极坐标系及简单的极坐标方程
极坐标系与极坐标方程
极坐标系及极坐标方程一、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条 射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=.在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(,)(0)2r r π>为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2220002cos()r ρρρρθθ+--=；8.圆锥曲线方程：（1）1cos epe ρθ=-表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。
在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。
二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。
这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。
2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。
这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。
3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。
4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。
三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。
例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。
另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。
四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。
螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。
螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。
极坐标
化为
直角坐标方程. 解
方程变形为 r ( 2 sin 3 cos ) 1 ,
2 r sin 3 r cos 1 ,
2 y 3 x 1.
14
求圆心在(1,0)点,半径为2的圆的极坐标方程. 解 圆心在(1,0)极点,半径为2的圆的直角坐标方程为
( x 1) y 4
§1.3 极 坐 标
一、极坐标系
二、极坐标与直角坐标的互化
三、曲线的极坐标方程
1
一、极坐标系
1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点o，叫做极点, 引一条射线Ox，叫做极轴. 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）. 这样就建立了一个极坐标系.
o
x
2
2. 极坐标
P ( r , )
r2 x2 y2 y tan ( x 0) x
2. 直角坐标方程与极坐标方程与的互化 直角坐标方程化为极坐标方程; 简单的极坐标方程化为直角坐标方程. 3. 简单的极坐标方程会画略图.
26
作业
习题1-3 1. 2. 3 (24页)
27
笛卡儿 (1596～1650)
7 6
.
M ( 2,
7 6
)
9
三、曲线的极坐标方程
定义 如果曲线L上的点与方程 (r,)=0有如下关系 (1) 曲线L上任一点的坐标符合方程 (r,) = 0 ； (2)方程 (r,) =0的所有解为坐标的点都在曲线L上. 则曲线 L 的极坐标方程是 (r,) =0 .
28
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
极坐标方程表达式
极坐标方程表达式
x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，r^2=x^2+y^2 （一般默认r>0），tan(θ)=y/x (x ≠0）。
极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。
通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ±2kπ）或（−r，θ±(2k+ 1)π），这里k是任意整数。
如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。
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圆 圆心为( r, 0),半径为r 2rcos ⑩__x_2___2_rx___y_2___0
圆心(r, ),半径为r
2
x2 y2 2ry 0
⑪______2_r_s_i_n_
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
例1.已知A、B两点的极坐标分别为( 3, 4 )、(5, 5 ),
2
线的极坐标方程是____s_in______2__.
如图,设P(, )为直线上任意一点，
在Rt△OMP中，cos( ) 2,即sin 2.
2
极坐标系及简单 的极坐标方程
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4.极坐标方程为 2cos的圆的半径是______1_______.
极坐标系及简单 的极坐标方程
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5.极坐标方程分别是 cos 和 sin的
2 两个圆的圆心距是___2___.
cos是圆心为( 1 , 0)，半径为 1 的圆；
2
2
sin是圆心为( 1 , )，半径为 1 的圆，
22
2
故两圆的圆心距为 2 . 2
极坐标系及简单 的极坐标方程
复习目标
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进 行极坐标与直角坐标ຫໍສະໝຸດ 互化，掌握直线与圆的 极坐标方程.
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
1.已知点M , ，则M点关于极点对称的点N的极坐标是（A ）
A. （, ） B（. , ） C（. , ） D（. , 2 ）
7
5
,
63 6
所以 AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB •cosAOB
34 15 3,
所以 AB 34 15 3,
S△AOB
1 2
A
B
•sinAOB
1 35sin 5
2
6
15 . 4
有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求 解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若
④y__=__x_ta_n___
不过极点,和极轴所成的 ⑤ sin( ) xsin ycos
直 角为,到极点的距离为p ____p_____
p
线
平行于极轴，到极轴的距 ⑥__si_n___b_
离为b
y=b
垂直于极轴，和极轴的距 离为a
cos a
⑦__x_=__a__
过点(1,1)，和极轴所成 的角为
⑧ 1 sin( )
__s_i_n_(__1____ )
y 1sin1 tan(x 1cos1)
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3.直线与圆的极坐标方程 曲线
曲线
位置
极坐标方程 直角坐标方程
圆心在极点，半径为r ⑨______r__ x2 y2 r 2
例2.化下列直角坐标方程为极坐标方程. (1)x2 y2 2ax 0; (2)x + y 0; (3)x2 y2 2x.
由
2
3
0, 得
2
2k
0,
解得k
1, 所以
3
2
5
,
3
3
所以满足条件的点A的极坐标为(5,
5
).
②当
0时，点A(5，
3 )的极坐标的一般形式是
(
5，
(2k
1)
3
)k
Z.
由2
3
4
, 得2
2k
4
,
解得k 1,
所以
3
10
3 ,
3
3
故满足条件的点A的极坐标为(
5,
10
).
3
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
0，则 0，且点M , 与P , 关于极点对称.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
变式.(1)点(5， )在条件：
3
① 0, (2 , 0)下的极坐标是_______; ② 0, (2 , 4 )下的极坐标是______.
极的坐极标坐系标及方简①程单当(5,课前02时演k练，)(知点k识A要(Z5)点，. 3典)的例精极讲坐方标法的提一炼般走形进高式考为风向标
3
6
求 AB 和△AOB的面积(其中点O为极点).
极坐标系及简单在△课AO前B演中练，知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标
的极坐标方程
因为A、B两点的坐标分别为(
3，4
)、(5,
5
),
则A、B两点的坐标可化为(3, ), (5, 7 ), 3
6
36 因而OA、OB两边长分别为3、5，夹角AOB
2.坐标之间互化
(1)极坐标M
(
,
)化为平面直角坐标M
(
x,
y)
x_____c_o_s___ y_____s_i_n___
(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 , , z 之间的
x cos 变换公式为： y sin
z = z
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系
及空间直角坐标系的一部分建立起来的.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
1.坐标系的类型
(1)直线上的点的坐标; (2)平面直角坐标系；
(3)__极__坐___标___系；
(4)柱坐标系； (5)球坐标系.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
(3)空间点P的直角坐标 x, y,z 与球坐标r,, 之间的变
x rsincos 换关系为 y rsinsin
z rcos
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
3.直线与圆的极坐标方程
曲线
位置
极坐标方程 直角坐标方程
过极点，并且与极轴所
成的角为
(2)点P( 1 , 4 )与曲线C : sin 的关系是_____.
23
2
因为点P( 1 , 4 )与点P(1 , )是同一点，
23
23
且sin 3 sin 1 ,
2
62
所以点P在曲线C : sin 上，
2
故点P( 1 , 4 )在曲线C : sin 上.
23
2
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
2.已知点M的直角坐标为（2, 2），则其极坐标是（ B ）
A（. 2 2, ）
4
B（. 2 2, ）
4
C（. 2 2, 5 ）
4
D（. 2 2, 3 ）
4
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
3.在极坐标系中，过点M (2, )，且平行于于极轴的直