《运筹学》课后习题答案 第2章 对偶原理与灵敏度分析
运筹学 第2章对偶问题与灵敏度分析
可得到
(2) (2) 1 0 a13 a1 m (2) (2) 0 1 a23 a2 m E2 E1 A 0 0 a( 2 ) a( 2 ) m3 mm
14
重复以上的步骤，直到获得
1 1 Em E2 E1 A I 1
18
（4）基变换计算 将新的基 P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算：
1 / 2 2 1 / 2 1 P2 0 1 0 ；构造E1 1 0 4 1/ 4 1 / 4 主元素
换入变量
22
确定换出变量
B11b i 1 min B P 0 1 1 1 B P 1 1 i 2 16 3 min , , 2 对应x3 1 4 0
23
由此得到新的基
B2 P 1, P 4, P 2 1 1 B1 P 1 4 0 1 1 0 0 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1/ 2 1 1 B2 E2 B1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 1 0 1/ 2 4 1 2 0 0 1/ 4
1 0 1 / 2 1 0 0, 0 ( 2 ,0,3 ) 4 1 3 0 0 0 0 1 / 4 0 1 2 , 1 / 4 对应 x3 , x5
正检验数 换入变量
27
确定换出变量
1 B2 b i 1 m in B 1P B2 P5 0 2 5 i 2 8 3 m in , , 4 对应x4 1/ 2 2 1/ 4
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学(第二版)课后答案
４０５
附录四习题参考答案
CB -M 0 -M σj -M 5 -M σj 1 0 -M σj
XB X6 X5 X7 X6 X2 X7 X3 X2 X7
4 X1 3 2 1 4+4M -1 2 -1 4-2M -1 2 -2 5-2M
5 X2 2 1 1 5+3M 0 1 0 0 0 1 0 0
（1） 、 （2）答案如下表所示，其中打三角符号的是基本可行解，打星 号的为最优解：
４０２
附录四习题参考答案
x1 x2 x3 x4 x5 z x1 x2 x3 △ 0 0 4 12 18 0 0 0 0 △ 4 0 0 12 6 12 3 0 0 6 0 -2 12 0 18 0 0 1 △ 4 3 0 6 0 27 -9/2 0 5/2 △ 0 6 4 0 6 30 0 5/2 0 *△ 2 6 2 0 0 36 0 3/2 1 4 6 0 0 -6 42 3 5/2 0 0 9 4 -6 0 45 0 0 5/2 1.3 (1)解：单纯形法 首先，将问题化为标准型。加松弛变量 x3，x4，得
1 0 1 0 0 （P 1，P 2，P 3，P 4，P 5）即 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1 x1 x3 4 1 0 1 0 2 0 线性独立，故有 2 x 2 12 x 4 因（P 1，P 2，P 3） 3x 2 x 18 x 2 5 3 2 0 1 x1 x3 4 令非基变量 x4 , x5 0 得 2 x 2 12 → 3x 2 x 18 2 1
12400120300175max547543216543215443217654321?jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxzj第二章对偶理论和灵敏度分析21对偶问题为1????????????????02211042010min2121212121yyyyyyyystyys2????????????????????????无约束32131321213213210013312245minyyyyyyyyyyyyystyyys3???????????????????????????无约束32132132132131321001373323232253minyyyyyyyyyyyyyystyyys4?????????????????????????无约束3213213213213210071036655552015maxyyyyyyyyyyyystyyys附录四习题参考答案410221因为对偶变量ycbb1第k个约束条件乘上0即b1的k列将为变化前的1由此对偶问题变化后的解y1y2
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
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一、选择题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
二、判断题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
三、写出下列线性规划问题的对偶问题
123
12312
3123123(1)2242352
373..465,,0
Min Z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩ 对偶问题：123
12312
3123123()235232342..57640,,0
a MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩
123
1232313132(2)2433212
210..215,0,0
Max Z x x x x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪+≥⎪⎨
-=⎪⎪≥≤⎩ 对偶问题：123
1231
23123123()121015023204..2230,0,b MinW y y y y y y y y y s t y y y y y y free
=++++≥⎧⎪-+≥⎪⎨+-≥⎪⎪≥≤⎩
12312312312123(3)2323253..100,0,Max Z x x x x x x x x x s t x x x x x free
=+-+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨
+=⎪⎪≥≤⎩ 对偶问题：123
123123123123()253102
21..3030,0,c MinW y y y y y y y y y s t y y y y y y free
=++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨
-+⋅=⎪⎪≥≤⎩
123132312123(4)23332210..280,,0Min Z x x x x x x x s t x x x x free x =+-+≥⎧⎪+≤⎪⎨+=⎪⎪≤≥⎩ 对偶问题：123
123123123123()3108021
022..32030,0,d MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y free
=+++⋅+≥⎧⎪⋅++=⎪⎨
++⋅≤-⎪⎪≥≤⎩
四、应用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
12121212
(1)24..75,0Min Z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩
标准型：
'12
12312412
24..75,0Max Z x x x x x s t x x x x x =----+=-⎧⎪--+=-⎨⎪≥⎩
X*=(23/13, 6/13, 0, 0)T , Z ’max=-29/13 原问题X*=(23/13, 6/13, 0, 0)T , Zmin=29/13.
12312312
3123123(2)42245363..5212,010,Min Z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪-
+≥
⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩ 标准型： 123
123412351236123456'42245363..5212,,10,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =------+=⎧⎪-+-+=-⎪⎨
----+=-⎪⎪≥⎩
237/23)T , Zmin=226/23.
3. 123123123
1232242352373..4650,1,2,3
j Max Z x x x x x x x x x s t x x x x j =---++≥⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥=⎩
解：
1231231231232242352373..4650,1,2,3
j Max Z x x x x x x x x x s t x x x x j =---++≥⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥=⎩
标准型：123
12341235
12362242352
373
..4650,1,2,3,4,5,6
j Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =---++-=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪≥=⎩
*max
(0,,0,0,,)3333
T X Z ==-
五、应用对偶理论证明如下线性规划问题有可行解，但无最优解
六、灵敏度分析题
1. 解：依题意知，*
811
(,
,0,0)99
T =X ，max
103Z =，1
51991299B -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
，2115B ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
(1,2,0,0)=C ，(3,7)T =b ，3411
;33
σσ=-=-
（1）若目标函数122Z x x =+变为1235Z x x =+，则
511099(0,0)(3,5)120199⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
- ⎪⎝⎭-1
N N B σC -C B N ＝107(,)99-- 因此，最优解不变，但最优值变为max 79Z =。
（2）当(3,7)T =b 变为(8,11)T =b 时，'512989990121114999⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪⎛⎫===≥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-1
b B b 因此，最优解结构不变，数值变为*2914(
,,0,0)99T =X ，max 5719
93
Z ==。
（3）新产品C 3=1,3(1,3)T P =,则在系数矩阵中要增加一列，对应决策变量3x
1
333B c C B P σ-=-5111991(1,2)0123399⎛⎫- ⎪⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
- ⎪⎝⎭
所以最优解和最优值不变，该产品不宜生产。
（4）若产品1的消耗系数由1(2,1)T P =变为1
(1,2)T
P =则 1
111B c C B P σ-=-511991(1,2)012299⎛⎫- ⎪⎛⎫=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭
N N =--1
B σ
C C B N 51101199(0,0)(1,2)(,)12013399⎛⎫- ⎪⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
- ⎪⎝⎭ 故最优解改变，但最优值没变，产品结构无变化。
2. 解：设甲、乙两种产品的产量分别为1x 和2x 件。
原料A 消耗花费的钱：12(24)1x x +⨯ （元）。
原料B 消耗花费的钱：12(32)2x x +⨯ （元） 产品销售收益：121316x x +
扣除成本后的利润：1212121316(24)2(32)Z x x x x x x =+-+-⨯+
（1）利润最大化模型为：
12
1212125824160
.32180,0
Max Z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
解得：最优解*(50,15,0,0)T =X ，最优值max 370Z =（元）。
（2）从最优表中可知，原料A 的影子价格为*
13 1.75y σ=-=（7/4），原料B 的影子价格为*
240.5y σ=-=（1/2），显然原料A 更珍贵。
（3）若市场上有A 原料出售，企业应该购入以扩大生产。
假设在保持最优解不
变的前提下，最多购入Q （kg ）。
（请注意这里的逆矩阵先写第二行再第一行）
1
111604203118084Q -⎛⎫
- ⎪+⎛⎫==≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪
⎝⎭B X B b
15004
31508Q Q ⎧
-≥⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩
200Q ≤ 所以在保持最优解不变的前提下，最多只能再购入200kg 。
此时最优解为：*(0,90,0,0)T =X ，最优值max 720Z =（元）。
可增加利润350=(720-370)元。
（4）若乙产品价格可达到20元／件，此时原线性规划模型中产品乙的价值系数变成C2＝12。
111042(0,0)(5,12)310184⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪
⎝⎭-1
N N B σC -C B N ＝133(,)42-，40σ∴>， 选4x 进基，继续迭代，求出最优解和最优值。
此时最优解为：*(0,40,0,100)T =X ，最优值max 480Z =（元）。
（5）若新产品丙可投入开发，设其在模型中的价值系数为C3。
1
333B c C B P σ-=-113423(5,8)031484c ⎛⎫
- ⎪⎛⎫=-≥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭
3297.254c ≥
= 同时，一单位丙的原料成本为3*1+4*2=11元，所以产品丙的价格至少应为7.25+11=18.25元。
七、研究讨论题。