对偶理论与灵敏度分析练习题答案
运筹学第三章 对偶问题和灵敏度分析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij mi ijnj ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij nj i j ij nj jj 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
运筹学对偶理论与灵敏度分析作业
作业：问题1：书本P71第7题1、设x1 、x2 、x3分别为A产量，B产量，C产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3约束条件：+3x2 + 5x3<=456x3x1 +4x2 +5x3<=30x1 、x2 、x3>02、A的利润在3~6之间，最优计划不变。
3、设x1 、x2 、x3、x4 分别为A产量，B产量，C产量，D产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3+2.5x4约束条件：+3x2 + 5x3+3x4<=456x3x1 +4x2 +5x3+2x4<=30x1 、x2 、x3、x4>0利润从35增加到37.5，值得生产。
4、见Excel问题2：某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示：（1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？设x1 、x2 、x3分别为甲产量，乙产量，丙产量目标函数：Z=3 x1 +2x2 +x3约束条件：+2x2 + 1x3<=400x2x1 +1x2 +2x3<=500x1 、x2 、x3>0最优解甲产量乙产量丙产量200 100 0总产值最大800（2）200个甲产品在A设备上加工1小时，B设备上加工2小时。
100个乙产品在A设备上加工2小时，B设备上加工1小时。
丙产品不生产。
使得总产值最大为80万。
（3）试分别确定甲产品单位产值、B设备供量各自的影响范围。
甲产品的范围是198~201。
B设备供量的范围是200~800。
（4）若每月能以39万元租金租用外厂B设备300台时，则应否租用？为什么？原来的产值为80万，租用外厂之后的产值为120万，则产值增加了40万，而租金要39万，则增加的产值足够支付租金，最后剩余1万，说明能租用。
（5）若每月A设备提供量减少200台时，B设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？最优解是600影子价格：A设备从0.333~3 ；B设备从1.333~0。
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源一定还有剩余。
8．对于来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加个单位，相应的目标函数值增加。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，且所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题（1）（2）；；（3）（4）；；（5）（6）；。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（1）（2）；；（３）（４）；；五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时与的变化范围。
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第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案
1．判断下列说法是否正确：
(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；()
(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；()
(3) 设j ˆ
x ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*
j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m
**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；()
(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；()
(5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；()
(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；()
(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；()
(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；()
(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；()
(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。
()
2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。
要求：(1)
(3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。
(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
答案：
(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。
由题意已知原线性规划问题目标函数为Max （因σj ≤0为最优），且c 4、c 5为0（松弛变量目标函数系数为0）。
根据1j j B j c C B P σ-=-知：23131111c c c 422110c c 42610c 23⎧⎛⎫-⋅-⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⋅-⋅=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎩
，得：123c 6c 2c 10=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 根据()511222
151112632010B A|b 10-⎛⎫= ⎪--⎝⎭，得：()012105A|b 3110110⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 则原线性规划问题的数学模型为： 123
23123123MaxZ 6x 2x 10x x 2x 53x x x 10
s.t.x ,x ,x 0=-++≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩ 其对偶问题的数学模型为：
122121212Min 5y 10y 3y 6y y 2s.t.2y y 10
y ,y 0
ω=+≥⎧⎪-≥-⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩ (2)直接由表写出对偶问题得最优解为：()*Y 4,2=
(3)令原解()()-1i B i i i x X B b b ===，得b r 的变化范围为：
{}{}i ir ir r i ir ir i i Max b /a |a 0b Min b /a |a 0∆->≤≤-<，其中：()1ir ir
a B -=。
则： {}{()}15151Max
b Min 2226
∆-÷≤≤-÷-，即15b 15∆-≤≤，则10b 20≤≤ (4)以单价购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即<4），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。