钉子板上的多边形面积课件
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五级上册数学课件钉子板上的多边形∣苏教版ppt资料
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2一想：下面多边形的面积各是多少平方厘米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。
s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米） 当a=3时，S=n÷2＋2 数，n表示多边形边上的钉子数，那么钉子板上的多边形的面积
当a=m时，S=n÷2＋m－1
课堂练习
1.利用公式计算下图中多边形的面积（1个小正方形是1平方厘米）
解析：这道题是对教材内容的巩固，利用公式s=n÷2＋m－1，然 后根据找到公式中的字母在这道题中所表的数字进行计算。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
面积=钉子数÷2+1 如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。
如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 结论：当多边形里面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个
教学新知
想一想：
比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎 样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就 写出你的猜想，然后举例验证。如果不能， 那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的
多边形，再算一算，看看有什么规律。
知识梳理
当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形
五上《钉子板上的多边形》课件
数的关系； 2.验证：设计一个形内有3枚钉子、4枚钉子的多边形，将结果
记录下来，组长负责汇总； 3.结论：在小组里说说自己的想法。
形内钉子数（枚）
3 4
边上的钉子数（枚）
面积（平方厘米）
探究四：
活动要求：
1.猜想：任选一个a等于几，直接写出公式。 a=______时,公式：_____________
2.验证：画一画，算一算。
史
探究二：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚）
①
2
② ③
活动要求：
④
面积（平方厘米）
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
探究三：
活动要求： 1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子时，多边形的面积与边上钉子
苏教版五年级上册 综合与实践
1cm²
1cm 1cm² 1cm
多边形的面积和钉子数有怎样的关系？
探究一：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚） 面积（平方厘米）
①
1
② ③
活动要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
④ ⑤
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
记录下来，组长负责汇总； 3.结论：在小组里说说自己的想法。
形内钉子数（枚）
3 4
边上的钉子数（枚）
面积（平方厘米）
探究四：
活动要求：
1.猜想：任选一个a等于几，直接写出公式。 a=______时,公式：_____________
2.验证：画一画，算一算。
史
探究二：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚）
①
2
② ③
活动要求：
④
面积（平方厘米）
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
探究三：
活动要求： 1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子时，多边形的面积与边上钉子
苏教版五年级上册 综合与实践
1cm²
1cm 1cm² 1cm
多边形的面积和钉子数有怎样的关系？
探究一：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚） 面积（平方厘米）
①
1
② ③
活动要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
④ ⑤
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
钉子板上的多边形课件
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激活猜想
1㎝
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1㎝
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①
②
③
④
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图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 多边形边上的
/平方厘米 钉子数/枚
2
4
3
6
3.5
7
4
8
观察上表，你有什么发现？
图形编号
五年级上册数学课件 钉子板上的多边形 苏教版(2014秋)(共14张PPT)
（S）
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
下面两个小岛，谁的面积大？
（1）
（2）
图（2）的面积大。
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
下面两个小岛，谁的面积大？
（1）
（2）
图（2）的面积大。
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
五级上册数学课件钉子板上的多边形∣苏教版(共10张PPT)
当a=2时，S=n÷2＋1 想数一，想 n表：示下多面边多形边边形上的的面钉积子各数是，多那少么平钉方子厘板米上？的每多个边多形边的形面边积上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。
想用一公想 式：求如图果中多图边形形的内面有积，2枚然钉后子再，用多自边己形方的法面验积证与一它下边。上的钉子数又有什么关系呢？ 想s=一n÷想2：＋下m面－多1 =边12形÷的2面+4积-1各=9是（多平少方平厘方米厘）米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。 如当果a=不m时能，S那=也n÷像2刚＋才m那－样1 先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 当比多较边 这形两内个只规有律1，枚你钉觉子得时a，=3多、边4时形会面有积怎单样位的的规个律数?等如于果多你边能形直边接上推的想钉出子规数律÷，2那。就写出你的猜想，然后举例验证。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2+4-1=9（平方厘米）
的钉子数÷2。 当s=an=÷32时＋，mS－=n1÷=122＋÷22+9-1=14（平方厘米）
结当论a=：1时当，多S边=n形÷里2面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个 用s=公n÷式2求＋图m中－图1 =形12的÷面2积+4，-1然=9后（再平用方自厘己米方）法验证一下。 比利较用这 公两式个计规算律下，图你中觉多得边形a=的3、面4积时（会1有个怎小样正的方规形律是?1如平果方你厘能米直）接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证。 如结果论不 ：能当，多那边也形像里刚面才有那2枚样钉先子画时出，图如形果内用有S3表枚示钉面子积的单多位边的形个，再算一算，看看有什么规律。
想用一公想 式：求如图果中多图边形形的内面有积，2枚然钉后子再，用多自边己形方的法面验积证与一它下边。上的钉子数又有什么关系呢？ 想s=一n÷想2：＋下m面－多1 =边12形÷的2面+4积-1各=9是（多平少方平厘方米厘）米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。 如当果a=不m时能，S那=也n÷像2刚＋才m那－样1 先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 当比多较边 这形两内个只规有律1，枚你钉觉子得时a，=3多、边4时形会面有积怎单样位的的规个律数?等如于果多你边能形直边接上推的想钉出子规数律÷，2那。就写出你的猜想，然后举例验证。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2+4-1=9（平方厘米）
的钉子数÷2。 当s=an=÷32时＋，mS－=n1÷=122＋÷22+9-1=14（平方厘米）
结当论a=：1时当，多S边=n形÷里2面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个 用s=公n÷式2求＋图m中－图1 =形12的÷面2积+4，-1然=9后（再平用方自厘己米方）法验证一下。 比利较用这 公两式个计规算律下，图你中觉多得边形a=的3、面4积时（会1有个怎小样正的方规形律是?1如平果方你厘能米直）接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证。 如结果论不 ：能当，多那边也形像里刚面才有那2枚样钉先子画时出，图如形果内用有S3表枚示钉面子积的单多位边的形个，再算一算，看看有什么规律。
五年级上册数学课件-2 钉子板上的多边形丨苏教版 (共16张PPT)
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
பைடு நூலகம்
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米 1
厘 米
（7－2）×0.5＝2.5（平方厘米） （7－2）×0.5＝2.5（平方厘米）
(五上)数学PPT课件-2 钉子板上的多边形丨苏教版 (16张)
•
5.一切表现形式都应该是创造的成果 。今天 的浪漫 或许是 明天的 现实， 当下的 现实也 可能是 昨天的 浪漫。 重要的 是我们 的作品 是否揭 示生命 本质， 精神是 否向真 向善向 上，以 及手上 的“主 义”是 否与我 们的诉 求达成 一致。
•
6.而批评要做的，就是把真正的创造 性成果 点亮， 让不同 形式、 不同风 格、不 同创造 性诉求 的佳作 ，在反 复的研 读与辨 析中沉 淀价值 。
亲爱的同学们，再见！
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
•
3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
数/颗 （n） /颗 （a）
厘米
（S）
3
0
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米 1
厘 米
（7－2）×0.5＝2.5（平方厘米） （7－2）×0.5＝2.5（平方厘米）
1厘米
1
厘 米
（8－2）×0.5＋3＝6（平方厘米）
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、n、a 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
钉子板上的多边形优秀课件
（S） 7
多边形边上的钉子数/枚
（n） 8
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
图形编号
多边形的面积/平方厘米
（S） 2
多边形边上的钉子数/枚
（ 4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米 1
厘 米
n=4 s=3
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
多边形边上的钉子数/枚
（n） 8
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
图形编号
多边形的面积/平方厘米
（S） 2
多边形边上的钉子数/枚
（ 4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米 1
厘 米
n=4 s=3
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
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图形内的格点数变成了2，多边形面积与它边上的格点数又有什么 关系呢？
5 6 4 小组合作，在方格纸中围几个不同的多边形看看，完成下表
图形 多边形面积/平 多边形边上的格 3 4 编号 方厘米 点数 8 5 4 9 5.5 这些图形与上组图比较又有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？ 5 6 S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那 如果用
么S=n÷2+1
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。b表示图形内的格点数。 那么当 b=1时 S=n÷2 b=2时 S=n÷2+1 b=3时 S=n÷2+2 你觉得a=4时会有怎样的规律呢、a=5、a=6时，会怎样呢？
你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边 上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子 数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的格 点各有多少个？（每个小格子是面积为1平方厘米的正方形）
图形 多边形的面积（ 钉子个 编号 平方厘米） 数 2 4 1 3 6 7 3.5 2 8 4 3 这些图形有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？ 4
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么S=2
S=n÷2+b-1
我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理 （一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式： S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示 多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。