2014-2017高考真题-选修4-4--坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程 考点 坐标系与参数方程

1.(2014·，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两

种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是?

??

??

x ＝t ＋1，

y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的

极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2 D.2 2

1.D [由?

????x ＝t ＋1，

y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，

C ：ρ＝4cos θ?ρ2＝4ρcos θ,∴C ：x 2＋y 2＝4x ,即(x －2)2＋y 2＝4,∴C (2，0),r ＝2.

∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2

＝2，∴所求弦长＝2r 2－d 2

＝2 2.故选D.]

2.(2014·，3)曲线???

?

?

x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ

(θ为参数)的对称中心( )

A.在直线y ＝2x 上

B.在直线y ＝－2x 上

C.在直线y ＝x －1上

D.在直线y ＝x ＋1上

2.B [曲线?

????x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝1,该曲线为圆,

圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y ＝－2x 上,故选B.]

3.(2014·，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝

1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

3.A [∵?

????x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为

ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝

1

cos θ＋sin θ

.

∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限(含端点)，∴0≤θ≤π

2.故选A.]

4.（2017?,11）在极坐标系中，点A 在圆ρ2

﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．

4.1 设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C ，将圆C 的极坐标方程化为：x 2+y 2

﹣2x ﹣4y+4=0，

再化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2

=1；

如图，当A 在CP 与⊙C 的交点Q 处时，|AP|最小为： |AP|min =|CP|﹣r C =2﹣1=1， 故答案为：1．

5.（2017·,11）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的

个数为________．

5.2 直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2

x+2y+1=0．

圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x 2+y 2=2y ，配方为：x 2+（y ﹣1）2

=1．

∴圆心C （0，1）到直线的距离d= = ＜1=R ．∴直线4ρcos （θ﹣ ）+1=0

与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．

6.(2016·，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于

A ，

B 两点，则|AB |＝________.

6.2 [直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0,圆的直角坐标方程为x 2

＋y 2

＝2x ,即(x －1)2

＋

y 2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1.点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝

2.]

7.(2015·，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ?

????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ?

??

??

22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.

7.522 [依题已知直线l ：2ρsin ? ????θ－π4＝2和点A ?

????22，7π4可化为l ：x -y +1＝0和A (2,-2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝

|2－（－2）＋1|12＋（－1）

2

＝52

2.]

8.(2015·，11)在极坐标系中，点?

????2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为

________.

8.1 [在平面直角坐标系下,点?

????2，π3化为(1,3),直线方程为：x ＋3y ＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|

2＝1.]

9.(2015·，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π

3(ρ∈R )距离的最大值

是________.

9.6 [由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2

＝16，由θ＝π3

得y ＝3x ，即3x －

y ＝0，∴圆心(0,4)到直线y ＝3x 的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π

3

的最大

距离为4＋2＝6.]

10.(2015·，15)已知直线l 的参数方程为?

??

??

x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝

4?

????ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.

10.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2,由ρ2

cos 2θ＝4得ρ2

(cos 2

θ－sin 2

θ)＝4,直角坐标方程为x 2

－y 2

＝4,把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]

11.（2017?新课标Ⅰ,22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （θ为

参数），直线l 的参数方程为 （t 为参数）．（10分）

(1)若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为

，求a ．

11.（1）解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；

联立方程，

解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．

（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d= = ，φ满足tanφ= ，

又d的最大值d max= ，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，

得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，

即a=﹣16或a=8．

12.（2017?新课标Ⅱ,22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．

（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

12.解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，

设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0= ，

∵|OM||OP|=16，

∴=16，

即（x2+y2）（1+ ）=16，

整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），

∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．

（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，

∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，

∴△AOB的最大面积S= |OA|?（2+ ）=2+ ．

13.（2017?新课标Ⅲ,22）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为

参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）写出C的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

13.（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），

∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；

又直线l2的参数方程为，（m为参数），

同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；

联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；

（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，

∴其普通方程为：x+y﹣=0，

联立得：，

∴ρ2=x2+y2= + =5．

∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．

14.（2017?,21C）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P

到直线l 的距离的最小值．

14.直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，

∴P 到直线l 的距离d= = ，

∴当s= 时，d 取得最小值 = ．

15.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???

?

?x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t

(t 为参

数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

15.解(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2

＋(y －1)2

＝a 2

,C 1是以(0，1)为圆心,a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2

－2ρsin θ＋1－a 2

＝0.

(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组?

????ρ2

－2ρsin θ＋1－a 2

＝0，

ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2

＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos 2

θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a 2

＝0，解得a ＝-1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为

C 1，C 2的公共点，在C 3上.

所以a ＝1.

16.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2

＋y 2

＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是?

????x ＝t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数),l 与

C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l

的斜率.

16.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).

设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2

＋12ρcos

α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2

－4ρ1ρ2＝144cos 2

α－44.

由|AB |＝10得cos 2

α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153

.

17.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为??

?x ＝3cos α，

y ＝sin α

(α为

参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ?

????θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；

(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 17.解 (1)C 1的普通方程为x 2

3＋y 2

＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).

因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，

d (α)＝

|3cos α＋sin α－4|2

＝2??????sin ? ????α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π

6

(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为

? ????32，12.

18.(2015·，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2

＋22ρsin ? ????θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.

18.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2

＋22ρ?

??

??

22sin θ－22cos θ－4＝0，

化简，得ρ2

＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2

＋y 2

－2x ＋2y －4＝0，

即(x －1)2

＋(y ＋1)2

＝6，所以圆C 的半径为 6.

19.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2

＋(y －2)2

＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.

19.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝

π4

代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2

－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，

所以△C 2MN 的面积为1

2

.

20.(2015·，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C

的参数方程为?

??

??

x ＝1＋3cos t ，

y ＝－2＋3sin t (t

为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ? ????θ－π4＝m (m ∈R ).

①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.

20.解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝9. 由2ρsin ? ????θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.

所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.

②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |

2＝2，解得m ＝－3±2 2.

21.(2015·，16Ⅱ)已知直线l ：???

??

x ＝5＋3

2

t ，y ＝3＋1

2

t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 21.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2

＝2ρcos θ.①

将ρ2

＝x 2

＋y 2

，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2

＋y 2

－2x ＝0.②

(2)将?????x ＝5＋3

2t ，y ＝3＋1

2t

代入②式，得t 2

＋5

3t ＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.

22.(2014·，16)已知曲线C 1的参数方程是?

???

?

x ＝t ，

y ＝3t

3(t 为参数).以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐

标为________.

22.(3，1) [曲线C 1为射线y ＝3

3

x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .

因为tan ∠POQ ＝3

3

，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1).]

23.(2014·，15)已知直线l 的参数方程为???

?

?

x ＝2＋t ，y ＝3＋t

(t 为参数)，以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝

0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.

23. 5 [直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2

＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x 2

＋y 2

＝ 5.]

24.(2014·，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于

A ，

B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.

24.3 [圆的直角坐标方程为x 2

＋y 2

＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±

a

3

，a )，代入圆的方程得a 2

3＋a 2

＝4a ，故a ＝3.]

25.(2014·，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π

4的直线l 与曲线C ：

?????

x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α

(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.

25.2·ρcos ? ????θ＋π4＝1 [曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2

＝1，由直线l 与曲线C

相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π

4

，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ?

??

??

θ＋π4

＝1.]

26.(2014·，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2

θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线

C 1和C 2交点的直角坐标为________.

26.(1，1) [由ρsin 2

θ＝cos θ得ρ2

sin 2

θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2

＝x ，ρsin

θ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由?

????y 2

＝x ，y ＝1得C 1和C 2的交点为(1，1).]

27.(2014·，23)将圆x 2

＋y 2

＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .

(1)写出C 的参数方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 27.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，

依题意，得?

????x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2

＋? ????y 22＝1，

即曲线C 的方程为x 2

＋y 2

4＝1.故C 的参数方程为?????x ＝cos t

y ＝2sin t

(t 为参数).

(2)由?????x 2＋y 2

4＝1，2x ＋y －2＝0

解得：?????x ＝1，y ＝0或?????x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为? ??

??12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是

所求直线方程为y －1＝12? ??

??

x －12，

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝3

4sin θ－2cos θ

.

28.(2014·，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为???

??

x ＝1－2

2

t ，y ＝2＋2

2t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2

＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 28.解 将直线l 的参数方程?????x ＝1－2

2

t ，y ＝2＋2

2

t 代入抛物线方程y 2

＝4x ，

得? ?

???2＋22t 2＝4?

????1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.