直线与椭圆的位置关系教案
教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容
二、知识讲解
考点/易错点1 点与椭圆的位置关系
提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系
设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
若点),(00y x P 椭圆上，则122
220=+b y a x ；
若点),(00y x P 在椭圆内，则122
220<+b
y a x ；
若点),(00y x P 在椭圆外，则1220
220>+b
y a x ；
考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系
（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系
设直线:,l y kx m =+椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得
22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=
记该一元二次方程的判别式为?，则
①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导
设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.
112AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）.
三、例题精析
【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23
，右顶点到左焦点的距离为
32+
（1）求椭圆M 的方程.
（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .
【答案】（1）2
214
x y += （2
）①相交：m <<
m =，③相离：
m m <<或（3
）()(f t t =
∈ 【解析】（1
）依据题意，则2c a a c ?=?
??+=+?
解方程组得2,a c ==所以椭圆方程为2
214
x y += （2）联立22
2014
x y m x y +-=??
?+=??消掉y 得225161640x mx m -+-=
222(16)45(164)16(54)m m m ?=-?-=-
①若直线与椭圆相交，则2
16(54)0m ?=->
，解得m <<②若直线与椭圆相切，则2
16(54)0m ?=-=
，解得2
m =±
③若直线与椭圆相离，则2
16(54)0m ?=-<
，解得
22
m m <<-或（3）联立22
14
y x t
x y =+???+=??消掉y 得22
58440x tx m ++-=
因为直线与椭圆有两个交点，则22
6420(44)0t t ?=-->
，解得t <<
设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则
1285
t
x x +=-，2124(1)5t x x -=
由弦长公式，则AB =
=
=
所以()(f t t =∈
【例题2】已知椭圆2
2:12
x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2
）过1
()22
Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；
（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】（1）40x y +=，（2
220y +-=，（3）2
2
2220x y x y +--=
【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y
2
2112
222
12
1
2
x y x y ?+=????+=??两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得
1212121222()
y y x x
x x y y -+=-=-+
又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=. 所以平行弦中点的轨迹方程为：40x y += （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则
22
332
244
12
1
2
x y x y ?+=????+=??两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得
121212122()
y y x x
x x y y -+=--+
又因为,A B
关于点1
)2
Q
对称，则34121x x y y +=+=
所以121212122()2
AB y y x x k x x y y -+=
=-=-
-+ 故直线AB
220y +-=
（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在， 设弦中点坐标为(,)x y ''，则1
2
l y k x '-=
'-、、、、、、、、、、、、、、()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=
又22
552
266
121
2
x y x y ?+=????+=??两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-=
化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '
-+=
=-=-'
-+、、、、、、、、、、、、、、()ii
由()i ()ii 联立化简得， 2
2
2220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：2
2
2220x y x y +--=.
【例题3】椭圆C
的两焦点坐标分别为1(F
和2F
，且椭圆过点(1,2
- （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点6(,0)5
-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆C 于M N ，两点，A 为椭圆的左顶点，求证：MAN ∠的大小为定值.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）见解析 【解析】（1
）依据题意c =
223a b -=
设椭圆方程为22221x y a b +=，则221314a b +=，解得22
4,1a b ==，
所以椭圆的标准方程为2
214
x y += （2）当直线l x ⊥轴时，易得90MAN ∠=?，下面给出证明 依据题意，设直线65
x ty =-
联立226544
x ty x y ?
=-???+=?
消x 可得221264(4)0525t y ty +--
= 设1122(,)(,)M x y N x y ，，由韦达定理，则
122125(4)t y y t +=
+，12
264
25(4)
y y t -=+、、、、、、、、、、()i (2,0)A -，则11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+
1212(2)(2)AM AN x x y y ?=+++
21212416
(1)()525
t y y t y y =++++、
、、、、、、、、、、、、、、、、、()ii 将()i 代入()ii 整理得
2222222222
64(1)4816(4)1[6464486416]025(4)25(4)25(4)25(4)
t t t t t t t t t t -++++=--+++=++++ 所以90MAN ∠=?，故为定值.
四、课堂运用
【基础】
1. 若直线2y mx =+与椭圆22
142
x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.
【答案】m = 【解析】联立22
224
y mx x y =+??+=?消y 得22
(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则2
2
644(21)40m m ?=-?+?=
解得m =.
2. 直线y x a =+与椭圆2212
x y +=相交于,A B 两点，若3AB =，求a 的值.
【答案】1
【解析】联立22
22
y x a x y =+??+=?消去y 得22
34220x ax a ++-= 21643(22)0a a ?=-?->恒成立，则a R ∈
设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则
1243
a
x x +=-，212223a x x -=
由弦长公式AB =3
==
解得1a =. 【巩固】
1. 已知椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x ，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于B A ,两点，直线l
的倾斜角为?60，且BF FA 2=,则椭圆的离心率为（ ）
Ａ．
52 Ｃ．12 Ｄ．23
【答案】Ｄ．
【解析】（代数法）：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.
直线l 的方程为
)y x c =-
，其中c =
联立2222),1
y x c x y a b ?=-??+=??
得22224
(3)30a b y cy b ++-=
解得22122222
(2)(2)
,33c a c a y y a b a b
+-==++ 因为2AF FB =uu u r uu r
，所以122y y -=.
即
222222
(2)(2)
233c a c a a b a b
+-=?++ 解得离心率 2
3
c e a =
=. 2. 已知椭圆22
1169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，
问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.
【答案】[5,5]m ∈-
【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论
（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-； （2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21
:l y x m k
=-
+. 1l 与椭圆有公共点，即22
()1169
x kx m ++=有实数根，整理得
222(169)32161440k x kmx m +++-=
2
2
2
(32)4(169)(16144)0km k m ∴?=-+-≥解得22
9
16
m k -≥.
2l 与椭圆有公共点，同理可得2219
()16
m k -≥
当3m >时，229()1516m m -≤?≤；又5m >时，229259
()11616
m -->=；
而22
1
,
k k 必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-. 【拔高】
1. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，OB OA +与(3,-1)a =共线． (1)求椭圆的离心率；
(2)设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明：22μλ+为定值．
【答案】（1（2）见解析
则直线AB 的方程为y x c =-
设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则
由),(2121y y x x OB OA ++=+，)1,3(-=a ，OB OA +与a 共线，得
12123()()y y x x +++，又1122,y x c y x c =-=-
所以12123(2)()0x x c x x +-++=、、、、、、、、、、、、、、()ii
证明：由（1）知22
3a b =,所以椭圆方程可以化为：22233b y x =+，设),(y x OM =，由
已知得),(),(),(2211y x y x y x μλ+=解得?
?
?+=+=212
1y y y x x x μλμλ，因为M 在椭圆上，代入整理得
)1(3)3(2)()3(221212
222221212 b y y x x y x y x =+++++λμμλ)2(33332222222121 b y x b y x =+=+，
由)3)(2)(1(，则
2
212122221212
2222212123)3(2)(3)3(2)()3(b y y x x b y y x x y x y x =+++=+++++λμμλλμμλ又因为：
032
9233)(34))((322
22212121212121=+-=
++-=--+=+c c c c x x x x c x c x x x y y x x 所以22223)(3b b =+μλ，即12
2=+μλ，故为定值.
课程小结
本节主要学习了以下内容： 1.点与椭圆的位置关系； 2.直线与椭圆的位置关系 3.椭圆的综合应用。
课后作业
【基础】
1. 已知直线m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交，则实数m 的取值范围为（ ） .A ]5,5[- .B )5,0( .C )0,5(- )5,5.(-D 【答案】Ｄ．
【解析】把直线方程m x y +=代入椭圆14
22
=+y x 得0448522=-++m mx x ，因为相交，所以0)44(20642
2
>--=?m m ，解得)5,5(-∈m .故选.D
2. 直线12+=x y 与椭圆15
92
2=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）
.
A 411060 .
B 41106 .
C 361041 .
D 41
10
2 【答案】Ａ．
【解析】：联立方程???
??=++=159
1
222y x x y 消去y 得03636412=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则
a
ac
b k
y y x x MN 41)()(22
221221-+=-+-=41106041364143652=??+?=.
选.A
3. 直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆13
4:2
2=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ） .A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A
【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则13
0412
2<+，过直线过椭圆内部的点，所以直线l 与椭圆M 相交，选.A 【巩固】
1. 已知直线:2l y x m =+，椭圆22
:142
x y M +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆：
①相交；②相切；③相离.
【答案】2323<<-m ；23±=m ；2323>- 【解析】将m x y +=2代入椭圆消去y 得0428922=-++m mx x ，2 8144m -=? ①当081442 >-=?m ，即2323<<-m 时，直线与椭圆相切； ②当081442 =-=?m ，即23±=m 时，直线与椭圆相切； ③当081442 <-=?m ，即2323>- 2. 过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线 方程. 【答案】042=-+y x 【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x 14 162 121=+y x ① 14 1622 22=+y x ② ①-②得 04 ) )((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得21421212121 -=++?-=--y y x x x x y y 所以2 1 - =AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 - =k ， 故所求直线方程为042=-+y x . 【拔高】 1.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为2 3 ，右顶点到左焦点的距离为32+ （1）求椭圆M 的方程. （2）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f . 【答案】（１） 142 2=+y x （２）5 2104)(2t t f -=)55(<<-t 【解析】（1） 2 3 122=-==a b a c e ①，右顶点到左焦点的距离为32+，则 23+=+c a ②，联立①②解得1,3,2===b c a ，椭圆方程为14 22 =+y x . （2）联立???=++=4 42 2y x t x y 消去y 得0448522=-++t tx x ，因为直线与椭圆有两个交点，所以 0)44(206422>--=?t t 解得55<<-t 设),(),,(2211y x B y x A ，则a ac b k y y x x AB 41)()(22 221221-+=-+-= 代入数据得5 21045168022 2t t AB -=-? =)55(<<-t 所以5 2104)(2 t t f -= )55(<<-t 2. 已知P 是椭圆19 42 2=+y x 上的一点（非顶点） ，过点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于N M ,两点. （1）证明：B A O P ,,,四点共圆.（其中O 为坐标原点） （2）求MN 的最小值. 【答案】（１）答案见解析（２） 5 6 【解析】如图)6(C .(1)证明：因为PB PA ,都与圆122=+y x 相切，B A ,是切点，则 OB PB OA PA ⊥⊥,,即?=∠=∠90PBO PAO ,所以B A O P ,,,四点共圆. （2）B A O P ,,,四点共圆，直径为PO ，设),(00y x P ，则圆心为) 2,2( 0y x ，圆的方程为 22 220000()()224 x y x y x y +-+-=、、、、、、、、、、① 22 1x y +=、、、、、、、、、② ①-②整理得100=+y y x x ，直线AB 的方程为100=+y y x x 因为直线AB 与y 轴交点分别为N M ,，则01y y M = ，0 1x x N = MN ==，又),(00y x P 在椭圆上，则22 00149x y + = 36 25 623613943613)94)(11(1)11(202 02020202020202020= +≥++=++=?+x y y x y x y x y x 6 53625112020=≥+= y x MN ，所以65 min =MN . 3. 已知，椭圆C 以过点A （1，3 2 ），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 （1）求椭圆C 的方程； （2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）12 【解析】（1）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为22 2 2114x y b b +=+。 因为A 在椭圆上，所以 22 19114b b +=+，解得2b ＝3，2 b ＝34-（舍去）。 所以椭圆方程为 22 143x y +=． （2）设直线ＡＥ方程：得3 (1)2 y k x =-+，代入22143x y +=得 2223 3+4+4(32)4()1202 k x k k x k -+--=（） 设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1， 3 2 ）在椭圆上，所以 22 3 4()12234E k x k --=+， 3 2 E E y kx k =+ -。 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得 22 3 4()12 2 34F k x k +-=+， 3 2 F F y kx k =-++。 所以直线EF 的斜率()21 2F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++= ==--。 即直线EF 的斜率为定值，其值为 1 2 . 课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现） 包含: 1.课后作业学生完成情况 2.本节课主要内容概括 3.本节课学生学习态度 4.学生知识掌握情况和存在的问题（通过课堂反馈题进行分析） 语言真诚、体现学生实际情况，并且语言风格以鼓励为主，语气温和，体现教师的专业性与爱心。 专题1直线与椭圆的位置关系 【教学目标】 重点、难点 重点：直线与椭圆的位置关系 难点：中点弦和弦长的求法 学科素养 2 掌握弦长问题、中点弦问题、面积问题、定点定值问题、最值范围等问题进一步体会数形结合的思想方法 【知识清单】 直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 ①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 弦长问题 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则== == 中点弦问题 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决： (1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则 ? ? x 21 a 2＋y 21 b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ② 由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2 ＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0. 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决． 【经典例题】 题型一：中点弦问题 例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），求直线的斜 率 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法． 例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 直线与椭圆的位置关系（说课稿） 各位老师你们好! 今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。 一.教材分析 教材的地位和作用 <<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。在新课程数学教学有着不可代替的作用。 本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系 二. 教法分析 （一）学情分析 学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。 从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。 （二）教学方法和手段 教学方法：引导发现、探索讨论 我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。 教学手段：多媒体课件辅助教学 意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力. （三）具体措施 本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以 适当的引导。利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。 三. 教学目标 结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为： 知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力； 情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。 重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系； 难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。 1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养 2.这里没有用“使学生掌握……”、“使学生学会……”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。 四. 教学过程 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？ 怎么判断它们之间的位置关系？ 几何法：d>r d=r d 直线与椭圆的位置关系练习（2） 1. 椭圆19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则 ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ， 所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以 42 1 2== MF ON ，故答案为A ． 2. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一： 由??? ??=++=15 1 22m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=?∴k m 即 1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且 解法二：直线恒过一定点)1,0( 当5 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 点与椭圆的位置关系 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则122 220<+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系 设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-= 记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导 设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式. 112AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 三、例题精析 【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23 ，右顶点到左焦点的距离为 32+ 快速判断直线与椭圆位置关系的方法（原创） 四川省宜宾县第二中学 傅小力 在解决椭圆的选择、填空问题中需要快速判断与坐标轴不平行的直线0:=++C By Ax l 和椭圆)0(122 22 >>=+b a b y a x 的位置关系时，我建议我的学生： 第一步：找出直线与坐标轴的交点，判断是否在已知椭圆内部或在椭圆上， 否，则第二步：设椭圆上任一点P （θθsin ,cos b a ）， C By Ax m ++=，则 C b B a A C Bb Aa m +++=++=)sin(sin cos 2222?θθθ， 其中R Bb Aa ∈=θ?,tan ， 故],[22222222 b B a A C b B a A C m +++-∈。 结合线性规划的知识，结论如下： ① 若0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，则椭圆上的点都在直线l 的同一侧，故直 线l 与椭圆相离；若0 直线与椭圆的位置关系 （教学案例） 一、教学目标 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系； 2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； 3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧； 4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想. 二、重点难点 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题. 三、教学方法 导学——讨论式，多媒体课件辅助教学. 四、教学过程 （一）设置情境 导入新课 在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x (有时也可以转化为关于y )的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题. （二）探索研究 问题1： 当实数m 分别取何值时，直线l ：y =x +m 与椭圆9x 2+16y 2=144 相交、相切、相离？ 分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于x 的一元二次方程25x 2+32m x +16m 2-144=0， ∵△=576(25- m 2)， ∴当(1)△>0，即 -5 直线和椭圆位置关系 1.已知椭圆22 :143 x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点. （Ⅰ）求M 的离心率及短轴长； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作斜率为 12 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：22||||PB PA +为定值． 3. 已知椭圆C ：22 11612 x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件|||| FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ?和PNF ?的面积分别为1S ，2S ，求证： 12|||| S PM S PN =. 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点(1,2 ，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14 -的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由． 5. 已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围. 6. （2012北京，19）. 已知曲线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈ （I ） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （II ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线 4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ,直线1y =与直线BM 交于点G . 求证：,,A G N 三点共线. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C 上的 点到(0,2)Q 的距离的最大值为3； （1）求椭圆C 的方程； （2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22 :1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且AOB ?的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的AOB ?的面积；若不存在，请说明理由。 8.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F(1，0),且点12??- ? ??? ，在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程. （2）已知动s 直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A,B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ， 使得716 QA QB ?=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 教学过程 一、知识讲解 考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则122 220<+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 2.直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系 设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-= 记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导 设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式. 11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23 ，右顶点到左焦点的距离为 32+ （1）求椭圆M 的方程. （2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f . 【答案】（1）2 214 x y += （2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或 （3）()(f t t = ∈ 直线与椭圆的位置关系典型例题 1.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . （1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-. 联立22223(),1 y x c x y a b ?=-? ?+=??得22224(3)2330a b y b cy b ++-= 解得22123(2)3(2) ,b c a b c a y y -+--== 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 223(2)3(2) 2b c a b c a +--=? 得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为21113AB y y =+-，所以2224315 343ab a b ?=+. 由23c a =得5 b a =.所以51544a =，得a=3，5b =. 椭圆C 的方程为22 195 x y +=. ……12分 2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中 m>0,0,021<>y y 。（1）设动点P 满足42 2=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3 1 ,221= =x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）. 《直线与椭圆的位置关系》的教学设计 濮阳市第一高级中学任素巧 【教学目标】 （一）知识目标 1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 2、学会判断直线与椭圆公共点的方法 3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的 关系简化运算 （二）能力目标 1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力 2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力 （三）德育目标 1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点 2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法 【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题 【教学难点】学生解题综合能力的培养 【教学过程】 一、复习引入 回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d 提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？ 一、公共点问题 问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系 解：由?????=++=14163 2 2y x kx y 可得02024)14(2 2=+++kx x k 0142>+k ，)516(162-=?∴k （1）当4 5 450)516(162 -<> >-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相交 （2）当4 5 450)516(162 -== =-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相切 （3）当4 5 450)516(162 <<- <-=?k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相离 小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等. 变式一：直线01=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系呢？ 解：由?????=++=14 161 2 2y x kx y 可得0128)14(2 2=-++kx x k 1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1 直线斜率存在时221y kx b mx ny =+??+=??222()210m k n x kbnx b +++-=当0?>时直线和椭圆相交当0?=时直线和椭圆相切当0?<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a b =???+=??判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""?。02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式2 2121221111AB k x x k y y a k ?=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -= +-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。2三角形面积 01过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ?1212AOB S OH y y ?= - 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a +=交于A 、B 两点，求AOB S ?1212AOB S OH x x ?=- 03弦任意，点任意 12S ?=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。3弦的中点问题 01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题 类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为 _____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。 直线与椭圆的位置关系练习 1. 椭圆 19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得 10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以42 1 2== MF ON ， 故答案为A ． 2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由?????=++=151 2 2m y x kx y 可得05510)5(2 2=-+++m kx x m k ， 0152≥--=?∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且 解法二：直线恒过一定点)1,0(当5 课时过关检测(四十九) 直线与椭圆的位置关系 A 级——夯基保分练 1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以 4m 2＋n 2 ＞2，所 以m 2＋n 2＜4.所以 m 29＋n 24＜m 29＋4－m 2 4＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的交点有2个． 2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－2 3 B ．－32 C ．－49 D ．－94 解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为 k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又 x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2 ＝k ，代入解得k ＝－2 3. 3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率 为 2 2 ，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.423 C. 2 D ．2 解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2 ＝1， 联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，????43，－13，所以|AB |＝42 3 . 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2 ―→ ＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) 课 题：椭圆与直线的位置关系 教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利 用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力. 教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解 题。 重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题. 教学过程：一、课引 1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆 ①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。 这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝ ( )()|| 1 1||121212 1 2 212 2 2 y y k x x k y y x x -+ =-+= + -- 2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）. 3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视. 下面略举几例来说明此类问题的分析与解答. 课时作业10 直线与椭圆的位置关系 [基础巩固] 一、选择题 1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 2 4 ＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断 2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2 2 ＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 3．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3 ＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.513 B ．－513 C.21313 D ．－21313 4．已知椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 二、填空题 6．过椭圆x 216＋y 2 9 ＝1的焦点F 的弦中最短弦长是________________________________________________________________________． 7．直线y ＝x ＋m (m ∈R )被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16 ，则中点的纵坐标为________． 8．已知椭圆x 225＋y 2 16 ＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 三、解答题椭圆与直线的位置关系典型例题
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