直线与椭圆的位置关系(说课稿)

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《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)

《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。

而解决问题的主要方法是解析法。

解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。

考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。

②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。

（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。

《直线与椭圆的位置关系》教学设计

《直线与椭圆的位置关系》教学设计思考：已知条件中的2AOB π∠=还可以用什么形式来表达？教师提出问题，学生思考并回答通过探究一及思考问题实现点在圆上、直角及向量点积等于零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养変式已知椭圆C ：2214x y +=，直线:l 2y kx =+与椭圆交于AB 两点，且O 为坐标原点，若(,)2AOB ππ∠∈，求k 的取值范围思考：（1）将条件改为(0,)2AOB π∠∈呢？（2）(,)2AOB ππ∠∈，(0,)2AOB π∠∈还可以用什么形式来表达？拍照展示学生解题成果，其他学生纠错，教师点评，在求范围时注意判别式教师提出问题，学生思考并回答通过学生纠错发现问题，提出问题，分析问题并解决问题。

加强“四基”、 “四能”的培养。

激发学生的求知欲望.通过変式训练及思考问题实现点在圆内或外、钝角或锐角及向量点积小于或大于零的转化反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.探究二设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，点M 的坐标为（2，0），设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.思考：（1）此题还可以改为证明什么结论呢？（2）若增加条件MA ，MB 与y 轴分别交于C ，D 两点，试判断MCD ∆的形状学生展台展示并讲解，对出现的问题其他学生纠错，教师点评。

教师提出问题学生思考并回答探究二及思考问题实现角相等、角平分、角互补、等腰三角形、斜率之和为零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.変式训练変式1：已知椭圆为C：2214xy+=，过点M （4，0）作关于x轴对称的两条不同的直线12,,l l若直线1l交椭圆C于一点11(,)A x y，直线2l交椭圆C于一点22(,)B x y,12x x≠，证明：直线AB恒过定点。

学生讲解，其他学生补充其他方法，教师点评多种方法解题，发散学生思维能力，再与探究二做对比，总结归纳変式2：已知椭圆为C：22143x y+=，过左焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点，点A在第二象限，且满足||||AM AF AN AFAM AN=,问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

直线和椭圆的位置关系的教案

学生思考，独立完成
复习巩固知识
二
讲
授
新
课
(7)请你在同一坐标系中画出下列直线：y=x+3，y=1，y=x
并判断这些直线和该椭圆的位置关系.
通过学生交流，揭示课题。并解决下面的两个知识点。
1直线和椭圆的位置关系
2判断方法：(1)画图。由数到形的过程
(8)请你画出直线,并判断
它与椭圆的位置关系.
引导学生由形到数找到第二种判断方法：(2)联立方程，找判别式.
巩固知识，感受解析几何的计算量。
寻求解决问题的方法，并体验取得成功的喜悦。
巩固所学知识，再次体验成功。
三
小
结
四
作
业
1直线与椭圆的三种位置关系.
2直线与椭圆的三种位置关系的判断方法.
3弦长的计算方法.
1书上48页第7题.
2活页85页的1、2、6、8、9、10.
3过椭圆内一点M
引一条弦，使弦被M平分，求这条弦
练习:直线l:y=x+m与椭圆
交于A、B两点,弦长AB为，求
直线l的方程.
引导学生注意相交时的条件判断.
学生独立完成
学生回答
学生独立完成，讨论
学生独立完成
学生独立完成
学生自己推出弦长公式
学生独立完成
通过实际操作感知直线和椭圆的三种关系
让学生感受通过画图不易确定关系，进而寻找新的方法。
对新学知识的巩固
所在的直线方程.
学生归纳、总结
学生独立完成
让学生回顾本节课的内容，总结提炼所学知识与思想方法。
通过练习加深对本节课内容的认识，培养学生应用知识独立解决问题的能力。
五
板
书

【一等奖教案】椭圆与直线的位置关系

课题：椭圆与直线的位置关系教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解题。

重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题.教学过程：一、课引1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。

这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝()()||11||1212121221222yy kx x k y y x x -+=-+=+--2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.二、讲解新课例1：在椭圆x 2+4y 2=16中，求通过点M （2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴，则点M （2，1故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x 2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k 2)x 2-(16k 2-8k)x+16k 2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故 △=16(k 2+4k+3)>0又4418162221=+-=+kk x x k两式联立解得k=21-，∴直线方程为x+2y-4=0. 评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k 2+4k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k 2+4k+3)>044181622=+-kk k显得较繁）。

高中二年级上学期数学《直线与椭圆的位置关系》教学设计(微课)

《直线与椭圆的位置关系》教学设计
一、教学内容：类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系，并探
究直线被椭圆截得弦长公式。

二、教学目标：理解直线与椭圆位置关系的代数表达，掌握直线被椭圆截得弦长公式。

三、教学过程
1. 问题引入，提出概念
问题1:直线与椭圆位置关系有哪些？
【设计意图】通过问题，引导学生思考，然后经历由图形直观到严格的逻辑推理证明，激活学生已有学习经历和知识储备，在证明过程中发现本质。

2.深入探究，辨析概念
问题2：当直线与椭圆相交于不同两点时如何求相交弦长？
【设计意图】通过例题和跟进训练让学生巩固对直线被椭圆截得弦长的理解，达到能够熟练的利用渐近线方程解决问题水平，培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养。

4. 归纳总结，作业巩固
4.1知识、方法、思想
4.2学习感悟
4.3课后作业
1。

教学设计直线和椭圆的位置关系的教案

教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。

2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。

3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。

教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。

3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。

3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。

教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。

3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。

教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案

适用学科适用区域知识点高中数学苏教版区域适用年级课时时长(分钟)高二 2 课时直线与椭圆的位置关系。

常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、中点弦问题） 1．掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法． 2．掌握有关椭圆弦长问题的求解方法．直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解数形结合思想的应用教学目标教学重点教学难点【教学建议】本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想：直线与椭圆有哪些位置关系，能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？二、知识讲解【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入椭圆 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 Ax＋By＋C＝0， y)的一元方程，即 消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0． F(x，y)＝0， 第 1 页设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0  直线与椭圆 C 相交；Δ＝0  直线与椭圆 C 相切；Δ<0  直线与椭圆 C 相离．【问题导思】直线与椭圆相交时，弦长怎么求？【提示】设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB   x1  x2 2   y1  y2 2   x1  x2 2   kx1  kx2 2  k 2  1 x1  x2  k 2  1  x1  x2 2  4x1 x2 或AB 考点 2弦长公式 x1  x2    y1  y2 221  1 1 2 1   y1  y2    y1  y2   2  1 y1  y2  2  1 k k k k  2 y1  y2 2 4 y1 y2 ．然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程，运用韦达定理求弦长．类型一直线与椭圆的位置关系x2 已知椭圆＋y2＝1． 4 (1)当 m 为何值时，直线 y＝x＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当 m＝2 时，求直线被椭圆截得的线段长．【思路探究】联立，消 y 得一元二次方程→Δ 判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长． x 2   4 ＋y ＝1 【自主解答】(1)联立 消去 y 得，5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0． ①  y＝x＋m 因为 Δ＝64m2－80(m2－1)>0，所以－ 5<m< 5，所以当－ 5<m< 5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当 m＝2 时，方程①化为：5x2＋16x＋12＝0， 16 12 设线段端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理，得 x1＋x2＝－，x1x2＝， 5 5 又 k＝1，所以 AB＝【方法回顾】 1＋k2 4 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2． 52第 2 页1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由 Δ 判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用 AB＝进行求解，也可利用 AB＝ 1 1＋ 2|y1－y2|＝ k 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x21 1＋ 2· k(y1＋y2)2－4y1y2进行求解．已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45° 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 AB．第 3 页【思路探究】求出焦点 F 的坐标→求出直线 l 的斜率→设直线 l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解 x2 y2 【自主解答】椭圆方程为＋＝1，a＝ 5，b＝2，c＝1， 5 4 所以直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由 9x2＋10x－15＝0． 10 5 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1· x2＝－， 9 3 10 5 8 10 16 5 AB＝ 2|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2· (－ )2－4· (－ )＝ 2· ＝． 9 3 9 9 【方法回顾】 1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为 x1＋x2，x1· x2 或 y1＋y2，y1· y2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的 Δ>0． y＝x＋1， 4x2＋5y2＝20， 消去 y，得类型二求中点弦所在的直线方程x2 y2 已知(4，2)是直线 l 被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是________． 36 9 x2 y2 1 1 【自主解答】方法一：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，且 36 9 y1－y2 x1＋x2 x2 y2 2 2 ＋＝1，两式相减，得＝－． 36 9 x1－x2 4(y1＋y2) y1－y2 1 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－， 2 x1－x2 1 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2 方法二：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线方程为 y  2  k  x  4 ，即第 4 页y  kx   2  4k  ．2  y  kx   2  4k  联立方程  2 ，得 x 2  4   kx   2  4k     36  0 ， 2  x  4 y  36  0即 4k 2  1 x 2  8k  2  4k  x  4  2  4k   36  0 ．2又 x1＋x2＝8，所以 8  x1  x2  8k  2  4k  4k 2  11 ，解得 k   ． 21 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2 【总结与反思】处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1＋ y1－y2 x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 x1－x2 得斜率． 2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．类型三直线与椭圆位置关系的应用x2 y2 设 A1，A2 与 B 分别是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线 A2B 与圆 C： a b x2＋y2＝1 相切． 1 1 (1)求证： 2＋ 2＝1； a bON ＝0，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并 (2)直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，且 OM ·说明理由． x2 y2 【解】(1)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)，A1，A2 与 B 分别是椭圆 E 的左、右顶点与上顶点， a b第 5 页x y 所以 A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线 A2B 的方程是＋＝1． a b 因为直线 A2B 与圆 C：x2＋y2＝1 相切，所以 1 1 1 ＝1，即 2＋ 2＝1． a b 1 1 ＋ a2 b2(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①若直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m．2 x2 y2 x2 (kx＋m) 将 y＝kx＋m 代入 2＋ 2＝1，得 2＋＝1， 2 a b a b化简，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)． a2m2－a2b2 2a2km 所以 x1＋x2＝－ 2 ， x x ＝， 1 2 b ＋a2k2 b2＋a2k22 a2k2m2－a2b2k2 － 2a km  2 故 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝＋km 2 2 2＋m ＝  b ＋a k  b2＋a2k2 2 2b2m2－a2b2k2 b2＋a2k2．ON ＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0．因为 OM ·1 1 把 x1x2，y1y2 代入上式，得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0．结合 2＋ 2＝1，得 m2＝1＋k2． a b 圆心到直线 l 的距离为 d＝＝1，所以直线 l 与圆 C 相切． 1＋k2 a2b2－b2n2 ， a2 |m|x2 y2 ②若直线 l 的斜率不存在，设直线 l： x＝n．把直线 l 代入 2＋ 2＝1，得 y＝± a b 所以|n|＝a2b2－b2n2 ，所以 a2n2＝b2(a2－n2)，解得 n＝± 1，所以直线 l 与圆 C 相切． a2综上所述，直线 l 与圆 C 相切．【总结与反思】研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(－2，－1)的椭圆 C： 2  2  1 a  b  0  的左焦点为 F， a b第 6 页uuu r uuu r 短轴端点为 B1、B2， FB1  FB2  2b2 ．(1)求 a、b 的值； (2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q，与 y 轴的交点为 R，过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P．若 AQ· AR＝3OP2，求直线 l 的方程．0)， B1 (0，  b)， B2 (0， b) ，所以 FB1   c，【解】(1)因为 F (c，  b ， FB2   c,b ．uuu r uuu r 因为 FB1  FB2  2b2 ，所以 c2－b2＝2b2．①4 1 因为椭圆 C 过 A(－2，－1)，代入得 2＋ 2＝1．② a b 由①②解得 a2＝8，b2＝2．所以 a＝2 2，b＝ 2． (2)由题意，设直线 l 的方程为 y＋1＝k(x＋2)．uuu ruuu r y＋1＝k（x＋2），由x2 y2 得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0．   8 ＋ 2 ＝1，8k＋4 8k＋4 因为 x＋2≠0，所以 x＋2＝ 2 ，即 xQ＋2＝ 2 ． 4k ＋1 4k ＋ 1 y＝kx，由题意，直线 OP 的方程为 y＝kx．由x2 y2   8 ＋ 2 ＝1，得(1＋4k2)x2＝8，则 x2 P＝8 ． 1＋4k22 因为 AQ· AR＝3OP2，所以|xQ－(－2)|× |0－(－2)|＝3xP ．即 8k＋4  8 ，解得 k＝1，或 k＝－2． ×2＝3× 2 1＋4k2 4k ＋1当 k＝1 时，直线 l 的方程为 x－y＋1＝0，当 k＝－2 时，直线 l 的方程为 2x＋y＋5＝0．【总结与反思】涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【基础】四、课堂运用第 7 页x2 y2 1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系是________． 9 4 x2 y2 2．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭 a b 圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为________．答案与解析 1．【解析】由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．【答案】相交 c＝ 2，  b 2．【解析】由题意，得 a ＝1，  a ＝b ＋c ，2 2 2 2解得 a＝2，x2 y2 所以椭圆 C 的方程为＋＝1． 4 2  b ＝ 2， x2 y2 【答案】＋＝1 4 2 【巩固】 1 1 x2 ， 1．椭圆＋y2＝1 的弦被点 2 2平分，则这条弦所在的直线方程是________．  2 2．焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横坐标 1 为，求此椭圆方程． 2 答案与解析 1．【解析】设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1．2 x1 x2 2 2 因为 A，B 在椭圆上，所以＋y1＝1，＋y2 2＝1． 2 2(x1＋x2)(x1－x2) y1－y2 x1＋x2 1 1 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－＝－，即直线 AB 的斜率为－． 2 2 2 x1－x2 2(y1＋y2) 1 1 1 x－ ，即 2x＋4y－3＝0．所以直线 AB 的方程为 y－＝－  2 2 2 【答案】2x＋4y－3＝0 x2 y2 2．【解】设 2＋ 2＝1(a>b>0)，且 a2－b2＝(5 2)2＝50．① b a第 8 页x y  b2＋a2＝1 由 ，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，  y＝3x－2 x1＋x2 1 6b2 1 2 2 因为＝，所以 2 2＝2，所以 a ＝3b ，② 2 2 a ＋9b x2 y2 此时 Δ>0，由①②，得 a2＝75，b2＝25，所以＋＝1． 25 75 【提高】 x2 y2 1．设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， a b → → 直线 l 的倾斜角为 60° ，AF＝2FB． (1)求椭圆 C 的离心率； 15 (2)如果 AB＝，求椭圆 C 的方程． 4 答案与解析 1．【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1<0，y2>0)， (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2．22 y  3  x  c － 3b2(c＋2a)  2 2 2 2 4 联立  x 2 y 2 消去 x，得(3a ＋b )y ＋2 3b cy－3b ＝0，解得 y1＝， 3a2＋b2  2  2 1 b a－ 3b2(c－2a) y2＝， 3a2＋b2 3b2(c＋2a) － 3b2(c－2a) → → c 2 因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，即＝ 2· ，解得离心率 e＝＝． 2 2 2 2 a 3 3a ＋b 3a ＋b (2)因为 AB＝＝3，b＝ 5． x2 y2 所以椭圆 C 的方程为＋＝1． 9 5 1 2 4 3ab2 15 c 2 5 5 15 1＋ |y2－y1|，所以 · 2 2＝．由＝得 b＝ a．所以 a＝，得 a 3 4 a 3 3 4 4 3 3a ＋b直线与椭圆位置关系的判断、有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合五、课堂小结第 9 页思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【基础】六、课后作业x2 y2   1 的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________． 36 91．若椭圆x2 2．过点 M(－2，0)的直线 m 与椭圆＋y2＝1 交于 P1、P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设 2 直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为___________． 3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2  y 2  1 相交于 A、B 两点，则 AB 的最大值为________． 44．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭圆过点1，－3 ． 2(1)求椭圆的方程； 6  (2)过点 －5，0作不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断 ∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．答案与解析 1． 1 22． 1 23．4 10 5x2 4．(1)由题意，即可得到＋y2＝1． 4 6 (2)设直线 MN 的方程为 x＝ky－， 5x＝ky－5， 12 64 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得 得(k ＋4)y － ky－＝0， 5 25 x  4 ＋y ＝1，2 2 2 26设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－64 12k ，y1＋y2＝， 2 25（k ＋4） 5（k2＋4）4 16 π → → 则AM· AN＝(x1＋2，y1)· (x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋＝0，即可得∠MAN＝． 5 25 2 【巩固】 1．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m．第 10 页(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x ，且椭圆经过点M (4，1)，直线l y x m =+：交椭圆于不同的两点A ，B ．(1)求该椭圆的方程；(2)求实数m 的取值范围．3．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．答案与解析1．【解】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0．因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52．故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，52． (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m )＝x 1－x 2，所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2．所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x ．2．(1)由题意可设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>．因为e =，所以224a b =． ① 又因为椭圆过点M (4，1)，所以221611a b +=， ②由①②解得22520b a = =，，故椭圆的方程为221205x y +=． (2)将y x m =+代入221205x y +=，整理，得22584200x mx m ++-=，由题意知()()228204200m m =-->D ，解得55m -<<，所以实数m 的取值范围为()55- ，．3．【解】解法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，所以 x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b．再由AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，所以 b ＝23．所以所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB ＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2．因为AB ＝22，所以a ＋b －aba ＋b＝1．① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b，因为OC 的斜率为22，所以 a b ＝22．代入①，得a ＝13，b ＝23．所以椭圆方程为x 23＋2y 23＝1．【提高】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为)0． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案与解析1．(1)==32a b = =，，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=． (2) ①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为12k k ，，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程，得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，化简，得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k x y k y --+-=，则12k k ，是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k x y k y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简，得220013x y +=．②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则点P 的坐标为(±3，±2)，此时点P 也在圆x 2+y 2=13上．综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13。

(省优)获奖教案：椭圆与直线的位置关系

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直线与椭圆的位置关系（说课稿）
各位老师你们好!
今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。

一.教材分析
教材的地位和作用
<<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。

在新课程数学教学有着不可代替的作用。

本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系
二. 教法分析
（一）学情分析
学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。

从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。

（二）教学方法和手段
教学方法：引导发现、探索讨论
我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。

教学手段：多媒体课件辅助教学
意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.
（三）具体措施
本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以
适当的引导。

利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。

三. 教学目标
结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：
知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。

能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；
情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。

重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系；
难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。

1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。

同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养
2.这里没有用“使学生掌握……”、“使学生学会……”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。

四. 教学过程
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r d=r d<r
代数法：∆<0 ∆=0 ∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
因为他们不像圆一样有统一的半径。

所以只能用代数法求解直线与二次曲线有关问题的通法。

意图：复习不是简单重复，引进不是生硬塞入。

利用认知迁移规律，通过学生熟悉的、简单的问题引出课题，在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建如此设计有利于培养学生良好的学习习惯，，提高其独立分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”。

充分保障学生的主体地位。

引例已知椭圆c ：12
42
2=+y x ，直线b kx y l +=: （1）请具体给出b k ,的一组值，使直线和椭圆相交。

（2）若1=+b k 试确定直线l 和椭圆c 的位置关系。

学生活动：学生独立思考.根据已经学过的知识很容易回答.尝试几何和代数两种方法来解题。

意图;引例是个开放题，结果不唯一。

学生可以分别从形和数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的b k ,的值。

追问：1、直线和椭圆位置关系有哪几种？
2、每种位置关系涉及哪些知识点？
3、直线和椭圆相交时，涉及哪些问题？
提出问题：已知：直线1:+=kx y l 和椭圆12
4:2
2=+y x c 相交于A ，B 两点，按照下列条件，求出直线l 的方程。

（1）使AB =2
（2）使线段AB 被M （ 21，2
1）平分。

（3）使过A ，B 为直径的圆过原点。

（OB OA ⊥）
（4）直线l 和y 轴交于点P ，使PB PA 2
1-=。

学生活动：学生理解思考，用用韦达定理可以很快解决前三小题，第四小题学生有点生疏，留较长时间思考，并练习。

学生独立思考,可能出现的以下的解决方法:
1. 点差法法
2. 韦达定理（联立方程组）
学生活动：前3小题比较常规，但也是最基础的。

学生比较熟悉。

这里要求学生掌握数形结合消参的思想。

变题：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程
意图;练习源于例题。

例题由教师板书，体现示范功能。

练习由学生板演，关注学生的数学表达，提供反馈校正的素材。

尤其是练习作业的设计与例题乡相呼应，揭示了教与学的一致性。

(练习亮点)变题：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程。

拓宽知识点，起到类推类比的功能。

五. 说明和反思
根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参与获取知识和技能的全过。

上课时，努力让学生积极参与；
启示：今后课堂里，要多灌输数形结合的思想。

数缺形时少直观，形少数时难入微，有助于学生解题。

技能演练椭圆1204522=+y x 的两个焦点为F 1 、F 2 ，过左焦点作直线与椭圆交于A ，B 两点，若△ AB F 2 的面积为20，求直线的方程。