运筹学第一章：计算公式
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
《运筹学》第一章 线性规划
③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法(章节优讲)
优质教学
10
要求：
xx15
3 6
x2 x3 x4 3x2 6x3
0 x4
0
于是：
xx22
3/1
6/3
x2
min3/1,6 / 3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
x1 3 x2 x3 x4 0
x5
6 0x2
6x3
②W最优值=0——但人工变量中有等于0的基 变量，构成退化的基本可行解，可以转化为情 况①；如何转化？
选一个不是人工变量的非基变量进基， 把在基中的人工变量替换出来
优质教学
27
③W最优值>0——至少有一个人工变量取值 >0,说明基变量中至少有1个人工变量,表明原 问题没有可行解,讨论结束。
试比较
MinZ xn1 xn2 … xnm
优质教学
7
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'j x j , j 1
i 1,2, m
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
Z Z0 jxj j1
m
j cj z j cj cniai'j i1
优质教学
8
（2）最优性判别定理
优质教学
25
（2） 两阶段法
第一阶段：建立辅助线性规划并求解， 以判断原线性规划是否存在基本可行解。
辅助线性规划的结构：目标函数W为所有 人工变量之和，目标要求是使目标函数极 小化，约束条件与原线性规划相同。
优质教学
26
求解结果
①W最优值=0——即所有人工变量取值全为0 （为什麽？），均为非基变量，最优解是原线 性规划的一个基本可行解，转入第二阶段；
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
1-《运筹学》-第一章-2010-至第3节
第一章 线性规划与单纯形法§1 线性规划问题及其数学模型[例] 利用现有机器台时及原料A 、B 生产两种产品，已知如下：求达最大利润的生产方案。
解：设生产产品一、二的数量分别为x 1, x 2 相应线性规划问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z线性规划问题的特点：1） 一组控制变量表示某一方案2） 关于控制变量线性的约束条件（等式或不等式） 3） 关于控制变量线性的目标函数线性规划问题的一般形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≥=≤+++≥=≤++++++=++free x x x x x x x b x a x a xa b x a x a x a x c x c x c z n t t s s m n mn m m n n n n ,0,0,,),(),(max(min)11212211112121112211两个变量的线性规划问题的图解法 [例1]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z唯一最优解（4，2），最优值=14 [例2]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648242max 21212121x x x x x x x x z无穷多最优解（4，2），（2，3）及其中间点，最优值=16 [例3]⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+-+=0,242max 21212121x x x x x x x x z无界解，+∞=z m ax [例4]⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+-+=0,242max 21212121x x x x x x x x z 无可行解，约束矛盾，可行域φ=D由两个变量的线性规划问题的图解法得出的直观结论： 1． 可行域D 及相应最优解与最优值的可能情况：φ=D ：无可行解φ≠D 且D 有界：有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） φ≠D 且D 无界：1） 有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） 2） 无界解(+∞=z m ax 或-∞=z m in )2． 若φ≠D ,则可行域D 为有界凸多边形或无界凸区域3． 若有最优解，必可以在可行域D 的某个顶点达到4． 若在两个顶点同时达到最优值，则其连线之间任一点都是最优解，即为无穷多最优解情形。
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再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
XB XN b
XB
λ N
I
0 λΝ
B－1N
CN－CBB－1N XB
B－1b
－CBB－1b
－Z0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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五个公式的应用 【例1.17】线性规划
故基本可行解为
X (25,
0,0,0, ) ,
T
目标函数值为
25 145 Z 0 C B B b C B X B (1，) 35 2 3 3
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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(3) 求λ3
2 1 7 2 107 1 P3 , CB B P3 P3 ( ， ) 9 3 5 9 5
3 c3 C B B 1 P 3
＝－ 1 ＝－ 107 9 98 9
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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(2)基变量的解为
XB x1 1 B b x2
25 1 15 2 20 35 3 3
35 3,
1
1 3 1 9
max Z x1 2 x 2 x3
2 x1 3 x 2 2 x3 x 4 15 1 x1 x 2 5 x3 x5 20 3 x j 0, j 1, ,5
已知可行基
2 3 B1 1 1 3
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么; (5)当可行基为 B ＝1 3 时求λ1及λ3. 2 0 1
因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基.
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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(5) 因B2是A中第四列与第二列组成的,x4、x2是基变 量x1、x3、x5是非基变量,这时有
C B (c 4 , c 2 ) (0,2) 1 3 1 1 B , C B B (0,2) 0 1 1 (1 , 3 ) (c1 , c3 ) C B B ( P P3 ) 1 .2 2 (1,1) (0,2) 1 5 3 ( ,9) 3 1
1
B1
故单纯形乘子
C B B 1
1 3 1 9
1 2 3
1 3 (1,2) 1 9
1 1 7 ( ，) 2 9 3 3
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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b (b1 , b2 , , bm )
T
T
X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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不妨假设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成 一个可行基，记为B=(P1 ，P2 ，…，Pm)。矩阵A中后n －m列构成的矩阵记为N＝（Pm+1,…Pn）,则A可以写成 分 块 矩 阵 A= （ B ， N ） 。 对 于 基 B ， 基 变 量 为 xB= （x1,x2，…，xm ）T, 非基变量为xN=(xm+1,xm+2,…xn)T. 则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=（CB， CN），CB=(c1,c2,…,cn), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成
CN X N
CB ( B b B
1
1
1 N
X N ) CN X NFra bibliotek1 CB B b (C N CB B N )) X N
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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(4) 要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数 则否满足λj≤0,j=1…,5.x1,x2是基变量,
故λ1=0,λ2=0,而 得
3
98 9
剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式 0,
1
(4 , 5 ) (c4 , c5 ) C B B ( P4 P5 ) 1 7 1 0 (0,0) ( , ) 9 3 0 1 1 7 ( , ) 9 3
即
1
1 3
, 3 9
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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本节不作重点要求！
The End of Chapter 1
第二章 对偶线性规划
Exit
1
1
i
aij ( B N ) j
1
CB B 1
称为单纯形算子
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，
设初始矩阵单纯形表为
XB XB B CB XN N CN b b 0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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【解】(1)因为B1 由A中第一列、第二列组成,故x1 、x2 为基变量，x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为
CB=(c1,c2)=(1,2) CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)
X B ( B，N ) BX B NX N b X N
X B X XN
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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因为r（B）=m（或|B|≠0）所以B —1存在，因此可有
BX B b NX N X B B (b NX n ) B b B NX N
1 1 1
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设， 则得到基本可行解 X=(B－1b，0)T 将目标函数写成
X B Z (C B , C N ) CB X B X N
将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可 行解和检验数.用B－1左乘表中第二行,得到下表
XB XB I CB XN B-1N CN b B-1b 0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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Z CB B b (C N CB B N )) X N
1
1
得到下列五个计算公式：
1. 2. Z 0 CB B b
1
(令XN=0)
1
N C N CB B N
C CB B 1 A
j c j ci aij
其中
3. 4. 5.
XB B b N B N
§1.7 计算公式 Calculate Formula
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设有线性规划
max Z CX AX b X 0 其中Am×n且r(A)=m,
C＝（c1 , c2 ,cn )
X ( x1 , x 2 , , x n )