直线与圆的极坐标方程
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 20 坐标系与参数方程(考点解读)(解析版)
专题20 坐标系与参数方程1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 知识点二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．知识点三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．高频考点一 坐标系与极坐标例1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【变式探究】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 【变式探究】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线310x y -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.【答案】B高频考点二 参数方程例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=． (2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【变式探究】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．【解析】直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．【答案】(2，π)【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【解析】∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.【答案】A1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩(t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点(1，0)到直线l的距离65d ==，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离． 【答案】(1)5；(2)2．【解析】(1)设极点为O ．在△OAB 中，A (3，4π)，B (2，2π)， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=， 则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 1. (2018年全国I 卷理数)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程；(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】 (1)． (2)的方程为．【解析】 (1)由，得的直角坐标方程为 ．(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆． 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．2. (2018年全国Ⅰ卷理数)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)求和的直角坐标方程；(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】(1)当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. (2018年全国Ⅰ卷理数)在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点．(1)求的取值范围；(2)求中点的轨迹的参数方程．【答案】(1)(2)为参数，【解析】(1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．(2)的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．4. (2018年江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为． 1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为___________.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=.3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. (1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到la. 【答案】(1)C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430{ 19x y x y +-=+=解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d=16a =-.综上， 8a =或16a =-.【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB = 2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. (I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅰ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】(Ⅰ)212cos 110ρρθ++=；(Ⅰ)3±. 【解析】(I)由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= (II)在(I)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为153或153-. 4. 【2016高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=(I)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(II)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；(Ⅰ)31(,)22． 【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅰ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2sin()2|32d ααπαα+-==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，2，此时P 的直角坐标为31(,)22.。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标方程表达式
极坐标方程表达式极坐标方程是描述平面上点的位置的一种常用表达方式。
它利用距离和角度来表示点的坐标，相比直角坐标系更适合描述圆的形状和对称性。
本文将介绍极坐标方程的表达式形式以及如何将其转换为直角坐标系。
同时，还将介绍极坐标方程在数学和物理中的应用。
极坐标方程表达式的一般形式为：$r = f(\\theta)$其中，r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正 x 轴之间的角度，f是一个关于$\\theta$的函数。
极坐标方程的形式可以有很多种，取决于具体问题的性质。
以下是一些常见的极坐标方程的表达式。
1. 极坐标方程表示直线：$r = a\\sec(\\theta - \\alpha)$其中，a是一定的常数，$\\alpha$是直线与极轴之间的夹角。
2. 极坐标方程表示圆：$r = a$其中，a是圆的半径。
3. 极坐标方程表示椭圆：$r = \\frac{a(1 - e^2)}{1 - e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是椭圆的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是椭圆与极轴之间的夹角。
4. 极坐标方程表示双曲线：$r = \\frac{a(1 + e^2)}{1 + e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是双曲线的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是双曲线与极轴之间的夹角。
利用以上表达式，可以方便地描述出各种形状的曲线。
将极坐标方程转换为直角坐标系的表达式需要利用以下关系式：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$通过上述关系式，可以将极坐标方程中的$r$与$\\theta$表达式用$x$和$y$来表示，从而得到在直角坐标系中曲线的方程。
极坐标方程在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，它可以用来描述曲线和曲面的形状及其性质。
例如，极坐标方程可用于描述螺旋线、心形线等特殊曲线。
在物理中，极坐标方程可用于描述圆周运动、波动等循环性质的物理现象。
极坐标、参数方程
极坐标、参数方程知识概念见导学单一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）自主填空：1直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： x = 2ρ=y = tan θ=2、直线与圆的极坐标方程：1.若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-2.圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 参数方程的定义：3一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 4直线圆椭圆的参数方程：1、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。
2、圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法）（见导学案讲义）例1: 1、在极坐标系中，求过点M (4,6π)且平行于极轴的直线的极坐标方程。
2、(1) ．化曲线的直角坐标方程x 2=2p (y ＋2p ) (p >0)为极坐标方程。
(2) ．化曲线的极坐标方程ρ2=sin2θ为直角坐标方程。
直线与圆的极坐标方程公式
直线与圆的极坐标方程公式在数学中，直线和圆是非常常见的几何图形。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示直线和圆的方程，使得问题的解析更加方便和直观。
本文将介绍直线和圆在极坐标系下的方程公式。
直线的极坐标方程在极坐标系下，直线的方程通常被表示为极坐标参数等于常数的形式。
一个通用的直线方程为：r = p·cos(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，p 表示直线到原点的距离，θ 表示角度，α 表示直线的偏转角度。
具体地，当直线与极坐标系的x 轴的交点不在原点时，直线的方程可以表示为：r = p·cos(θ − α) + d·sin(θ − α)·cot(α)其中，d 表示直线与极坐标系的 x 轴的交点到原点的距离。
圆的极坐标方程在极坐标系下，圆的方程可以表示为极坐标径向距离等于常数的形式。
一个通用的圆方程为：r = a + b·sin(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，a 表示圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离，b表示圆的半径，θ 表示角度，α 表示圆的旋转角度。
需要注意的是，当圆心位于极坐标系的 x 轴上时，圆的方程可以简化为：r = a + b·sin(θ)应用示例现在我们来看一些直线和圆的极坐标方程的应用示例。
直线的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一条直线，该直线与极坐标系的x 轴的交点到原点的距离为4，直线的方向与极坐标系的 x 轴的正方向呈45度角。
那么，直线的极坐标方程可以表示为：r = 4·cos(θ − 45°) + 4·sin(θ − 45°)·cot(45°)圆的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一个圆，该圆的圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离为3，圆的半径为2，圆的旋转角度为30度。
那么，圆的极坐标方程可以表示为：r = 3 + 2·sin(θ − 30°)通过这些示例，我们可以更好地理解直线和圆在极坐标系下的方程公式的应用。
直线与椭圆极坐标方程
这些是直线和椭圆的极坐标方程的一般形式。具体的方程形式可能会因直线或椭圆的特殊 性质而有所不同。
直线与椭圆极坐标方程
直线和椭圆的极坐标方程可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到。
1. 直线的极坐标方程： 在直角坐标系中，直线的一般方程为 y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。我们可以 通过将直线方程中的 x 和 y 转换为极坐标下的 r 和直角坐标系中，椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭 圆的长半轴和短半轴。我们可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到椭 圆的极坐标方程。
使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ，
直线与椭圆极坐标方程
对于直线方程 y = mx + c，使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ， 将直线方程中的 x 和 y 替换为极坐标下的 r 和 θ，得到直线的极坐标方程为： rsinθ = mrcosθ + c，
直线与椭圆极坐标方程
化简后得到直线的极坐标方程为： r = (c / sinθ) - mcosθ。
直线和圆的极坐标方程
直线和圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述直线和圆。
直线可以通过极坐标系中两个特殊点之间的连线来定义，而圆则可以由一个特定的中心点和半径来确定。
本文将介绍直线和圆在极坐标系中的极坐标方程表示方法。
直线的极坐标方程在直角坐标系中，我们可以用一般形式的线性方程 y = mx + b 来表示直线，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
然而，在极坐标系中，直线的方程表达形式有所不同。
考虑极坐标系中两点之间的连线，我们可以使用直角坐标系中的斜率来找到直线的极坐标方程。
记直线的斜率为 m，两点的极坐标为(r₁, θ₁) 和(r₂, θ₂)。
则直线的极坐标方程可以表示为：θ = arctan((r₂ * sin(θ₂) - r₁ * sin(θ₁)) / (r₂ * cos(θ₂) - r₁ * cos (θ₁)))在上述方程中，θ 表示直线的极角。
通过计算两点之间的差分，我们可以得出直线在极坐标系中的方程。
圆的极坐标方程圆是极坐标系中的一种特殊情况，它由一个中心点和一个半径确定。
在直角坐标系中，我们可以用标准形式的方程 x² + y² = r²来表示圆，其中 (x, y) 是圆上的一个点，r 是半径。
然而，在极坐标系中，圆的方程要更加简洁。
对于以极点为中心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀, θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径。
这意味着，对于以极点为中心的圆，其极径始终等于圆的半径r₀。
对于以极点外的任意一点为圆心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀,θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = 2d - r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径，d 表示该点到圆心的距离。
这意味着，对于以极点为中心的圆外的任意一点，其极径与该点到圆心的距离之差等于圆的半径r₀。
总结在极坐标系中，直线的极坐标方程可以通过计算两点之间的角度来表示。
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
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(7).(2013年安徽)在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的垂直于
极轴的两条切线方程分别为
A. =0( R)和cos=2
C. = ( R)和cos=1
2
【B】 B. = ( R)和cos=2
2
D. =0( R)和cos=1
法1：转换成直角坐标……
是线段OP绕极点O旋转的结果
θ
§272 直线与圆的极坐标方程
一、极坐标方程的概念及求法
1.概念 2.求法 ①公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 ②方程法：未知型状方程法 建系设需列方程
二、特殊直线的极坐标方程 三、特殊圆的极坐标方程
一、极坐标方程的概念及求法 1.概念
如果曲线Ｃ上的点与方程f (ρ,θ)=0有如下关系： ①曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)
法1：普通方程转换成极坐标方程……
法2：形法 + 公式法
(3)已知圆C1：ρ＝cosθ，圆C2：ρ＝sinθ
2
则这两个圆的圆心距是____2_____
法1：转换成直角坐标……
法2：形法 + 公式法
O
x
(4)直线l: 与圆C:ρ＝2cosθ的位置关系是【B】
2
A.相交
B.相切
C.相离 D.无法确定
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
法1：转换成直角坐标……
法2：形法 + 公式法
O
x
(5).(2012年安徽)在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心
到直线 ( R) 的距离为____3______
6
法1：转换成直角坐标…… 法2：形法 + 公式法
(6).(2012年陕西)直线2ρcosθ=1 与圆ρ=2cosθ相交的
弦长为____3__
法2：形法 + 公式法
(8).(2013年天津)已知圆的极坐标方程为：ρ=4cosθ
圆心为C,
点P
的极坐标为
4,
3
,则|CP|= __2__3__
法1：转换成直角坐标……
法2：形法 + 公式法
作业：
1.《固学案》P：2 Ex1 2.《固学案》P：2 Ex2 3.《固学案》P：2 Ex3 4.《固学案》P：2 Ex5
预习： 普通方程与极坐标方程的互化
及其求极坐标方程
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
三、特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
像
O
(r,0)
xO
x
(r, ) O
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
符合方程f (ρ,θ)=0 ②方程f (ρ,θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上
则方程 f (ρ,θ)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程
2.求法
①公式法: 知型巧用公式法 建系设式求系数
②方程法: 未知型状方程法 建系设需列方程
二、特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, ) 2
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
注① 负极径的定义：先正后对称
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及 空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
②柱坐标系是平面极坐标系的立体化
将， ②球坐标系是平面极坐标系的立体化
§272 直线与圆的极坐标方程
一、极坐标方程的概念及求法
1.概念 2.求法 ①公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 ②方程法：未知型状方程法 建系设需列方程
二、特殊直线的极坐标方程 三、特殊圆的极坐标方程
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
(1).(2011年北京)在极坐标系中圆：ρ=-2sinθ的圆心的
极坐标系是 【B】
A. (1, )
2
B. (1, )
2
C.(1,0)
D.(1, )
法1：极坐标方程转换成普通方程……
法2：形法 + 公式法
(2).(2012年江西)曲线C的直角坐标方程为：x2＋y2-2x=0
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线 C的极坐标方程为__ρ__=__2_c_o_s_θ_