圆与方程(通用)课件
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2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆与方程课件PPT
F＝12.
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
解析答案
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解 由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0， 解得a＝2或6.
思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什 么图形？ 答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4， 表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)_，___22_|a_|__；
解 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
可化为(x＋2a)2＋(y－a2)2＝a22，
圆心坐标为(－a2，a2)，半径为
2|a| 2.
解析答案
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1 ＝0对称，则该圆的面积为_9_π___. 解 圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 的圆心坐标是(－2k，－1)， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－2k＋1＋1＝0 得 k＝4， 圆 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的半径为21 42＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
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圆的方程及应用复习课
1
情景导入
问题提出： 如图是某个圆拱形桥的示意图。这个圆的圆拱跨度AB=16m，
拱高OP=4m,建造时每间隔3.2m需要用一根支柱支撑，求支柱CF的 高度（精确到0.01m）
思考：如图所示建立直角坐标系，那么求支柱CF的高度，化归为 求一个什么问题？
将几何问题化为代数问题，只要求出圆拱所在的圆的方程，根据F点的 坐标，可知CF的高度.
知识梳理
1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_定__点___的距离等于_定__长___的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是： __圆__心___和__半__径___. (3)圆的标准方程 ①两个条件：圆心(a,b),__半__径__r__； ②标准方程：(x a)2 ( y b)2 r2
4
(4)圆的一般方程 ①一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 ②方程表示圆的充要条件为：__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___； ③圆心坐标_(__D_2_,__E2_)_,半径r=__12__D__2 __E_2__4_F___.
5
专题一：如何求圆的方程
【方法点睛】 1.求圆的方程的方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写 出方程. (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;
解法二：圆心为中垂线的交点； 则AB的中垂线的方程为：3x-y-1=0 同理得AC得中垂线方程为：x+y-3=0 联立的圆心坐标(1,2),半径r=10 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100
课后小结
1. 掌握确定圆的几何要素，会找圆心和半径。 2. 掌握圆的标准方程与一般方程的求法。
17
2
22
13
【解题反思】1.从例题求解可以看出，确定一个圆的方程，需 要三个独立的条件；要根据题设条件恰当选择圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数. 2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何 性质，简化运算.
14
巩固练习
已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个 坐标轴上，则这个圆的方程是__________________.
6
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的 值. 2.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
7
情景回顾 解：如图所示建立直角坐标系,连接BH
2
22
12
(2)方法二：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：
b
a
6 8
3
,
(a 2)2 (b 4)2 (a 8)2 (b 6)2
a
11 2，b3 2得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
2
2
2
得圆的方程为：(x 11)2 (y 3)2 125 .
【例1】过点A(6,5)、B(0,1)，并且圆心在直线3x+10y+9=0上 的圆的方程为______________；
9
【规范解答】(1)因为圆经过A、B两点，所以圆心在AB的垂直平分
线上，而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0,解方程组得:
3x 2y 15 0 3x 10y 9 0
x 7
,
y 3
所以圆心坐标为：(7,-3)
r 72 3 12 65
所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65. 答案：(x-7)2+(y+3)2=65
10
【例2】求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点 B(8,6)的圆的方程.
(2)方法一：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂
【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好 落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、 (0,-6)， 所以，圆的半径为 r (4 2)2 (0 3)2 13， 圆的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13.
15
拓展提升
求过三点A(1,12),B(7，10),C(-9，2)的圆的方程 【解题指南】解法一：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 联立方程组解得D=-2，E=-4，F=-95
设圆的半径为R,OH=R-OP=R-4
在OBH中,0H 2 0B2 HB 2
即（, R 4)2 82 R2, 解得，R 10
OH=R-OP=6，得H(0，-6)
圆的方程为： x2 （y 6)2 100 设F(1.6, y), F点在圆上则满足圆的方 程
（y 6)2 100 (1.6)2 97.44 y 3.87 拱高CF约为3.87m.
直平分线方程为：x+y-4=0；
又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方
程为：3x-y-18=0，联立方程组求圆心。
x y 4 0 3x y 18 0
x
11 2
，
y
3 2
得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
2
2
2
(x 11)2 (y 3)2 125 .
1
情景导入
问题提出： 如图是某个圆拱形桥的示意图。这个圆的圆拱跨度AB=16m，
拱高OP=4m,建造时每间隔3.2m需要用一根支柱支撑，求支柱CF的 高度（精确到0.01m）
思考：如图所示建立直角坐标系，那么求支柱CF的高度，化归为 求一个什么问题？
将几何问题化为代数问题，只要求出圆拱所在的圆的方程，根据F点的 坐标，可知CF的高度.
知识梳理
1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_定__点___的距离等于_定__长___的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是： __圆__心___和__半__径___. (3)圆的标准方程 ①两个条件：圆心(a,b),__半__径__r__； ②标准方程：(x a)2 ( y b)2 r2
4
(4)圆的一般方程 ①一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 ②方程表示圆的充要条件为：__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___； ③圆心坐标_(__D_2_,__E2_)_,半径r=__12__D__2 __E_2__4_F___.
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专题一：如何求圆的方程
【方法点睛】 1.求圆的方程的方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写 出方程. (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;
解法二：圆心为中垂线的交点； 则AB的中垂线的方程为：3x-y-1=0 同理得AC得中垂线方程为：x+y-3=0 联立的圆心坐标(1,2),半径r=10 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100
课后小结
1. 掌握确定圆的几何要素，会找圆心和半径。 2. 掌握圆的标准方程与一般方程的求法。
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【解题反思】1.从例题求解可以看出，确定一个圆的方程，需 要三个独立的条件；要根据题设条件恰当选择圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数. 2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何 性质，简化运算.
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巩固练习
已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个 坐标轴上，则这个圆的方程是__________________.
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②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的 值. 2.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
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情景回顾 解：如图所示建立直角坐标系,连接BH
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(2)方法二：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：
b
a
6 8
3
,
(a 2)2 (b 4)2 (a 8)2 (b 6)2
a
11 2，b3 2得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
2
2
2
得圆的方程为：(x 11)2 (y 3)2 125 .
【例1】过点A(6,5)、B(0,1)，并且圆心在直线3x+10y+9=0上 的圆的方程为______________；
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【规范解答】(1)因为圆经过A、B两点，所以圆心在AB的垂直平分
线上，而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0,解方程组得:
3x 2y 15 0 3x 10y 9 0
x 7
,
y 3
所以圆心坐标为：(7,-3)
r 72 3 12 65
所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65. 答案：(x-7)2+(y+3)2=65
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【例2】求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点 B(8,6)的圆的方程.
(2)方法一：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂
【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好 落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、 (0,-6)， 所以，圆的半径为 r (4 2)2 (0 3)2 13， 圆的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13.
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拓展提升
求过三点A(1,12),B(7，10),C(-9，2)的圆的方程 【解题指南】解法一：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 联立方程组解得D=-2，E=-4，F=-95
设圆的半径为R,OH=R-OP=R-4
在OBH中,0H 2 0B2 HB 2
即（, R 4)2 82 R2, 解得，R 10
OH=R-OP=6，得H(0，-6)
圆的方程为： x2 （y 6)2 100 设F(1.6, y), F点在圆上则满足圆的方 程
（y 6)2 100 (1.6)2 97.44 y 3.87 拱高CF约为3.87m.
直平分线方程为：x+y-4=0；
又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方
程为：3x-y-18=0，联立方程组求圆心。
x y 4 0 3x y 18 0
x
11 2
，
y
3 2
得圆的半径r= (8 11)2 (6 3)2 5 10 ,
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(x 11)2 (y 3)2 125 .