专题19 作图问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(解析版)

专题19 作图问题
一、基础知识
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
作图﹣基本作图包括（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
1.利用角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识.
2.圆的性质；比如：90°的圆周角所对应弦是直径．
3.平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
4.菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题关键．
5.其他知识。

二、对理解本节课知识点的例题及其解析
【例题1】已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
【答案】见解析
【解析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【例题2】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是．
【答案】线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）【解析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），
理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，
∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线AB垂直平分线段PQ，
∴PQ⊥AB．
三、作图问题训练题及其答案和解析
1.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（）
A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD
【答案】A.
【解析】BH是线段AD的垂直平分线.
2.如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【解析】作一个角等于已知角，依据是用“SSS”说明三角形全等，显然图中已满足“OE＝OE，OF＝OG”，只要添加“EF＝EG”，故作图痕迹②的圆心是点E，半径是EF长．
3．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是
．
【答案】到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对应弦是直径．
【解析】由于90°的圆周角所的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．
该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．4．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
G
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
【答案】见解析。

【解析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD。

如图所示，线段BD即为所求；
（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．如图所示，线段BE即为所求．
5．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D。

（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见解析
【解析】（1）根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP即可。

如图所示：
（2）根据ASA证明△ABO≌△CBO，得出AO=CO，AB=CB，再根据ASA证明△ABO≌△ADO，得出BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形．证明：如图：
在△ABO和△CBO中，
，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AO=CO，AB=CB．
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（ASA），
∴BO=DO．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
6．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为．
【答案】
【解析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
连接AE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD==，
在Rt△ADC中，AC==．
7．如图将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）
A B C D
【答案】A
【解析】根据题意直接动手操作得出即可．本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
8. “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹). 单位长度
【答案】（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），
（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即2,3,4a b c === 时满足a <b <c .
如答图的ABC ∆即为满足条件的三角形.
【解析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：2,3,4a b c === ，再作图：
①作射线AB ，且取AB =4；
②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ；
③连接AC 、BC .
则ABC ∆即为满足条件的三角形.。