一次函数典型应用题

一次函数与不等式结合有关的经济类型题

例1 已知雅美服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，现计划用这两种布料生产M ，N 两种型号的时装共80套。已知做一套M 型号的时装需要A 种布料0.6米，B 种布料0.9米，可获利润45元；做一套N 型号的时装需要A 种布料1.1米，B 种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N 种型号的时装套数为x ，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为

y 元。

（1）求y

与x 的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N 型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 解：①由题意得：

x x y 50)80(45+-=＝36005+x

⎩⎨

⎧≤-+≤-+52)80(9.04.070)80(6.01.1x x x x 解得：40≤x ≤44

∴

y 与x 的函数关系式为：36005+=x y ，自变量的取值范围是：40≤x ≤44

②∵在函数

36005+=x y 中，y 随x 的增大而增大

∴当x ＝44时，所获利润最大，最大利润是：3600445+⨯＝3820（元） 例2 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。

（1）写出每月电话费y

（元）与通话次数x 之间的函数关系式；

（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；

（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。

解；（1）由题意得：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝⎩

⎨

⎧>-+≤≤)60)(60(13.020)600(20x x x （2）当x ＝50时，由于x ＜60，所以

y ＝20（元）

当x ＝100时，由于x ＞60，所以y ＝)60100(13.020-+＝25.2（元）

（3）∵y ＝27.8＞20

∴x ＞60

∴8.27)60(13.020=-+x

解得：x ＝120（次）

例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A 、B 两种不同规格的货厢50节，已知用一节A 型货厢的运费是0.5万元，用一节B 型货厢的运费是0.8万元。

（1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A 型货厢的节数为x （节），试写出y

与x 之间的函数关系式； （2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A 、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。

（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？

解：（1）由题意得：

)50(8.05.0x x y -+=＝403.0+-x

∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝403.0+-x

（2）由题意得：

⎩

⎨

⎧≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2035x x x x 解得：28≤x ≤30 ∵x 是正整数

x ＝28或29或30

∴有三种运输方案：①用A 型货厢28节，B 型货厢22节；②用A 型货厢29节，B 型货厢21节；③用A 型货

厢30节，B 型货厢20节。

（3）在函数y ＝403.0+-x 中

∵

y 随x 的增大而减小

∴当x ＝30时，总运费y 最小，此时y ＝40303.0+⨯-＝31（万元）

∴方案③的总运费最少，最少运费是31万元。

例4 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件。已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y

（元），生产A 种产品x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数

的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

解；（1）设需生产A 种产品x 件，那么需生产B 种产品)50(x -件，由题意得：

⎩

⎨

⎧≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x 解得：30≤x ≤32

∵x 是正整数

∴x ＝30或31或32

∴有三种生产方案：①生产A 种产品30件，生产B 种产品20件；②生产A 种产品31件，生产B 种产品19件；

③生产A 种产品32件，生产B 种产品18件。

（2）由题意得；)50(1200700x x y -+=＝60000500+-x

∵

y 随x 的增大而减小

∴当x ＝30时，y 有最大值，最大值为：

6000030500+⨯-＝45000（元） 答：

y 与x 之间的函数关系式为：y ＝60000500+-x ，

（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

例5 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.55~0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量

y （亿度）与)4.0(-x （元）成反比例，又当x ＝0.65时，y ＝0.8。

（1）求y

与x 之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×（实际电价 －成本价）] 解：（1）∵

y 与)4.0(-x 反正比例

∴y ＝4.0-x k

把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式得：k ＝0.2

∴

y 与x 之间的函数关系式为：

4.02

.0-=

x y

（2）由题意得：()()()%20113.08.03.04.02.01+⨯⨯-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x

化简得：03.01.12

=+-x x

即0311102

=+-x x

0)35)(12(=--x x 1x ＝0.5，2x ＝0.6

∵0.55＜x ＜0. 75

∴x ＝0.5不符题意，应舍去。

故x ＝0.6

答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。

例6 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x （立方米），应交水费为

y （元）

（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y

与x 之间的函数关系式；

（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？

解：（1）当0≤x ≤7时，

x y )2.00.1(+=＝x 2.1

当x ＞7时，

72.1)7)(4.05.1(⨯+-+=x y ＝9.49.1-x

（2）当x ＝7时，需付水费：7×1.2＝8.4（元）

当x ＝10时，需付水费：7×1.2＋1.9（10－7）＝14.1（元） 设这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有a 户，则：

6.514)50(1.144.8>-+a a

化简得：4.1907.5

解得：

572333