高三第二次月考数学试题(附答案)
河北省隆化存瑞中学2023届高三下学期2月月考数学试题(含答案解析)
河北省隆化存瑞中学2023届高三下学期2月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列不等式中成立的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b<2．f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0且f （﹣1）＝0则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集为A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）3．已知集合{|24}A x x =<，{|3}B x a x a =-<+ ，若A B A = ，则a 取值范围是（）A ．2a >-B ．1a ≤-C ．1aD ．2a >4．已知向量()()2,3,1,2==- ab ，若ma nb + 与2a b - 共线，则m n等于（）A ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若//m α，//m β，则//αβ6．已知a<0，若直线1l ：210ax y ++=与直线2l ：()140x a y ++-=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD47．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（）A ．121619320C C C B ．12164320C C C C ．2112164164320C C C C C +D ．34320C 1C -8．已知将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度后得到曲线()y g x =，则函数()y g x =的单调递增区间是（）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．7[,)1212k k k Z ππππ--∈2ππππ二、多选题9．设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12iz =+10．下列命题中是假命题的有（）A ．函数2y x =和2ln e x y =为同一函数B ．若函数()y f x =是奇函数，则()00f =C ．命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R ,10x x ∀∈+≠”D ．函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是一段连续曲线，如果()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(),a b 上没有零点11．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题中，正确的是（）A ．在ABC 中，若sin sin AB = ，则A B=B ．在ABC中，若BC =sin 2sin C A =，则AB =C ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B = ，则a b =D ．在ABC 中，sin sin sin a b cA B C+=+12．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =，则（）A ．数列{}n a 的通项公式为24n a n =-B ．数列{}n a 的公差为12C ．数列{}n a 的前n 项和为234n n nS +=D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前22项和为116三、填空题13．曲线12x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为__________.14．若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．15．已知函数()()2f x k x =+-有两个不同的零点，则常数k 的取值范围是___________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，给出以下四个结论：1AC MN ⊥①；1AC //②平面MNPQ ；1AC ③与PM 相交；1NC ④与PM 异面.其中正确结论的序号是______．四、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）若b ，4a c +=，求ABC ∆的面积S .18．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，*N n ∈，且1573a a a +=，235a a S ⋅=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x 百万元)和年销量(y 万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x 百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y 与x 的相关系数(r 精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix ynxyr -=∑71246i i i x y ==∑②，721888ii x ==∑，72170i i y ==∑，36.28≈36.41≈20．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E ∠∠=====∥ 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90.(1)在直线PA 上找一点M ，使得直线//MC 平面PBE ，并求AMAP的值；(2)若直线CD 到平面PBE，求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.21．已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．已知函数()ln xf x x =，()()231m g x m R x x=--∈.（1）求函数()f x 的单调区间.（2）若()()2f x g x ≥对任意()0,x ∈+∞成立，求正实数m 的取值范围.（3）证明：()22ln 0xx x x x e e <->.参考答案：1．B【分析】A ，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；BCD ，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A.若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；B.若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C.若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D.若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误.故选：B 2．A【分析】构造函数h （x ）＝f （x ）g （x ），由已知得当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，得到f （x ）g （x ）＜0不等式的解集．【详解】设h （x ）＝f （x ）g （x ），因为当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0，所以当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，因为f （﹣1）＝0，所以函数y ＝h （x ）的大致图象如下：所以等式f （x ）g （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A ．【点睛】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题．3．C【分析】依题意可得A B ⊆，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由A B A = 知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+⎩，解得1a.故选：C .4．A【分析】先得出ma nb +与2a b - 的坐标，由共线得出147m n =-，进而得出答案.【详解】解：易得()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-，因为ma nb +与2a b - 共线，所以()()()21324m n m n -⨯-=+⨯，即147m n =-，所以12m n =-.故选：A .5．C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行，相交或异面，故A 错误；对于B ，若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ相交或平行，故B 错误；对于C ，若m α⊥，n α⊥，则//m n （垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C 正确；对于D ，若//m α，//m β，则,αβ相交或平行，故D 错误.故选：C.6．A【分析】根据题意结合两直线平行求得2a =-，再代入两平行线间距离公式运算求解.【详解】若直线1l ：210ax y ++=与直线2l ：()140x a y ++-=平行，则()120a a +-=，解得1a =或2a =-，当1a =时，直线1l ：210x y ++=与直线2l ：240x y +-=平行；当2a =-时，直线1l ：2210x y --=与直线2l ：40x y --=平行；综上所述：若直线1l 与直线2l 平行，则1a =或2a =-.∵a<0，则2a =-，此时直线1l ：2210x y --=，直线2l ：2280x y --=，故直线1l 、2l 之间的距离4d ==.故选：A.7．D【分析】根据给定条件，求出从20个零件中任取3个的试验所含基本事件种数，再求出没有一等品的事件含有的基本事件数，用对立事件的概率公式列式作答.【详解】依题意，从20个零件中任取3个的试验有320C 个基本事件，它们等可能，至少有一个是一等品的事件为A ，其对立事件A 是没有一等品的事件，有34C 个基本事件，所以至少有一个是一等品的概率34320C ()1()1C P A P A =-=-.故选：D 8．C【分析】首先根据三角函数的平移变换求出()y g x =的解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度得到()cos 2cos 263y g x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，故函数()y g x =的单调递增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；故选：C 9．AD【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i zz +=+，则12z z +=，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10．ABD【分析】根据相同函数的定义即可判断A ；根据奇函数的性质即可判断B ；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断C ；根据零点的存在性定理即可判断D.【详解】对于A ，函数2y x =的定义域为R ，函数2ln e x y =的定义域为{}0x x ≠，所以函数2y x =和2ln e x y =不是同一函数，故A 错误；对于B ，若奇函数()y f x =的定义域为{}0x x ≠，则()0f 不存在，故B 错误；对于C ，命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R ,10x x ∀∈+≠”，故C 正确；对于D ，函数()2f x x =在区间[]1,1-上的图象是一段连续曲线，且()()1110f f -=>，但函数()2f x x =在区间()1,1-上有零点0，故D 错误.故选：ABD.11．ABD【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD ；由sin2sin 2A B = 确定角A ，B 的关系判断C 作答.【详解】在ABC 中，由sin sin A B =及正弦定理得：a b =，因此A B =，A 正确；在ABC 中，由sin 2sin C A =及正弦定理得：2AB BC ==B 正确；在ABC 中，0π,0πA B <<<<，则022π,022πA B <<<<，因为sin2sin 2A B = ，则有22A B =或22πA B +=，即有A B =或π2A B +=，当A B =时，a b =，当π2A B +=时，a 与b 不一定相等，C 错误；令R 为ABC 外接圆半径，则2sin sin sin a b c R A B C===，于是2sin 2sin 2sin sin sin sin sin b c R B R C aR B C B C A++===++，D 正确.故选：ABD 12．BCD【分析】通过基本量计算得1a 和d ，可判断ABC ；用裂项相消法求和可判断D.【详解】由题知，11229332a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,2a d ==，则111(1)(1)22n a n n =+-=+，2(1)13224n n n n nS n -+=+⨯=，故A 错，BC 正确；记11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，因为11444(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以444444()()()(4442)21222233445n T nn n n n =-+-+-+⋅+-=-++⋅+⋅=+所以224411246T ==，故D 正确.故选：BCD 13．31y x =+【分析】求出函数12x y x -=+的导数及在=1x -处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】依题意，222(1)3(2)(2)x x y x x +--'==++，123|3(12)x y =-'==-+，所以曲线12x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为(21)3y x +=+，即31y x =+.故答案为：31y x =+14．3【分析】由已知得412x y =++，代入x y +，然后由基本不等式得最小值．【详解】因为26xy x y +-=，所以412x y =++，441(2)121322x y y y y y +=++=++-≥=++，当且仅当3,0x y ==时，等号成立．故答案为：3．15．0k ≤<【分析】根据题意，函数()()2f x k x -有两个不同的零点，等价于y ()2y k x =--的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】由函数()()2f x k x -有两个不同的零点，可知y ()2y k x =--的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当y =()2y k x =--1=，即k =，由图可知0k -<，故相切时3k =，因此结合图象可知，当03k ≤<时，y =()2y k x =--的图象有两个不同的交点，即当0k ≤<时，函数()()2f x k x =-有两个不同的零点.故答案为：0k ≤<.16．①③④【分析】①要证1AC MN ⊥，由于1//AD MN ，则只需证11A C AD ⊥，即只需证1AD ⊥面1ACD 即可；②由于1AC 与MP 交于一点，则1AC 与平面MNPQ 相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D AD ∴⊥，CD ⊥ 面AA1D1D ，AD1⊂面AA1D1D ，1CD AD ∴⊥，1AD ∴⊥面1A CD ，11A C AD ∴⊥M ，N 分别是1AA ，11A D 的中点，1AD //MN ∴，即1A C MN ⊥，故①正确；由于M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，则1AC 与PM 相交，故②不正确，③正确；N ∉ 面11ACC A ，而M ，P ，C ∈面11ACC A ，NC ∴与PM 异面，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．17．(1)60B =︒(2)4S =【详解】分析：（1）由()2cos cos -=a c B b C ，利用正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2B =；从而可得结果；（2）由余弦定理可得()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==可得3ac =，所以1·sin 24S ac B ==.详解：(1)∵()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅∴2sin cos sin cos sin cos A B B C C B⋅=⋅+⋅()2sin cos sin sin A B B C A⋅=+=1cos 2B =∴60B =︒（2）∵()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==∴3ac =∴1·sin 2S ac B ==点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．(1)31n a n =-(2)64n nT n =+【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，首项1a ，利用等差数列的通项公式及求和公式可求解；（2）由11133132n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的首项1a ，公差为()0d d ≠，因为1573a a a +=，235a a S ⋅=，所以()()111114462510a d a d a d a d a d +=+⎧⎨+⋅+=+⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）因为31n a n =-，所以132n a n +=+，得()()1111313233132n b n n n n ⎛⎫==- -+-+⎝⎭，所以121111111325573132n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111323264n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.19．(1)0.99r =,y 与x 的关系可以用线性回归方程模型拟合.(2)12【分析】（1）直接代入相关系数公式计算并判断即可；（2）先求出从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率，再按照二项分布的概率计算公式即可.【详解】（1）1(35610131518)107x =++++++=,1(1.52 2.53 3.54 4.5)37y =++++++=则770.99i ix y xyr -=≈∑可知0.990.75r =>，y 与x 的关系可以用线性回归方程模型拟合.（2）设从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率为2142p ==，则从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=.20．(1)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得AMAP的值；（2）先由直线CD 到平面PBE的距离为5求得PA 的长度，再利用平面PBE 与平面PBC 法向量的夹角公式去求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，90PAB ∠=o ，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .即,PA AB PA CD ⊥⊥,又AB CD 、为两相交直线，则PA ⊥平面ABCD 取PD 中点F ，连接EF ，又AE DE =，则//PA EF ，则EF ⊥平面ABCD 又四边形ABCD 中，1,90,12AD BC ADC BC CD AD ∠====∥，AE DE=则BE AD ⊥，则三直线BE AD EF 、、两两互相垂直以E 为原点，分别以ED 、EB 、EF 所在直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系如图：设(0)PA h h =>，则(0,0,0)E ，(1,0,0)A -，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(1,0,)P h -，(1,1,)PB h =- ,(1,0,)PE h =-设平面PBE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00PE n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111100x hz x y hz -=⎧⎨+-=⎩，令11z =，则110x h y ==，，则(,0,1)n h = 设(1,0,)M t -，则(2,1,)MC t =-由直线//MC 平面PBE ，可得MC n ⊥ ，即0MC n ⋅=则200h t +-=，解之得2t h =，则2AM h =，又PA h =，则22AM hAP h==（2）由直线CD 到平面PBE，得点C 到平面PBE，又(1,0,0)CB =- ，(,0,1)n h =为平面PBE 的一个法向量则CB n n⋅==，解之得2h =，则(1,0,2)P -，(2,0,1)n =，(1,1,2)PB =- 设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，又(1,0,0)CB =-则00CB m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222020x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令21z =，则2202x y ==，，则(0,2,1)m = 设平面PBE 与平面PBC 夹角为θ则1cos cos 5m n m n m nθ⋅===⋅ ，又π02θ≤≤，则sin 5θ=21．（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点M，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m+=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.22．（1）单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞；（2）(]0,4；（3）证明见解析.【分析】（1）求出()f x '，在定义域内，分别令()0f x ¢>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立等价于32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，利用导数可得32ln x x x++的最小值为4，从而可得结果；（3）原不等式等价于即()2e x xf x e<-，由（1）可得()f x 的最大值为1e ，利用导数可证明2e x xe-的最小值为1e ，从而可得结论.【详解】解析：（1）()ln xf x x=，()21ln x f x x -'∴=.令()0f x ¢>，解得0<<x e ；()0f x '<，解得>x e ，()f x \的单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞.（2）“()()2f x g x ≥对任意()0,∞+成立”等价于“32ln m x x x≤++对任意()0,x ∈+∞恒成立”.令()3=2ln h x x x x ++，则()()()2231231x x h x x x x+='-=+-.当()0,1x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞上单调递增.()()min 14h x h ∴==又0m > ，04m ∴<≤.即所求实数m 的取值范围是(]0,4.（3）证明：“22ln x x x x e e<-”等价于“ln 2x x x x e e <-”.据（1）求解知()()1f x f e e≤=，令()()20x x x x e eϕ=->，则()1x x x e ϕ-'=.分析知，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11x eϕϕ∴==.()()f x x ϕ∴<对()0,x ∈+∞恒成立即()22ln 0xx x x x e e <->.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考试卷(二)数学试题+答案解析
长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：____________本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}|21A x x =-≤，(){}|ln 321B x x =-<，则A B =I （）A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,32⎛⎤⎥⎝⎦2.若复数z 满足()21811z i i -=+，则4z i -=（）A .13B .15C .13D .153.我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示.已知a 为良马第n 天行驶的路程，b 为驽马第n 天行驶的路程，S 为良马、驽马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为（）A .51252250,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .51252250,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(]1950,2250D .[]1950,22504.已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()6f =（）A .-2B .-1C .0D .25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为（）A .63B .-21C .-63D .216.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件7.若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（）A .5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .(),1-∞D .()1,+∞8.将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（）A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D .函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9.已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（）A .5B .4C .5D .210.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，当()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]0,8上的解的个数是（）A .3B .5C .7D .911.已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r，则a b -r r 的最小值是（）A .31-B .31+C .2D .23-12.已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()xg x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为（）A .()11ln 22-B .1ln 22+C .1ln 2-D .()11ln 22+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r ，b r 的夹角为120o，且2a =r ，227a b -=r r ，则b =r ______.14.正项等比数列{}n a 中，存在两项()*,,m n a a m n N ∈使得2116m na aa =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为______.15.在研究函数()()120xf x x =≠的单调区间时，有如下解法：设()()ln 2ln g x f x x==，()g x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数.类比上述作法，研究函数()0xy xx =>的单调区间，其单调增区间为______.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()1sin cos sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为233+，则a =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量()sin ,cos a x x =r ，()sin ,sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r.（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.18.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.（1）求边AC 的长；（2）若APB ∆的面积是23，求sin BAP ∠的值.19.已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-.（1）求()f x 的解析式.（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+，*n N ∈.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由.21.已知函数()()ln af x x x a R x=++∈.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为22,4π⎛⎫-⎪⎝⎭，求11PA PB+的值.长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学参考答案一、选择题1-5：BCCDC6-10：CCBBD11-12：AD1.B 【解析】∵{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，(){}33|ln 32122eB x x x -⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，∴33|11,22A B x x ⎧⎫⎡⎫=≤<=⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭I .故选B .3.C 【解析】由题意，得良马n 天的行程为()1311032n n n -+，驽马n 天的行程为()1974n n n --，所以良马、驽马n 天的总路程为()2520014S n n n =+-，当8n =时，1950S =；当9n =时，2250S =.因为输出9n =，所以19502250m <≤.故选C .4.D 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以()()61f f =，又由题知()f x 在区间[]1,1-上是奇函数，所以()()()311112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D .5.C 【解析】∵261116203a a a a a ---+=，∴()()220616113a a a a a +-+-=，∴113a =-，∴21112163S a ==-，故选C .6.C 【解析】由题意得，()2221212100n n n n a a a q q ---+<⇔+<()()()2110,1n qq q -⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C .7.C【解析】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即211122x a x x x +⎛⎫<=+ ⎪⎝⎭恒成立，∵11112x x x x⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，∴1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C .8.B【解析】将函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()2cos 2sin 236y g x x x ππ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确；当12x π=时，1sin 062y π=-=-≠，故C 错误；当3x π=时，23sin132y π=-=-≠±，故D 错误，故选B .10.D【解析】由()()22f x f x -=+得，()()4f x f x =+，∵()f x 的周期为4，∵()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，()00f =，当20x -<<时，()()2ln 1f x x x =-++，∴当22x -<<时，()()()22ln 1,02ln 1,20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-++-<≤⎪⎩，当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±，又()()()222f f f -==-，故()20f =，则()60f =.∴当[]0,8x ∈时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8，2，6共9个，故选D .11.A 【解析】设()1,0e =r ，(),b x y =r ，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=r r r ()2221x y ⇒-+=.如图所示，a OA =r uu r ，b OB =r uu u r （其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=），∴min131a b CD -=-=-r r （其中CD OA ⊥）.12.D【解析】∵()2,0,0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，∴()0f x >恒成立，∴()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，∴()ln f x m =.作函数()f x ，ln y m =的图象如下，结合图象可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x e t ==，故211ln 2x x t t -=-，令()1ln 2h t t t =-，则()1'12h t t=-，故()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，∴()111ln 2222h t h ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，故选D.二、填空题13.214.615.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.313.2【解析】∵227a b -=r r，∴()2228a b -=r r ，即224428a a b b -⋅+=r r r r ，∴2442cos120428b b -⨯⨯⨯+=or r ，解得2b =r ，故答案为2.14.6【解析】先由已知求出公比2q =，再得出6m n +=，于是()125112566m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，所以所求最小值为6.15.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设()()ln ln g x f x x x ==，则()'ln 1g x x =+，令()'0g x >，则1x e>，即()g x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，()0xy xx =>的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.3【解析】ABC ∆中，()1sin cos sin 2B B C C =+，∴()1cos 2b B C c =+⋅，即cos 02bA c=-<，∴A 为钝角，∴cos cos 0A C ≠；由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2cos sin A C =-，可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，∴()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=--22tan 223113tan 3233tan tan CCC C==≤=++，当且仅当3tan 3C =时取等号，∴B 取得最大值6π时，6c =，6C B π==，∴23A π=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：3a b =.∵三角形的周长为3233a b c b b b ++=++=+.解得：233332b +==+，∴33a b ==.故答案为3.三、解答题17.【解析】（1）()2sin sin cos f x a b x x x =⋅=+⋅r r 1cos 2121sin 2sin 222242x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈.∴()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈.（2）∵,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴5sin sin 2sin 12412x πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又562sinsin 12644πππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是()max 2621332424f x ++=⨯+=，∵()2f x m -<恒成立，∴()max 2m f x >-，即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅∠，则：()()22144242x x x x =+---⋅，整理得：2312120x x -+=，解得：2x =，故：2AC =.（2）由于2AC =，4AP AC +=，所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形.由于APB ∆的面积是23，则1sin 232AP BP BPA ⋅⋅∠=，解得4BP =.在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-⋅⋅⋅∠，解得：27AB =，在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：427sin 32BAP =∠，解得：21sin 7BAP ∠=.19.【解析】（1）当0x <时，0x ->，∴()23x xf x ---=-，又函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()23xx f x -=+.又()00f =.综上所述()2,030,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩.（2）()f x 为R 上的单调函数，且()()51003f f -=>=，∴函数()f x 在R 上单调递减.∵()()22220f t t f t k -+-<，∴()()2222f t t f t k -<--，∵函数()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-.又()f x 在R 上单调递减，∴2222t t k t ->-对任意t R ∈恒成立，∴2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴4120k ∆=+<，解得13k <-.∴实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】（1）因为112133n n a a +=+，所以1111133n n a a +-=-.又因为1110a -≠，所以()*110n n N a -≠∈.所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）可得1121133n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，所以11213nn a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.2121111112333n n n S n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111133211313n n n n +-=+⨯=+--，若100n S <，则111003n n +-<，所以最大正整数n 的值为99.（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a --=-，因为332n n n a =+，所以2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3323m n s +=⨯.因为332323m n m n s ++≥⨯=⨯，当且仅当m n =时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在.21.【解析】（1）由题可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'x x a f x x +-=，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()'0f x ≥在区间[)1,+∞上恒成立，等价于()2min a x x ≤+，即2a ≤，所以a 的取值范围是(],2-∞.（2）由题得，()2ln g x x x ax a x =-+-，则()'ln 2g x x ax =-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ，所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，欲证2312x x e >等价于证()2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以12322ax ax +>，因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+.由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，可得()2211ln 2x a x x x =-，则()2121ln 2x x a x x =-，由此可知，原不等式等价于212112ln 32x x x x x x >-+，即()2211221121313ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++.设21x t x =，则1t >，则上式等价于()()31ln 112t t t t ->>+.令()()()31ln 112t h t t t t -=->+，则()()()()2141'12t t h t t t --=+，因为1t >，所以()'0h t >，所以()h t 在区间()1,+∞上单调递增，所以当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t ->+，所以原不等式成立，即2312x x e ⋅>.22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为：2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2y x =得29801500t t -+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设1t ，2t 是A 、B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =.∴121211815PA PB t t PA PB PA PB t t +++===⋅.23.【解析】（1）当2a =时，()21f x x x =-+-，()2f x ≤，即212x x -+-≤，故1212x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩或12212x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得：112x ≤≤或12x <<或522x ≤≤，故不等式的解集是15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵()1f x x ≤+的解集包含[]1,2，∴当[]1,2x ∈时，不等式()1f x x ≤+恒成立，即11x a x x -+-≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴11x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∵22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴()()max min 22x a x -≤≤+，∴03a ≤≤，∴a 的取值范围是[]0,3.。
山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次(4月)月考数学试题试卷
山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次（4月）月考数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-2．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 3．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．727．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ） A ．5B ．52C ．32D ．258．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．211．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,112．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案
2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。
2024届黑龙江省鸡西市高三数学试题2月月考试题
2024届黑龙江省鸡西市高三数学试题2月月考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<2．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->> D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20179．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-210．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1B 2C ．2D ．411．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．12012．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A ．3B ．13C ．2D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷
河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，182．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 3．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3105．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,110．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+11．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105 C ．155D ．6312．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB．2C ．12πD ．24π2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=－2, 则a 25= ( ) A －22 B －24 C 60 D 643．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等比数列{a n }中，a 3=3，S 3=9，则a 1=（ ）A ．12B ．3C ．－6或12D ．3或125．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==6．已知c b a ,,为非零的平面向量． 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的（ ） A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件7．已知O 是△ABC 内一点，且满足→OA·→OB ＝→OB·→OC ＝→OC·→OA ，则O 点一定是△ABC 的 A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y11．在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线，则四边形ABCD 是 A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形12．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在横线上． 13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．14．已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-，(1,)c t =，c ∥()a b +，则t= .15．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线，则k= . 16．若数列)}({+∈N n a n 为等差数列，则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ，则有数列d n ＝ (n ∈N ＋)也是等比数列．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2005的值．19．(本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．20．（本题满分12分）已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a．⑴求证：b a b a-+与互相垂直；⑵若b k a b a k-+与大小相等，求αβ-（其中k 为非零实数）．21．（本小题满分12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． (1) 试求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．22．(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a．f a的表达式；⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值，并求出此时函数y的最大值．()2高三第二次月考数学试题参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。
18．⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d >0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n nn a a b c -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 故132-⋅=n n c 22004200512200532323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=19．解：（1）∵m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12，∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，………………………………………………2分即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝23π………………………………5分（2）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin 23 π＝3，∴bc ＝4 …………………7分又由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2－2bc ·cos120°＝b 2+c 2+bc ………………10分 ∴16＝(b +c )2，故b +c ＝4．……………………………………………12分19．解：⑴由),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBDDCBCCBAAB得)sin sin ,cos (cos βαβα++=+b a ，),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又)sin )(sin sin (sin )cos )(cos cos (cos )()(βαβαβαβα-++-+=-⋅+b a b a.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα ).()(b a b a -⊥+∴（2）),sin sin ,cos cos (βαβα++=+k k b a k,1)cos(22+-+=+∴αβk k b a k 同理,)cos(212k k b k a +--=-∴αβ由b k a b a k-=+得)cos(2)cos(2αβαβ--=-k k又,0≠k 所以,0)cos(=-αβ因,0πβα<<<所以.2παβ=-20．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n 又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 （2）21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n22．(1)f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2(cos x －a 2)2－a 22－2a －1。
当a ≥2时，则cos x ＝1时，f (x )取最小值，即f (a )＝1－4a ；当－2＜a ＜2时，则cos x ＝a 2时，f (x )取最小值，即f (a )＝－a 22－2a －1；当a ≤－2时，则cos x ＝－1时，f (x )取最小值，即f (a )＝1；综合上述，有f (a )＝21,2,121,22,214, 2.a a a a a a ≤-⎧⎪⎪----<<⎨⎪-≥⎪⎩(2)若f (a )＝12，a 只能在[－2,2]内。
解方程－a 22－2a －1＝12，得a ＝－1，和a ＝－3。
因－1∈[－2,2]，故a ＝－1为所求，此时f (x )＝2(cos x ＋12)2＋12；当cos x ＝1时，f (x )有最大值5。