直线和椭圆的位置关系

因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
（2）
求直线
y

x
1 2
被椭圆x
2
4y2

2 所截的弦长|AB|.
由韦达定理得

x1

x2

4 5


x1

x2


1 5
利用弦长公式求解：
| AB | 1 k 2 | xA xB |
二. 与相交弦中点有关的问题
计算.
当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
一.直线和椭圆位置关系及弦长问题
例1.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
（1）当直线和椭圆有相交时，求实数 m的取值范围；
解：联立方程组
x2 2y2 2 y 2x m
消去 y 得 9x2 8mx 2m2 2 0
是
.
94
归纳与小结
1.直线与椭圆位置问题的有关知识点:
知识点一: 直线与椭圆交点个数问题； 知识点二: 有关曲线的弦长问题； 知识点三: 有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程和弦的中 点轨迹方程)；
2．数学思想： 判别式法, 韦达定理,点差法, 数形结合,函数与方程,等价转化等。
遇到弦中点,两式减一减;
A(x1, y1), B(x2, y2) ,则它的弦长
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2

y1 y2
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标
设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法——判别式法
典例精析
一.直线和椭圆位置关系及弦长问题
例1.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
（1）当直线和椭圆相交时，求实数m 的取值范围；
解：联立方程组 x2 2 y2 2 y 2x m
消去 y 得 x2 2(2x m)2 2
且 x02 y02 1 25 9
m m
三.直线和椭圆位置关系的应用
例3.已知直线 l : y kx 1 0(k R)与椭圆 x2 y2 1，求证 l 与椭圆恒有公共点.
54
y
法一：用判别式法（代数法）
数形结合
2
法二：由于直线L过定点 （0，1）在椭圆内，故L 5 与椭圆相交。
y
A(x1, y1)
因为直线和椭圆有相交，所以 0
Ｏ
x
即 64m2 4 9 (2m2 2) 0
B(x2 , y2 )
解得 3 m 3
（2）求被椭圆截得的最长弦 AB 所在的直线方程.
小结1
1.椭圆与直线的位置关系的判断方法
2.弦长公式
判别式法
设直线 l与曲线C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
直线与椭圆的位置关系
y
O
x
问题引入
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
问题2：直线与椭圆的位置关系有哪几种？
y
相离
相y交相2 交 x x 1
9
4
Ｏ
相切
相切
x 相离
椭圆与直线的位置关系的判断
判断方法
判断 ∆<0， ∆=0，
(x1 x2 )2 [(kx1 b) (kx2 b)]2
A（x1,y1）
1 k 2 x1 x2
1 k 2 (x2 x1)2 4x1x2
B（x2,y2）
或
AB
1
1 k2
y1 y2
借助韦达定理求弦长
2．关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为
例2.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
求直线与椭圆相交时，相交弦 AB中点 M 的轨迹方程；
x2 2y2 2 解：联立方程组
y 2x m
消去 y 得 x2 2(2x m)2 2
整理得
9x2 8mx 2m2 2 0
设交点 A(x1, y1), B(x2 , y2 )， 中点 M (x, y)
若要求弦长,韦达来帮忙.
课后练习
1.已知椭圆
x2 16

y2 4
，1 过点M(2,1)作弦AB，使弦被M点平
分，求此弦所在的直线方程.并求弦长|AB|.
2.直线l：y=x+4与椭圆 x2 y2 1 相离，求实数b的 4b
取值范围.
3.己知椭圆C:
x2 16

y2 9
1,直线
y 3 k(x 5) ,问k取
由韦达定理得
x1

x2


8m 9
消参得 x 4y 0


x

y
பைடு நூலகம்
x1 y1
x2 2
y2 2


4m 9
(x1
x2
)

m

m 9
又由 3 m 3 4 x 4
3
3
所以中点 M 的轨迹方程；
x
4y

0(
4 3

x

4 3
)
小结2
弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
遇到弦中点,两式减一减;
跟踪练习
1.已知椭圆 x2 2 y2 2 ，过点 点平分的弦所在的直线方程.
P(
1 2
,
1) 2
且被
P
2. 过点A(2,1)的直线 l 与椭 圆 x2 2 y2 2 相交，
求直线 l 被椭圆截得的弦的中点M的轨迹方程.
例 3:(课本例 7) 已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆上是
何值时直线与椭圆相交?相切?相离?
25 9 否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
1
5x
-2
变式练习（学案P127）
1.直线y

kx 1(k R) 与椭圆
x2 5

y2 m
1
总有公共点，则的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k 1 与椭圆 x2 y2 1的位置关系
则 |AB|＝ 1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
其中 k 是直线的斜率
若要求弦长,韦达来帮忙.
跟踪练习
1.已知直线
y x 1 2
和椭圆
x2
4y2
2
，
（1）判断直线和椭圆的位置关系
解：联立方程组
y x1 2
消去y
x2+4y2=2
5x2 4x 1 0 ----- (1)
整理得 9x2 8mx 2m2 2 0
因为直线和椭圆相交，所以 0
即 64m2 4 9 (2m2 2) 0
解得 3 m 3
思考：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？
1、直线与圆相交的弦长(几何法） 2、直线与椭圆相交的弦长
l 2
dr
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2