普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
极坐标方程与普通方程的转化区别在哪
极坐标方程与普通方程的转化区别在哪极坐标方程和普通直角坐标方程是描述平面曲线的两种不同的数学表达形式。
它们在表示方式和求解方法上有着一定的差异。
本文将详细讨论极坐标方程和普通方程之间的转化过程及其区别。
1. 极坐标方程与普通方程的概述1.1 极坐标方程极坐标方程是描述平面上的点与原点的距离和与正极轴的夹角的关系的数学表达式。
在极坐标系中，每个点用一个有序对$(r,\\theta)$表示，其中r为点到原点的距离，$\\theta$为点与正极轴的夹角。
极坐标方程通常写成$r=f(\\theta)$的形式。
1.2 普通方程普通方程则是以直角坐标系表示的平面曲线方程。
在直角坐标系中，每个点用一个有序对(x,y)表示，其中x为点在横坐标轴上的投影，y为点在纵坐标轴上的投影。
普通方程通常写成y=f(x)的形式。
2. 极坐标方程到普通方程的转化2.1 极坐标方程转化为普通方程要将极坐标方程$r=f(\\theta)$转化为普通方程y=f(x)，一般需要用到如下的换元公式：$$ \\begin{aligned} x & = r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = r \\cdot\\sin(\\theta) \\end{aligned} $$通过以上变换，就可以将给定的极坐标方程转化为普通方程的形式。
2.2 普通方程到极坐标方程的转化同样地，要将普通方程y=f(x)转化为极坐标方程$r=f(\\theta)$，可以按以下的变换公式进行：$$ \\begin{aligned} r & = \\sqrt{x^2 + y^2} \\\\ \\theta & =\\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\end{aligned} $$通过以上转换，就能将给定的普通方程转化为极坐标方程的形式。
3. 极坐标方程与普通方程的区别极坐标方程与普通方程的主要区别在于描述平面曲线所采用的坐标系不同。
极坐标与参数方程的互化关系图
极坐标与参数方程的互化关系图极坐标和参数方程是数学中两种常见的坐标系表示方法。
它们在不同的问题中发挥着重要的作用，并且可以相互转化。
本文将介绍极坐标和参数方程的概念、特点以及它们之间的互化关系。
极坐标极坐标是描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系不同，极坐标由半径和极角两个量来确定一个点的位置。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是从原点到点的距离，θ是与某一固定方向（通常为正 x 轴）的夹角。
在极坐标系中，点的坐标表示方式的优势在于可以方便地表示围绕原点的旋转对称性。
例如，在描述螺旋线、圆的方程、天文学模型等问题中，极坐标系能够提供简洁且直观的解释。
极坐标和直角坐标之间的转换关系如下：•x = r cosθ•y = r sinθ其中，x 和 y 是直角坐标系下的坐标，r 是极坐标系下的半径，θ 是极坐标系下的极角。
参数方程参数方程是一种通过给定参数的方式来表示曲线的坐标系。
一条曲线的参数方程由一对函数 x(t) 和 y(t) 给出，其中 t 为参数，通常在某个区间上取值。
参数方程的一个优势是能够描述非常复杂的曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
通过合适的参数化方式，参数方程可以解决直角坐标系下难以描述的问题。
极坐标到参数方程的转换将极坐标转换为参数方程可以通过以下步骤完成：1.将极坐标中的半径和极角表示为 x(t) 和 y(t)，其中 t 是参数。
2.将极坐标中的半径和极角表示转化为直角坐标系下的 x 和 y，即使用x = r cosθ 和y = r sinθ。
3.将 x 和 y 分别表示为关于 t 的函数，即 x(t) 和 y(t)。
例如，将极坐标(r, θ) = (1, t) 转换为参数方程，可以得到 x(t) = cos(t) 和 y(t) = sin(t)。
这样，通过参数方程 (x(t), y(t)) = (cos(t), sin(t))，我们就可以得到极坐标(1, t) 对应的点。
第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化
【解析】 (1)圆的参数方程为
:
x y
6 5 sin
5 cos
(
为参数).
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极 坐标方程.
(2)由x cos , y sin可得C的极坐标方程为 : 2 12 cos 11 0.
以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)1中3.,直线l的方程为
sin( + π ) 2 2.
4 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
(2) 直线l的直角坐标方程为x y 4 0, 由x2 y2 4x 0得直线l与曲线C的交点坐标为(2, 2), (4, 0),
x y 4 所以直线l被曲线C截得的弦长为2 2.
【解析】由于cos 2 1 2sin2 ,故y 1 2x2,
即y 2x2 1(1 x 1).
8.将参数方程
x y
t t
1 t
2
1 t2
(t为参数)化为普通方程为
.
【答案】 x2 y 2( y 2)
【解析】 y
t2
x2 y2 2x 6 y,即(x 1)2 ( y 3)2 10. 曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2 ( y 3)2 10.
5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.
【解析】 参数方程
:
x
y
1 2 1
cos 2 sin
(
为参数);
极坐标方程 : 2 2 cos 2 sin 2 0.
6.椭圆的方程为: x2 y2 1. 94
参数方程化为极坐标方程
参数方程化为极坐标方程
极坐标方程是将普通坐标系统中的点定义为极坐标中的点来表示，它是由半径r和极角θ所确定的点的坐标表示形式。
以点P(x,y)为例，可以能将其参数方程化为极坐标方程，具体如下：
一、定义极坐标
1. 极点：极坐标系中原点；
2. 极轴：从极点出发的直线；
3. 极径r：原点到点P的距离；
4. 极角θ：原点指向点P方向，即点P在极轴上对应的角, 且为顺时针方向。
二、极坐标方程
1. 根据极坐标定义可知: r²=x²+y²
2. 根据正弦定理可知: sinθ= y/r
3. 根据余弦定理可知: cosθ= x/r
4. 将x，y，r，θ都代入到方程中，就可以得到极坐标方程：r=x²+y²和θ=tan-1(y/x)
三、极坐标与坐标系统之间的对应关系
1.极坐标系原点与直角坐标系原点同；
2.极轴与x轴平行，极轴与x轴方向同；
3.极轴上的线段的长度即极径r，角ι即极角α；
4.极径r的正负决定点P在x轴与原点的左右，极角α的正负决定在x轴的上下。
极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。
极坐标的互化及简单曲线的极坐标方程3
解：如图，设M ( , )为直线l上除点P外的任意一点，
连接OM，则 OM ，xOP ,
l
M(, )
由点P的极坐标为(1,1 )知
OP 1，xOP 1
P (1, 1)
设直线l与极轴交于点A， O
a
Ax
则xAM a，
在MOP中，OMP a ,OPM (a 1 )
例3.设点P的极坐标为(1，1)，直线 l 过点P且与极轴所 成的角为a，求直线 l 的极坐标方程.
求曲线的方程就是求曲线上任意点的坐标( x, y)所满足 的等式
曲线的极坐标方程的是曲线上任意点的极坐标( , )所
满足的等式
一、复习回顾
2.求曲线方程的方法： （1）建系：建立适当的坐标系， （2）设点：用有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标； （3）列式：利用点M需满足的几 何条件，列出方程 f (x，y)=0； （4）下结论：化方程f (x，y)=0为 最简形式并下结论.
O
x
x
四、例题分析
【例1】将点M的极坐标(5，2 )化成直角坐标. 解：x 5 cos 2 5 ， 3
32
y 5 sin 2 5 3 ，
32 点M的直角坐标( 5 ，5 3 )。
22
四、例题分析
【 例2】 将 点 M的 直 角 坐 标( 3， 1)化 成 极 坐 标.
解： （ 3）2 （ 1）2 3 1 2，
3
4 )、(2,
)，
A
4 4O
x
经检验可知，这两点的坐标都满足上式
∴所求圆的极坐标方程为 2cos( )
4
探究：
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a, 0 )(a 0)
用一个等式来表示圆上任意一点的极坐标(, )满足
极坐标与直角坐标普通方程与参数方程的互相转化
极坐标与直角坐标普通方程与参数方程的互相转化
极坐标和直角坐标是两种描述点在平面上位置的坐标系。
极坐标使用
极径和极角来表示点的位置，而直角坐标使用水平坐标轴上的x坐标和垂
直坐标轴上的y坐标来表示点的位置。
普通方程和参数方程是两种表示曲
线的方程形式。
普通方程通过将x和y的关系表示为一个显式方程，而参
数方程则使用参数来表示x和y的关系。
转化极坐标为直角坐标：
要将极坐标(r,θ)转化为直角坐标(x,y)，可以使用以下公式：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
其中，θ表示极角，取值范围为0到2π。
转化直角坐标为极坐标：
要将直角坐标(x,y)转化为极坐标(r,θ)，可以使用以下公式：
r=√(x^2+y^2)
θ = atan(y / x)
其中，atan表示反正切函数，需要注意对象坐标所在象限的选择。
转化普通方程为参数方程：
要将普通方程转化为参数方程，需要将x和y用参数t来表示。
首先，将普通方程解为y=f(x)，然后选择一个适当的参数t，使得y=f(x)成为
参数t的函数。
替换x和y后，得到参数方程x=g(t)，y=f(g(t))，其中
g(t)为对应的x坐标。
转化参数方程为普通方程：
要将参数方程转化为普通方程，需要解出参数t，然后将t带入到x
和y的表达式中，得到关于x和y的方程。
以上是极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程互相转化的基本方法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的方法进行转化。
转换方式的
选择取决于问题本身、坐标系的选择以及计算的需求。
普通方程转化为极坐标方程
普通方程转化为极坐标方程在数学中，普通方程和极坐标方程是描述平面上的曲线的两种不同方式。
普通方程使用直角坐标系，而极坐标方程使用极坐标系。
有时候，我们需要将给定的普通方程转化为极坐标方程，以便更好地理解和分析曲线的特性。
在本文中，我们将介绍将普通方程转化为极坐标方程的方法。
普通方程的一般形式在讨论普通方程转化为极坐标方程之前，让我们先回顾一下普通方程的一般形式。
普通方程可以表示为:Ax + By = C其中 A、B、C 是常数，A 和 B 不同时为零。
极坐标系的定义极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正极轴的夹角。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是极径，θ 是极角。
将普通方程转化为极坐标方程的方法要将普通方程转化为极坐标方程，我们可以按照以下步骤进行操作：步骤1：确定极径的表达式首先，我们需要确定极径（r）的表达式。
为此，我们可以使用勾股定理来计算距离。
假设点 P(x, y) 在直角坐标系中，那么点 P 到原点的距离可以表示为：r = √(x^2 + y^2)步骤2：确定极角的表达式接下来，我们需要确定极角（θ）的表达式。
我们可以使用反三角函数来计算极角。
根据点 P 的坐标 (x, y)，我们可以计算极角θ，如下所示：θ = arctan(y/x)需要注意的是，反三角函数的结果可能只能给出一个特定的值，因此我们需要根据直角坐标系中点的象限来确定极角的范围。
步骤3：编写极坐标方程最后，我们可以根据步骤1和步骤2中的结果编写极坐标方程。
将极径的表达式和极角的表达式代入极坐标方程中，我们可以得到转化后的极坐标方程。
示例让我们通过一个示例来说明将普通方程转化为极坐标方程的方法。
假设我们有一个普通方程为：2x + 3y = 6按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：确定极径的表达式根据勾股定理，我们有：r = √(x^2 + y^2)步骤2：确定极角的表达式根据点 P 的坐标 (x, y)，我们可以计算极角θ，如下所示：θ = arctan(y/x)步骤3：编写极坐标方程代入步骤1和步骤2中的结果，我们可以得到极坐标方程为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)结论通过上述步骤，我们可以将给定的普通方程转化为极坐标方程。
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4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
2
由4另由解s4in：s2i由n22题2意5得5，，4411 c2ocs2os5 5
即：2 2 cos 5 5
化直整整角理理坐得得标：：由241
s2in 2
xco2 s
2y
2
5， 4
2x
1
5
cos纯属 运5 气
解：如图，易得直线 l 的普通方程为 x=a
故其极坐标方程为：
O
cos a
x
A (a,0) l
作业：
1.《固学案》P：7 2.《固学案》P：7 3.《导学案》P：8
Ex3 Ex5 案例 问题3
预习：
直线的参数方程
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
②柱坐标系是平面极坐标系的立体化
将平面极坐标系沿z轴上下平移的结果
①球坐标系又称空间极坐标系， ②球坐标系是平面极坐标系的立体化
是线段OP绕极点O旋转的结果
θ
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除A外的任意一点
在Rt△MOA中有 |OM|cos∠MOA=|OA|
即 cos a
经验证：
ρ M (ρ,θ)
Oθ
x
点A的坐标(a,0)满足上式
故所求方程为： cos a
l A (a,0)
(6)课本P：15 Ex 2 ③
解：如图，设 M (ρ,θ) 是圆上的任意一点
i：当O,M,A三点不共线时，在△MOA中由余弦定理得
OA2 OM 2 2OA OM cos( ) AM 2
即 1 2 2 cos( ) 1 4
整理得
2 cos(
4 )
M (ρ,θ)
4
ii：当O,M,A三点共线时，
O
A(1, ) 4
x
易得点M的坐标满足上式
综上，所求方程为： 2 cos( )
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数
(4)课本P：15 Ex 2
① 直线
3
或 ( R)
3
或 和 4
3
3
3
直线? 射线？
② cos 1
④ 2a sin
练习2.求极坐标方程：
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关
(5)课本P：14 例2
x2 y2 10x (x 5)2 y2 25
④ 2 2 cos 4 sin
x2 y2 2x 4y (x 1)2 ( y 2)2 5
4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
44：：22由即化s解s4：直iinn2：2222角由s即由即 i22n题坐cc4： 22oo意2标 2ss55得，，sc： ion2s54422，552x1c124o5s5cc，221yoo2ss4c25o22s1x55c25o5s 5
（1）形法：
类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①如图，圆锥曲线的极坐标方程 ep 1 e cos
是在以焦点F为极点的极坐标系的基础来的 ②这与极坐标与直角坐标互化的前提是不符的
M(ρ,θ) X
F(O)
练习2.求极坐标方程：
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
注① 负极径的定义：先正后对称
易得点P的坐标满足上式
M方程为： sin( ) 1sin( 1)
练习2.求极坐标方程：
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
(8)课本P：14 例2
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
极坐标与直角坐标的互化
2
平 整方 理故得整 得e由表理 ：1圆 示2，：锥 的Px曲 曲y2整2线 线25e理表的是y5示得1极：2， (抛： x坐P物标2线x45方25)1，程表5的c示表25o抛s抛示物物1线抛线ee物cpos线
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
练习1.普通方程与极坐标方程的互化：
1.普通方程
极坐标方程：
(1)课本P：15 Ex3
① cos 4
② sin 2
③ 2 cos 3 sin 1 0
④ 2 cos2 2 sin 2 16 2 cos 2 16
2.极坐标方程 普通方程：(2)课本P：15 Ex4
① y2 ② 2x 5y 4 0
③ 2 10 cos
直角坐标化：直2角x坐2 标y：22 2xx2 5y2 2 x 5 直理整角得理坐：2得故标整：x：2理22得xyx2：222yx2y2 22x22y5xx2552 x 5 方 理方平整 得整方理 ：理2整整故：：平理表理x方yy得示2：22整 的yy曲55理22((线xx：为52(：yx4545x2抛))，，物5455表表线()，x示示表抛抛45示)物物，抛线线表物示线抛物线
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及 空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
4
(7)课本P：14 例3
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除P外的任意一点
在△MOP中有 | OM | , | OP |1 , OMP OPM ( 1) 由正弦定理得
| OM | | OP | sin OPM sin OMP
即
sin[
(
1 )]
1 sin( )
O
即 sin( ) 1sin( 1)