直线与椭圆的位置关系的判断

，若过左焦点，则 AB = 2a + e ( x1 + x2 ) 若过左焦点， 若过右焦点， 若过右焦点，则 AB = 2a − e ( x1 + x2 )
x2 y2 + = 1 的右焦点 已知斜率为2 例3、已知斜率为2的直线经过椭圆 5 4
；
F2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。 与椭圆相交于 ， 两点，求弦 的长。 两点 的长
l : y = kx + b 与椭圆相交于两点A( x1, y1 ), B ( x2 , y2 )
弦长公式： ，则 弦长公式：
AB = ( x1 − x2 ) +( y1 − y2 )
2
2
( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = 1+ k2 x1 − x2 = (1+ k )
2
1 2 = 1+ 1 y1 − y2 = 1+ k2 ∆ = 1+ 1 ∆ = (1+ 2 ) ( y1 + y2 ) − 4y1y2 k k2 a k2 a′
所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 只需将直线方程与椭圆方程联立， 只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于
x
或 y
的一元二次方程形式， 的一元二次方程形式，通过韦达定理求得 x1 + x2 , x1 ⋅ x2 ，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要 代入弦长公式计算即可。 书写两点间距离公式。 书写两点间距离公式。
例2、已知直线 l : y = 2 x + m ，椭圆 。试问当
x2 y2 C : + =1 4 2
m
取何值时， 取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2 相切？（3 相离？ 直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？ (1 ？（ ？（ 问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 问题 ：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 若直线
3
） D −7
B −5 3 C −3
2
x2 y2 (3)、已知椭圆 、 + = 1 的右焦点是 F2 ，点 A ( 2, 2 ) 25 9
在椭圆内， 是椭圆上的动点， 在椭圆内，点M是椭圆上的动点，求 MA + MF2 是椭圆上的动点 的最大、最小值。 的最大、最小值。
x2 y 2 (4)、已知 是椭圆 、已知P是椭圆 + = 1 上的点， F1 , F2 上的点， 4 3

A（x1 , y1）
o
F1 B（x2 , y2） F2
x
其它条件不变，求直线的方程。 变：假如直线是过原点， 其它条件不变，求直线的方程。
问题6：解决中点弦问题的两种方法： 问题 ：解决中点弦问题的两种方法： 点差法” ①“点差法”：涉及到直线和圆锥曲线相交所得 弦的中点问题时，设点作差。体现“设而不求” 弦的中点问题时，设点作差。体现“设而不求” 的数学思想。 的数学思想。 韦达定理法” 联立方程组， ②“韦达定理法”： 联立方程组，将直线方程 代入椭圆方程，转化为关于 代入椭圆方程，转化为关于 x 或 y 的一元二次方程形式， 的一元二次方程形式，通过韦达定理求得 x1 + x2 ，或
AB =
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
∆ = 1+ k ⋅ a
2
设而不求 整体化思想
特例：椭圆的焦点弦长公式： 特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆
x2 y 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
相交于两点 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )
同学们,再见啦！！ 同学们 再见啦！！ 再见啦 别忘了作业!! 别忘了作业
为椭圆上任意一点， 最小， ，P为椭圆上任意一点，若要求 PA + PB 最小， 为椭圆上任意一点 则这最小值是（ 则这最小值是（ ） A 10 − 4 2 B 10 − 29 C
26
D 5+2 2
（2）．设 x, y ∈ R, x 2 + 2 y 2 = 6 ）．设 ）． ，则 x + y 的最小值是（ 的最小值是（ A −2 2
y
(1)使 AB = 2 使 (2)使线段 被 使线段AB被
A P 平分. 平分 F1
1 1 M( , ) 2 2
o
F2
B
x
(3)使以 、B为直径的圆过点。 使以A、 为直径的圆过点 为直径的圆过点。 使以 （4）直线 l 和 y 轴交于 点P, ）
uuu r r 1 uuu 使 PA = − PB 2
y1 + y2 ，除以 ，得中点横坐标或中点纵坐标。 除以2，得中点横坐标或中点纵坐标。
x2 y 2 例5、点 P (1,1) 为椭圆 + = 1 、 4 2
内一定点，过点 作一弦 使此弦在P点被平分 作一弦， 点被平分， 内一定点，过点P作一弦，使此弦在 点被平分， 求此弦的方程。 求此弦的方程。
x2 y 2 例6、椭圆的方程为 、 + = 1 ，试确定 4 3
t
的取值范围， 的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线
y = 4 x + t 对称。 对称。
问题8、椭圆中的最值性问题： 问题 、椭圆中的最值性问题：
x2 y 2 ）．椭圆 （1）．椭圆 25 + 16 = 1 外有一点A ( 2,5) ，内有一点 B ( 3, 0 ) ）．
直线与椭圆的位置关系的判断
数学组
白羽
问题1：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、 问题 ：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、上、外。
x0 y0 x y 点M ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 )内 ⇔ 2 + 2 < 1 a b a b x0 2 y0 2 x2 y2 点M ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 上 ⇔ 2 + 2 = 1 a b a b 2 2 2 2 x0 y0 x y 点M ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 外 ⇔ 2 + 2 > 1 a b a b
问题7 研究直线和椭圆相交的问题时，必须注意的两点： 问题7：研究直线和椭圆相交的问题时，必须注意的两点： 对斜率分类讨论； ①对斜率分类讨论； ②遇到“直线 遇到“
l
与椭圆相交于不同两点A 条件时， 与椭圆相交于不同两点A、B”条件时， 条件时
必须书写 ∆ > 0 这个隐含条件。 这个隐含条件。
椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点， 例1.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点，而 椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点 其重心是椭圆的一个焦点， 其重心是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率的取值 范围。 范围。
2
2
2
2
问题2： 问题 ：直线与椭圆位置关系种类
相交
相切 二个 一个 0个 个 相离
注意观察交点个数。 注意观察交点个数。
(6)、过椭圆 x 2+2y 2=4 的左焦点作倾斜角为 0的 、 的左焦点作倾斜角为30 直线，则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______ 直线，
x2 y2 l : y = kx +1和椭圆 c : 4 + 2 = 1 已知: 已知 直线
课后作业题: 课后作业题
相交 两点， 于A，B两点，按照下列条件，求出直线的方程。 ， 两点 按照下列条件，求出直线的方程。
1 时直线斜率不存在， 时直线斜率不存在，当 m ≠ 0 时，直线斜率为 m S= 问题5：椭圆面积公式： 问题 ：椭圆面积公式： π ab
例4
x2 y2 + =1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 36 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为16， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
的最大、最小值之差是多少？ 为左右焦点， 为左右焦点，求 PF1 ⋅ PF2 的最大、最小值之差是多少？
x2 y2 + = 1 ，直线 l :4 x − 5 y + 40 = 0 (5)、已知椭圆 、 25 9
的距离最小？ 。椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？ 椭圆上是否存在一点， 最小距离是多少？ 最小距离是多少？
问题2：直线与椭圆位置关系判断方法： 问题 ：直线与椭圆位置关系判断方法：
x2 y2 已知 Ax + By + C = 0 与 + 2 =1 2 a b
[1]将直线方程代入椭圆方程，得到 x （或 y）的一 将直线方程代入椭圆方程， 将直线方程代入椭圆方程 元二次方程 [2]计算一元二次方程的判别式△ 计算一元二次方程的判别式△ 计算一元二次方程的判别式 [3]若△ > 0 ，说明直线与椭圆相交 若 若△ = 0 ，说明直线与椭圆相切 若△ < 0 ，说明直线与椭圆相离
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法： 问题 ：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法： ① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
( x0 , y0 ) 时，方程设为 y = kx +b, y − y = k ( x − x )
0 0
，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。 注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。 ②如果已知直线在 x 轴上的截距为 c 或直线过 ( c, 0 ) 点时， 点时，方程设为 y = k ( x − c ) 或 x = my + c ( m ∈ R ) ，不需要对 m 分类讨论，当 m = 0 分类讨论，