3对偶问题与灵敏度分析
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3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
3对偶问题与灵敏度分析
例一、用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12 x2 15 x3
2 x1 2 x2 x3 10
2
x1
3 x2
x3
12
x1 x2 5 x3 14
x j 0( j 1.2.3)
解：将模型转化为 max Z 9x1 12x2 15x3
2 x1 2 x2 x3 x4
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
第三章-对偶理论及灵敏度分析3课件
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
一、对偶问题的提出
对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
题
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
第三章 对偶理论及灵敏度分析
3.1.1 线性规划对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 3.1.3 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 3.2.1 灵敏度问题及其图解法 3.2.2 灵敏度分析 3.2.3 参数线性规划
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
3.1.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
下页
(Y1,Y2
)
A A
C
返回
Y1 0 ,Y2 0
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
对 偶 问
(mY1inwY2 )(YA1YC2 )b
题
Y1 0, Y2 0
令 YY1 ，Y 得2对偶问题为：
上页
下页
maYxA
w C
Yb
返回
Y无约束
证毕。
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
三、原问题与对偶问题的对应关系
设备B –––– 元／y时2
问 题
调试工序 –––– 元y／3时
付出的代价最小，
且对方能接受。
上页
下页
出让代价应不低于
返回
用同等数量的资源
收
对偶问题与灵敏度分析
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
运筹学第二章第6讲
12
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
对偶理论与灵敏度分析
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
第三章 对偶理论及灵敏度分析
灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 = 400
上页 下页 返回
C B D
（斜率为0） x2 = 250
x1 + x2 = 300
（斜率为-1）
A
| E | | | 100 200 300 400
x1
对 偶 问 题
分析资源系数b的改变产生的影响
Max Z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 310 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1、 x 2 ≥ 0
上页 下页 返回
对 偶 问 题
► 问题：
上页 下页 返回
当这些系数中的一个或多个发生变化 时，原最优解会怎样变化？ 当这些系数在什么范围内变化时，原 最优解仍保持不变？ 若最优解发生变化，如何用最简单的 方法找到现行的最优解？
► 研究内容：
对 偶 问 题
研究线性规划中， aij , bi , c j 的 变化对最优解的影响。
上页 下页 返回
1
min w = 15 y + 24 y + 5 y
2
3
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润（ 利润（元） 0 6 1 2
Ⅱ 5 2 1 1
D 15时 时 24时 时 5时 时
对 偶 问 题
原 问 题
m z = 2x1 + x2 ax s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
设备A 设：设备A —— 设备B 设备B –––– 调试工序 ––––
y1元／时 y2元／时 y3元／时
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运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
湖南大学工商管理学院
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
设A中存在一可行基B，相应的变量可分为基变量XB 和非基变量XN，价值系数也分为CB,CN，即
A=(B,N)
X=(XB,XN)T C=(CB,CN)
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
X
X B
( A,
I )
XS
(B,
N,
I )
XN XS
BXB
NX
N
IXS
因而
BX B NX N IX S b
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
该定理说明：一对对 偶问题达到最优，当 且仅当松约束对应的 对偶变量必定是紧的
价值系数
＝
无限制
求max的对偶问题时，变量反号 求min的对偶问题时，约束反号
例1：写出下列规划问题的对偶问题
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
解：min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
－3y1+4y2－4y3＝-4 y1≥0,y2无限制,y3≤0
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题
Max z=CX AX≤b X≥0
加上松弛变量XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m),化为标准型 Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
单纯形法的矩阵描述
s.t. -2y1+y2 ≥ 1 y1-y2 ≥ 1 y1,y2 ≥0
对偶问题显然无可行解！
定理3 （最优性定理）
若 X(0), Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可行解， 且 CX (0) = Y (0) b ，那么 X(0), Y(0)分别为（LP） 和（DP）的最优解
证明
定理4 （对偶定理）
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
令XN=0,XS=0,得基可行解 X ( X B , X N , X S ) (B1b,0,0)
目标值
z CB B1b
矩阵形式描述的单纯形表
C
CB
CN
0
CB
XB
b
XB
XN
XS
CB
XB
B1b
I
B 1 N
B1
z
CB B1b
0
CN CB B1N CB B1
关于对偶问题的基本定理
定理1 （弱对偶定理）
于是
X B B1b B1NX N B1 X S
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
(CB
,
CN
)
X X
B N
0
X
S
CB X B CN X N 0X S
代入XB,目标值 z CB B1b (CN CB B1N ) X N CB B1X S
检验数 (0, CN CB B1N ,CB B1) (C CB B1A,CB B1)
例2：写出下列规划问题的对偶问题
min z=2x1+8x2-4x3
s.t. X1+3x2-3x3≥30 -x1+5x2+4x3=80 4x1+2x2-4x3≤50 X1≤0,x2≥0,x3无限制
解：max w=30y1+80y2＋50y3
s.t. y1-y2+4y3≥2 3y1+5y2+2y3≤8
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数变量的系数
约束条件右端项
建立对偶问题的规则
对于上表，特别把握以下要点：
max 约束条件
min 变量
右端项
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
任意取一些可行解试试看？
定理2（无界性）
若一个问题无界，则另一个问题不可行
例如
max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 ≤ 40
x1-x2 ≤ 20 x1,x2≥ 0
可行域
Min w=40y1+20y2
利用互补松驰定理，可以在知道一个问题的最优解时， 求解其对偶问题的最优解
例： Min
z=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5
s.t. X1+x2+2x3+x4+3x5≥4
2x1-2x2+3x3+x4+x5≥3
对偶问题
xj ≥0,j=对1偶,…问,题5 的最优解
约束条件
Max w=4y1+3y2 s.t. y1+2y2≤2
湖南大学工商管理学院
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
设A中存在一可行基B，相应的变量可分为基变量XB 和非基变量XN，价值系数也分为CB,CN，即
A=(B,N)
X=(XB,XN)T C=(CB,CN)
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
X
X B
( A,
I )
XS
(B,
N,
I )
XN XS
BXB
NX
N
IXS
因而
BX B NX N IX S b
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
该定理说明：一对对 偶问题达到最优，当 且仅当松约束对应的 对偶变量必定是紧的
价值系数
＝
无限制
求max的对偶问题时，变量反号 求min的对偶问题时，约束反号
例1：写出下列规划问题的对偶问题
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
解：min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
－3y1+4y2－4y3＝-4 y1≥0,y2无限制,y3≤0
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题
Max z=CX AX≤b X≥0
加上松弛变量XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m),化为标准型 Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
单纯形法的矩阵描述
s.t. -2y1+y2 ≥ 1 y1-y2 ≥ 1 y1,y2 ≥0
对偶问题显然无可行解！
定理3 （最优性定理）
若 X(0), Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可行解， 且 CX (0) = Y (0) b ，那么 X(0), Y(0)分别为（LP） 和（DP）的最优解
证明
定理4 （对偶定理）
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
令XN=0,XS=0,得基可行解 X ( X B , X N , X S ) (B1b,0,0)
目标值
z CB B1b
矩阵形式描述的单纯形表
C
CB
CN
0
CB
XB
b
XB
XN
XS
CB
XB
B1b
I
B 1 N
B1
z
CB B1b
0
CN CB B1N CB B1
关于对偶问题的基本定理
定理1 （弱对偶定理）
于是
X B B1b B1NX N B1 X S
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
(CB
,
CN
)
X X
B N
0
X
S
CB X B CN X N 0X S
代入XB,目标值 z CB B1b (CN CB B1N ) X N CB B1X S
检验数 (0, CN CB B1N ,CB B1) (C CB B1A,CB B1)
例2：写出下列规划问题的对偶问题
min z=2x1+8x2-4x3
s.t. X1+3x2-3x3≥30 -x1+5x2+4x3=80 4x1+2x2-4x3≤50 X1≤0,x2≥0,x3无限制
解：max w=30y1+80y2＋50y3
s.t. y1-y2+4y3≥2 3y1+5y2+2y3≤8
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数变量的系数
约束条件右端项
建立对偶问题的规则
对于上表，特别把握以下要点：
max 约束条件
min 变量
右端项
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
任意取一些可行解试试看？
定理2（无界性）
若一个问题无界，则另一个问题不可行
例如
max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 ≤ 40
x1-x2 ≤ 20 x1,x2≥ 0
可行域
Min w=40y1+20y2
利用互补松驰定理，可以在知道一个问题的最优解时， 求解其对偶问题的最优解
例： Min
z=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5
s.t. X1+x2+2x3+x4+3x5≥4
2x1-2x2+3x3+x4+x5≥3
对偶问题
xj ≥0,j=对1偶,…问,题5 的最优解
约束条件
Max w=4y1+3y2 s.t. y1+2y2≤2