微分几何试题库 (选择题)
华中师大《微分几何》练习题库及答案
《微分几何》练习题库及答案一、单项选择题 第一章1．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ ）．（内积；易；2分钟）A 2B 1-C 0D 12．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线 的方程是（ ）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yx C 11+==+z y x D ⎩⎨⎧==1z yx3．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ ）．（混合积；较易；2分钟）A 2B 1-C 1D 2-4.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（ ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)5．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ ）．（导数；易；2分钟）Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．6.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章7．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π 8．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（ ）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥ααＣ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 9．直线的曲率为（ ）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２10．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ ()()s s κ=αＢ ()()s s κϕ= ，ϕ为()s α的旋转角 Ｃ()s κ=-⋅αβＤ ()|()|s s κ=r 11．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ ）．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 12．下列论述不正确的是（ ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ13．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15．2sin4),cos 1(),sin (ta z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ ）．（切线方程、夹角；较易；2分钟）Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章16．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=17．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =18．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u vb u vc u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =19．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u vu v = B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v = C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =20．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a ub u u = B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-21．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ ）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=22．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（ ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v +B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +23．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v - 24．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ ）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -25．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ ）．（坐标网、曲线网；易；2分钟）A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 26．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n r WB d (d )u =n r WC d (d )u v =n r WD d (d )=-n r W 27．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r WB (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W WC (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W WD (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 28．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r W B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 29．高斯曲率为常数的的曲面叫（ ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 30．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -131．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g32．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟） A 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B1()2jl ij kl il j il i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ 33．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．（测地曲率、测地曲率的几何意义、梅尼埃定理；易；2分钟）A 0B 1C 2D 334．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD35．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线36．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定 37.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
自考微分几何试题及答案
自考微分几何试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在微分几何中，流形的概念是用来描述什么？A. 直线和平面B. 曲线和曲面C. 高维空间中的几何对象D. 抽象的几何结构答案：C2. 欧拉特征数是用来描述哪种几何对象的拓扑性质？A. 直线B. 平面图形C. 三维流形D. 任意维数的流形答案：C3. 下列哪一项不是微分流形的局部坐标图所必须满足的条件？A. 坐标图是同胚映射B. 坐标图的值域是欧几里得空间中的开集C. 坐标图的逆映射是连续的D. 坐标图的逆映射是光滑的答案：C4. 在黎曼几何中，度量张量是用来描述什么？A. 流形的长度和面积B. 流形的拓扑结构C. 流形的曲率D. 流形的向量场答案：C5. 斯托克斯定理在微分几何中是用来计算什么？A. 曲线的长度B. 曲面的面积C. 闭合曲线的线积分D. 闭合曲面的面积积分答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个光滑曲线在微分几何中的切向量场是________。
答案：切向量场7. 微分流形的切空间在每一点的维度等于流形的________。
答案：维度8. 黎曼曲率张量描述了黎曼流形上的________。
答案：曲率9. 一个曲面的高斯曲率是该曲面上的每一个点处的________。
答案：曲率10. 微分几何中的联络是定义在切向量场上的________。
答案：导数三、解答题（共75分）11. （15分）证明在任意维数的欧几里得空间中，任意两点都可以通过一条直线相连。
答案：略12. （20分）给定一个黎曼流形上的两个切向量场X和Y，证明黎曼曲率张量R满足以下对称性：R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0答案：略13. （20分）解释什么是测地线，并证明在黎曼流形上，测地线是使得两点之间的长度局部最短的曲线。
答案：略14. （20分）讨论并证明高斯绝妙定理，即在局部坐标系下，曲面的内蕴几何不依赖于它在欧几里得空间中的嵌入方式。
《微分几何》模拟试题参考答案
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字） 课程考核 参考答案及评分标准考试课程：微分几何 学年学期：2012-2013-2 试卷类型：A 考试时间： 120分钟 适用专业：10级数学与应用数学 层次：本科一、选择题（每小题2分共20分）1 (B)；2 (D)；3 (A)；4 (A)；5 (C) ；6 (D) ；7 (B) ；8 (C) ；9 (D) ；10 (B)。
二、填空题（每小题2分共20分）1、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x ≤1,其弧长总长= √2 ；2、Γ：r=(acost, asint, t)的单位切向量是 (-asint, acost, 1)/√(a 2+1) ；3、Γ：r=(cost, sint, t)的主法向量β= (−cost, −sint,0) ；4、曲面上切向du:dv 是渐进方向的条件,用第二基本量表示为 Ldu 2+2Mdudv+Ndv 2=0 ；5、r=(u+v,u −v ,uv)的第一基本量G= 2+u 2 ；6、曲面上满足LN-M 2>0 的点称为 椭圆 点；7、Γ：r=(t, 2t, 3t)的曲率是 0 ；8、Γ：r=( cos θ,sin θ,1)的挠率是 0 ；9、曲面的Gauss 曲率可以只用第 1 基本量计算；10、球面上的测地线是球面上的 大圆 。
三、判断题（每小题2分共20分）1 (╳)；2 (╳)；3 (√)；4 (╳)；5 (╳)；6 (╳)；7 (╳)；8 (√)；9 (√)；10 (╳)。
四、计算题（每小题5分共30分，最后2小题任选1题）1、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t 的法平面方程；解：切向r'=(−sint,cost,1)， 法平面方程为(r −( cost, sint, t))·(−sint,cost,1)，(3分)即−sint·x+ cost·y+z=t ； (2分)2、求曲线Γ：r=(acost, asint, e t )过(a,0,1)的切线方程；解：r'(0)=(−asint, acost, e t )|t=0 =(0, a, 1)| , (2分) 故切线方程为r=(a,0,1)+t(0,a,1), 即r=(a,at,t)；(3分)3、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,π/2)的切平面方程；解：r u =(cosv ,sinv,0), r v =( −usinv,ucosv ,1), n= r u ⨯ r v =(−sinv, −cosv ,u), (3分) 故切平面方程为： ((x,y ,z) − ( 0,1,π/2))·(−1,0,1)=0, 即 −x+z −π/2=0；(2分)4、已知曲面的第一基本形式为I=v(du 2+dv 2), v>0，求u-线的坐标曲线的测地曲率； （提示：利用公式k gu =−(lnE)v /2√G ）解：k gu =−(lnE)v /2√G=−(lnv)v /2√v = −1/2v 3/2；5、求曲面族Γα ： (y −α) − (x −α)2 /2=0的包络面方程。
微分几何考试题和答案
微分几何考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在微分几何中，曲面上的一条曲线被称为测地线，如果它在局部上是长度最短的。
以下哪项不是测地线的性质？A. 测地线是局部最小化距离的曲线B. 测地线是局部最大化距离的曲线C. 测地线是平行传输的路径D. 测地线是曲率最大的曲线答案：B2. 曲面上的高斯曲率K由主曲率k1和k2决定，其计算公式为K=k1*k2。
如果一个曲面的高斯曲率在每一点都为零，那么这个曲面是：A. 平面B. 球面C. 圆柱面D. 双曲面答案：A3. 以下哪个概念不是微分几何中的基本元素？A. 流形B. 切空间C. 向量场D. 复数答案：D4. 曲面的第一基本形式是描述曲面内在几何的一个工具，它涉及到哪些量？A. 度量张量B. 曲率张量C. 外蕴曲率D. 以上都不是答案：A5. 在微分几何中，一个曲面的外蕴曲率可以通过哪种方式来测量？A. 高斯映射B. 测地线曲率C. 法向曲率D. 以上都是答案：D6. 以下哪个是微分几何中常用的坐标系统？A. 笛卡尔坐标B. 极坐标C. 球坐标D. 以上都是答案：D7. 曲面的第二基本形式是描述曲面外在几何的一个工具，它涉及到哪些量？A. 度量张量B. 曲率张量C. 法向量D. 以上都是答案：D8. 以下哪个概念与微分几何中的联络无关？A. 切向量B. 曲率C. 度量D. 复数答案：D9. 微分几何中的Christoffel符号用于描述什么？A. 度量的变化B. 联络C. 曲率D. 测地线答案：B10. 以下哪个定理不是微分几何中的定理？A. 高斯绝妙定理B. 黎曼曲率张量恒等式C. 欧拉特征定理D. 费马定理答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 曲面上的一条曲线，如果其切向量在每一点都与曲面的法向量正交，则称这条曲线为_________。
答案：测地线12. 曲面上的高斯曲率K和平均曲率H之间的关系可以用公式_________来表示。
微分几何复习题
第一章 曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是 ；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；7、空间曲线是直线的充要条件是 ；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是 ；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是 ；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是 ；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是 ；18、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是 ；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为 ；24、 若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。
微分几何考试题及答案
微分几何考试题及答案1. 曲线的切向量和法向量的定义是什么？答：曲线在某点的切向量是该点处曲线的瞬时变化方向，而法向量则是垂直于切向量的方向。
2. 请解释曲面上的高斯曲率和平均曲率。
答：高斯曲率是曲面上某点处的最大和最小主曲率的乘积，而平均曲率是最大和最小主曲率的平均值。
3. 什么是微分几何中的度量张量？答：度量张量是定义在曲面上的一个对称双线性形式，它描述了曲面上点与点之间的距离关系。
4. 计算曲线 \( \gamma(t) = (t^2, t^3) \) 在 \( t = 1 \) 处的曲率。
答：首先计算 \( \gamma(t) \) 的一阶导数和二阶导数，然后使用曲率公式 \( \kappa = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\| \gamma'(t) \|^3} \) 计算，最终得到 \( t = 1 \) 处的曲率为 \( \kappa = 1 \)。
5. 证明曲面上的测地线是局部最短路径。
答：测地线是曲面上连接两点的路径，使得路径长度在所有连接这两点的路径中是局部最小的。
这可以通过变分法和欧拉-拉格朗日方程来证明。
6. 描述黎曼曲率张量的性质。
答：黎曼曲率张量是一个四阶张量，它描述了曲面的内在曲率。
它具有反对称性和双线性性质，且在平行移动下保持不变。
7. 计算曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1,1,2) \) 处的主曲率。
答：首先计算曲面的一阶和二阶基本形式，然后通过解特征方程找到主曲率。
在点 \( (1,1,2) \) 处的主曲率分别为 \( k_1 = 2 \) 和\( k_2 = 0 \)。
8. 什么是微分几何中的平行移动？答：平行移动是指在曲面上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持其长度和方向不变。
9. 证明高斯-博内定理。
答：高斯-博内定理描述了曲面的总曲率与其拓扑性质之间的关系。
微分几何实验题
微分几何实验题当然可以！这里是根据“微分几何实验题”标题设计的20道试题，包括选择题和填空题：1. 选择题：在微分几何中，曲线的曲率是指哪个量？A. 切线的倾角B. 曲线的弯曲程度C. 曲线的长度D. 曲线的斜率2.填空题：欧氏空间中两条相交曲线的交点数目是（填入数值）。
3. 选择题：在微分几何中，什么是一个“测地线”？A. 曲线的长度B. 曲线的弯曲程度C. 两点之间的最短路径D. 曲线的斜率4. 填空题：曲面上任意一点的法向量被称为（填入术语）。
5. 选择题：曲面的高斯曲率是指什么？A. 曲面的总面积B. 曲面的局部弯曲性C. 曲面的平均曲率D. 曲面的最大曲率6.填空题：在微分几何中，二次曲线可以用（填入方程形式）来表示。
7. 选择题：什么是切向量场？A. 在曲面上沿着方向变化的矢量B. 垂直于曲面的矢量C. 曲线上的切线D. 曲线的长度8.填空题：对于具有非零高斯曲率的曲面，至少有一个点的主曲率是（填入术语）。
9. 选择题：微分几何中的“光滑流形”是指什么？A. 一种具有良好定义的几何对象B. 可以展示出高斯曲率的曲面C. 在任何维度中定义的对象D. 一个特定维度上的平滑曲线10.填空题：曲线的曲率是其切线在弧长上的（填入数学术语）。
11. 选择题：微分几何中的“切丛”是什么？A. 曲线的切线的集合B. 曲面的法向量的集合C. 切向量场的集合D. 曲面的所有点的集合12.填空题：在二维欧氏空间中，直线的方程形式是（填入方程形式）。
13. 选择题：什么是“黎曼度量”？A. 一种测量曲面曲率的工具B. 欧氏空间中的度量C. 定义在流形上的度量D. 曲面的面积14.填空题：克里斯托夫符号描述了流形上的（填入数学概念）。
15. 选择题：在微分几何中，什么是“外微分形式”？A. 曲线的切向量B. 曲面的法向量C. 定义在切丛上的微分形式D. 流形上的局部坐标系16.填空题：曲线在某一点的凹凸性可以通过其（填入术语）来描述。
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二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点，1P 是曲线上P 点附近的一点，S ∆为弧1PP 的长，ϕ∆为曲线在P 点和1P点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。
则下面 不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。
① 0()k t ② |0()r t | ③ 0|()|t α ④ 0()t τ 2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α，β，γ。
在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则β= 。
① k(s)α ② -k(s)α+()s τγ③ -()s τα ④ k(s)α-()s τγ 3．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。
在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γ= .① k(s)β ② ()s τβ ③-k(s)α+()s τγ ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。
在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。
①α=- k(s) β ②β= -k(s)α+()s τγ ③α= k(s)β ④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。
在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。
① αβ ② βα③ αβ ④ γβ6．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。
则下式 不正确。
① α=2β ② β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ ④γ =2β7．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。
在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。
① αβ ② βγ ③ βα ④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不正确。
①2|'''||'|r r k r ⨯= ②3|'''||'|r r k r ⨯=③||k r = ④2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯ 9．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不正确。
① 2(,,)r r r rτ=② 2(,,)r r r k τ= ③2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯ ④(','',''')|'''|r r r r r τ=⨯ 10．设曲线 (C)：r =()r t ，以下 不是(C)为平面曲线的充要条件。
① (C)的密切平面固定；② (C)的副法向量γ=常矢③ (C)的曲率k=0； ④ (C)的挠率τ=0。
11．已知曲线r =()r t 在0()r t 点的挠率为τ，则τ是时，曲线在0()r t 点附近是右旋的。
① —2②③ —2π④ 12．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是。
①直线； ② 平面曲线；③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线。
13．若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ 是 。
①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线。
14．平面曲线 (C)的法线和它的渐缩线()C *在对应点处 。
① 相交； ② 相离；③ 相切； ④ 关系不确定。
15．平面曲线 (C)上两点的曲率半径之差 渐缩线上对应点之间的弧长。
① 等于； ②大于；③小于； ④ 不等于。
16．曲线 (C)是一般螺线，则以下命题 不正确。
① (C)的切线与一固定方向成固定角； ② (C)的副法线与一固定方向成固定角； ③ (C)的主法线与一固定方向垂直； ④ (C)的副法线与一固定方向垂直。
17．曲线 (C)在条件 下不一定是一般螺线。
① 其切向量与一固定方向成固定角； ② 其主法向量与一固定方向成固定角； ③ 其副法向量与一固定方向成固定角； ④ 其曲率与挠率之比为常数。
18．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确。
① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角； ③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数。
19．下述命题不正确的是 。
① 若曲线 (C)的密切平面固定，则(C)是平面曲线； ② 若曲线 (C)的密切平面垂直于某条固定直线，则(C)是平面曲线；③ 若曲线 (C)的挠率()s τ=0，则(C)是平面曲线；④ 若曲线 (C)的从切平面平行于固定直线，则(C)是平面曲线。
20．对曲面的第一基本形式222Edu Fdudv Gdv I =++，2EG F -① > 0； ② < 0 ； ③ ≥0 ； ④ ≤ 0 。
21．球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=的第一基本形式I= 。
① 22222cos R d R d ϕθθ+； ②22222cos R d R d θϕθ+； ③ 22222sin R d R d ϕθθ+； ④22222sin R d R d θϕθ+。
22 . 正螺面{cos ,sin ,}r u v u v bv =的第一基本形式是 。
① 2222()du u b dv ++ ② 2222()u b du dv ++ ③ 222u du dv + ④ 222du u dv +23．正螺面{cos ,sin ,}r u v u v bv =的第二基本形式是 。
①- ②dudv③ 2222()u b du dv ++ ④ 2222()du u b dv ++24．对于圆柱面{cos ,sin ,}r R R z θθ=，以下结论 不正确。
①坐标网是正交网； ②沿同一直母线的切平面是同一个；③其上高斯曲率为零；④其上没有抛物点。
25．以下量中， 不是曲面的内蕴量。
①曲面上两曲线的夹角；②曲面上曲线的弧长； ③曲面上曲面域的面积； ④曲面上一点沿一方向的法曲率 。
26．曲面(,),r r u v n =是其单位法向量。
下列第二类基本量的计算中 是不正确的。
①u u L r r =⋅ ； ②uu L r n =⋅ ；③u u L r n =-⋅ ；④u u L n r =-⋅ 。
27．曲面(,),r r u v n =是其单位法向量。
下列第二基本量的计算中 是不正确的。
①uv M r n =⋅ ；②uv M r n =-⋅ ；③u v M r n =-⋅ ；④v u M r n =-⋅。
28．曲面(,),r r s t n =是其单位法向量。
下列第二基本量的计算中 是不正确的。
①tt N r n =⋅ ；②t t N r n =-⋅ ；③t t N r n =⋅ ；④tt N n r =⋅ 。
29．以下说法正确的是 。
①法曲率是法截线的曲率； ②法曲率大于等于零； ③法曲率是曲率向量r 在主法向量β上的投影； ④法曲率的绝对值是法截线的曲率。
30．曲面(,)r r u v =在P 点的第一第二基本形式分别为,I II 。
过P 点的曲线(C) 在P 点的曲率为k ，曲面在P 点沿(C)的方向(d)的法曲率为n k ，(C)在P 点的主法线与曲面的法向n 的夹角为θ，则下式 正确。
①n k II =±I ；②cos n k k θ= ；③||n k II=I；④sin n k k θ=。
31．在曲面的椭圆点处， 。
① 20LN M -； ② 20LN M - ；③ 20LN M -= ； ④ L=M=N=0 .32. 如果曲面上一点P 处有20LN M -=,则点P 是 。
①椭圆点； ②双曲点； ③平点； ④抛物点。
33．圆环面上的点是 。
①椭圆点； ②双曲点； ③抛物点；④ 或①或②或③。
34．一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点是 。
①椭圆点； ②双曲点； ③抛物点；④ 或①或②或③。
35．(C)是曲面S 上的曲线, (C)上的点满足 时，不一定是渐近线。
（其中n κ是沿(C)的法曲率，II 是第二基本形式，g κ是测地曲率）① 0n K = ; ② 0II = ; ③ K=0 ; ④ g K =0 . 36.椭圆抛物面上的点是 。
① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 平点； ④ 抛物点。
37．曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 。
① E=G=0; ② L=N=0 ; ③ F=0 ; ④ M=0 .38. 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 。
① F=0 ; ② M=0 ; ③ L=N=0 ; ④ F=M=0 .39. 曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是 。
① F=0 ; ② M=0 ; ③E=G=0 ; ④ L=N=0 .40. 曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是 。
① F=0 ; ② M=0 ; ③ F=M=0 ; ④ L=N=0 .41．设L 、N 是曲面的第二类基本量，L=N=0是曲面的曲纹坐标网为 网的充要条件。
① 正交网; ②渐近网; ③曲率线网; ④半测地坐标网 . 42．曲面在一点的单位法向量是n ，在该点的一个方向dr 是主方向的充要条件是 。
(其中r δ是另一方向)① 0dn dr ⋅= ； ② ∃r δ使0n dr δ⋅= ；③ ∃ r δ使0dn r δ⋅=; ④ ∃r δ使0n dr δ⋅=且0dr r δ⋅=. 43．曲面在一点的单位法向量是n ，在该点的一个方向dr 是主方向的充要条件是 。
(其中r δ是另一方向)① 0dn dr ⋅= ； ② ∃r δ使0n dr δ⋅= ；③ ∃ r δ使0dn r δ⋅=; ④∃r δ使0dn r δ⋅=且0dr r δ⋅=。
44．曲面在一点的单位法向量是n ，在该点的一个方向dr 是主方向的充要条件是 。
(其中r δ是另一方向)① 0dn dr ⋅= ； ② ∃r δ使0n dr δ⋅= ； ③ ∃ r δ使0dn r δ⋅=; ④ dn dr λ= 。
45．曲面在一点的单位法向量是n ，在该点的一个方向dr 是主方向的充要条件是 。
(其中r δ是另一方向)① 0dn dr ⋅= ； ② ∃r δ使0n dr δ⋅= ； ③ ∃ r δ使0dn r δ⋅=; ④ dn ‖dr 。
46．曲面在一点的单位法向量是n ，在该点的一个方向是dr ，则dn dr λ=的充要条件是 。
(其中r δ是另一方向)① 0dn r δ⋅= ； ② ∃r δ使0dr r δ⋅= ；③ 沿dr 有0n κ=； ④ ∃r δ使0dn r δ⋅=且0dr r δ⋅=。
47．下列 不是:dr du dv =与:r u v δδδ=共轭的充要条件。