运筹学第1章

（第三版）

《运筹学》教材编写组编

清华大学出版社

运筹学

第1章线性规划与单纯形法

第1节线性规划问题及其数学模型

二.线性规划与目标规划

第1章线性规划与单纯形法

第2章对偶理论与灵敏度分析

第3章运输问题

第4章目标规划

第1章线性规划与单纯形法

第1节线性规划问题及其数学模型

第2节线性规划问题的几何意义

第3节单纯形法

第4节单纯形法的计算步骤

第5节单纯形法的进一步讨论

第6节应用举例

第1节线性规划问题及其数学模型

•1.1 问题的提出

•1.2 图解法

•1.3 线性规划问题的标准形式

•1.4 线性规划问题的解的概念

第1节线性规划问题及其数学模型

线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。

从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。

1.1 问题的提出

从一个简化的生产计划安排问题开始

例1

某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。资源产品ⅠⅡ拥有量

设备 1 2 8台时

原材料A40 16kg

原材料B0 4 12kg

续例1

该工厂

•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?

如何用数学关系式描述这问题，必须考虑

称它们为决策变量。

产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12

416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。即有量的限制的数量多少，受资源拥生产0

21≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。

最大如何安排生产，使利润,∙

数学模型

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≤≤++=01241648

2322

121212

1x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数

例2. 简化的环境保护问题

靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。

图1-1

续例2

•第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。

•第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。

建模型之前的分析和计算

设：

第一化工厂每天处理工业污水量为x 1万立方米，第二化工厂每天处理工业污水量为x 2万立方米

1000

27004128021000250022211≤-+-≤-)]x .()x (.[)x (工厂后的水质要求：经第工厂前的水质要求：经第

数学模型

,4

.126.18.018001000min 212121121≥≤≤≥+≥+=x x x x x x x x x z 约束条件目标函数

共同的特征

(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负且连续的；

(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据，创造新价值的数据；

()n x ,x ,x 21)

n ,j ;m ,i (c ;a j ij 11==

共同的特征（继续）

(3)存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示;

(4)要有一个达到目标的要求，它可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

它们的对应关系可用表格表示：

n m mn m m n n n c c b b b a a a a a a a a a m x x x

212121

222211121121c 2

1价值系数

动活资源决策变量

线性规划的一般模型形式

).(x ,,x ,x b ),(x a x a x a ).(b ),(x a x a x a b ),(x a x a x a ).(

x c x c x c z max(min)n m

n m m m n n n n n

n 31021112122112

22221211

12121112211≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=

约束条件

目标函数

1.2 图解法

例1是二维空间（平面）线性规划问题，可用作图法直观地来表述它的求解。因存在必须在直角坐标的第1象限内作图，求解。

21 x ,x