3第三章 对偶理论和灵敏度分析(第6节)
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大纲解读第三章对偶问题与灵敏度分析
问题有最优解则原（对偶）问题也有最优解，且它 们的目标函数值相等，（5）互补松弛性定理。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
运筹学 03 对偶理论及灵敏度分析
目标函数取值 变量 目标函数系数 常数 约束条件系数 变量 - 约束 约束 - 变量
例2：将下述线性规划作为原问题，请转换为 对偶问题 max z=5x1+3x2+2x3+4x4 5x1+x2+x3+8x4≤8 2x1+4x2+3x3+2x4=10 x1≥0,x2≥0,x3任意,x4任意
1 对偶理论
对偶问题的提出 原问题与对偶问题的数学模型 原问题与对偶问题的对应关系 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法
对偶问题的提出
例1：某厂利用现有资源(设备A、设备B、 调试工序)生产两种产品(产品Ⅰ、产品Ⅱ)，有 关数据如下表。问如何安排生产，使厂家利润 最大？ 产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限量 0 5 15 6 2 24 1 1 5 2 1
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
原问题与对偶问题的数学模型
原问题 max z=2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+x2≤5 x1,x2≥0 互为对偶问题 厂 家 对偶问题 min w=15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1,y2,y3≥0
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶理论及灵敏度分析
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1 1 2
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束 •价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0
y2≥0
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
max Z CX
对 偶 问 题 的 定 义
AX b s.t. X 0
minW b Y
T
T
T T T A Y C s.t. T Y 0
或 min Yb
YA C s.t. Y 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0
对偶理论与灵敏度分析
1 0 1 / 2 1 0
N 2 (2，0) (0，0，3) 0 1 0 / 4 0 (2， 3 / 4)
0 0 1 / 4 0 1
换入换变入量变x1量 x2
1 B21 (bB，11P(1b)， P200)
10 0
1 0 0
01 / 10
200181686
10/ 4 11122
设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：
max z CB X B C N X N 0X S BX B NX N IX s b XB 0 XN 0 Xs 0
max z C B X B C N X N X B B 1 NX N B 1 X s B 1b XB 0 XN 0 Xs 0
ω^ =Y^AX^+Y^XS 当Y^Xs=0，Ys X^=0时z ^=ω^，则X，Y^是最优解。 当 X，Y^是最优解时 z ^= ω^，则Y^Xs=0，Ys X^=0 19
例：已知线性规划问题
min z
2 x1
3 x2
5 x3
2 x4
3
xX5
* 1
(1,0,0,0,1)T
y1 y2
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 x46 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x7
max z CX
Y # AX # b
X #0
对偶问题（原问题）
min Yb
X # YA# C Y #0
例：min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
y1 x1 x2 3 x3 x4 5
y2
2
x1
2x3 x4 4
y3
x2 x3 x4 6
x1 0，x2，x3 ，x4无 约 束
3对偶问题与灵敏度分析解析
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
影子价格非资源的市场价格，而是指系统达到 最优状态时，资源的单位变化引起目标最优值的变化
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。 它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶 问题的单纯形法。
由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我 们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
影子价格非资源的市场价格，而是指系统达到 最优状态时，资源的单位变化引起目标最优值的变化
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。 它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶 问题的单纯形法。
由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我 们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题与灵敏度分析
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
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cm +1 − zm +1
… … … … … … … …
ck xk a1k … alk … amk
ck − zk
… … … … … … … …
cn xn a1n … aln … amn
cn − zn
第24页 页
1. 换出变量的确定 为了使原问题的解在迭代过程中由不可行变为可行 ， 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量，因 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量， 为它是造成原问题不可行的根本原因。 为它是造成原问题不可行的根本原因。 总存在 小于 0 的 b’i ， min{ bi′ bi′ < 0} = bl′ 为换出变量。 令其对应的变量 xl 为换出变量。
* * * y 1 = 1 .5 , y 2 = 0 .125 , y 3 = 0 由原问题最优单纯形表可知： 由原问题最优单纯形表可知：
第3页 页
* 其它条件不变的情况下： y 1 = 1 .5 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 设备增 ） （1）
加一台时， 加一台时 ， 该厂按最优计划生产 可多获利 1.5 元。 x2
第15页 页
原问题变量 cj CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 c j– z j b 2 16 3 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 θi x5 -1/2 0 1/4 -3/4 2 4 -
1 3 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = 0 , 0 , 4 4 0 页 第16页
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14
x2
4x1=16 x1+2x2=9 4x2=12 (4, 2.5) x1
* * x1 = 4, x2 = 2.5, z * = 15.5
第4页 页
* 其它条件不变的情况下： y 2 = 0 .125 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （2） ）
对偶单纯形法：迭代过程中， 对偶单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持对偶问题 可行，原问题逐步由不可行变为可行。 可行，原问题逐步由不可行变为可行。
第23页 页
二 、 对偶单纯形法中换入变量和换出变量 的确定
cj CB c1 … cl … cm XB x1 … xl … xm c j– z j b b’1 … b’l … b’m c1 x1 1 … 0 … 0 0 … … … … … … … … cl xl 0 … 1 … 0 0 … … … … … … … … cm xm 0 … 0 … 1 0 cm+1 xm+1 a1,m+1 … al,m+1 … am,m+1
第18页 页
现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 =
第七节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的求解思路
1. 单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中一直为非负： 中一直为非负 ： 从而确保原问题每次迭代得到的 新基解都是可行解。 新基解都是可行解。
第13页 页
例：
max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2 x2 ≤ 8 ≤ 16 4 x1 4 x 2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
s .t .
max z = 2x1 + 3x2
= 8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 16 4 x1 4 x2 + x 5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14第6页 页=* 4, x 2
= 2, z = 14
*
y i* 是一种机会成本 2. 影子价格
种资源的市场价格低于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格低于影子价格时： 企业自己进行生产。 企业自己进行生产。
种资源的市场价格高于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格高于影子价格时： 企业将已有资源卖出。 企业将已有资源卖出。
第19页 页
（ 2） 单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中逐 ） 步满足全部非正： 步满足全部非正：从而确保对偶问题的解随着迭代过 程由不可行逐渐变为可行。 程由不可行逐渐变为可行。 当由单纯形表的检验数行所得出的对偶问题的基解也 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。
第21页 页
当由单纯形表的右端常数列所得出的原问题的基
解也是可行解时， 原始问题和对偶问题同时达到 解也是可行解时 ，
最优。 最优。
第22页 页
单纯形法： 迭代过程中， 一直保持原问题可行， 单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持原问题可行 ， 对偶问题逐步由不可行变为可行。 对偶问题逐步由不可行变为可行。
第7页 页
3. 资源 i 的市场价格是已知数，而它的影子价格则 的市场价格是已知数， 的利用情况，为未知数。 有赖于资源 i 的利用情况，为未知数。 因企业生产任务、产品结构发生变化， 因企业生产任务、产品结构发生变化，资源的影子 价格也随之改变。 价格也随之改变。 例如： 例如： 种产品， 种产品， 企业原来只生产 2 种产品，现在生产 3 种产品，其 它条件不变。 它条件不变。
i =1
m
第 j 种产品的产值
第12页 页
种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 > 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品有利。 种产品有利。—— 检验数大于 0 。 种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 < 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品无利。 种产品无利。—— 检验数小于 0。 。 为产品定价时， 为产品定价时 ， 产品的价格要大于该产品的隐含 成本。 成本。
第14页 页
s .t .
原问题变量 cj CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 c j– z j b 8 16 12 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θi 4 3
1 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = (0 , 0 , 0 ) 4 0
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2. 换入变量的确定 （1）确保换入的变量取值不再为负数 ） 为换入变量， 设 xk 为换入变量，则需要以 al k 为枢轴元素进行旋 转运算，从而得到新的基解。 转运算，从而得到新的基解。
第5页 页
* 其它条件不变的情况下： y 3 = 0 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （3） ）
B 增加 1kg 时，该厂按最优计划 生产可多获利 0 元。 x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* x1
x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=13 (4,2) x1
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2. 对偶单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中 ） 一直为非正： 一直为非正 ： 从而确保每次迭代得到的对偶问题 的新基解都是可行解。 的新基解都是可行解。 （2）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中逐步满足全部非负： 中逐步满足全部非负 ： 从而确保原问题的解随着 迭代过程由不可行变为可行。 迭代过程由不可行变为可行。
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问题 1
max z = 2 x 1 + 3 x 2 x1 + 4 x1 + x1 , x 2 2 x2 4 x2 ≥ 0 ≤ ≤ ≤ 8 16 12
问题 2
max z′ = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 2 x2 + x3 x1 + 4x + x3 1 4 x2 + x3 x1 , x2 , x3 ≥ 0 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
的对偶问题： 问题 1 的对偶问题： 的对偶问题： 问题 2 的对偶问题： 二者不相等。 二者不相等。
(y
* 1
* y2
* y3
) )
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(y
* 1
* y2
* y3
4. 在最优生产计划下： 在最优生产计划下： 如果第 i 种资源未被用完，则表明该资源的影子价 种资源未被用完， 格为 0 ； 如果第 i 种资源的影子价格不为 0 ，则表明该资源 在生产中被完全用完。 在生产中被完全用完。 由互补松弛性质可知
第六节 对偶问题的经济解释
原问题
max z = CX s.t . AX ≤ b X ≥0
对偶问题
min ω = Yb s.t . YA ≥ C Y ≥0
z* = ω * =
∑
j =1
m
c j x* = j
∑
i =1
m
bi y i*
y
* i
∂z* = ∂bi
第1页 页
的最优解的经济意义是： 对偶问题 yi* 的最优解的经济意义是 ： 在其它条件 不变的情况下， 不变的情况下，单位资源 i 变化所引起的目标函数 的变化。 最优值 z* 的变化。 即，在资源最优利用的条件下，对第 i 种资源的估 在资源最优利用的条件下， 因为这种估价不是资源的市场价格， 价。因为这种估价不是资源的市场价格，而是根据 资源在生产中作出的贡献而作出的估价， 资源在生产中作出的贡献而作出的估价，为区别起 见，称为影子价格（shadow price）。 称为影子价格（ ）
第10页 页
… … … … … … … …
ck xk a1k … alk … amk
ck − zk
… … … … … … … …
cn xn a1n … aln … amn
cn − zn
第24页 页
1. 换出变量的确定 为了使原问题的解在迭代过程中由不可行变为可行 ， 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量，因 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量， 为它是造成原问题不可行的根本原因。 为它是造成原问题不可行的根本原因。 总存在 小于 0 的 b’i ， min{ bi′ bi′ < 0} = bl′ 为换出变量。 令其对应的变量 xl 为换出变量。
* * * y 1 = 1 .5 , y 2 = 0 .125 , y 3 = 0 由原问题最优单纯形表可知： 由原问题最优单纯形表可知：
第3页 页
* 其它条件不变的情况下： y 1 = 1 .5 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 设备增 ） （1）
加一台时， 加一台时 ， 该厂按最优计划生产 可多获利 1.5 元。 x2
第15页 页
原问题变量 cj CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 c j– z j b 2 16 3 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 θi x5 -1/2 0 1/4 -3/4 2 4 -
1 3 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = 0 , 0 , 4 4 0 页 第16页
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14
x2
4x1=16 x1+2x2=9 4x2=12 (4, 2.5) x1
* * x1 = 4, x2 = 2.5, z * = 15.5
第4页 页
* 其它条件不变的情况下： y 2 = 0 .125 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （2） ）
对偶单纯形法：迭代过程中， 对偶单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持对偶问题 可行，原问题逐步由不可行变为可行。 可行，原问题逐步由不可行变为可行。
第23页 页
二 、 对偶单纯形法中换入变量和换出变量 的确定
cj CB c1 … cl … cm XB x1 … xl … xm c j– z j b b’1 … b’l … b’m c1 x1 1 … 0 … 0 0 … … … … … … … … cl xl 0 … 1 … 0 0 … … … … … … … … cm xm 0 … 0 … 1 0 cm+1 xm+1 a1,m+1 … al,m+1 … am,m+1
第18页 页
现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 =
第七节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的求解思路
1. 单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中一直为非负： 中一直为非负 ： 从而确保原问题每次迭代得到的 新基解都是可行解。 新基解都是可行解。
第13页 页
例：
max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2 x2 ≤ 8 ≤ 16 4 x1 4 x 2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
s .t .
max z = 2x1 + 3x2
= 8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 16 4 x1 4 x2 + x 5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14第6页 页=* 4, x 2
= 2, z = 14
*
y i* 是一种机会成本 2. 影子价格
种资源的市场价格低于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格低于影子价格时： 企业自己进行生产。 企业自己进行生产。
种资源的市场价格高于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格高于影子价格时： 企业将已有资源卖出。 企业将已有资源卖出。
第19页 页
（ 2） 单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中逐 ） 步满足全部非正： 步满足全部非正：从而确保对偶问题的解随着迭代过 程由不可行逐渐变为可行。 程由不可行逐渐变为可行。 当由单纯形表的检验数行所得出的对偶问题的基解也 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。
第21页 页
当由单纯形表的右端常数列所得出的原问题的基
解也是可行解时， 原始问题和对偶问题同时达到 解也是可行解时 ，
最优。 最优。
第22页 页
单纯形法： 迭代过程中， 一直保持原问题可行， 单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持原问题可行 ， 对偶问题逐步由不可行变为可行。 对偶问题逐步由不可行变为可行。
第7页 页
3. 资源 i 的市场价格是已知数，而它的影子价格则 的市场价格是已知数， 的利用情况，为未知数。 有赖于资源 i 的利用情况，为未知数。 因企业生产任务、产品结构发生变化， 因企业生产任务、产品结构发生变化，资源的影子 价格也随之改变。 价格也随之改变。 例如： 例如： 种产品， 种产品， 企业原来只生产 2 种产品，现在生产 3 种产品，其 它条件不变。 它条件不变。
i =1
m
第 j 种产品的产值
第12页 页
种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 > 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品有利。 种产品有利。—— 检验数大于 0 。 种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 < 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品无利。 种产品无利。—— 检验数小于 0。 。 为产品定价时， 为产品定价时 ， 产品的价格要大于该产品的隐含 成本。 成本。
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s .t .
原问题变量 cj CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 c j– z j b 8 16 12 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θi 4 3
1 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = (0 , 0 , 0 ) 4 0
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2. 换入变量的确定 （1）确保换入的变量取值不再为负数 ） 为换入变量， 设 xk 为换入变量，则需要以 al k 为枢轴元素进行旋 转运算，从而得到新的基解。 转运算，从而得到新的基解。
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* 其它条件不变的情况下： y 3 = 0 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （3） ）
B 增加 1kg 时，该厂按最优计划 生产可多获利 0 元。 x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* x1
x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=13 (4,2) x1
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2. 对偶单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中 ） 一直为非正： 一直为非正 ： 从而确保每次迭代得到的对偶问题 的新基解都是可行解。 的新基解都是可行解。 （2）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中逐步满足全部非负： 中逐步满足全部非负 ： 从而确保原问题的解随着 迭代过程由不可行变为可行。 迭代过程由不可行变为可行。
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问题 1
max z = 2 x 1 + 3 x 2 x1 + 4 x1 + x1 , x 2 2 x2 4 x2 ≥ 0 ≤ ≤ ≤ 8 16 12
问题 2
max z′ = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 2 x2 + x3 x1 + 4x + x3 1 4 x2 + x3 x1 , x2 , x3 ≥ 0 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
的对偶问题： 问题 1 的对偶问题： 的对偶问题： 问题 2 的对偶问题： 二者不相等。 二者不相等。
(y
* 1
* y2
* y3
) )
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(y
* 1
* y2
* y3
4. 在最优生产计划下： 在最优生产计划下： 如果第 i 种资源未被用完，则表明该资源的影子价 种资源未被用完， 格为 0 ； 如果第 i 种资源的影子价格不为 0 ，则表明该资源 在生产中被完全用完。 在生产中被完全用完。 由互补松弛性质可知
第六节 对偶问题的经济解释
原问题
max z = CX s.t . AX ≤ b X ≥0
对偶问题
min ω = Yb s.t . YA ≥ C Y ≥0
z* = ω * =
∑
j =1
m
c j x* = j
∑
i =1
m
bi y i*
y
* i
∂z* = ∂bi
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的最优解的经济意义是： 对偶问题 yi* 的最优解的经济意义是 ： 在其它条件 不变的情况下， 不变的情况下，单位资源 i 变化所引起的目标函数 的变化。 最优值 z* 的变化。 即，在资源最优利用的条件下，对第 i 种资源的估 在资源最优利用的条件下， 因为这种估价不是资源的市场价格， 价。因为这种估价不是资源的市场价格，而是根据 资源在生产中作出的贡献而作出的估价， 资源在生产中作出的贡献而作出的估价，为区别起 见，称为影子价格（shadow price）。 称为影子价格（ ）
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