直线与椭圆的位置关系1

练习： 练习：
1．如果椭圆 的弦被点 求这条弦所在的直线的方程。 求这条弦所在的直线的方程。 2．已知直线 ，椭圆 为何值时， 为何值时， 与 有两个不同的交点？没有交点？ 有两个不同的交点？没有交点？ （2 ）当 为何值时，直线 为何值时， 被椭圆 所截的弦长为 ？ 1. 2．（ ） ．（1） ．（ （2） ） ， 或 （1 ）当 平分， 平分，
8(2k 2 − k ) x1 + x2 = 4k 2 + 1
M 为 AB 的 解得
点
所求直线的方 =1 椭圆 16 4
M点
点M(2,1) 点 直线的
解法二： 解法二：设直线与椭圆的交点为、 的中点∴ ∵ M(2,1) 为 AB 的中点∴ （点 A 、B 点 椭圆 差 2 2 2 2 法 ( x1 − x2 ) + 4( y1 − y2 ) = 0 ） ∴ 直线的 为
12 3
反思： 反思： x
（1）与 共焦点的 x2 y2 椭圆系方程: 椭圆系方程: + 2 =1 λ >−b2) ( 2 a +λ b +λ 将几何问题转化为代数问题， （2）解法 将几何问题转化为代数问题， ）解法1将几何问题转化为代数问题 计算量较大；解法2较多地利用了几何 计算量较大；解法 较多地利用了几何 知识和图形的直观性，计算量较小； 知识和图形的直观性，计算量较小；所 以解决解析几何问题，要注意将“ 以解决解析几何问题，要注意将“数” 结合起来，优化解题过程。 与“形”结合起来，优化解题过程。
例4.若P是直线L:x-y+9=0上的点，求过点P且与 4.若 是直线L:x y+9=0上的点，求过点P L:x上的点 x2 y2 共焦点,长轴最短的椭圆方程。 椭圆C: 椭圆C: + =1共焦点,长轴最短的椭圆方程。
12 3
思路1 要使长轴最短，则所求椭圆与直线L 思路1：要使长轴最短，则所求椭圆与直线L 长轴最短 必相切，故可由相切关系解决问题。 必相切，故可由相切关系解决问题。 x y + 解：设椭圆方程 12+λ 3+λ =1 ，若椭圆的长轴 最短，则椭圆与直线L必相切。 最短，则椭圆与直线L必相切。
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆: A,B两点，求弦AB的长.
1 1 , 2 2
x2 +y2 =1 的右焦点，交椭圆于 4
方法1: 椭 方 知 方法 设 A(x y ), B(x , y ),由 圆 程
（设 而 求 ） 不
右 点 ( 30 ， 以 线 方 为 焦 F ， ） 所 直 L 程 y = x− 3, 椭 方 圆 程
13
x2 y2 + =1 试确定m的取值范围 的取值范围， 试确定 的取值范围， 4 3
反思： 反思：
（1）椭圆中的轴对称问题：关于直线 ）椭圆中的轴对称问题： L对称的两点 ，B满足①AB ⊥ L； 对称的两点A， 满足 满足① 对称的两点 ； 的中点在对称轴L上 解法1利用 ②AB的中点在对称轴 上。解法 利用 的中点在对称轴 点差法变形技巧和点在椭圆内的充要 条件求解；解法2利用判别式法求解 利用判别式法求解。 条件求解；解法 利用判别式法求解。 （2）点M(x0,y0)与椭圆 ） 与椭圆 的关系 点M在椭圆内 点M在椭圆外
2 2
由 线 程 椭 方 消 y ： 直 方 和 圆 程 去得 ( +2λ)x2 +18 12+λ)x+( +λ)(78−λ) =0 15 ( 12 由 0 :( +λ)(3+λ)(λ −33 =0 ∆= 得 12 ) Q +λ ≠ 0 +λ ≠ 0∴ =33 12 ,3 , λ x2 y2 ∴ 求 圆 程 : + =1 所 椭 方 为 45 36
直线与椭圆的位置关系
直线与圆的位置关系有几种？ 问题1：直线与圆的位置关系有几种？ 如何判定? 如何判定
相交、相切、相离 相交、相切、相离. 方法1:利用圆心到直线的距离与圆的半径之 方法 利用圆心到直线的距离与圆的半径之 间的关系判断 方法2:判别式法 方法 判别式法
直线与椭圆的位置关系有几种？ 问题2: 直线与椭圆的位置关系有几种？ 如何判定? 如何判定
点平分，求这条弦所在直线的方程． 使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程． 解法一： 解法一：设所求直线的方程为 代入椭圆方程并整理， 代入椭圆方程并整理，得 （待 (4k 2 +1)x2 −8(2k 2 、 k)x + 4(2k −1)2 −16 = 0 − 定 设直线 椭圆的 点为
系 数
法 ）
A
5x2 −8 3x+8=0 8 3 , ∴x + x2 = 1 5 8 = 5 8 x x2 = 1 5
B
F
∴A |= 1+k2 | x −x2 | | B 1
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆: A,B两点，求弦AB的长.
方法2： A x1, y1), B(x2, y2), 方法 (
方
F
x2 +y2 =1 的右焦点，交椭圆于 4
Q P ⊥O ∴x x2 + y y2 =0 O Q 1 1 n−1 m−1 ∴ + =0,即 +n = 2 m m+n m+n 10 QP = Q ∴ 弦 公 得 由 长 式 ： 2 4n2 −4(m+n)(n−1 ) 10 2 = m+n 2 1 3 把 = 2−n代 得 = 或 = ， m 入 n n 2 2 1 3 3 1 当 = 时 = ,当 = 时 = n m n m 2 2 2 2 2 2 2 2 故 求 圆 程 ： + y = 2 x +3y = 2 所 椭 方 为3x 或
1 2
(2)设直线x=my+a与二次曲线f(x,y)=0 (2)设直线x=my+a与二次曲线f(x,y)=0 设直线x=my+a与二次曲线 相交,若两方程联立消去x得到关于y 相交,若两方程联立消去x得到关于y的 一元二次方程, 一元二次方程,则直线与曲线相交所得 2 弦的弦长为: 弦的弦长为: l = 1+m y − y
例4若P是直线L:x-y+9=0上的点，求过点P且与 是直线L:x y+9=0上的点，求过点P L:x上的点 x2 y2 椭圆C: 共焦点,长轴最短的椭圆方程。 椭圆C: + =1 共焦点,长轴最短的椭圆方程。 思路2：易得焦点 思路 ：易得焦点F1（-3，0）,F2（3，0）， ， ） ， ）， 位于直线L的同侧 的同侧， 且F1,F2位于直线 的同侧，则问题转化为 在直线L上求点 上求点P， 最小。 在直线 上求点 ，使|PF1 | + | PF2 |最小。 最小 L 易求F 3,0)关于直线 关于直线L 解：易求F1(-3,0)关于直线L F’ P 的对称点F ( 9,6),连 F 的对称点F’(-9,6),连F’F2, 的交点即为P 则F’F2与L的交点即为P点。 F F1 F2 易得F F2 F2： 易得F’F2：y=1/2(x+3) 代入x y+9=0可得 可得P 代入x-y+9=0可得P（-5，4） x2 y2 把点P 设椭圆方程为 + =1 ,把点P的坐标 代入得λ=33 代入得λ=33 12+λ 3+λ
x2 y2 + =1 内一点M(2,1)引一条弦， 引一条弦， 例3 过椭圆 16 4 内一点 引一条弦
点平分，求这条弦所在直线的方程． 使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程． 解法三 设所求直线与椭圆的一个交点为 由于中点为: 由于中点为: 则另一个交点为 两点都在椭圆上． ∵ A 、B 两点都在椭圆上． ① ∴ ② ①－②得 的直线只有一条， 由于过 A、B 的直线只有一条， 故所求直线的方程为
相交、相切、相离 相交、相切、相离. 方法: 方法 判别式法
问题3:直线与曲线相交所得弦的弦长公式? 问题3:直线与曲线相交所得弦的弦长公式?
(1)设直线y=kx+b与二次曲线f(x,y)=0 (1)设直线y=kx+b与二次曲线f(x,y)=0 设直线y=kx+b 曲线 相交,若两方程联立消去y得到关于x 相交,若两方程联立消去y得到关于x的 一元二次方程, 一元二次方程,则直线与曲线相交所得 弦的弦长为: 弦的弦长为: l = 1+k2 x −x
1 2
探索研究】 【探索研究】
例1:当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆
9x2 +16y2 =144 相切,相交,相离.
解：将y=x+m代入 9x2 +16y2 =144中得
2 25x2 +32m +16m −144 =0 x
Q ∆ =(32m −4×25×( m −144) ) 16
2 2
576 2 576 2 = − m +14400 = − (m −25) ∆ 时 − 时 交 ∴ 当 >0 , 即 5< m<5 ，相 当 ＝时 即 = ±5 ， 切 ∆ 0 ， m 时 相 当 <0 ， m>5 m< −5 ， 离 ∆ 时 即 或 时 相
x2 y2 或 + =1 c 半 距m>c2) (为 焦 , 2 m m−c
y + 2 =1 a >b >0) ( 2 a b
2
2
已知椭圆的中心在原点， 例5.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 5.已知椭圆的中心在原点 轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且 与该椭圆交于P 轴上，直线 与该椭圆交于 OP⊥OQ， 求椭圆的方程。 OP⊥OQ，PQ = 10 , 求椭圆的方程。
2
解：设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), 设椭圆的方程为 P(x1,y1),Q(x2,y2)，由 mx2+ny2=1 (m+n)x2+2nx+n-1=0 y=x+1 2n n−1 ∴x1 + x2 = − Qy1 = x1 +1 y2 = x2 +1 , x1x2 = , m+n m+n m−1 ∴y1y2 = x1x2 +(x1 + x2) +1= m+n