，若3OA =，COF AOE ∠=∠，则»EF 的长度为__________．（结果保留π）F E OC BA【答案】2π【解析】连接OB 、AC 交于G ，∵四边形OABC 是菱形，∴OC OA BC ==，OB AC ⊥， ∵OC OB =，∴OC OB BC ==，∴BOC △是等边三角形，∴1302AOC BCD ==︒∠∠，同理30OAC =︒∠，∴180120AOC ACD OAC =︒--=︒∠∠∠， ∵COF AOE =∠∠，∴COF COE AOE COE +=+∠∠∠∠， 即120EOF AOC ==︒∠∠，∴»1202π2π360EFr ︒=⋅⋅=︒． GABCOE F16．顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．圆外角的两边所夹的两条弧的度数与该角的度数之间的数量关系是：圆外角的度数等于__________．【答案】两条弧度数差值绝对值的一半（意思答对即可）【解析】如图点A 在⊙O 外，»BC与»DE 所对应度数分别为BOC ∠、DOE ∠， BOC BAC OBA OCA =++∠∠∠∠，∵OB OD =，OE OC =，∴OBA ODB =∠∠，OCA OEC =∠∠， ∴BOC BAC ODB OEC =++∠∠∠∠， ∵ODB OAB AOD =+∠∠∠，OEC OAC AOE ∠=∠+∠，∴()()BOC BAC OAB AOD OAC AOE =++++∠∠∠∠∠∠()()BAC OAB OAC AOD AOE =++++∠∠∠∠∠2BAC DOE =+∠∠， ∴2BOC DOEBAC -=∠∠∠，∵BOC DOE >∠∠，∴0BAC >∠．即圆外角度数等于两条弧度数差值绝对值的一半．OABCED三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程2310x x --=．【答案】1x =，2x 【解析】2310x x --=，1a =，3b =-，1c =-，x =1x，2x =．18．（6分）解方程(2)63x x x +=+． 【答案】13x =，22x =- 【解析】(2)63x x x +=+ 2263x x x +=+ 260x x --= (3)(2)0x x -+= 13x =，22x =-．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围． 【答案】114m <-【解析】方程有两个不相等实根，即0∆>，22(21)41(m 3)0m --⨯⨯+>，114m <-． 20．（8分）证明定理“垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧”．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ．求证：CP DP =，»»BC BD =，»»AC AD =．PODCBA【答案】见解析．【解析】连接BC 、BD 、AC 、AD ， ∵OC OD =，∴COD △是等腰三角形，∵OP CD ⊥，∴OP 是COD △中线， ∴CP PD =，在BCP △与BDP △中： 90CP DP BPC BPD BP BP =⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠， ∴BCP △≌(SAS)BDP △，∴BC BD =，∴»»BCBD =， 同理ACP △≌(SAS)ADP △，∴AC AD =，∴»»AC AD =．A BCDOP21．（8分）如图，我区准备用一块长为60m ，宽为54m 的矩形荒地建造一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的两个完全一样的矩形区域将铺设塑胶作为运动场地．若塑胶运动场地总面积为22700m ，求通道的宽度．【答案】通道宽度为2m 【解析】设通道宽为m x 则 矩形长：542x -，矩形宽：1(603)2x -⋅，∴1(542)(603)22S x x =-⋅-⋅⨯矩即(542)(603)2700x x --=，得：247900x x -+= (45)(2)0x x --= 11x =，245x =（舍），即通道宽度为2m ． 22．（8分）如图，⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆．（1）正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的边长之比为__________．（2）连接BE ，BE 是否为⊙O 的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由．【答案】（1；（2）是，12n -【解析】（1）连接OC 、OD 、OG ，设半径为r ，1360904COD =⋅︒=︒∠，1360606COG =⋅︒=︒∠，COD △是等腰直角三角形，CD =， COG △是等边三角形，CG OC r==，∴::CD CG r ．（2）若是，则360BOE n ︒=∠， 又∵9060BOE =︒-︒∠，∴36030n︒=︒，12n =， 故BE 是⊙O 内接正十二边形． AB CD FGHO23．（8分）教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示． 甲射靶成绩的条形统计图乙射靶成绩的折线统计图（1）请你根据图中的数据填写下表：【答案】（1）6，6，2.8；（2）甲、乙两名运动员平均水平相同，但甲更稳定成绩波动更小 【解析】（1）5676665x ++++==甲2222221(36)(66)(66)(76)(86) 2.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙．（2）略． 24．（8分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒．E 是»AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合）． （1）求E ∠的度数．（2）若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和π）【答案】（1）120︒（2）4π3【解析】（1）∵180BAC C +=︒∠∠，120C =︒∠，∴60BAD =︒∠， ∵AB AD =，∴ABD △是等边三角形， ∴60ADB ︒∠=，∴180120E ADB =︒-=︒∠∠．（2）连接OA 、OB ，过O 作OF AB ⊥于F ，Rt BOF △中：112OF OB ==，BF ==AB =2120AOB ADB ==︒∠∠，212014π2π36023AOBS S S T ︒=-=⋅⋅-⨯=︒△阴扇 FABCDEO25．（8分）如图，过ABC △的顶点A 作射线AM ，使1B ∠=∠．（1）用直尺和圆规作出ABC △的外接圆O （保留作图痕迹，不写作法）． （2）判断直线AM 与⊙O 的位置关系，并说明理由．1MCB A【答案】（1）（2）AM 与⊙O 相切 【解析】（1）略； （2）连接OA 、OC ， ∵OA OC =， ∴OAC OCA =∠∠，∵180O OAC OCA =+=︒∠∠∠，2O B =∠∠， ∴22180B OAC +=︒∠∠， ∴90B OAC +=︒∠∠， ∵1B =∠∠，∴190OAC +=︒∠∠， 即90OAM =︒∠， ∴AM 与⊙O 相切．1MC AOB26．（10分）实际问题某批发商以40元/kg 的成本价购入了某产品700kg ，据市场预测，该产品的销售价y （元/kg ）与保存时间x （天）的函数关系为502y x =+，但保存这批产品平均每天将损耗15kg ．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元．已知该产品每天的销量不超过600kg ，若批发商希望通过这批产品卖出获利7000元，则批发商应在保存该产品多少天时一次性．．．卖出？ 小明的思路及解答数学老师在小明的解答中画了一条横线，并打了一个“⨯”． 你的观点及做法（1）请指出小明错误的原因．（2）重新给出正确的解答过程．【答案】（1）小明写的相等关系里“成本×销量”错，应改为“成本价×进货量” （2）见解析．【解析】（1）略（2）式子应改为(502)(70015)40700507000x x x +--⨯-=， 即2200x x -=，120x =，20x =（舍）（当0x >时，70015700600x -=>）， 即批发商在保存该产品20天时一次性卖出．27．（10分）如图①，已知AB 是⊙O 的直径，C 是¼AmB 上的一个动点（点C 与点A 、B 不重合），连接AC ．D 是¼ABC 的中点，作弦DE AB ⊥，垂足为F ． （1）若点C 和点E 不重合，连接BC 、CE 和EB ．当BCE △是等腰三角形时，求CAB ∠的度数． （2）若点C 和点E 重合，如图②．探索AB 与AC 的数量关系并说明理由．①B A ②【答案】（1）18︒（22AC =【解析】（1）如图，设CAB α=∠，BED β=∠，∵BCE △是等腰三角形，∴CE CB =，∴»»CECB =， ∴CAB CAE α==∠∠，∵BED BAD =∠∠，BED β=∠，∴BAD β=∠，∵D 是¼ABC 中点，∴»»AD CD=， ∴CAD AED =∠∠，∴AED αβ=+∠，∵AB 是直径，∴90AEB =︒∠，∴90αββ++=︒①，∵OE AB ⊥，∴90AFE =︒∠，∴90EAF AED +=︒∠∠， 即290ααβ++=︒②，290390x αββ+=︒⎧⎨+=︒⎩， 解得1836αβ=︒⎧⎨=︒⎩， 即18CAB =︒∠．B（2）设ACD θ=∠则由于D 是¼ABC 中点， ∴DAC ACD θ==∠∠， ∵CD AB ⊥，∴AB 是CD 垂直平分线，∴122OAC DAC θ==∠∠， ∵180OAC ACD AFC ++=︒∠∠∠， 即901802θθ++︒=︒，∴60θ=︒，∵AB 是直径，∴90ACB =︒∠，Rt ABC △中：12BC AB =，ACAB ==， 2AC =．B。
江苏南京市2018-2019年九年级数学上册期末模拟试卷及答案解析
2018-2019年九年级数学上册期末模拟试卷一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分）1．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣42．如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m5．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5C．6D．96．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜47．抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+39．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（）x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3﹣0.36﹣0.010.360.75A．1.5B．1.2C．1.3D．1.410．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y=﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．11．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1B．C．2D．13．已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2B．﹣4C．﹣1D．314．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=015．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）16．在一个不透明的箱子里有黄色、白色的小球共10个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计其中白球的个数，小刚摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，不断重复上述摸球过程，共摸球400次，其中80次摸到白球，可估计箱子中大约白球的个数有个17．如图，若使△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是．18．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=3，AC=1，则cosB 的值为．19．一个扇形的半径长为12cm ，面积为24πcm 2，则这个扇形的圆心角为度．20．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣4x +3=0的根，则该三角形的周长是．21．若正方形的面积是9，则它的对角线长是．三．解答题（共8小题，满分57分）22．（7分）（1）计算：tan60°+|2﹣|（2）解方程：（x ﹣2）2=3x ﹣6．23．（7分）农八师石河子市某中学初三（1）班的学生，在一次数学活动课中，来到市游憩广场，测量坐落在广场中心的王震将军的铜像高度，已知铜像底座的高为3.5m ．某小组的实习报告如下，请你计算出铜像的高（结果精确到0.1m ）．实习报告2003年9月25日题目1测量底部可以到达的铜像高测得数据测量项目第一次第二次平均值BD 的长12.3m 11.7m 测倾器CD 的高 1.32m1.28m 倾斜角α=30°56'α=31°4'计算结果24．如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥AC ，CE ∥DB ．试判断四边形OBEC 的形状并说明理由．25．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．26．（8分）在一个不透明的盒子里有5个小球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，﹣，﹣，这些小球除所标的数不同外其余都相同，先从盒子随机摸出1个球，记下所标的数，再从剩下的球中随机摸出1个球，记下所标的数．（1）用画树状图或列表的方法求两次摸出的球所标的数之积不大于1的概率．（2）若以第一次摸出球上的数字为横坐标，第二次摸出球上的数字为纵坐标确定一点，直接写出该点在双曲线y=上的概率．27．（9分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？28．（9分）已知如图：点（1，3）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：（1）求k的值；（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）（3）当∠ABD=45°时，求m的值．29．（9分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分）1．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）=0，可得x=0或x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看得到的图形是．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴=∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．5．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【分析】可先求得AB的长，再根据三角形中位线定理可求得OH的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，∴AB=BC=CD=AD=9，又∵O为BD中点，H为AD的中点，∴OH为△ABD的中位线，∴OH=AB=4.5，故选：A．【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．6．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式即可判断；【解答】解：由，消去y得到：2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣（﹣32）=33＞0，∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y=x2﹣6x+21=（x2﹣12x）+21=[（x﹣6）2﹣36]+21=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．9．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（）x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3﹣0.36﹣0.010.360.75A．1.5B．1.2C．1.3D．1.4【分析】利用表格中的数据得到方程x2+x﹣3=0有一个根在1.3与1.4之间，由于﹣0.01更接近于0，于是可判断方程的一个根为1.3（精确到0.1）．【解答】解：∵x=1.3时，x2+x﹣3=﹣0.01；x=1.4时，x2+x﹣3=0.36，∴方程x2+x﹣3=0有一个根在1.3与1.4之间，∴当根的近似值精确到0.1时，方程的一个根为1.3．故选：C．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y=﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（，﹣2），∴k=×（﹣2）=﹣1，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴图象过第二、四象限，∵k=﹣1，∴一次函数y=x﹣1，∴图象经过第一、三、四象限，联立两函数解析式可得：﹣=x﹣1，则x2﹣x+1=0，∵△=1﹣4＜0，∴两函数图象无交点，故选：D．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数与反比例函数图象的性质，关键是根据k的值正确确定函数图象所在象限．11．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1B．C．2D．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．13．已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2B．﹣4C．﹣1D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可．【解答】解：∵点A（m，﹣2），B（3，m﹣1），直线AB∥x轴，∴m﹣1=﹣2，解得m=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a ＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．C．D．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；=AD•CD=；∴S△ACD易证得△AOE∽△ADC，∴=（）2=（）2=，=S△ADC=；即S△AOE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；∴S△ABE故选：D．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）16．在一个不透明的箱子里有黄色、白色的小球共10个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计其中白球的个数，小刚摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，不断重复上述摸球过程，共摸球400次，其中80次摸到白球，可估计箱子中大约白球的个数有2个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：设箱子中白球有x个，根据题意，得：=，解得：x=2，即箱子中白球有2个，故答案为：2．【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．17．如图，若使△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是∠ACD=∠B．【分析】由公共角∠A=∠A，再由∠ACD=∠B，即可判定△ACD∽△ABC．【解答】解：△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是∠ACD=∠B；理由如下：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，则cosB的值为．【分析】根据勾股定理求出BC，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：由勾股定理得，BC==2，∴cosB==，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．19．一个扇形的半径长为12cm，面积为24πcm2，则这个扇形的圆心角为60度．πR2，求出这个扇形的圆心角为多少即可．【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，∵24π=π×122，∴n=60，∴这个扇形的圆心角为60度．故答案为：60．【点评】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设πR2或S扇形=lR（其中l为扇形圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=的弧长）．20．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是7．【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．【解答】解：x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7．故答案为7．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．21．若正方形的面积是9，则它的对角线长是．【分析】根据正方形的性质可求得其边长，再根据勾股定理可求得其对角线的长．【解答】解：若正方形的面积是9，则它的边长是3，根据勾股定理得到则它的对角线长===3．故答案为3【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．三．解答题（共8小题，满分57分）22．（7分）（1）计算：tan60°+|2﹣|（2）解方程：（x﹣2）2=3x﹣6．【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值和绝对值的性质计算可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）原式=+2﹣=2；（2）∵（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x﹣5）=0，则x﹣2=0或x﹣5=0，解得：x=2或x=5．【点评】本题主要考查解一元二次方程和实数的运算的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．（7分）农八师石河子市某中学初三（1）班的学生，在一次数学活动课中，来到市游憩广场，测量坐落在广场中心的王震将军的铜像高度，已知铜像底座的高为3.5m．某小组的实习报告如下，请你计算出铜像的高（结果精确到0.1m）．实习报告2003年9月25日题目1测量底部可以到达的铜像高测得数据测量项目第一次第二次平均值BD 的长12.3m 11.7m 测倾器CD 的高1.32m 1.28m 倾斜角α=30°56'α=31°4'计算结果【分析】根据表中所给数据分别计算出BD 、CD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出AE 的长．【解答】解：∵两次测得BD 的长分别是：12.3m ，11.7m ，∴其平均值为：=12m；∵两次测得CD 的高为：1.32m ，1.28m ，∴其平均值为：=1.30m ；∵两次测得其倾斜角分别是：30°56′，31°4′，∴其平均值为：=31°，设AE=xm ，由测量知∠ACE=31°，CE ：BD=12m ，在Rt △AEC 中，tan ∠ACE=，∴x=12•tan31°=12×0.6=7.2m ，∴AF=AE ﹣EF=7.2﹣（3.5﹣1.3）=5.0m ，故铜像的高为：5.0m ．测量项目第一次第二次平均值测得数据BD 的长12.3m 11.7m 12m 测倾器CD 的高1.32m 1.28m 1.30m 倾斜角α=30°56’α=31°4’α=31°计算设AE=xm ，由测量知∠ACE=31°CE ：BD=12m ，在Rt △AEC中，tan ∠ACE=，∴x=12•tan31°=12×0.6=7.2m ，∴AF=AE ﹣EF=7.2﹣（3.5﹣1.3）=5.0m结果铜像高5.0m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．24．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE∥AC，CE∥DB．试判断四边形OBEC的形状并说明理由．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即可证明OB=OC，再根据BE∥AC，CE∥DB即可判定四边形OBEC为菱形．【解答】解：四边形OBEC是菱形，证明：∵矩形对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC为平行四边形，∴四边形OBEC是菱形．【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了菱形的判定，本题中正确判定四边形的形状是解题的关键．25．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．【分析】设2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年的投入资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2=2880，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26．（8分）在一个不透明的盒子里有5个小球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，﹣，﹣，这些小球除所标的数不同外其余都相同，先从盒子随机摸出1个球，记下所标的数，再从剩下的球中随机摸出1个球，记下所标的数．（1）用画树状图或列表的方法求两次摸出的球所标的数之积不大于1的概率．（2）若以第一次摸出球上的数字为横坐标，第二次摸出球上的数字为纵坐标确定一点，直接写出该点在双曲线y=上的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可得到所有可能的结果，进一步计算得出两次摸出的数字之积不大于1的概率；（2）若以第一次摸出球上的数字为横坐标，第二次摸出球上的数字为纵坐标确定一点，在双曲线y=上的点有（﹣3，﹣），（﹣2，﹣），（﹣，﹣2），（﹣，﹣3），求出即可解答．【解答】解：（1）画树状图如下：共有20种情况，其中两次摸出的数字之积不大于1的有（﹣3，﹣）、（﹣2，﹣）、（﹣2，﹣）、（﹣1，﹣）、（﹣1，﹣）、（﹣，﹣2）、（﹣，﹣1）、（﹣，﹣）、（﹣，﹣3）、（﹣，﹣2）、（﹣，﹣1），（﹣，﹣）共12种情况P（积不大于1）=；（2）若以第一次摸出球上的数字为横坐标，第二次摸出球上的数字为纵坐标确定一点，在双曲线y=上的点有（﹣3，﹣），（﹣2，﹣），（﹣，﹣2），（﹣，﹣3），=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．（9分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）能．∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．（3）设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．28．（9分）已知如图：点（1，3）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：（1）求k的值；（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）（3）当∠ABD=45°时，求m的值．【分析】（1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；（2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出A的横坐标；（3）∠ABD=45°时，AB=BD，把（2）中的代数式代入即可求解．【解答】解：（1）由函数y=图象过点（1，3），则把点（1，3）坐标代入y=中，得：k=3，y=；（2）连接AC，则AC过E，过E作EG⊥BC交BC于G点∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=上，∴E的纵坐标是y=，∵E为BD中点，∴由平行四边形性质得出E为AC中点，∴BG=GC=BC，∴AB=2EG=，即A点的纵坐标是，代入双曲线y=得：A的横坐标是m，∴A（m，）；（3）当∠ABD=45°时，AB=AD，则有=m，即m2=6，解得：m1=，m2=﹣（舍去），∴m=．【点评】本题考查了反比例函数的综合知识；若函数过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；另外，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；培养学生综合运用知识的能力和探究精神．29．（9分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
2023年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试题
2023年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．
B ．
C
．D．
二、填空题
S
三、解答题
小亮的解答
题目如图，已知直线l和直线l外一点A，用直尺和圆规作
直线AB，使AB l
∥______．（不写作法，保留作图痕迹）
如图，直线AB即为所
求．
往学校，哥哥用时12min 到达学校，弟弟比哥哥早出发5min ，却在哥哥到达时还距离学校180m ．哥哥、弟弟所走的路程()1m y ，()2m y 与哥哥所用的时间()min x 之间的函数关系如图所示．
(1)学校与家的距离是______m ； (2)求点A 的坐标，并解释它的实际意义； (3)哥哥出发多久后，追上弟弟？
24．如图，一艘潜艇在海面AB 下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点P 距海面28m ．潜艇水手在航程为78m （即78m PQ =）的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁M ，测量到入射光线的MC ，MD 与海面的夹角分别是19.838.7︒︒，，折射光线CP ，DQ 与海面的夹角分别是4554.4︒︒，
．求崖壁M 到海面的距离． （说明：图中点M ，C ，D ，
P ，Q 在同一平面内，参考数据：tan19.80.4︒≈，tan38.70.8︒≈，tan54.4 1.4︒≈．）
25．如图，O e 经过ABCD Y 的三个顶点A ，B ，D ，且与BC 相切，切点为B ，并交CD 边于点E ．
(1)求证：ABD EBC ∠=∠；
(2)若O e 的半径为5，6BE =，则DE 的长为______．。
南京市秦淮区2018--2019 学年度第一学期期末试卷九年级数学(含答案)
（8 分）已知二次函数 y ( x 1)( x m 3) （m 为常数） 25． （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点． （2）当 m 取什么值时，该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的下方？
5
26． （10 分） 如图①， P 是 O 上一点， 过点 P 做 O 的两条切线， 切点分别为 A、 B． 若∠APB=60°， 则点 P 叫做 O 的切角点．
12．关于 x 的方程 ax 2 bx 2 0 的两根为 x1 1 ， x2 2 ，则方程 a( x 1)2 b x 1 2 0
的两根分别为_______．
13．如图，E、F 是线段 AB 的两个黄金分割点，AB=1，则线段 EF 的长为_________． （结 果保留根号）
4
上的 ，P 为 BC 24． （8 分）如图，AB 为 O 的直径， AB 4 ，C 为 O 上一点，且 AC BC 2 一动点，延长 AP 至 Q，使得 APꞏAQ=AB ，连接 BQ． （1）求证：直线 BQ 是 O 的切线． （结果保留 ） （2）若点 P 由点 B 运动到点 C，则线段 PQ 扫过的面积是________．
南京市秦淮区2018--2019 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
2019.01
一、选择题 1．从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（ A．抽到“大王” B．抽到“2” C．抽到“小王” D．抽到“红桃”
）
2．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是 90，87，92，88，93，方差是 5.2（单位： ，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ） 分 2） A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
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.. .. 2018-2019学年江苏省南京市秦淮区九年级数学（上） 第二次月考试卷 一．选择题（共6小题，满分12分） 1．（2分）如图图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1 3．（2分）一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线
长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 4．（2分）若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（ ） A．12 B．10 C．2 D．0 5．（2分）已知方程﹣2x2﹣7x+1=0的较小根为α，下面对α的估算正确的是（ ）
A．﹣5＜α＜﹣4 B．﹣4＜α＜﹣3 C．﹣3＜α＜﹣2 D．﹣1＜α＜0 6．（2分）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3π﹣4 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 ．
8．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，则扇形的弧长为 cm，扇形的面积为 cm2． .. .. 9．（2分）关于x的一元二次方程2x2+2x﹣m=0有实根，则m的取值范围是 ．
10．（2分）某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：
3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，
作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是 分． 11．（2分）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能
再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是 ． 12．（2分）一元二次方程x2﹣36=0的根是 ．
13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=54°，则∠BAD= ．
14．（2分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，
D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙O的运
动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
15．（2分）如图所示，PM切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点E为圆上一点，若BE∥AO，
∠EAO=30°，若⊙O的半径为1，则AP的长为 ． ..
.. 16．（2分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始
消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
三．解答题（共11小题，满分68分） 17．（6分）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3． 解决问题： （1）解方程：（3x﹣2）2=25． 解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2= ．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1． （2）解方程． 18．（6分）（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=12．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； .. .. （2）若该方程一个根为3，求m的值． 20．（8分）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2，
求⊙O半径的长．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根
之积，求k的值． 22．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和
她的妹妹在六一儿童节期间的对话： 甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包． 妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元． 请问： （1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？ （2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？ 23．（8分）如图，⊙O半径为1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一
点D在直线AB上，若AC=，OB=BD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）
24．（8分）某班为选拔参加2009年学校数学文化节的选手，对部分学生进行了培训．培训期
间共进行了10次模拟测试，其中两位同学的成绩如下表所示： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲 85 95 94 96 94 85 92 95 99 95 乙 80 99 100 99 90 82 81 80 90 99 （1）根据图表中所示的信息填写下表： .. .. 中位数 众数 极差 方差 甲 94.5 95 乙 90 20 68.8 （2）这两位同学的成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）？ （3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加活动？为什么？ 25．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）2（x+2）2﹣8=0． （2）x（x﹣6）=x． （3）2x2+4x+1=0． （4）=x． 26．如图，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，
线段BP与这条弧相切与点P，直线CD垂直平分PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE=DB．已知AB=6，设OA=r．
（1）求证：OP∥ED； （2）当∠ABP=30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形； （3）过点O作OF⊥DE于点F，如图所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系．
27．如图，在⊙O中，将沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接
CD．
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC= °； （2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由． ..
.. ..
.. 参考答案 1．D．
2．C．
3．B．
4．A．
5．B．
6．A．
7．4．
8．4π；12π 9．m≥﹣．
10．89.3．
11．（1﹣10%）（1+x）2=1．
12．±6 13．36°．
14．2，﹣1．
15．．
16．360°． .. .. 17．解：（1）3x﹣2=﹣5，
（2）根据乘方运算，
得或 解这两个一元一次方程，得x1=，x2=． 故答案为：﹣5
18．解：方程变形为x2+5x+1=0，
∵a=1，b=5，c=1， ∴b2﹣4ac=21，
∴x=，
∴x1=，x2=．
19．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，
∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m， ∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0， 解得：m1=3，m2=1． ∴m的值为3或1．
20．解：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D， ∴OC⊥AB， ∵AB=12， ∴AD=BD=6， .. .. 设⊙O的半径为R， ∵CD=2， ∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AD2， 即：R2=（R﹣2）2+62， ∴R=10 答：⊙O的半径长为10．
21．解：设方程的两根为x1，x2，
根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤﹣， x1+x2=﹣（2k﹣1）=1﹣2k，x1x2=k2+1，
∵方程的两根之和等于两根之积， ∴1﹣2k=k2+1 ∴k2+2k=0， ∴k1=0，k2=﹣2，
而k≤﹣， ∴k=﹣2．
22解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484， 解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）． 答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元， 依题意得：2y+34+y=484， 解得y=150 所以484﹣150=334（元）． 答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
23．（1）证明：连接OC，CB，则∠COD=2∠CAD，