东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2019年东北三省三校高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料
2019.5
黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学
东北三省三校高三第三次联合模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合1
=0,0.1.2.31
x A x B x ，则A B =（）A.-10.1， B ．01， C ．-10， D ．0
2.已知复数2
1-2)2i z i （，则复数z 的模为（）
A ．5
B ．5
C ．3
10 D ．5
2
3.在初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩
~85.9X N ，若已知
8085=0.35P X ,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于
90分的概率为（）A ．0.85 B
．0.65 C ．0.35 D ．0.15 4.已知等比数列n a 的前n 项和为Sn ,若1
1,3;a Sn S ，则4a （）A ．2 B ．2 C.4 D
．1 5.已知4
cos 45a ，则sin 2a =（ )。
吉林省部分重点中学2019届高三第二次联合模拟考试理数
吉林省部分重点中学2019届高三第二次联合模拟考试数学试卷(理科)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()212i i-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}{}2|4,|2A x x AB x x =>=<-，则集合B 可以为A ．{x|x<3}B ．{x|-3<x<1}C ．{x|x<1}D ．{x|x>-3}3．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字) A ．119.3 B ．119.7 C ．123.3 D ．126.74．如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为A ．25B ．35CD．55．若函数()()1222,1,log 1,1x a x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩有最大值，则a 的取值范围为A ．(-5，+∞)B ．[-5，+∞)C ．(-∞，-5)D ．(-∞，-5] 6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A ．32B ．40 C．3 D．37．若存在等比数列{a n }，使得()123169a a a a +=-，则公比q 的最大值为ABCD8．已知函数()22cos 2463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是 A ．f(x)为偶函数 B ．f(x)的图象关于直线4x π=对称 C ．f(x)的值域为[-1，3] D ．f(x)的图象关于点,08π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 9．已知m>0，设x ，y 满足约束条件20,20,20,y x x y m +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩z x y =+的最大值与最小值的比值为k ，则A ．k 为定值-1B ．k 不是定值，且k<-2C ．k 为定值-2D ．k 不是定值，且-2<k<-110．已知A ，B 分别是双曲线C ：2212y x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为A ．(1，1)B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭ D ．44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝-55，则nS n 的最小值为 A ．-343 B ．-324 C ．-320 D ．-24312．正方体1111ABCD A BC D -的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E ，F ，G ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为 ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第2项为________．14．在平行四边形ABCD 中，A(1，2)，B(-2，0)，()2,3AC =-，则点D 的坐标为________． 15．若函数()cos 1||xf x x x=++，则()()11lg 2lg lg5lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________．16．过点M(-1，0)引曲线C ：32y x ax a =++的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若|MA|＝|MB|，则a ＝________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)在△ABC 中，3sin 2sin ,tan A B C == (1)证明：△ABC 为等腰三角形．(2)若△ABC 的面积为D 为AC 边上一点，且BD=3CD ，求线段CD 的长． 18．(12分)某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8％成交的概率为0.6，以优惠6％成交的概率为0.4．(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问：该单位选择哪种优惠方案更划算? 19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 为正方形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=2BC=2．(1)证明：平面ADEF ⊥平面ABF ．(2)若平面ADEF ⊥平面ABCD ，二面角A-BC-E 为30°，三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，求异面直线OC 与DF 所成角的余弦值 20．(12分)已知B(1，2)是抛物线M ：()220y px p =>上一点，F 为M 的焦点．(1)若15,,,23A a C b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是M 上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列． (2)过B 作两条互相垂直的直线与M 的另一个交点分别交于P ，Q(P 在Q 的上方)，求向量QP 在y 轴正方向上的投影的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)的导函数()'f x 满足()()()ln 'x x x f x f x +>对()1,x ∈+∞恒成立． (1)判断函数()()1ln f x g x x=+在(1，+∞)上的单调性，并说明理由；(2)若()e xf x mx =+，求m 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4--4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=． (1)若l 与C 相交于A ，B 两点，P(-2，0)，求|PA|·|PB|；(2)圆M 的圆心在极轴上且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径． 23．[选修4—5：不等式选讲](10分)设函数()|1||3|f x x x =-++． (1)求不等式()|6|1f x -<的解集； (2)证明：()242||4x f x x -≤≤+． 参考答案1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．D 9．C 10．B 11．A 12．D 13．-x 5 14．(6，1) 15．6 16．274-17．(1)证明：∵，3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵tan C =1cos 3C =， 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理可得22222232cos 2cos 2ac a b ab C a b a C b =+-=+-⨯=， 即b=c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)解：∵tan C =sin 3C =则△ABC 的面积2113sin 2223S ab C a ==⨯⨯= 解得a ＝2．设CD=x ，则BD=3x ，由余弦定理可得()22213243x x x =+-⨯，解得x =(负根舍去)，从而线段CD ． 评分细则：第(1)问中，未设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c不扣分：第(2)问中，根据三角形面积公式只要求出a＝2(或BC＝2)就得3分．18．解：(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．X的分布列为则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120000元．因为120640>120000，所以选择方案①更划算．评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．X的分布列为则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．19．(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AD⊥AF，又AD⊥AB，AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABF，平面，所以平面ADEF⊥平面ABF．因为AD ADEF(2)解：因为平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD．由(1)知AD ⊥平面ABF ，又AD ∥BC ，则BC ⊥平面ABF ， 从而BC ⊥BF ，又BC ⊥AB ，所以二面角A-BC-E 的平面角为∠ABF ＝30°． 以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ，如图所示，则()()()()(),0,0,0,0,23,1,0,0,2,2,0,0,2B D E F． 因为三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，所以O 为线段BE 的中点，则O 的坐标为)，()3,0,1OC =-，又()0,2,2DF =-，则cos ,OC DF ==，故异面直线OC 与DF 所成角的余弦值为4．评分细则：第(2)问中，若未证明AF ⊥平面ABCD ，直接建立空间直角坐标系，则扣1分． 20．(1)证明：∵B(1，2)在抛物线M ：()220y px p =>上，．∴4＝2p ，∴p ＝2．∴1358||,||2,||222323p p FA FB FC =+===+=， ∵238223⨯=， ∴|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．(2)解：设直线PB 的方程为()()120y k x k =-+>，与y 2＝4x 联立，得()24420ky y k -+-=，则()161620k k ∆=-->，∵k>0，∴()()0,11,k ∈+∞．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则142y k +=，即142y k=-，∵P 在Q 的上方，∴y 1>0，则()()0,11,2k ∈．以1k-代k ，得242y k =--， 则向量QP 在y 轴正方向上的投影为1244y y k k-=+． 设函数()44f k k k=+，则f(k)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，从而f(k)>f(1)＝8，故向量QP 在y 轴正方向上的投影的取值范围为(8，+∞)． 评分细则：第(1)问中，计算|FA|，|FC|各得一分；第(2)问中，联立之后一定要注意判别式大于零，没有写到这一点的，扣一分． 21．解：(1)由()()()()ln ',1,x x x f x f x x +>∈+∞，得()()()11ln '0x f x f x x+->． ()()()()()21'1ln '1ln f x x f x x g x x +-=+，则()'0g x > ，故g(x)在(1，+∞)上单调递增．(2)∵()e x f x mx =+，∴()()ln e e x xx x x m mx ++>+， 即()()()ln e e e 1ln ln 0x x xx x x m mx x x x mx x ++--=-++>．设函数()()()e1ln ln 1xh x x x x mx x x =-++>，()()()()()'e 11ln 1ln 1ln 1e x xh x x x x m x x x m ⎡⎤=+++++=+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∵x>1，∴1+lnx>0，()()1e xp x x m =++为增函数，则()()12e p x p m >=+．当2e+m ≥0，即m ≥-2e 时，()'0h x >，则h(x)在(1，+∞)上单调递增， 从而h(x)>h(1)＝0．当2e+m<0，即m<-2e 时，则()001,0x p x ∃>=， 若1<x<x 0，()'0h x <；若x>x 0，()'0h x >．从而()()()0min 10h x h x h =<=，这与h(x)>0对()1,x ∈+∞恒成立矛盾，故m<-2e 不合题意．综上，m 的取值范围为[-2e ，+∞)． 评分细则：第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分；第(2)问中，()()ln e e x xx x x m mx ++>+整理得到()e 1ln ln 0x x x x mx x -++>得1分；()'h x 必须因式分解得到()()()'1ln 1e xh x x x m ⎡⎤=+++⎣⎦才能给1分．22．解：(1)由ρ=2210x y +=，将12,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2210x y +=，得2260t t --=， 则t 1t 2=-6，故12||||||6PA PB t t ==．(2)直线l0y -+=，设圆M 的方程为()()2220x a y a a -+=>．圆心(a ，0)到直线l的距离为2d +=，因为1=，所以()22232144a d a +=-=， 解得a ＝13(a ＝-1<0舍去)， 则圆M 的半径为13． 评分细则：第(2)问中，若求出圆M 的半径有两个，没有舍去一个，要扣1分． 23．(1)解：∵()|6|1f x -<，∴()161f x -<-<，即()57f x <<， 当-3≤x ≤1时，f(x)＝4显然不合； 当x<-3时，5<-2x-2<7，解得9722x -<<-；当x>1时，5<2x+2<7，解得3522x <<． 综上，不等式()|6|1f x -<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)证明：当-3≤x ≤1时，()42||4f x x =≤+；当x<-3时，()()()2||4222460f x x x x -+=----+=-<，则f(x)<2|x|+4；当x>1时，()()()2||4222420f x x x x -+=+-+=-<，则f(x)<2|x|+4．∵()()|1||3||13|4f x x x x x =-++≥--+=，∴f(x)≥4．∵244x -≤，∴()24f x x ≥-． 故()242||4x f x x -≤≤+．评分细则：第(1)问中，还可以这样作答：由()|6|1f x -<，得()57f x <<，给1分；接下来()22,3,4,31,22,1,x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，最后得出结论不等式()|6|1f x -<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 第(2)问方法二：|1||3|||1||32||4x x x x x -++≤+++=+，当且仅当x ＝0时，等号成立．证明f(x)≥4-x 2同上．。
吉林省名校2019届高三数学第一次联合模拟考试试题理20190313032
13 ，则△ABC 的面积为 2
A． 3
B．
C． 3 或 2 3
D．
10．函数 f（x）＝xsin2x＋cosx 的大致图象有可能是
-2-
A．
B．
C．
D． 11． 已 知 四 棱 锥 S—ABCD， SA⊥平 面 ABCD， AB⊥BC， ∠BCD＋ ∠DAB＝ π， SA＝ 2，
B．
1 1 AB AC 4 4
C．
3 1 AC AB 4 4
D．
5 1 AC AB 6 3
6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B＝-1-Fra bibliotekA．4
B．13
C．40
D．41
7．将函数 f（x）＝sinx 的图象向右平移 y＝f（x）g（x）的最大值为 A．
因为 D1 E EO ，所以点 E 的坐标为 ( 所以 DE (
2 ) ， DC (0, 2, 0) ． 1 1 1 2 n DE 0, x y z 0, 设 n ( x, y, z ) 是平面 CDE 的法向量，则 即 1 ． 1 1 n DC 0, 2 y 0. 取 x＝1，则 z ，所以平面 CDE 的一个法向量为 n (1, 0, ) ． 2 2 因为平面 CDE⊥平面 CD1O，所以 m n ，即 m n 0 ， 1 0 ，解得 λ＝2． 2 | D1 E | 2 时，平面 CDE⊥平面 CD1O． 所以 λ 的值为 2．即当 | EO |
1 2 ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若 S n ，求 n 的值． an an 1 25
东北师大附中长春市十一高中吉林一中四平一中松原实验中学2023-2024学年高三上联考数学(含答案)
2023-2024学年高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y -==-==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞-2.已知复数iz 1i=-，则z 的虚部为（ ） A.12- B.1i 2- C.12 D.1i 23.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A. B. D.48+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A. B.14- C.147.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A. B.4C.3+D.68.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a <<C.b c a <<D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a -的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ） A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点MC.若M 为侧面11DCC D上的动点，且3MB =，则点Mπ D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M满足MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤-'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln e x g a x g x x -+≤-恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+-=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥PABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q --的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F -，且椭圆C 过P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k -=，设A M N ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.1414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+-=+-=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+-=+-=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +-==∴+-=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+--==∴--=.2330,0c c c c c ∴--=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q --范围为()0,π， 所以二面角P AD Q --的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c ab c ab ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++-=，所以()22Δ48340t m=+->，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，则12324BM k k k =-=，即238BM k k -⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=--()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+-+-+-++-()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t --++====------+-++ 所以23m =-，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=-=⎪++⎪⎨-⎪==-++⎪⎩，所以12S S -=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1223y y =-====令122110,,344x S S t ⎛⎤=∈-= ⎥+⎝⎦当211344t =+即0t =时，12S S -12S S ⎛∴-=⎝⎦ 19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x xf x xe f x x e =-=+'-.()14.f e =-∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =---=-+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =-，定义域为(),∞∞-+()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=-+=--令()e 22xF x x =--，则()2xF x e '=-，当()(),ln2,0x F x ∞∈-'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<()()2110,260F F e e-=>=-> 存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=-+=--，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=-->--，则()()1110g a a a ∴->---=又()110g ae --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==-，由()000001e 10,e xx x g x a x a +=--==，由max 1()0f x a +≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+即()()00011101x x x -++≤+， 由010x +<得20011,1x x -≤≤<-，01,e x x a +=∴设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-=>'， 可知()h x 在)⎡⎣上递增，()((()()110h x h h x h ≥==<-=实数a的取值范围是()1⎡⎣.。
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2121年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）解：因为 f (x) ex+m x3 ， 所以 f (x) ex+m 3x2 .……………………………………………………………1 分
因为曲线 y f x 在点 0，f 0 处的切线斜率为1， 所以 f 0 em 1，解得 m 0 .…………………………………………………2 分
（Ⅱ）证法一：因为 f (x) ex+m x3 , g x ln x 1 2 ，
精品公众号：学起而飞
所以 f x g (x) x3 等价于 ex+m ln x 1 2 0 ．
当 m 1时， ex+m ln x 1 2 ex1 ln x 1 2 ．
要证 ex+m ln x 1 2 0 ，只需证明 ex1 ln(x 1) 2 0 .………………4 分
，解得： ，
由
，解得：
，
故 在 递减，在
递增；
2 由 1 知要使 存在最小值，
则且
，
精品公众号：学起而飞
令
，
，
则
在
递减，
又
，
，
故存在
使得
故在
递增，在
，
故
，
故
， 递减， ，
，
又
，
，
故
．
2．【广东省汕头市 2019 届高三上学期期末】已知函数
．
讨论 的单调性；
若 ， 是 的两个极值点，证明：
．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 【解析】
解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数 f′(x)的正负，进而得到 f(x)的最值表达式；这里应注意，进行代
吉林省部分重点中学2019届高三第三次联合模拟考试 理科数学
吉林省部分重点中学2019届高三第三次联合模拟考试理 科 数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·肇庆统测]若复数z 满足12i1i z +=+，则z =（ ）AB ．32 CD ．122．[2019·武汉六中]设集合{}2540A x x x =∈+->N ，集合[]0,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．[]0,2C ．∅D ．{}1,23．[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大 4．[2019·湘潭一模]已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，223S a =，则3412a a a a +=+（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 5．[2019·河南名校联考]已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则b =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．[2019·肇庆统测]已知ABC △的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．4155AD AB AC =+ 7．[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A． B ．4 C．D ．5 8．[2019·滨州期末]已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是PF 直线与抛物线C 的一个交点，若3PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．83 C ．4或83 D ．3或49．[2019·宁德期末]已知函数()32,0ln ,0x x x f x x x⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,2B ．[)0,1C ．(],2-∞D ．(],1-∞10．[2019·衡水中学]如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．112π- D ．1142π-11．[2019·湖北联考]椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线Ω：()222210,0x y m n m n -=>>焦点相同，F 为左焦点，曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A 、B ，且2π3AFB ∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A ．20x y -=B ．20x y += C．0x = D0y +=12．[2019·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）AB ．1 CD ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·驻马店期中]设变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．14．[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 15．[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A ，B ，C ，D ，E ，F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A ，B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法． 16．[2019·黄山八校联考]不等式()2cos 3sin 3a x x -≥-对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·镇江期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且co s co s 3co s c B b C a B +=． （1）求cos B 的值； （2）若2CA CB -=，ABC △的面积为b ． 18．（12分）[2019·惠州调研]在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，90ADC ∠=︒，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为AD 的中点，F 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BEF ； （2）求二面角F BE A --的余弦值．19．（12分）[2019·朝阳期末]某日A ，B ，C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A ，B ，C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）． 20．（12分）[2019·德州期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，椭圆C 的离心率是12． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()ln 1x f x ae x x =++．（1）当1e a =-时，证明()f x 在()0,+∞单调递减；（2）当1e a ≥-时，讨论()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =-，()k ∈R ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=． （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有四个公共点，求k 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·揭阳毕业]已知函数()22f x x a x =--+．（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】依题意()()()()12i 1i 12i31i 1i 1i 1i 22z +-+===+++-，∴z =C ．2．【答案】A【解析】集合{}{}{}2540150,1,2,3,4A x x x x x =∈+-=∈-<<=>N N ，集合[]0,2B =， 则{}0,1,2A B =．故选A ．3．【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A 错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，∴选项B 错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项C 正确；2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项D 错误；故选C ．4．【答案】A【解析】由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =，公比12q =，则2341214a a q a a +==+，故选A ．5．【答案】A【解析】∵函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，∴()()2f x f x -+=， ∴()()()()112222f f f f ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴()31f x x bx =++，()23f x x b '=+，又∵()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，∴()()17112f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ．6．【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选A ． 7．【答案】C 【解析】∵根据三视图得出：几何体为下图AD ，AB ，AG 相互垂直， 面AEFG ⊥面ABCDE ，BC AE ∥，3AB AD AG ===，1DE =，根据几何体的性质得出：AC =GC ==5GE =，BG =，4AE=，EF CE故最长的为GC =．故选C ． 8．【答案】B 【解析】设Q 到l 的距离为d ，则由抛物线的定义可得QF d =， ∵3PF FQ =，∴4PQ d =，1Q x >， ∴直线PF的斜率为= ∵抛物线方程为24y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-， ∴直线PF 的方程为)1y x =-，与24y x =联立可得53Q x =或35Q x =（舍去）， ∴58133QF d ==+=，故选B ． 9．【答案】A 【解析】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点， 令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2321f x x '=-=，1x =-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =， ∴a 的范围为[)0,2，故选A ．10．【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN ，易知四边形EFMN 为正方形，设圆O 的半径为r ，则正方形EFMN 的边长也为r ，∴正方形的EFMN 的面积为2r ，阴影部分的面积为22222π2π22r r r r r ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴阴影部分占总面积的比值为222π112π2πr r r -=-，即在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是112π-，故选C ．11．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ，由题意点A 与点B 关于原点对称，因此1AF BF =， 又2π3AFB ∠=，∴1π3FAF ∠=； 由椭圆与双曲线定义可得12AF AF a +=，12AF AF m -=， ∴AF a m =+，1AF a m =-， 根据余弦定理可得22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-∠，即()()()()222π42cos 3c a m a m a m a m =++--+-，化简得22243c m a =+≥，∴离心率乘积为2c c c a m am ⋅=≥，当且仅当223m a =（1）时，去等号; 由2222a b m n -=+，∴2222243c m b m n --=+，∴223b n =（2）， 再将（1）（2）代入2222a b m n -=+可得222m n =，∴双曲线的渐近线方程为0x =或0x =，故选C ． 12．【答案】C 【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ，其中H 、Q 、R 分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，∴1D P ∥平面EFGHQR ， 由中位线定理可得AC EF ∥，EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， ∴AC ∥平面EFGHQR ， ∵1D P 与AC 在平面1D AC 内相交， ∴平面1D AC ∥平面EFGHQR ， ∴P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， ∵BO 与AC 垂直，∴P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB的面积最小，最小值为122⨯ 故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】92 【解析】作出变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知122zy x =-+， ∴动直线122zy x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩得33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭． 结合可行域可知当动直线经过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92．14．【答案】21n -【解析】∵11a =，12n n n a a +=+，∴1212a a =+，2322a a =+，3432a a =+，…，112n n n a a +=﹣﹣， 等式两边分别累加得：121122221n n n a a +++==+-﹣， 故答案为21n -．15．【答案】16【解析】总体种数有36C 20=，A ，B 都不选的个数有34C 4=，∴一共有16种．16．【答案】3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin x t =，11t -≤≤，则原函数化为()()23g t at a t =-+-，即()()33g t at a t =-+-， 由()333at a t -+-≥-，()()21310at t t ----≥，()()()1130t at t --+-≥及10t -≤知，()130at t -+-≤，即()23a t t +≥-，（1） 当0t =，1-时（1）总成立，对01t <≤，202t t <+≤，2max 332a t t -⎛⎫≥=-⎪+⎝⎭；对10t -<<，2104t t -≤+<，2min312a t t -⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭， 从而可知3122a -≤≤，故答案为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）13；（2）3b =． 【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得： 2222222223222a c b a b c a c b c b a ac ab ac +-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223ac a c b B ac ac +-===． （2）∵在ABC △中，()0,πB ∈， 又∵1cos 3B =，∴sin B =， 由2CA CB -=得2BA =，即2c =，由1sin 2S ac B ==可得3a =， 由余弦定理得2222212cos 3223293b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴3b =． 18．【答案】（1）见证明；（2）． 【解析】（1）连接AC 交BE 于N ，并连接CE，FN ， ∵BC AD ∥，12BC AD =，E 为AD 中点，∴AE BC ∥，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴N 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴NF PA ∥， ∵NF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴PA ∥平面BEF ． （2）〖解法1〗（向量法）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =PE AD ⊥，则PE ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，∴PE ⊥面ABCD ， 如图所示，以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，(P ． ∵F 为PC的中点，∴11,22F ⎛- ⎝⎭，∴()0,1,0EB =，11,22EF ⎛=- ⎝⎭，设平面EBF 法向量为(),,x y z =m，则0000110022y EB x y EF ++=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取)=m ，平面EBA 法向量可取()0,0,1=n ，设二面角F BE A --的大小为θ，显然θ为钝角，∴cos cos ,θ⋅=-=-=m nm n m n F BE A --的余弦值为．（2）〖解法2〗（几何法1）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD ==，得PE AD ⊥， ∵1DE =，∴PE PD 中点M ，连ME ，MF ，MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥面PAD ， ∵M E ⊂面PAD ，AE ⊂面PAD ，∴BE ME ⊥，BE AE ⊥， ∵F 为PC 的中点，M 为PD 的中点，M E PA ∥，NF PA ∥，∴ME NF ∥，∴M EA ∠为二面角F BE A --的平面角， 在Rt PDE △中，cos PDE ∠=，ME = 在MDA △中，由余弦定理得MA =， ∴在MEA △中，由余弦定理得cos MEA ∠= ∴二面角F BE A --的余弦值为 （2）〖解法3〗（几何法2）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =，得PE AD ⊥， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD ， ∵1BC =，∴PE 连BD 交CE 于点Q ，则Q 为CE 中点，连QF ，QN ，FN ，∵F 为PC 的中点，∴PE FQ ∥，FQ ⊥面ABCD ， 又QN BC ∥，∴QN BE ⊥，∴FN BE ⊥， ∴FNQ ∠为二面角F BE A --的平面角的补角 在Rt FQN △中，12FQ PE ==1122QN BC ==，由勾股定理得FN =cos FNQ ∠=， ∴二面角F BE A --的余弦值为 19．【答案】（1）分布列见解析，期望为1；（2）C ，A ，B ． 【解析】（1）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购买价格为2500． C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580， 故X 的可能取值为0，1，2． ()202224C C 10C 6P X ===，()112224C C 421C 63P X ====，()022224C C 12C 6P X ===．∴分布列为∴数学期望()()()()2100112212136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=．（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为C ，A ，B ．20．【答案】（1）22143x y+=；（2）过定点()1,0． 【解析】（1）由点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是12，可得22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，（i ）当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（ii ）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()2224384120k x kmx m +++-=， 由()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得：122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+， 故()()1212121224y y k k x x ==-++，可得()()12124220y y x x +++=， 可得()()()()12124220kx m kx m x x +++++=， 整理为()()()2212124142440k x x km x x m ++++++=， 故有()()22222412841424404343mkm k km m kk -+-+++=++， 化简整理得2220m km k --=，解得：2m k =或m k =-，当2m k =时直线PQ 的方程为2y kx k =+，即()2y k x =+，过定点()2,0-不合题意， 当m k =-时直线PQ 的方程为y kx k =-，即()1y k x =-，过定点()1,0， 综上，由（i ）（ii ）知，直线PQ 过定点()1,0．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当1e a =-时，()1e ln 1ex f x x x =-++，()1e ln 1x f x x -+'=-+，令()()()1e ln 10x g x f x x x -=-++'=>，则()10g =， ()11e x g x x-=-'+，在()0,+∞上为减函数，且()10g '=， 令()0g x '>，得01x <<，∴()g x 的递增区间为()0,1， 同理，可得()g x 的递减区间为()1,+∞， ∴()()10g x g ≤=，即()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减．（2）由（1）得1e a =-时，()f x 在()0,+∞单调递减，又()10f =，∴1ea =-时，()f x 有一个零点．∵()f x 定义域为()0,+∞，故()f x x与()f x 有相同的零点，令()()e 1ln x f x a h x x xx x ==++，则()()()()2221e 11e 11xx x a a x h x x x x x -+-=+-='， 当0a ≥时，()0,1x ∈时，()0h x '<，()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()()min 1e 10h x h a ==+>，()h x 无零点，()f x 也无零点． 当10a -<<时，令()0h x '=，得1x =或1ln x a ⎛⎫=- ⎪，()1e 10h a =+>，当211e ea -≤≤-时，()()()222e 2e 222e 4222e e e e 2e 2e e 2e 0e e a h ------⋅=++<++=-++<， 当210e a -<<，即21e a ->时，311e a a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，31121111111e ln e ln 1110a ah a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--=---+<-----+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()h x 有一个零点，()f x 也有有一个零点． 综上可知，当0a ≥时，()f x 无零点； 当10ea -≤<时，()f x 有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）7k >． 【解析】（1）由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 代入曲线2C 的极坐标方程可得222680x y x y +--+=， 因此，曲线2C 的普通方程为()()22132x y -+-=． （2）将曲线1C 的方程可化为()()2,22,2k x x y k x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于曲线1C 与曲线2C 有四个公共点，直线()202kx y k x --=≥与曲线2C 相交且直线()202kx y k x +-=<与曲线2C 相交，<2670k k -->，解得1k <-或7k >，<2670k k +->，解得7k <-或1k >，∴7k <-或7k >，综上所述，实数k 的取值范围是7k >． 23．【答案】（1）()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,；（2）12a ≤-． 【解析】（1）①当2x <-时，()()22262f x x x x =-+++=+<，解得4x <-， ②当22x -≤<时，()()222322f x x x x =-+-+=--<，解得423x -<<，③当2x ≥时，()()22262f x x x x =--+=--<，解得2x ≥， 综上知，不等式()2f x <的解集为()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,． （2）当[]2,2x ∈-时，()()()()22121f x x a x a x a =--+=-++-，设()()g x f x x =-，则[]2,2x ∀∈-，()()()2210g x a x a =-++-≥恒成立， 只需()()2020g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩， 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-．。
2019届 吉林省普通高中 高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)
2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A. 【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a =，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________. 【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=， 又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=， 所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________． 【答案】-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时，直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y xx y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1），此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4， 故答案为﹣4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种，刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______． 【答案】2015π 【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若,4B a π==，求边长c .【答案】（1）3π； （2【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，1CC =1AC =（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ，(,,AP x y z =-u u u r，1(1AC =-u u u u r ，代入上式得x t =-，y =，)z t =-，所以()P t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，MN =u u u u r，()MP t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v，得11110)0tx t z =-+-=⎪⎩.令1z t =，得,0,)n t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以||||m n m n ⋅=u r ru r r=，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C点的四等分点，且坐标为3,44P ⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516； （2）见解析.【解析】（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭.欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望1422EX =⨯=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB |所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+点O 到直线MN 的距离d =由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2,由题意四边形OMDN为平行四边形, ∴OMDN的面积为S==,由1+2k2=2m2得S=故四边形OMDN的面积是定值,.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln()(0)x af x e x a a-=-+>.（1）证明：函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点x，判断出()f x的单调性，从而()minf x可确定，利用()min1f x=以及1lny xx=-的单调性，可确定出,x a之间的关系，从而a的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a-=-+>，∴1()x af x ex a-'=-+.∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x'在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa ef ea ae--'=-=，令()(0)ag a a e a=->，()10ag a e'=-<，则()g a在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g<=-，故(0)0f'<.令1m a=+，则1()(1)021f m f a ea''=+=->+所以函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x aex a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。
东北师大附中2019届高三联合模拟考试数学(文)试题word版本
东北师大附中2019届高三联合模拟考试数学(文)试题东北师大附中 重庆一中 2019届高三联合模拟考试 吉大附中 长春十一高中 数学（文）科试题 吉林一中 松原实验高中本试卷共23题，共150分，共4页，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的考场、姓名、班级填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.一．选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合22{|650},{|log (2)}A x x x B x y x =-+≤==-，则A B =I ( )A ．()21，B ．[)21，C ．(]52，D ．[]52，2.设i 是虚数单位，若复数1z ii=+，则z 的共轭复数为（ ）A ．1122i +B ．112i +C ．112i -D ．1122i -3．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．32B ．33C ．34D ．354．已知平面向量a r ,b r 的夹角为3π，且||2a =r ，||1b =r ，则|2|a b -=r r ( )A ．4B ．2C ．1D ．165．函数xxx x f tan 12++=）（的部分图像大致为（ ）A B C D6.已知双曲线），（0012222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，离心率为35，若点F 到双曲线的一条渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A ．116922=-y x B ． 191622=-y x C ．1162522=-y x D ．192522=-y x 7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有 一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处， 没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图 所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．31328.在ABC ∆中，C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，3π=B ，2-=⋅BC AB ，且满足B C A sin 2sin sin =+，则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）A ．334 B ．332 C ．3 D ．2 7题图9.已知长方体1111D C B A ABCD -的底面为正方形，1DB 与平面ABCD 所成角的余弦值为32，则BC 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．22C ．31D ．3210.已知抛物线）（022>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，PF 的延长线交l 于点Q ，且FQ PF =，8=PQ ，则直线PQ 的方程为（ ）A. 013=--y xB. 01=--y xC. 0323=--y xD. 033=--y x 11．已知函数））（（）（）（03cos 33sin >+-+=ωπωπωx x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-243ππ，上单调，且在区间[]π20，内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3241， C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛430， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4341，12．已知函数a x x ax x f +-=221ln ）（有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是（ ）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量x ，y 满足约束条件10240x y x y x y --≤+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为_______________．14．已知）（x f 为奇函数，当0≤x 时，x x x f 32-=）（，则曲线）（x f y =在点），（41-处的切线方程为_______________.15．已知），（，40542sin παα∈=，则）（απ-4sin 的值为_______________.16．若侧面积为π4的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（12分）2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率.附：参考公式与参考数据如下））（）（）（（）（d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中d c b a n +++=. ）（02k K P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为直角梯形，BC AD //，ο90=∠ADC ，平面⊥PAD 平面ABCD ，M Q ，分别为PC AD ，的中点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD . （I ）求证：平面⊥PBC 平面PQB ； （II ）求三棱锥QMB P -的体积.20．（12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆C 过点32（1，-）． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若点B A ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上不同于B A ，的动点，直线AP 与直线a x =交于点Q ，证明：以线段BQ 为直径的圆与直线PF 相切.21．（12分）已知函数R a a x a xax x f ∈++--=，）（）（ln 133. （I ）求函数）（x f 的单调递增区间；（II ）当1=a 时，试判断函数）（x f 的零点个数，并说明理由.支付宝达人 非支付宝达人 合计男性 300 女性 120 300 合计600（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为0222=-+x y x ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ22sin 213+=. （I ）求1C 的参数方程与2C 的直角坐标方程；（II ）射线）（03≥=ρπθ与1C 交于异于极点的点A ,与2C 的交点为B ,求AB .23.（10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数322--+=x x x f ）（. （I ）解不等式：2>）（x f ；（II ）若函数）（x f 的最大值为m ，正实数b a ，满足m b a =+2，证明：5812≥+b a2019届高三联合模拟考试 数学（文）科试题参考答案1．【答案】C 2.【答案】D 【解析】复数1=12i z i i +=+，根据共轭复数的概念得到，z 的共轭复数为：1122i -．故答案为D ． 3．【答案】A【解析】：A 由茎叶图知，乙组数据的中位数为3323432=+，所以3=m ，所以甲组数据的 平均数为323363327=++，故选A . 4.【答案】B【解析】：222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r .5．【答案】D【解析】易判断该函数是偶函数，排除A 、C ，当π=x 时，0>）（x f ，故选D. 6．【答案】A【解析】：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==435b a c ，43==∴b a ， ∴双曲线的方程为116922=-y x ,故选A. 7．【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，（2）2143,3x x x i =-=-=（2-1） （3）23187,4x x x i =--=-=（4）， （4）2711615,5x x x i =--=-=（8）， 所以输出16150x -=，得1516x =，故选C ．8.【答案】B【解析】因为221cos -=-=-=⋅ac B ac BC AB ）（π，所以4=ac ．由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=.又因为B C A sin 2sin sin =+， 所以.2b c a =+所以ac c a c a 3422-+=+）（）（， 所以12432=+）（c a ，所以162=+）（c a ，所以4=+c a ，所以2=b ， 所以33460sin 2sin 20===B b R ， 所以332=R . 9.【答案】C【解析】：设a AB =，则a BD 2=，又321=DB BD ，，a DB 31=∴ 1DAB Rt ∆∴中，313cos 11===∠a a D B AD ADB . 又AD BC //,BC ∴与1DB 所成角的余弦值为31.10.【答案】D【解析】根据 FQ PF =8=PQ ，得F 是PQ 的中点，且4=PF .过P 作l PM ⊥于点M ，则由抛物线的定义，得4==PF PM ,所以ο60=∠QPM ，即直线PQ 的倾斜角为ο60.设直线l 交x 轴于点N ，根据PM FN //及F 是PQ 的中点，得221==PM FN . 又p FN =，所以2=p ，即），（01F ,因此直线PQ 的方程为033=--y x ，故选D. 11．【答案】B【解析】x x x x x f ωππωπωπωsin 233sin 23cos 33sin =-+=+-+=）（）（）（）（，令22πωπ≤≤-x ，因为0>ω，则ωπωπ22≤≤-x ，又函数）（x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-243ππ，上单调， 所以432πωπ-≤-且ωππ22≤，所以320≤<ω. 因为函数）（x f 在区间[]π20，内恰好取得一次最大值2，结合函数的图像可知πωπ22≤ 且πωπ225>，所以4541<≤ω，所以3241≤≤ω.故选B. 12．【答案】A【解析】x x a x f -+='）（）（ln 1，令0='）（x f ，得0ln 1=-+x x a ）（，），（ex x x x a 10ln 1≠>+=. 设），（）（e x x x x x g 10ln 1≠>+=,2ln 1ln ）（）（x xx g +='. 当0>'）（x g 时，得1>x ；当0<'）（x g 时，得e x 10<<或11<<x e， 所以函数）（x g 在区间），（e 10和），（11e 上单调递减，在区间），（∞+1上单调递增. 因为函数a x x ax x f +-=221ln ）（有且只有一个极值点， 所以直线a y =与函数），（）（ex x x x x g 10ln 1≠>+=的图象有一个交点，所以0<a 或1=a .当1=a 时01ln ≤+-='x x x f ）（恒成立，所以）（x f y =无极值，所以0<a . 13．【答案】32【解析】满足约束条件100240x y x y x y --≤+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩的可行域如下图所示：由图可知，由100x y x y --=+=⎧⎨⎩，可得11,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由0 240x y x y =+-=⎧⎨⎩+，可得()4,4A -，由10240x y x y --=+-=⎧⎨⎩，可得B （2，1）. 当12x =，12y =-时，2z x y =-取最大值32．故2z x y =-的最大值为32． 14．【答案】015=-+y x【解析】设0>x ，则0<-x ， ∴x x x x x f 3322+=---=-）（）（）（. 又）（x f 为奇函数，∴x x x f 3-2+=）（， ∴）（）（032>--==x x x x f ，∴32--='x x f ）（， ∴415321-=-=--='）（，）（f f ， ∴55154+-=--=+x x y ）（， ∴015=-+y x .15．【答案】1010【解析】因为2()242ππαα-=-， ）（αππα--=∴4222，）（）（απαππα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∴42cos 222sin 2sin ， ）（απ--=∴4sin 21542，1014sin 2=-∴）（απ 又），（404παπ∈-， 10104sin =-∴）（απ. 16.【答案】π6【解析】设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，则球的半径222）（h r R +=. 因为球体积334R V π=，故V 最小当且仅当R 最小.圆柱的侧面积为ππ42=rh ， 所以2=rh ，所以r h 12=，所以2122≥+=r r R ，当且仅当221rr =时，即1=r 时取“=”号，此时R 取最小值.所以21==h r ，,圆柱的表面积为πππ62122=⨯⨯+.17.【解析】（I ）设{}n a 的公差为(0)d d >，由条件得()1211327(2) 0a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩， ······4分 ∴()12121n a n n =+-=-． ······6分（II ）()()133311212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ······ 9分 ∴311111312335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪-++⎝⎭． ······12分18．【解析】（I ）由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有600⨯（0.3+0.2）⨯0.5=150人，故“支付宝达人”中男性为150-120=30人，······ 2分[来源:学。
2019届吉林省东北师范大学附属中学高三下学期练习(五)数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届吉林省东北师范大学附属中学高三下学期练习（五）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知全集U R =，2018A |02019x x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭则U C A =( )A ．{|20182019}x x ≤≤B ．{|20182019}x x <<C ．{|20182019}x x <≤D ．{|20182019}x x ≤<答案：C 解不等式201802019x x -≥-得到集合A ，再由补集的概念，即可求出结果.解析： 解不等式201802019x x -≥-得2019x >或2018x ≤，所以{}A |20192018x x x =>≤或，因为全集U R =，所以{|20182019}U C A x x =<≤. 故选C 点评：本题主要考查集合的补集，熟记补集的概念即可，属于基础题型. 2．已知i 为虚数单位，41z i=-，则复数z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2iC ．2D ．2-答案：D由复数的除法运算求出z ，进而得出z ，即可得出结果. 解析：因为()()()41422111i z i i i i +===+--+，所以22z i =-，所以虚部为2-. 故选D 点评：本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3．向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+r r r，则实数λ=( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2答案：D建立平面直角坐标系xOy ，用坐标表示向量a r，b r，c r，根据c a b λ=+r r r，即可确定λ． 解析：如图建立平面直角坐标系xOy ，(1,1)a =r，(0,1)b =-r ，(2,1)c r = (,1)a b r rQ λλλ+=-=21=1l l ìï\í-ïî即=2λ故选D ． 点评：解决本题的关键是建立直角坐标系，用坐标来表示向量，利用向量的坐标运算得到λ，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足8584S a =-，则该数列的公差是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A先设该数列的公差是d ，由8584S a =-，即可求出结果. 解析：设该数列的公差是d ，因为8584S a =-， 所以118288(4)4a d a d +=+-，解得1d =. 故选A 点评：本题主要考查等差数列，根据等差数列的性质，即可求解，属于基础题型.5．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B ．4CD．答案：B根据双曲线222:14x y C m-=的焦距为先求出2m ，进而可求出其中一个焦点和一条渐近线，再由点到直线的距离公式，即可求出结果. 解析：因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为所以2420m +=，即216m =；所以其中一个焦点坐标为()，渐近线方程为2y x =，所以焦点到渐近线的距离为d 4==.故选B 点评：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式，由双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果，属于基础题型. 6．已知函数()()2ln xf x ef e x e'=-，则()f x 的极大值点为（ ） A ．1eB ．2ln 2C ．eD ．2e答案：D 求导可得()()21ef e f x x e''=-,将x e =代入求得()f e ',即可得到()f x ¢,令()0f x ¢=,可得2x e =,进而判断函数的单调性,即可得到结果.解析： 由题,()()21ef e f x x e ''=-,则()()21ef e f e e e''=-,即()1f e e '=,所以()2ln x f x x e =-,()21f x x e'=-, 令()0f x ¢=,解得2x e =,所以当()0,2x e ∈时,()0f x ¢>,即()f x 单调递增；当()2,x e ∈+∞时,()0f x ¢<,即()f x 单调递减,所以()2f e 为()f x 的极大值,即2e 为()f x 的极大值点, 故选:D 点评：本题考查利用导函数求函数的极大值点,考查运算能力. 7．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,0A ω>>，π2<ϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕ（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：C首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，将点()0,1代入结合||2ϕπ<，可得ϕ，将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得ω的值，进而可求得结果. 解析：由函数图象可得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又()01f =，所以1sin 2ϕ=， 结合图象可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=， 又因为11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合图得112,126k k Z ππωπ⋅+=∈，又因为21112T ππω=>，所以24011ω<<，故=2ω 所以π3ωϕ⋅=，故选C. 点评：本题给出了函数()sin y A ωx φ=+的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的知识点，属于中档题． 8．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8答案：A先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 解析：由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 点评：本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种C ．16种D ．20种答案：C分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 解析：若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 点评：本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 10．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >答案：A根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 解析：解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？ 故选A ． 点评：本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱1BB 上一动点（不包括顶点），平面1EAC 交1DD 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）A ．存在点E ，使得四边形1AEC F 为菱形B ．存在点E ，使得四边形1AEC F 的面积最小 C ．存在点E ，使得1BD ⊥平面1AEC FD ．存在点E ，使得平面1//AECF 平面11B DG （其中G 为1AA 的中点） 答案：C存在性问题即找到符合条件的情况即可,当点,E F 分别为11,BB DD 的中点时,选项A,B,D 正确；利用反证法假设选项C 成立,进而证明,即可判断. 解析：对于选项A,当点,E F 分别为11,BB DD 的中点时,四边形1AEC F 四边相等,即为菱形,故A 正确；对于选项B,易证1AC ⊥平面11DD B B ,因为EF ⊂平面11DD B B ,所以1AC EF ⊥,则四边形1AEC F 的面积为112EF AC ⋅,则当点,E F 分别为11,BB DD 的中点时EF BD =,此时面积最小,故B 正确；对于选项C,若1BD ⊥平面1AEC F ,则1BD 与平面1AEC F 上的任意直线均垂直, 因为1AC ⊂平面1AEC F ,所以11BD AC ⊥,则四边形11ABC D 为菱形,即1AB BC =,因为1111ABCD A B C D -是正方体,所以1BC =,故假设不成立,故C 错误； 对于选项D,当点,E F 分别为11,BB DD 的中点时,1//AE B G ,1//AF D G , 所以平面1//AEC F 平面11B D G ,故D 正确； 故选:C 点评：本题考查线面垂直的判断,考查面面平行的判断,考查空间想象能力.12．已知函数22()ln (2)ln (6)f x x a x x a x =+-+-存在两个零点1x ，2x ，且1201x x <<≤，则121122ln ln x x x x x x +--的取值范围是（ ）A ．25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．6[,55--C ．(,6]⎫-∞-⋃+∞⎪⎪⎝⎭D ．6(,]5-∞答案：B令22()ln (2)ln 6)0(f x x a x x a x =+-+=-,等式两边同除2x ,可得()()22ln ln 260x x a a x x+-+-=,设(]ln ,0x t x =∈-∞,则()()2260t a t a +-+-=,即该方程有2个不相等的根,即可求得a 的范围,可整理得到121122ln ln 5x x ax x x x +=---,即可求解.解析：由题,令22()ln (2)ln 6)0(f x x a x x a x =+-+=-,等式两边同除2x ,可得()()22ln ln 260x x a a x x+-+-=,设(]ln ,0xt x=∈-∞,则()()2260t a t a +-+-=, 因为()f x 的两个零点为1x ,2x ,则12,t t 为方程()()2260t a t a +-+-=的两个不同的根,所以()()2121224602060a a t t a t t a ⎧∆=--->⎪+=-<⎨⎪=-≥⎩,解得6a <≤,则()1212121122121212122111122ln ln ln ln 111621511x x t t a ax x x x x x t t t t t t a a x x +---+=+=+===------++--++--, 所以5a -∈6[,55--, 故选:B 点评：本题考查函数的零点的应用,考查转化思想和运算能力.二、填空题13．实数,x y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则yz x =的最小值是________.答案：13由约束条件作出可行域，再由目标函数yz x=表示平面区内的点与坐标原点连线的斜率，结合平面区域,即可得出结果. 解析：由约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩作出可行域如下：因为函数yz x=表示平面区内的点与坐标原点连线的斜率，由图像可得，点A 与原点连线的斜率最小，由14y x y =⎧⎨+=⎩解得()A 3,1，所以13min z = .故答案为13点评：本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型.14．如图所示,半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内,用A 表示事件“豆子落在圆O 内”, B 表示事件“ 豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”,则(|)P B A =_____________.答案：14先由面积法求出事件A “豆子落在圆O 内”的概率()P A ，同理求出()P AB ，根据条件概率公式()()()P |P AB P B A A =，即可求得结果.解析：用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，则()21P 224S A S ππ⨯===⨯圆正方形，B 表示事件“ 豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”， 所以()2OEF114P 2216S AB S ππ⨯⨯===⨯扇形正方形，因此()()()P 1|P 4AB P B A A ==. 故答案为14点评：本题主要考查几何概型和条件概率，熟记与面积有关的几何概型的概率计算公式，和条件概率的计算公式，即可求解，属于常考题型.15．设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，若510S S ＝13，则20150S S S +＝________.答案：118根据等比数列的求和公式得()()51010201051,1S S q SS q =+=+，代入可求得其值.解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()()()()()()()51055201010111151021111111,11111,1a q a q a q q a q a q q qqqqS SSq---+--+====---=--，所以()()51010201051,1S S q SS q =+=+)．由510S S ＝13，得05511113S S q ==+，解得5102,4q q ==,所以105201053,515S S S S S ===，从而1020518S S S +=，所以0552051S S 1S S 18S 18==+，故答案为：118. 点评：本题考查等比数列的求和公式，注意整体代入的方法的运用，属于基础题.16．抛物线22y px =的焦点为F ，设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线上的两个动点，若12x x p ++=，则AFB ∠的最大值为____________. 答案：23π 先由()()1122,,,A x y B x y 是抛物线22y px =上的两个动点得到12AF BF x x p +=++，再由12x x p ++=，可得AF BF +=，根据余弦定理和基本不等式,即可求出结果. 解析：由()()1122,,,A x y B x y 是抛物线22y px =上的两个动点，得12AF BF x x p +=++又12x x p ++=，所以AF BF +=， 在AFB n 中，由余弦定理得：()2222222241233cos 112222AB AB AB AF BF AF BF AB AF BF AB AFB AF BF AF BF AF BF AF BF-+--+-∠===-=-，又AF BF +=≥，即213AF BF AB ≤，所以22113cos 1223ABAFB AB ∠≥-=-，因此AFB ∠的最大值为23π.故答案为23π点评：本题主要考查抛物线的简单性质，根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可列式求解，属于常考题型.三、解答题17．已知在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos a a B c +=. （Ⅰ）求证：2B A =；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求a 的取值范围. 答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）(1,2). 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知边角关系转化为角的关系，结合两角和与差的正弦公式可得sin sin()A B A =-，再讨论角特别是B A -的范围后可证得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得32B ππ<<，已知条件可化为212cos a B=+，从而易得a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）2cos a a B c +=，由正弦定理知sin 2sin cos sin A A B C += ()sin sin cos cos sin A B A B A B =+=+，即()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-. 因为(),0,A B π∈，所以(),B A ππ-∈-，且()()0,A B A B π+-=∈，所以()A B A π+-≠， 所以A B A =-，2B A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2B A =，32B C A B ππ=--=-. 由ABC ∆为锐角三角形得022023022B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得32B ππ<<.由2cos 2a a B +=得()21,212cos a B=∈+.18．2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学13.4≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=答案：（1）60x =,2180s =；（2）（i ）0.3415；（ii ）详见解析.(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i ）由(1)知，~(60180X N ，)，从而可求出(6073.4)P X <<； （ii ）可得Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y 的分布列，求出其Y 的数学期望. 解析：解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（2）（i ）由（1）知，()~60180X N ，， 从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]4555，内有3人，在[]6575，内有4人，故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===，()12343718135C C P Y C ===，()21343712235C C P Y C === ()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.19．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l ：2y x =与椭圆交于,M N ，四边形12MF NF 的面积为3. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）作与l 平行的直线与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为P ，若12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.答案：（1）2212x y +=（2）()128,0,7k k ⎛⎫+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（1）运用椭圆的离心率公式和四边形的面积求法，以及椭圆中,,a b c 的关系，列出对应的方程组，即可求得结果；（2）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，得出范围，利用韦达定理以及中点坐标公式，得到200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+--- 288116m =-（0m ≠），根据m 的范围求得结果. 解析：由（1）222221y x x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222244a b y a b =+c e a ==，222212a b e a -==,a c b ∴==23c =33=1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y += （2）设直线AB 的方程为()20y x m m =+≠由22212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m ++-= ()226436220m m ∆=-->，得29m <，()()3,00,3m ∴∈-⋃ 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,则21212822,99m x x m x x -+=-=0004,299mx m y x m =-=+=200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+--- 288116m =-（0m ≠）()128,0,7k k ⎛⎫∴+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭点评：该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，斜率坐标公式等，属于中档题目.20．如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，AB DP ==E 是CD 中点，点F 在线段PB 上.（Ⅰ）证明：AD PC ⊥；（Ⅱ）若PF u u u v = ,PB λu u u v []0,1λ∈，求实数λ使直线EF 与平面PDC 所成角和直线EF 与平面ABCD 所成角相等.答案：(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ33-(Ⅰ)由线面垂直的判定定理，先证明AD ⊥平面PAC ，进而可得AD PC ⊥； （Ⅱ）先结合(Ⅰ)证明PD ⊥底面ABCD ，以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系，用λ表示出直线EF 的方向向量与平面PDC 的法向量的夹角余弦值，以及直线EF 的方向向量与平面ABCD 的法向量的夹角余弦值，根据两角相等，即可得出结果. 解析：(Ⅰ)解：PAD V 中222PA AD PD +=，∴90PAD ∠=︒∴AD PA ⊥； 连AC ，ABC V 中2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥，∴AD AC ⊥ 又PA AC A ⋂=∴AD ⊥平面PAC ∴AD PC ⊥(Ⅱ)由（1）：PA AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD 于AD ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系；∴()000A ，，，()220B ，，，()020C ，，,()200D -，，，()110E -，，，()002P ，， ∴()022PC =-u u u v ，，，()202PD =--u u u v ，，，()222PB u u u v，，=-， 设PFPBλ=，（[]01，λ∈），则()222PF λλλ=-u u u v ，， ()2222F λλλ-+，，，()212122EF u u u v，，λλλ=+--+ 设平面PCD 的一个法向量()m x y z =v ，，，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，可得()111m =--v，，又平面ABCD 的一个法向量()001n =v，，由题：cos cos EF m EF n =u u u v u u u v v v，，，即22EF λ-=u u u v解得：λ= 点评：本题主要考查线面垂直的性质和已知线面角之间的关系求参数的问题，对于线面角的问题，通常用空间向量的方法，求出直线的方向向量以及平面的法向量，即可求解，属于常考题型.21．已知函数1()11x x f x x eλ=+-+ （1）证明：当0λ=时，()0f x ≥；（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围. 答案：（1）见解析；（2）见解析.试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最小值为()00f =，即证得结论（2）先讨论分母正负，化分式为整式，再求()()11x x g x x x e e λ--=+-+-导数，由于()00g =，所以()g x 必须为增函数，根据单调性讨论可得实数λ的取值范围. 试题解析：（1）当0λ=时，()1xf x x e-=+-，则()'1xf x e -=-，令()'0f x =，解得0x =当0x <时，()'0f x <，∴()f x 在(),0-∞上是减函数； 当0x >时，()'0f x >，∴()f x 在()0,+∞上是增函数； 故()f x 在0x =处取得最小值()00f =，即()0f x ≥. （2）由已知0x ≥，∴10x e --≤. （i ）当0λ<时，若1x λ>-，则01xx λ<+，此时()0f x <，不符合题设条件； （ii ）当0λ≥时，若0x ≥，()()101101x x x xf x e x x e e x λλ---=+-≥⇔+-+-≥+ 令()()11xx g x x x e e λ--=+-+-，则()()00f x g x ≥⇔≥而()()()()'1111xx x x x g x e xe e e xe λλλλ-----=+---=---.①当102λ≤≤时，由（1）知，()10xf x x e -=+-≥，即1x e x -≥-， 它等价于1x e x ≥+，1x x e ≤- ∴()()()()()()'11111xx x x x g x exe e e e λλλλ----=---≥----()()()()()1112110x x x e e e λλλ---=----=--≥此时()g x 在[)0,+∞上是增函数， ∴()()00g x g ≥=，即()0f x ≥. ②当12λ>时，由（1）知，1x e x -≥-，∴1x x e -≥- ∴()()()()()()'11111xx x x g x exe e x e x λλλλλ----=---=-----()()()()()11111x x x x e x x e e λλλλλλ---=----≤----- ()()211x x e λλ-=---当210λλλ-<<时，()'0g x ≤，此时()g x 在210,λλ-⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， ∴()()00g x g <=，即()0f x <，不符合题设条件. 综上: 102λ≤≤. 22．已知过点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l的参数方程为：1222x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos (0)a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若11||||PM PN +=a 的值. 答案：（1）()20y ax a =>，2210x y --=；（2）4a =.（1）利用cos sin x y r qr q ì=ïí=ïî即可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；利用代入消元法消去参数,即可得到直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2y ax =可得20t a -=,则1||||PM t =,2||||PN t =,进而求解即可. 解析：解:（1）∵2sin cos (0)a a ρθθ=>,∴22sin cos a ρθρθ=,∴()20y ax a =>.∵12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴122x y =-=,∴2210x y --=.（2）将直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2y ax =得20t a --=,设点M ,N 对应的参数分别为1t ,2t ,则1||||PM t =,2||||PN t =,且12t t +=,12t t a ⋅=-,∵121211||||||||||||t t PM PN PM PN PM PN t t -++=====⋅⋅∴24a a =, 又∵0a >,∴4a = 点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用参数的几何意义求线段长度问题,考查运算能力. 23．已知函数()|||2|(0)f x x m x m =-++>. （1）若函数()f x 的最小值为3，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c m ++=，求证：114a b b c+≥++.答案：（1）1m =；（2）证明见解析.（1）利用绝对值三角不等式可得()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+,则|2|3m +=,即可求解；（2）由（1）可得21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,则1111[()()]a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭,进而利用均值不等式证明即可. 解析：（1）解:∵()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+,∴|2|3m +=,又∵0m >,∴1m =.（2）证明:由（1）知1m =,∴21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,Q 正数,,a b c , ∴1111[()()]2224b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c++⎛⎫+=++++=++≥+= ⎪++++++⎝⎭, 当且仅当b c a b a b b c++=++时等号成立. 点评： 本题考查利用绝对值三角不等式求最值,考查利用均值不等式证明不等式,考查“1”的代换的应用.。
东北三省三校2019年高三第二次联合模拟考试数学理试卷
① A 1D⊥ C1P；
1
②若 BD 1⊥平面 PAC，则
；
3
③若△ PAC 为钝角三角形，则
(0, 1) ； 2
④若
2 (
,1)
，则△
PAC
为锐角三角形。
3
其中正确的结论为
。（写出所有正确结论的序号）
· 3·
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）
17. （本小题满分 12 分） 设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an=5Sn+1 成立。 （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买，设第 4 组中有 X 个产品被购买，求 X 的分布列
和数学期望。
19. （本小题满分 12 分）
已知四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， AC ∩ BD=O ，AA 1=2 3 ， BD
⊥ A 1A ，∠ BAD= ∠ A 1AC=60 °，点 M 是棱 AA 1 的中点。
（Ⅱ）设 bn
log 4
| an
|，求数列
1 {
bn ·bn
}
2
前
n 项和
T n。
18. （本小题满分 12 分） 某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个
用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是
10 分。上个月该网站共卖出了 100 份团
购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一
1 1 11
Tn
(1 ) (
)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东北师大附中重庆一中吉大附中长春十一高中吉林一中松原实
验高中
2019届高三联合模拟考试理科数学试题
一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.等比数列各项均为正数，若，，则的前6项和为( )
A. 1365
B. 63
C.
D.
4.如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为( )
A. 64
B. 68
C. 72
D. 133
8.如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
9.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 ( )
A. 336
B. 340
C. 352
D. 472
10.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线与所成的角是定值；
②三棱锥的体积是定值；
③直线与平面所成的角是定值．
其中真命题的个数是( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
11.2018年，国际权威机构IDC发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。
华为业务CEO余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如下表：
根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是( )
附：
A. 没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关
B. 有95%把握认为使用哪款手机与性别有关
C. 有95%把握认为使用哪款手机与性别无关
D. 以上都不对
12.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线分别交抛物线C与M，N两点，若，则( )
A. 1
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x，y满足条件，则的最小值为_____________．
14.由曲线与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为________．
15.已知正方形ABCD的边长为4，M是AD的中点，动点N在正方形ABCD的内部或其边界移动，并且满足
，则的取值范围是________．
16.已知数列的前项和为，若是和的等比中项，设，则数列的前60项和为______________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
（1）求；
（2）若，求的值．
18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：
（1）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．
附：，若，则，
19.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．
（1）若点是的中点，求证：//平面；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
20.已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．
（1）求动点P所在曲线E的方程；
（2）设点Q为曲线E与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC 的面积之比的取值范围．
21.已知函数．
（1）若，证明：；
（2）若只有一个极值点，求的取值范围．
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的取值范围．
23.设函数．
（1）若，解不等式；
（2）求证：．。