直线和椭圆的位置关系优秀课件
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直线和椭圆的位置关系 课件
∴x1＋x2＝3.又4523－3＝－65，
∴中点坐标为32，－65.
弦长问题
例3 (本题满分6分)已知椭圆4x2＋5y2＝ 20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的 直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.
【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
即 1－1a62 ＝295，∴a＝5. ∴C 的方程为2x52＋1y26＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程， 得2x52 ＋（x－253）2＝1， 即 x2－3x－8＝0，
当
m
为何值时，直线
y＝x＋m
与椭圆 x2 16
＋y92＝1 相交？相切？相离？
y＝x＋m 【解】 由1x62＋y92＝1，得 25x2＋32mx＋16m2 －144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144) ＝9×43(25－m2)． 当Δ>0，即－5<m<5 时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即 m＝±5 时，直线和椭圆相切； 当Δ<0,即 m>5 或 m<－5 时,直线和椭圆相离． 综上所述，当 m>5 或 m<－5 时直线与椭圆相 离；当 m＝±5 时，直线与椭圆相切；当－5<m<5 时，直线与椭圆相交．
直线 y＝3x－2 与椭圆交于 A、B 两点．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
ay122＋xb212＝1 ay222＋xb222＝1
① ②
①－②得
∴中点坐标为32，－65.
弦长问题
例3 (本题满分6分)已知椭圆4x2＋5y2＝ 20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的 直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.
【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
即 1－1a62 ＝295，∴a＝5. ∴C 的方程为2x52＋1y26＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程， 得2x52 ＋（x－253）2＝1， 即 x2－3x－8＝0，
当
m
为何值时，直线
y＝x＋m
与椭圆 x2 16
＋y92＝1 相交？相切？相离？
y＝x＋m 【解】 由1x62＋y92＝1，得 25x2＋32mx＋16m2 －144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144) ＝9×43(25－m2)． 当Δ>0，即－5<m<5 时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即 m＝±5 时，直线和椭圆相切； 当Δ<0,即 m>5 或 m<－5 时,直线和椭圆相离． 综上所述，当 m>5 或 m<－5 时直线与椭圆相 离；当 m＝±5 时，直线与椭圆相切；当－5<m<5 时，直线与椭圆相交．
直线 y＝3x－2 与椭圆交于 A、B 两点．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
ay122＋xb212＝1 ay222＋xb222＝1
① ②
①－②得
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系(公开课)
直线与椭圆在物理问题中的应用
天体运动：椭圆轨道描述行星或卫星绕太阳的运动，直线轨道描述火箭发射和着陆的过程。
投篮运动：篮Βιβλιοθήκη 运动员投篮时的弧线轨迹可以近似为椭圆，投篮时需要掌握力度和角度，使篮球沿着近似椭圆的轨迹 飞行。
车辆行驶：高速公路上的车辆行驶轨迹可以近似为直线或抛物线，而城市道路中的车辆行驶轨迹则可能为椭圆或直线。
距离法：通过计算直线与椭圆心之间的距离，然后与椭圆的半径比较，判断位置关系。
直线与椭圆相交的情形
交点个数与判别式的关系
当判别式大于0时， 直线与椭圆有两个 交点
当判别式等于0时， 直线与椭圆有一个 交点
当判别式小于0时， 直线与椭圆没有交 点
交点坐标的求解方法
联立方程组： 将直线方程与 椭圆方程联立， 消元后得到一
桥梁设计：桥梁的支撑结构可以设计成直线或抛物线形状，以承受车辆和行人的重量，保证安全。
感谢您的耐心观看
汇报人：
元二次方程
求解交点：解一 元二次方程，得 到交点的x坐标， 再代入椭圆方程
求得y坐标
验证解：将求 得的解代入直 线方程，验证 是否满足条件
得出结论：根 据交点的坐标， 判断直线与椭 圆的位置关系
直线与椭圆相切的情形
切点个数与判别式的关系
切点个数：1个 判别式：Δ=0 直线与椭圆相切的条件：直线与椭圆有且仅有一个公共点
相交、相切、相离的定义
相交：直线与椭圆 有两个不同的交点
相切：直线与椭圆 只有一个交点
相离：直线与椭圆 没有交点
判断位置关系的方法
代数法：通过联立直线与椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的值判断位置关系。
几何法：通过观察直线与椭圆的位置关系，判断交点个数，从而确定位置关系。
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
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例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
直线与椭圆的位置关系(优质公开课)
由例1可知：y=x 5 与椭圆相切
故最小值是 3 5- 5 2 最大值是 = 10
2
3 5+ 5 2 于 A、B 两点 变式 1: 直线 y x 3 与椭圆 y 1 y2 1 例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 4
O 为坐标原点，求△OAB 的面积。
什么样的位置关系?
2
一.直线和椭圆位置关系的判定
x 2 y 1 【例 1】 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 4
相交、相切、相离？
y x+m 解：联立方程 2 消y 得： 2 8mx 4m2 4 0 5x 2 x 4 y 4
(8m) 20(4m 4) 16(m 5)
AB 1 k x1 x2 1 k
2 2
8 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
2
x 2 变式 2：设点 F 是椭圆 y 1的左焦点，弦 1 2
4 AB 过椭圆的右焦点，且△ F1 AB 的面积为 ，求 3
弦 AB 所在的直线方程。
2
变式 3：已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 e 3 ， 2 又知椭圆截直线 y=x+2 所得的线段 AB 的长为 16 2 , 5 求椭圆的标准方程。
小结 联立直线与椭圆方程 方程(组)的 思想 一元二次方程
判别式
韦达定理
椭圆与直线的 位置关系的判断
AB 1 k 2 x1 x2 1 12 y1 y2 k
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
4
解 :由椭圆方程知 : a2 4, b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y x 3. y x 3 2 消y得： 2 8 3x 8 0 5x x y2 1 4 8 3 8 , x1 x2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则x1 x2 5 5
故最小值是 3 5- 5 2 最大值是 = 10
2
3 5+ 5 2 于 A、B 两点 变式 1: 直线 y x 3 与椭圆 y 1 y2 1 例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 4
O 为坐标原点，求△OAB 的面积。
什么样的位置关系?
2
一.直线和椭圆位置关系的判定
x 2 y 1 【例 1】 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 4
相交、相切、相离？
y x+m 解：联立方程 2 消y 得： 2 8mx 4m2 4 0 5x 2 x 4 y 4
(8m) 20(4m 4) 16(m 5)
AB 1 k x1 x2 1 k
2 2
8 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
2
x 2 变式 2：设点 F 是椭圆 y 1的左焦点，弦 1 2
4 AB 过椭圆的右焦点，且△ F1 AB 的面积为 ，求 3
弦 AB 所在的直线方程。
2
变式 3：已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 e 3 ， 2 又知椭圆截直线 y=x+2 所得的线段 AB 的长为 16 2 , 5 求椭圆的标准方程。
小结 联立直线与椭圆方程 方程(组)的 思想 一元二次方程
判别式
韦达定理
椭圆与直线的 位置关系的判断
AB 1 k 2 x1 x2 1 12 y1 y2 k
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
4
解 :由椭圆方程知 : a2 4, b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y x 3. y x 3 2 消y得： 2 8 3x 8 0 5x x y2 1 4 8 3 8 , x1 x2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则x1 x2 5 5
直线与椭圆的位置关系的判断优秀课件
c ②如果已知直线在 x 轴上的截距为 或直线过 c , 0
点时，方程设为 ykxc 或 xmycmR
，不需要对 m 分类讨论，当 m 0
1
时直线斜率不存在，当 m 0 时，直线斜率为
m
问题5：椭圆面积公式S：ab
例4
椭圆
x2 y2 1 36 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为16，
例3、已知斜率为；2的直线经过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点
54
F 2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法：
① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
x0 , y0 时，方程设为 ykx b ,yy0kxx0
，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。
(2)使线段AB被
M
(1 ,1) 22
平分.
(3)使以A、B为直径的圆过点。
A P
F1 o F2
Bx
（4）直线 l 和 y 轴交于 点P,
使 PA 1 PB
2
把直线方程代入椭圆方程
得到一元 二次方程
计算判别式
>0 相交
=0 相切
<0 相离
例2、已知直线 l:y2xm ，椭圆
x2 C:
y2
1
42
。试问当 m 取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？
问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 若直线
l:ykxb 与椭圆相交于两点Ax1,y1,Bx2,y2
l ②遇到“直线 与椭圆相交于不同两点A、B”条件时，
必须书写 0 这个隐含条件。
点时，方程设为 ykxc 或 xmycmR
，不需要对 m 分类讨论，当 m 0
1
时直线斜率不存在，当 m 0 时，直线斜率为
m
问题5：椭圆面积公式S：ab
例4
椭圆
x2 y2 1 36 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为16，
例3、已知斜率为；2的直线经过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点
54
F 2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法：
① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
x0 , y0 时，方程设为 ykx b ,yy0kxx0
，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。
(2)使线段AB被
M
(1 ,1) 22
平分.
(3)使以A、B为直径的圆过点。
A P
F1 o F2
Bx
（4）直线 l 和 y 轴交于 点P,
使 PA 1 PB
2
把直线方程代入椭圆方程
得到一元 二次方程
计算判别式
>0 相交
=0 相切
<0 相离
例2、已知直线 l:y2xm ，椭圆
x2 C:
y2
1
42
。试问当 m 取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？
问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 若直线
l:ykxb 与椭圆相交于两点Ax1,y1,Bx2,y2
l ②遇到“直线 与椭圆相交于不同两点A、B”条件时，
必须书写 0 这个隐含条件。
直线与椭圆的位置关系(精品复习课件).ppt
5
5
8
55
【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5
y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4
m2
m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].
直线与椭圆的位置关系PPt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
求解直线与二次曲线有
关问题旳通法
③ 相离 ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 旳位置关系. 2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y 5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为∆=36>0
所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
则x1
x2
83 5
, x1x2
8 5
从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
＝ ２（8 3）2 -４ 8 ＝8
5
55
归纳： 求直线与椭圆旳弦长环节：
①联立方程组 ②消去一种未知数 ③利用弦长公式:
通法 | AB | 1 k 2 | xA xB |
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共点
2
2
探究二：直线与椭圆旳相交弦长旳求法
直线方程为: y kx m ，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交旳弦长：
a2 b2
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
到直线旳距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
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直线和椭圆的位置关系优秀课 件
回忆：直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r d<r
代数法： ∆<0 ∆=0 ∆>0
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法 几何法： 代数法：
联立直线与圆的方程 消元得到一元二次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
问题1：椭圆与直线的位置关系？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线相关问题的通法
考点一：直线和椭圆的位置关系
已知 A xB yC0与 a x2 2b y2 21 1.联立方程组 2.把直线方程代入椭圆方程，消去y(或x),化 简得到 x (或 y)的一元二次方程(注意？) 3.计算一元二次方程的判别式△
无交点
相离
例1.已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2，判断它们
的位置关系。
解：联立方程组
y
x
1 2
2
消去y
由韦达定理
x1 x1 x
x
2
2
4 5 1 5
5x24x10----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
4.若△ 0 ，说明直线与椭圆相交 若△ = 0 ，说明直线与椭圆相切 若△ < 0 ，说明直线与椭圆相离
例1.已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2，判断它们 的位置关系。 2
解：联立方程组
y
x
1 2
消去y
x2+4y2=2
5x24x10 ----- (1)
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
AB 1k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 1 （y y）2 4y y
k2
1
2
12
适用于任意二次曲线
题型二：弦长问题
例2：已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由 椭 圆 方 程 知 :a 2 4 ,b 2 1 ,c 2 3 . 右焦点F( 3,0). 直 线 l方 程 为 :yx3.
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y 2
a2 b2 1
这是求解直线与二
mx2+nx+p=0（m≠ 0） 次曲线有关问题的 通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
变变式 式12：：交相点交坐所标得是 的什 弦么 的？ 弦长A是(1,多12)少,B？(15,AB170)56 2
弦长公式：|AB| 1k2 x1x2 1k2（ x1x2)24x1x2
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为ky2
1
4
消 y得 ： 5x283x80 设 A(x1,y1),B(x2,y2)
x1x2
853,x1x2
8 5
8
A B 1 k 2x 1 x 2 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 5
回忆：直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r d<r
代数法： ∆<0 ∆=0 ∆>0
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法 几何法： 代数法：
联立直线与圆的方程 消元得到一元二次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
问题1：椭圆与直线的位置关系？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线相关问题的通法
考点一：直线和椭圆的位置关系
已知 A xB yC0与 a x2 2b y2 21 1.联立方程组 2.把直线方程代入椭圆方程，消去y(或x),化 简得到 x (或 y)的一元二次方程(注意？) 3.计算一元二次方程的判别式△
无交点
相离
例1.已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2，判断它们
的位置关系。
解：联立方程组
y
x
1 2
2
消去y
由韦达定理
x1 x1 x
x
2
2
4 5 1 5
5x24x10----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
4.若△ 0 ，说明直线与椭圆相交 若△ = 0 ，说明直线与椭圆相切 若△ < 0 ，说明直线与椭圆相离
例1.已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2，判断它们 的位置关系。 2
解：联立方程组
y
x
1 2
消去y
x2+4y2=2
5x24x10 ----- (1)
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
AB 1k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 1 （y y）2 4y y
k2
1
2
12
适用于任意二次曲线
题型二：弦长问题
例2：已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由 椭 圆 方 程 知 :a 2 4 ,b 2 1 ,c 2 3 . 右焦点F( 3,0). 直 线 l方 程 为 :yx3.
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y 2
a2 b2 1
这是求解直线与二
mx2+nx+p=0（m≠ 0） 次曲线有关问题的 通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
变变式 式12：：交相点交坐所标得是 的什 弦么 的？ 弦长A是(1,多12)少,B？(15,AB170)56 2
弦长公式：|AB| 1k2 x1x2 1k2（ x1x2)24x1x2
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为ky2
1
4
消 y得 ： 5x283x80 设 A(x1,y1),B(x2,y2)
x1x2
853,x1x2
8 5
8
A B 1 k 2x 1 x 2 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 5