对偶与灵敏度分析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
运筹学对偶理论与灵敏度分析
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
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运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
第三章-对偶理论及灵敏度分析3课件
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
一、对偶问题的提出
对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
题
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
第三章 对偶理论及灵敏度分析
3.1.1 线性规划对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 3.1.3 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 3.2.1 灵敏度问题及其图解法 3.2.2 灵敏度分析 3.2.3 参数线性规划
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
3.1.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
下页
(Y1,Y2
)
A A
C
返回
Y1 0 ,Y2 0
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
对 偶 问
(mY1inwY2 )(YA1YC2 )b
题
Y1 0, Y2 0
令 YY1 ，Y 得2对偶问题为：
上页
下页
maYxA
w C
Yb
返回
Y无约束
证毕。
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
三、原问题与对偶问题的对应关系
设备B –––– 元／y时2
问 题
调试工序 –––– 元y／3时
付出的代价最小，
且对方能接受。
上页
下页
出让代价应不低于
返回
用同等数量的资源
收
运筹学第二章第6讲
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
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§2 对偶与灵敏度分析§2.1 LP 的对偶问题无论从理论和实践角度，对偶理论是LP 中的一个最重要和有趣的概念，支持对偶理论的基本思想是：每一个LP 问题都存在一个与其对偶的问题，在求解一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。
一、问题的提出例2.1：设某工厂生产两种产品甲乙，生产过程需要4种设备ABCD 进行加工，每件产品加工所需机时数，每件产品的利润值及每种设备的可利用机时如下表：1.问：充分利用设备时，应怎样安排甲乙产品的生产数量，利润才能最大？2.问：如有另外一家公司想租用该厂设备加工生产，那么，这家公司应至少对每台设备的机时价格为多少时，才能使该厂愿意出租设备？ 解：1.设甲乙产品各生产1x 2x 件LP1：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,16482122232211212121x x x x x x x x x MaxZ 2.设每台设备的机时最低价分别为：1y ，2y ，3y ，4yLP2：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++++=4,3,2,1,0342224212168124213214321i y y y y y y y y y y y MinZ i二、原问题和对偶问题之间的关系： 1.对称形式下的原问题与对偶问题对称形式下原问题的一般式： 矩阵形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤++++++=n j x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c MaxZ j mn mn m m n n n n nn .......21,0 (221)122222121112121112211⎩⎨⎧≥≤=0X b AX CX Max 若用i y 代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥++++++=m j y cy a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y b y b y b MinZ j nm mn n n m mn m m mm .......21,0 (221)122222112112211112211⎩⎨⎧≥≥=0Y C Y A Yb Min T T ω 2.非对称形式下原问题与对偶问题：方法一：将非对称形式转化为对称形式，求出对偶问题，然后再还原。
例2.2写出下列LP 问题的对偶问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤+--≥-++=--+-+++=无约束43214321432143214321,0,0,)3.........(..........2099912)2..(....................85376)1.....(....................53432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x MaxZ 为写出基对偶问题，先将其转化为对称形式，再进行变化：因目标函数为Max ，故约束条件全部转化为“0≤”，所有变量均应为“0≥”。
将（1）式变为：535343214321≤--+-≥--+-x x x x x x x x 和。
再将535343214321-≤-+-≥--+-x x x x x x x x 转化为将（2）式两端同乘以“-1”，并令：0,,;0,''4'4''4'44'33'3≥-=≥∴-=x x x x x x x x 其中得：855376''4'4'321-≤-++--x x x x x所以，例2.2可以变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-++--≤-++---≤-+--≤+-++--+-+=0,,,,20999912855376533533)(432''4'4'321''4'4'321''4'4'321''4'4'321''4'4'321''4'4'321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x MaxZ 令对应上述四个约束条件的对偶变量为3'2''1'1,,,y y y y ，则其对偶问题为： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+++--≥++-≥---≥+-+-+--=0,,,4953349533393297112'6208553'2''1'13'2''1'13'2''1'13'2''1'13'2''1'132''1'13'2''1'1y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Min ω令'22''1'11,y y y y y -=-=，将第4与第5个不等式合并，将第三个不等式两端同乘以“-1”得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤=+--≤-+-≥-+≥++-++=0,0,495339329711262085321321321321321321y y y y y y y y y y y y y y y y y y Min 无约束ω 由以上的推导可以发现有以下规律：方法二：根据原问题与对偶问题之间的关系，可将其归纳如下表：§2.2 对偶问题的基本性质一、单纯形法计算的矩阵描述设线性规划问题的矩阵表达式为：⎩⎨⎧≥≤=0X bAX CXMaxZ ，加上松弛变量s X 后为：⎩⎨⎧≥≥=++=0,00s s s X X b IX AX X CX MaxZ 式中：单位矩阵为m m I x x x X m n n n s ⨯=+++,),......,(21。
单纯形法计算时，总选取为初始基I ，对应基变量为s X 。
设迭代若干步后，基变量为B X ，B X 在初始单纯形表中的系数矩阵为B 。
将B 在初始单纯形表中单独列出，而A 中去掉B 的若干列后组成矩阵N ，同时将C 也分为两块),(N B C C ，B C 是目标函数中基变量B X 的系数行向量；N C 是目标函数中非基变量N X 的系数行向量。
这样LP 的初始单纯形表可列成如下形式：于是原LP 问题可以改写为：⎩⎨⎧≥=++++=0,,0s N B s N B sN N B B X X X bIX NX BX X X C X C MaxZ 将约束条件移项并左乘1-B 后得到B X 的表达式：s N B IX B NX B b B X 111-----=代入目标函数得：s B N B N B X B C X N B C C b B C Z 111)(-----+= 所以，经过迭代之后，得出新的单纯形表为：当为最优基时，在上述单纯形表中有：01≤--N B C C B N ，01≤--B C B 而B X 的检验数可以写为：0=-I C C B B 因此有：01≤--A B C C B ，01≤--B C B称1-B C B 为单纯形乘子，若令1-=B C Y B T则有：⎩⎨⎧≥≥0Y C Y A TT可以发现这时检验数行，若取其相反数恰好是其对偶问题的一个可行解。
将这个解代入对偶问题的目标函数值，有：Z b B C b Y B T ===-1ω即：当原问题为最优解时，这时对偶问题为可行解，且两者具有相同的目标函数值。
（其实，这时对偶问题的解也为最优解。
）二、本节讨论先假定原问题和对偶问题为对称形式的LP ，即原问题为：⎩⎨⎧≥≤=0X b AX CX MaxZ 其对偶问题为：⎩⎨⎧≥≥=0Y C Y A YbMin T T ω然后说明对偶问题的基本性质在非对称形式也适用。
1.对称性：对偶问题的对偶是原问题。
证明：原问题与其对偶问题分别为：⎩⎨⎧≥≤=0X b AX CX Max 与⎩⎨⎧≥≥=0Y C Y A Yb Min T T ω2.弱对偶性：若X 是原问题可行解，Y 是对偶问题的可行解，则存在b Y X C ≤。
证明：设原问题为：0≥≤=X bAX CX Max原问题的对偶问题为：0≥≥=Y C Y A Yb Min TT ω3.无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题为无可行解。
证明：由弱对偶性可得，本性质成立。
4.可行解是最优解时的性质：若X 是原问题可行解，Y 是对偶问题的可行解，当b Y X C =时，X 与Y 是原问题与对偶问题的最优解。
证明：5.对偶定理：若原问题有最优解，那么其对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。
6.互补松弛性：若X 是原问题可行解，Y 是对偶问题的可行解，那么00==X Y X Y s s 和，当且仅当为X ，Y 最优解。
（在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量值一定为零。
）0,01==∑=si i nj j ij i x b x a y 则有 若 ；00,1=∑=i si i nj j ij y x b x a 则有 若 。
将互补松弛性质应用于其对偶问题时可以这样叙述：j mi i ij j c y a x =∑=1,0则有 若 ；0,1=∑=j j mi i ij x c y a 则有 若 。
由互补松弛定理可知：若原问题最优解中的第j个变量为正，则其对偶问题中与之对应的第j个约束条件在最优情况下必呈严格等式（即其松弛变量为0）；而如果对偶问题中第j个约束条件在最优情况下呈严格不等式，则原问题最优解中第j个变量必为0。
类似地，若对偶问题最优解中第i个对偶变量为正，则其原问题中与之对应的第i个约束条件在最优情况下必呈严格等式（即其剩余变量为0）；而如果原问题中第i个约束条件在最优情况下呈严格不等式，则对偶问题最优解中第i个对偶变量必为0。
互补松弛定量阐明了原问题及其对偶问题最优解各分量之间的关系，当已知一对对偶问题之一的最优解时，可利用该定量求出另一个问题的最优解。
7.设原问题是：0,≥=+=s s X X bX AX CX Max对偶问题为：0,≥=-=s s Y Y CY YA YbMin ω则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系如下表所示：这里1S Y 是对应原问题中B X 基变量的剩余变量，2S Y 是对应原问题中非基变量N X 的剩余变量。