直线与椭圆的位置关系练习题目与答案(最新整理)
高中数学教师用书第课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)含答案
第3课时直线与椭圆的位置关系（习题课)［思考1］判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津:(1）几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2）代数法：联立直线与圆的方程,利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津:不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．［思考3] 已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m。
问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．［尝试解答］将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0。
Δ＝4m2－20（m2－1)＝20－16m2。
当Δ＝0时，得m＝±错误!,直线与椭圆相切;当Δ〉0时,得－错误!〈m<错误!，直线与椭圆相交；当Δ〈0时,得m〈－错误!或m>错误!，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点，求m的取值范围．解：由错误!消去y,整理得（m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，所以Δ＝100k2－20(m＋5k2）(1－m）＝20m(5k2＋m－1），因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立，因为m〉0，所以5k2≥1－m恒成立,所以1－m≤0,即m≥1.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0〈m<5，综上，1≤m〈5，即m的取值范围是［1,5）．［思考1] 若直线l与圆C相交于点A,B，如何求弦长｜AB|?名师指津：(1）利用r2＝d2＋错误!错误!求解;(2）利用两点间的距离公式求解；(3）利用弦长公式｜AB|＝1＋k2｜x1－x2|求解．[思考2］若直线l：y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1相交于A（x1，y1)，B(x2，y2）两点，如何求｜AB｜的值？名师指津：|AB｜＝错误!｜x1－x2|．讲一讲2．已知椭圆错误!＋错误!＝1和点P（4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．[尝试解答］(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝错误!(x－4），即y＝错误!x。
课时作业6：2.5.2 第三课时 直线与椭圆的位置关系
第三课时 直线与椭圆的位置关系一、选择题1.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切答案 A解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B.±22C.12D.±12 答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22.由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2，所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.3.椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32B. 3C.72D.4答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.4.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23. 纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.5.已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.2C. 2D.423 答案 D解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0，得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝423. 二、填空题6.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，实数m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52解析 由⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.7.椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是________. 答案 32解析 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1，0)， 所以右焦点到直线y ＝3x 的距离为|3|1＋（3）2＝32. 8.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点.设O 为坐标原点，则OA→·OB →＝________.答案 －13解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1，0). 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1. 代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 三、解答题9.求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度.解 过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.10.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点. (1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8. (2)由(1)可得F 1(－1，0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式 |AB |＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫672－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－97＝247.11.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( )A.22B.233C.922D.2327 答案 A解析 联立方程组可得⎩⎨⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n ，所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2. 而k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.13.已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1，0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1，0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由. 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1， 得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2). 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)设P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′). 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根. 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1， 由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ， ∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根. 故这样的k 不存在.14.已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e ＝63，椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为6－2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 1的直线交椭圆C 于点P ，Q ，且TF 1→·PQ →＝0，求|TF 1||PQ |的最小值. 解 (1)c a ＝63，而a －c ＝6－2，又a 2＝b 2＋c 2，得a ＝6，b ＝2， 故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)由(1)知F 1(－2，0)，∵TF 1→·PQ →＝0，故TF 1→⊥PQ →，设T (－3，m )， ∴|TF 1|＝m 2＋1，直线TF 1的斜率为－m ， 当m ＝0时，直线PQ 的方程为x ＝－2， 也符合方程x ＝my －2.当m ≠0时，直线PQ 的斜率为1m ， 直线PQ 的方程为x ＝my －2； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， |PQ |＝m 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32＋8m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3，|TF 1||PQ |＝m 2＋124（m 2＋1）m 2＋3＝m 2＋324m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋2m 2＋1≥2224＝33，当且仅当m 2＋1＝2m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立. ∴|TF 1||PQ |的最小值为33.。
线段和椭圆的位置关系 专题练习题 含答案
线段和椭圆的位置关系专题练习题含答案题目一设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜程度。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。
2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。
3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。
根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。
题目二设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。
直线与椭圆的位置关系(强化练习,附详解)
直线与椭圆的位置关系（椭圆3）1. 已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是 ． 2. 直线y ＝kx ＋1与椭圆52x ＋m y 2＝1总有公共点，则m 的取值范围是________． 3. 过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦，被M 点平分，则此弦所在直线的方程是 ．4.椭圆13422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于点B A ,，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是 。
5.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2, N 是1MF 的中点,O 是坐标原点,则ON 的长为 。
6.已知椭圆22221y x a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12(,0),(,0),F c F c -若椭圆上存在一点P 使1221,sin sin a c PF F PF F =∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 7.已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）直线133+=y 与椭圆交于N P ,两点，求||PN8.如图，从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM 。
（1）求椭圆的离心率；（2）设Q 是椭圆上一点，当2QF AB ⊥时，延长2QF 与椭圆交于另一点P ，若△1F PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程。
x y A B M O Q F 1 F 2 P。
直线与椭圆的位置关系训练题
直线与椭圆的位置关系训练题一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12. 答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5x 1－x 2＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a3a 2－b 2＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2， 所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，则2a 3a 2－b 2＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＝1－b 2a 2＞15. 又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫55，1 (二)难点专练——适情自主选5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
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则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
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率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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高中总复习·数学
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（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
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＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
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故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
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＝ .
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高中总复习·数学
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（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的位置关系练习题
直线与椭圆的位置关系练习题直线和椭圆之间的位置关系是数学中的重要概念。
本练题将帮助我们进一步理解直线与椭圆之间的关系。
在本文档中，我们将探讨直线与椭圆的可能位置关系，并提供一些练题供您解答。
1. 直线与椭圆位置关系的基本概念在开始练题之前，我们需先了解直线与椭圆位置关系的基本概念。
当直线与椭圆相交时，我们可以得到以下几种可能的位置关系：- 直线与椭圆相切：直线只与椭圆的一个点相切。
- 直线与椭圆相离：直线与椭圆没有交点，它们之间存在一定的距离。
- 直线与椭圆相交：直线与椭圆有两个交点。
2. 练题现在，我们来解答一些直线与椭圆位置关系的练题。
请仔细阅读题目，并尝试独立解答。
每道题会提供一个直线方程和一个椭圆方程，请确定它们之间的位置关系。
2.1. 问题一直线方程：y = 2x - 1椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
2.2. 问题二直线方程：y = 3x + 2椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
2.3. 问题三直线方程：y = -2x + 4椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
3. 小结通过解答上述练题，我们可以进一步了解直线与椭圆之间的位置关系。
当直线与椭圆相切时，直线只与椭圆的一个点相切；当直线与椭圆相离时，直线与椭圆没有交点，它们之间存在一定的距离；当直线与椭圆相交时，直线与椭圆有两个交点。
希望这些练习题能够帮助您更好地理解直线与椭圆之间的位置关系。
如果您还有其他相关问题，欢迎随时向我们提问。
祝您学习愉快！。
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（原卷版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．133．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．344．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为()A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝15．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为()A ．6B ．12C ．24D ．486．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1B ．2C ．32D ．37．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝()A ．2B ．2C ．3D ．38．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是___________.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为___________.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为___________.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB→＝2OA →，求直线AB 的方程．13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A ，32B ，34C ．32，D ．34，15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C ．12D ．－1216．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（解析版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为(A )A ．63B ．33C ．23D ．13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2，∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63，故选A ．3．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(B )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：方法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．方法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12，故选B ．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为(D )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1消去y ，得b 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 2a b ＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D ．5．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为(B )A ．6B ．12C ．24D ．48解析：如图，S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝2S △AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大，此时S △AOF 1的面积最大为12×4×3＝6.∴S △ABF 1的最大值为12，故选B ．6．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为(A )A ．1B ．2C ．32D ．3解析：设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a ＜x ＜a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x ，又因为椭圆的离心率为32，所以ba ＝1－e 2＝12，|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x2＝2ba ＝1，故选A ．7．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB→，则|AF →|＝(A )A ．2B ．2C ．3D ．3解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×＝1.解得n 2＝1，∴|AF→|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝2，故选A ．8．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(ACD )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A 、C 、D 中的直线与直线y ＝3x ＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选AC D ．二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是32.解析：已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线3x －y ＝0的距离为|3－0|3＋1＝32.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为53.解析：由a 2＝5，b 2＝4，得c 2＝1，则右焦点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)＝2x －2，x 2＋5y 2＝20得3x 2－5x ＝0，解得x ＝0或x ＝53，所以|AB |＝53×1＋22＝553，又点O 到直线AB 的距离为d ＝|－2|1＋22＝25，因此S △OAB ＝12×553×25＝53.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：不妨设点A 在第一象限，如图，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得－5c 3，－代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b2＝1，又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)若将A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入到x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k2.将y ＝kx 代入到y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0.13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为c a ＝12，所以设a ＝2n ，c ＝n ，则b ＝n ，椭圆E 的方程为x 22n 2＋y 2n 2＝1.代入点A 的坐标得12n 2＋12n 2＝1，n 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，＝22x ＋m ，2＋2y 2＝2得x 2＋2＋2mx ＋m 2，即x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝m 2－1，Δ＝2m 2－4(m 2－1)>0，m 2<2.|BC |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝32[2m 2－4(m 2－1)]＝32(4－2m 2)，点A 到直线l 的距离d ＝|m |32，△ABC 的面积S ＝12|BC |·d ＝1232(4－2m 2)·|m |32＝22m 2(2－m 2)≤22·m 2＋2－m 22＝22，当且仅当m 2＝2－m 2，即m 2＝1时等号成立．所以当m ＝±1时，△ABC 面积取最大值为22.14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是(A )A ，32B，34C ．32，D ．34，解析：设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.∴离心率e ＝ca ＝c 2a2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈，32，故选A ．15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：设P (x 0，y 0)，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴点P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，纵坐标为k 1(x 0＋2)＝2k 12k 21＋1，即直线OP 的斜率k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12，故选D ．16．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，右焦点为(c ,0)，则由点到直线的距离公式得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)不存在，理由如下：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)x ＋m ，y 2＝1，消去y 并整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－32m ，x 1x 2＝3(m 2－1)4，∴y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2＋m ＝－32m ＋2m ＝m2.由题意知Δ>0，即(6m )2－4×4×(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋(y 1＋1)2＝x 22＋(y 2＋1)2，整理得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2＋2)＝0，∴－32m (x 1－x 2)y1－y 2)＝0，x 1＋m －(x 2＋m )]＝32m(x 1－x 2)，x 1－x 2)＝32m (x 1－x 2)，又x 1≠x 2，∴32m ＝m2＋2，解得m ＝2.∵m ＝2不满足－2<m <2，∴满足条件的m 的值不存在．。
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直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐192522=+y x M 1F N 1MF ON O 标原点）的值为（ ）A ．4B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一2F 定义得，所以10221==+a MF MF ，82101012=-=-=MF MF 又因为为的中位线，所以ON 21F MF ∆，故答案为A ．4212==MF ON 2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围)(1R k kx y ∈+=1522=+my x m解法一：由可得，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 05510)5(22=-+++m kx x m k 0152≥--=∆∴k m 1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则5<m x m b =1≥m 即51<≤m 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5>m y 5=a 5>m 综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即)1,0(115022≤+m1≥m3. 已知椭圆及直线．1422=+y x m x y +=（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．51023. 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，m x y +=1422=+y x ()1422=++m x x 即．，解得012522=-++m mx x ()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ．2525≤≤-m （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，1x 2x 5221m x x -=+51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：．解得．方程为51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m 0=m ．x y =4. 已知椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 11222=+y x 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线方程为AB l 022=++y x 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 04492=-+y y 91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，又⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 061692=++x x 92101212=-+=x x k AB910421==∴∆h AB S 解法三：令则，其中),(),,(2211y x B y x A 11ex a AF +=21ex a BF +=22,2==e a 到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y xx y 061692=++x x 9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式（k 为直线斜率）或焦212212111y y kx x kAB -+=-+=（左）半径公式时，应结合韦达)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=定理解5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的x 1F 3π直线交椭圆于，两点，求弦的长．A B AB 5. 分析：可以利用弦长公式求得，]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=6=a 3=b 33=c ．因为焦点在轴上，x 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．193622=+y x )0,33(-F 93+=x y 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以0836372132=⨯++x x 1x 2x ，，，从而1337221-=+x x 1383621⨯=x x 3=k．1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=03截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程32-6. 解法一：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由可得，⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 012)(2=-+++n nx x n m m n n m n x x 234221=-=+-=+即又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由作差得⎩⎨⎧=+=+1122222121ny mx ny mx )()(21212121y y x x y y x x n m +--=+-mn 2=∴又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.7. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx xk有221221214,218k x x k k x x +=+-=+若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,所以,()()0222121=+++kx kx x x ,即()()042121212=++++x x k xx k所以,()0421*******222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=，求椭圆方程 2108.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由 得⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y (m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴+1=0,∴m +n =2①又22,将m +n =2,代入得n m nn m n --+-2)1(2210()(4=+-+n m mn n m m ·n =②43由①、②式得m =,n =或m =,n =故椭圆方程为+y 2=1或x 2+y 2=12123232122x 2323219. 椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中12222=+b y a x (a b )01=+y x P Q OQ OP ⊥O 为坐标原点．（1）求的值；2211ba +（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．e 33e 229. （1）设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),,(2211y x P y x P ⇔ 又将①01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 代入x y -=1，12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 代入①化简得 .222221)1(b a b a x x +-=21122=+b a(2) 又由（1）知,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 12222-=a a b ，∴长轴 2a ∈ [].26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a 6,510.设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若试求λl x y 22941+=AP PB λ= 的取值范围.10 。
解：当直线垂直于x 轴时，可求得;l 15λ=-当与x 轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭l ())(,,2211y x B y x A ，l 3+=kx y 圆方程，消去得y ()45544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑的情形.0>k1当时，，，0>k 4959627221+-+-=k k k x 4959627222+---=k k k x 所以 ＝＝＝.12x x λ=-5929592922-+-+-k k k k 59291812-+-k k k25929181k -+-由 ， 解得 ，()049180)54(22≥+--=∆kk 952≥k 所以，51592918112-<-+-≤-k 综上 .115λ-≤≤-11.已知椭圆的一个焦点为F 1(0,-)，对应的准线方程为，且离心率e 满足：成等差数列。