对偶理论与灵敏度分析1解析
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
定理4、最优性
若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。
最优性判别定理：
若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y*b，则 X*、Y*分别是问题 P和D 的最优解。
定理5、对偶性
若原问题有最优解,则对偶问题也一定有最优解，且目 标函数值相等。
例1、
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
（P）
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x14 0
试验证弱对偶性原理。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
解：
min W 20 y 1 20 y 2
（D）
y1 2 y2 1
2 2
2x1
+x3 3
x1- 2x2 + 3x3 4
x1，x2 0 ， x3 无非负限制
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
练习2、已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 x4、x5为松弛变量。试： （1）写出线性规划原问题。 （2）写出对偶问题。 （3）求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b x3 0 1/2 1 1/2 0 5/2 x1 1 -1/2 0 -1/6 1/3 5/2 δj 0 -4 0 -4 -2
试用对偶性质证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因此，对偶问题 不可行，由定理3推论可知，原问题无界。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
练习：试用对偶理论讨论下列原问题是否有最优解？
（1）
max Z 2 x1 2 x2
运筹学——线性规划的对偶理论与灵敏度分析
6
2021/7/26
原问题（LP）
对偶问题（DP）
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
22 2
2n n
2
s.t.
a x a x a x b
m1 1
m2
2
mn n
m
x
j
0,
(
j
1,
2,
, n)
1
2021/7/26
例2.1 资源的合理利用问题 某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，
已知资料如表2.1所示，问应如何安排生产计划使 得既能充分利用现有资源有使总利润最大？
表2.1
I
II
资源总量
原材料
2
3
24
工时
5
2
26
利润(元)
4
3
2
2021/7/26
假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品I、II的件数，其数 学模型为：
25
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26
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27
2021/7/26
例2.5 已知 min Z 3x1 2 2x3 5x4 9x5
x1
x2
2x3
5
x1 0, x2无约束, x3 0
11
2021/7/26
按照表2.2将线性规划问题化为对偶问题
minW 20y1 10y2 5y3
3y1 4 y2 y3 4
s.t.
2 y1 3y2 y3 5
y1
3y2
2
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
线性规划的对偶理论和灵敏度分析 常见疑问解
第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析常见疑问解答1、研究线性规划对偶问题的经济意义何在？因为线性规划往往解决原料、设备、资金、人力等资源的最优配置问题，因此了解资源在最优配置下所创造的（边际）价值即机会成本或机会收益对于成本分析、资源计划、投资计划等都有较重要的作用。
此外，对偶规划也常和对资源的灵敏度分析联系在一起，对于更好地在变化环境中配置资源有一定的指导意义。
2、已知原线性规划问题如何写出其对偶问题？（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题。
按下表可将其对偶问题写出。
（2）如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题。
按下表可将其对偶问题写出。
3、如何写出下述线性规划问题的对偶模型？min z=2x1+2x2+4x3x1+3x2+4x3≥22x1+x2+3x3≤3x1+4x2+3x3＝5x1≥0, x2≥0, x3无约束。
答：其对偶模型如下，max z=2y1+3y2+5y3y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3＝4y1≥0, y2≤0, y3无约束。
4、如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划的对偶问题的最优解？Max Z=c1x1＋c1x2＋…＋c n x na1x1＋a1x2＋…＋a n x n≤bx1, x2,…, x n≥0a i, c i, b>0, i=1, 2, …, n.答：利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下，Min f=bya1y≥c1a2y≥c2……a n y≥c ny≥0因为，y≥, i=1, 2, …, n. 所以，其对偶问题的最优解y*=.5、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，那么它的对偶问题中变量有何经济含义？原问题的模型形式如下。
其中，变量x j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的产量；c j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的单位利润；b i, i=1, 2,…, m, 是每种资源的总量，a ij表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i种资源的量，i=1, 2,…, m, j=1, 2,…, n.答：其对偶问题即有如下形式，对偶问题中的变量y k, k=1, 2,…, m, 可具有发现某种资源所创造的单位价值并对某种资源定价的经济含义。
对偶理论及灵敏度分析
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1 1 2
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束 •价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0
y2≥0
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问 题 的 导 出
工 时 材 料 单件利润
1
1 2
3
9
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
max Z CX
对 偶 问 题 的 定 义
AX b s.t. X 0
minW b Y
T
T
T T T A Y C s.t. T Y 0
或 min Yb
YA C s.t. Y 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
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小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质；2、 对偶单纯形法；3、 灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方 法。
要求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。
§ 1对偶问题的对称形式一、对偶问题弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设X i 、X 2分别为甲、乙两种产品的产量作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即:2力 4y 33将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为则目标函数maxz 二2x 「3x 2x 「2x 2 岂8i4x 1 - 16 i4x 2 兰12约束条件-x 1,x^ 0(1)不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料这时要考虑每种资源的定价问题，设A 、B 的附加额。
时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即:。
=8y 〔+ 16y 2 + 12y 3对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。
为此，得到如下模型：min =8y 1 16y 212y 3"+4丫2工 2< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3我们就称（2）为模型（1）的对偶问题。
对偶问题与灵敏度分析
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
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≤0 量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
15
[eg.5]min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4
x1 + x2 - 3x3 + x4 ≥ 5
( B 1b)i (B1Pk )i
(B1Pk )i
0
( B 1b)l (B1Pk )l
,
则l行对应的xl出基.
4.得到新的B, 求出此B的B 1.
重复2 ~ 4步直到求出结果.
6
单纯形法步骤
例:Max z=2 X1+ 3X2 + 0 x3+ 0 x4+ 0 x5
X1+ 2 X2 + X3 =8
min w = 3y1+4y2
2y1 + y2 ≥ 1 y1 +2y2 ≥ 2 3y1 +5y2 ≥ 4 y2 ≥ 0，y1无约束
一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量无约束。
13
3、含“≥”的max问题
[eg.4]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
0 X5 12 0
σj
2
0 X3 2 1 *
0 X4 16 4
3 X2 3 0
σj
2
2 X1 2 1
0 X4 8 0
3 X2 3 0
σj 0
3
0
X22
X13
0
0
4*
0
3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
01
0 -4 10
0
-2
0
0
X04
X05
1
0
4 -
0
1
3
0
0
0 -1/2 2
1
0
4
0 1/4 -
0 -3/4
0 -1/2
M2: min w = 8y1 + 16y2 + 12y3
Ⅰ
y1 + 4y2
≥ 2 设备台时 1
2y1
+ 4y3 ≥ 3
y1,y2,y3 ≥ 0
材料A 材料B 利润
4 0 2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
则M2为M1的对偶问题， M1 max z 2x1 3x2
反之亦然。
x1 2x2 8
x1,x2,x3 ≥ 0
-2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = -3y1’ + 4y2 -2y1’ + y2 ≥ 1 -y1’ + 2y2 ≥ 2 -3y1’ + 5y2 ≥ 4 y1’,y2 ≥ 0
令y1 = -y1’，则： min w = 3y1 + 4y2 2y1 + y2 ≥ 1
y1 + 2y2 ≥ 2 3y1 + 5y2 ≥ 4 y1 ≤ 0,y2 ≥ 0
14
线性规划的对偶关系
原问题（或对偶问题) 目标函数max z
n个 变 ≥0 量 ≤0
无约束
约 m个 束≤ 条≥ 件= 约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题)
目标函数min w
n个 约
≥束
≤条
=件
m个
≥0 变
4 x1
16
4x2 12
x1, x2 0
10
一般的，原问题：max z = CX 对偶问题：min w = Yb
比较： max z
决策变量为n个
约束条件为m个
“≤”
AX ≤ b X ≥ 0 YA ≥ C Y ≥ 0
min w
约束条件为n个 决策变量为m个
“≥”
11
§3 对偶问题的化法
1、典型情况
[eg.2]ma2xx1xz,1x=+2,xx2x12x3+2≥+2xx023
+≤x3 ≤
6 8
对偶：min w = 6y1 + 8y2
2y1
≥1
y1 + 2y2 ≥ 2
y2 ≥ 1
y1,y2 ≥ 0
12
2、含等式的情况
[eg.3]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
基可行解
X
B1b
0
目标函数 z CB B1b
注! 使 N 0的B为最优基,
若能找到最优B,则最优解直接由上来自求出.5求解步骤：
1.取可行基B, 求B 1
2.若 N CN CB B1N 0,则得最优解,否则转下一步.
3.基变换
若
max{( j
N
)
j
0}
( N
)k ,则xk入基
若
min i
第二章 对偶理论与灵敏度分析
复习与小结
1
§1 单纯形法的矩阵描述 §2 改进单纯形法 §3 对偶问题的提出 §4 线性规划的对偶理论 §5 对偶问题的经济解释——影子价格 §6 对偶单纯形法 §7 灵敏度分析
2
§1 单纯形法的矩阵描述
线性规划问题： 设max z = CX AX = b X≥0
矩阵单纯形表:
IX B B1NX N B1b
0 X B
N
X
N
z
CB B1b
0
1
I 0
B1N B1b
N - CB B1b
4
§1 单纯形法的矩阵描述
IX B B1NX N B1b
0X B
N
X
N
z
CB B1b
令 XN 0 得 X B B1b,
z CB B1b,
N CN CB B1N
1
2*
0 1/4
0
1/4
8
§2 对偶问题的提出
[eg.1]制定生产计划
M1: max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1，x2 ≥ 0
Ⅰ
设备台时 1
材料A
4
材料B
0
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
9
现在出租，设y1为设备单位台时的租金 y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1)
x1,x2,x3 ≥ 0
2x1 + x2 + 3x3 ≤ 3 -2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = 3y1’-3y1”+4y2 2y1’-2y1”+ y2 ≥ 1 y1’- y1”+2y2 ≥ 2 3y1’-3y1”+5y2 ≥ 4 y1’,y1”,y2 ≥ 0
令y1=y1’-y1”,则：
A为m×n阶矩阵 RankA=m ,取B为可行基, N为非基，
X
X X
B N
,
A
B
N , C CB
CN
max z CB X B CN X N
BXB NX N b
X
B
,
XN
0
3
§1 单纯形法的矩阵描述
BXB NX N b CB X B CN X N z 0 B1BXB B1NX N B1b 0 X B (CN CB B1N ) X N z CB B1b
4 X1
+ X4 =16
4 X2 + X5 =12
X1， X2 ≧0
2 3 0 00
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
0 X3 8 1 0 X4 16 4 0 X5 12 0
2 0 4*
1 0 0
00 10 01
j 2 3 0 0 0
第7页
2
CB XB b
0 X3 8
X11
0 X4 16 4