直线与椭圆弦长公式
课题：《直线与椭圆——弦长》日期： 11 月 26 日（编号）
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弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,P Q 两点，求弦长 ||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 222222 ,, y kx m b x a y a b =+??+=?消去y 整理成关于x 的一元二次方程：2 0Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，2 40B AC ?=->；由韦达定理得：12,B x x A +=- 12,C x x A = 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而 ||PQ === =【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：2 0Ay By C ，则 ||PQ ==反斜截式 22 (1) m A 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2 a b c S rp p 这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
弦长与面积问题
圆锥曲线中弦长与三角形问题 一．知识点： 1．直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A ，B 两点，则弦长|AB|= 2．（1 （2 1．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线 与原点的距离为 3 6 。 （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过定点（0，1），且与椭圆交于M ，N 两点，当|MN|=3 24时，求直线L 的方程； 2．已知椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为322，且椭圆上一点与椭圆的两个焦 点构成的三角形周长为6+42。 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线L 与椭圆E 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 的面积的最大值； 作业： 1．已知动圆过定点A （p ，0），圆心C 在抛物线y 2 =2px （p>0）上运动。圆C 与y 轴上截得的弦长为MN ，求证：三角形AMN 的面积为定值。 2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：)10(122 2 <<=+b b y x 的左，右焦点，过F 1的直线L 与E 相交 于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列。 （1）求|AB|长； （2）若直线L 的斜率为1，求b 的值； 3．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直
线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 5．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 32的椭圆过点? ? ??? 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、 短半轴长和焦半距，则有θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及题设可得： 24c o s 816)22(422 2 =-??α ，解得 αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴， 直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π ，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的 方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为 1)1() 3(2 2 2 2 =-+ --b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线 为Y 轴，故有 32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有 3 cos 22 2 2 2 πc a ab -= 5 16 （2） 又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为 13 ) 1(4) 4(2 2 =-+ -y x 。 例3、已知椭圆C ： 12 22 2=+ b y a x （0>>b a ），直线1l ： 1=- b y a x 被椭圆C 截得的
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式 一、知识点 1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式 引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32? 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == 122||2 || x x a - ==7 一般： 若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明： 1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -= 但通常利用12||x x -= 算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，?为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ） 如图，因为2112||:||:|||P M P M P P k = ，又1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可 知 ，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ?=+ 则 ||7 AB === 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8 +1λ?（）， 则||AB == 所以，λ= 当λ不存在，即 0y =时，||AB = 所以直线l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ?面积的最大值． 解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：
圆锥曲线三种弦长问题word版本
圆锥曲线三种弦长问题的探究 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且3 e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22 8a b +=，………① 又e =，即2223 c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而125 x x -= = ， 由弦长公式，得12AB x =-==， 即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2 2 ,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦 AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
直线与圆锥曲线中的弦长问题
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程
3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？ 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+
2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围？ 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？ 【关卡2 中点弦问题】 笔 记
直线与圆锥曲线中的弦长问题
直线与圆锥曲线中的弦 长问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+
弦长与面积问题
圆锥曲线中弦长与三角形问题 一．知识点： 1．直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A ，B 两点，则弦长|AB|= 2．（1 （2 1与原点的距离为3 6 。 （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过定点（0，1），且与椭圆交于M ，N 两点，当|MN|= 3 2 4时，求直线L 的方程； 2．已知椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为322，且椭圆上一点与椭圆的两个焦 点构成的三角形周长为6+42。 （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线L 与椭圆E 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 的面积的最大值；
作业： 1．已知动圆过定点A （p ，0），圆心C 在抛物线y 2 =2px （p>0）上运动。圆C 与y 轴上截得的弦长为MN ，求证：三角形AMN 的面积为定值。 2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：)10(122 2 <<=+b b y x 的左，右焦点，过F 1的直线L 与E 相交 于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列。 （1）求|AB|长； （2）若直线L 的斜率为1，求b 的值； 3．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是 直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3 ，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积． 5．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点? ??? 2，2 2. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围． 6．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆 4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D ； (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程 . （第21题图）
直线与椭圆弦长问题
直线与椭圆弦长问题 1被直线1y x =-截得的弦长为 ． 2．已知点A(0，1)是椭圆x 2＋4y 2 ＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________． 3. 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|. 4．设函数()z f 对一切实数n m ,都有()()()12++=-+n m m n f n m f 成立，且()1f =0，c f =)0(.曲线),(y x C 的参数方程是? ??-=--=θθsin 2cos 1c y c x (.为参数）θ（1）求实数c 的值和曲线),(y x C 的普通方程;（2）若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被曲线),(y x C 截得的弦长为4，求 ab b a 23+的最小值. 5．设1(2,0)F 是椭圆C 的一个焦点，相应准线为8x =，离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）求过另一焦点且倾斜角为045的直线被曲线C 所截得的弦长。 6．已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知圆22 :1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.
高中数学椭圆弦长运算方法解题指导分析
直线与椭圆位置关系运算技巧（一） 问题:直线y kx m =+与椭圆()22 2210x y a b a b +=>>交于()()1122,,,A x y B x y 两点,求 弦长AB 。 解决办法:公式法。 公式一 : 12AB x =-= 公式二 :12AB x =-=其中,A ?表示联立消掉y 后的二次方程20Ax Bx C ++=的系数和判别式； 公式三: AB =,其中,,,a b k m 分别是方程中的系数。 对于公式1,有些学生喜欢使用,因为初中对此公式应用较多,比较熟悉,但该公式计算量大,计算步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）写出韦达定理；（3）代入计算。但第3步的计算量太大,很多学生算不对,或则说学生出错的概率会很高,就好比:有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在60左右（没有实践测试,只是一个猜测）。 对于公式2,好些教师包括我以前也是这样教学生计算的,它跳过了韦达定理而直接将两根之差的绝对值表示出来,解题步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）求?,代入计算。步骤（2）计算难度依然很大,相对于公式一,公式二只是把计算的难点提前了,但因为公式二将步骤减少了,故实践看公式二比公式一从学生算对的概率看确实有所提高,但提高得不很明显,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在70左右,比方法一多10人。但如果使用两个公式结果都算错了,而公式一还写出了韦达定理,估计很能得一点点步骤分,从这个角度讲,公式2还没有公式1好。 对于公式3,是我最近在网上看到的公式,其实以前也有看到但因为形式太复杂觉得没有用,估计第一次看到公式3的教师也会觉得它太复杂学生怎么用呢？但通过实践测试,用公式3算对弦长的概率大大增加,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计有90人左右,因为它的步骤就一步:直接将系数代入套公式,并且它的计算没有像方法1,2那样的复杂,计算难度小很多。只是教师要让学生记住该公式,其实该公式并不难记忆,观察分子分母是有关系的,先记分母,再记分子就可以了。 故弦长的计算从学生解题的角度看应该用公式三。当然,这种做法是基于应试学生解对题的角度出发的,若想训练学生的运算求解能力,哪种方法都可以,甚至越复杂的方法越能训练学生的运算能力。 郭.开.航 2018年12月11日
练习：直线与椭圆相交弦长答案
高二数学阶段练习----直线与椭圆相交弦长参考答案2013-11-28 1.解：设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，由题意知：2a b =，则椭圆方程可化为22 2214x y b b +=，设()()1122,,,A x y B x y . 由222 442 x y b y x ?+=?=+?消去y 得：225161640x x b ++-= 则()()2 222121216164,,1620164165455 b x x x x b b -+=-?=?=--=- AB ∴=5 == ，24,0b ∴=?>满足，∴椭圆方程为221164x y +=. 2. 解：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>,由题意知：22 c c e a a ===∴=， 又2222 ,1b a c b =-∴= ，∴椭圆方程为2 214x y +=. (2)设()()1122,,,P x y Q x y ,由2244x y y x m ?+=?=+?消去y 得：2258440x mx m ++-=， 则()()()22221212844,,8204416555 m m x x x x m m m -+=-?=?=--=- PQ ∴=5== =22b =，215,08m ∴=?>满足，4 m ∴=± 3.解： 椭圆离心率2 e =，222,a c ∴=又 22222,a b c b c =+∴=，则椭圆方程可设 为：222212x y c c +=，由题意知：()()()2,0,0,0,,2 AB b F c A a B b k a ∴=-=-，则过点2F
高中数学破题致胜微方法直线与椭圆的位置关系：椭圆被直线截得的弦长 含解析 精品
先看例题： 例：已知椭圆C :22 214x y b +=, 被直线x =－1截得弦||AB =，则C 的长轴长为( ) 解：将x =－1代入椭圆方程：22 2114y b +=， 整理为：2213144y b =-=，即2234y b = 解得：y =， 所以A 、B 两点坐标为：(),(1,)22 A B --- ||||2||A B A AB y y y =-===解得b =4,故长轴长为2b =8. 归纳整理： 弦长公式：直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程， 12||AB x =- ||AB = 12||AB y =- =
再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆4x 2+y 2 =1及直线l :y =x +m . 当直线l 被椭圆截得的弦最长时,求直线l 的方程. 解：直线与椭圆联立得：2241,,x y y x m ?+=?=+? 整理为：5x 2+2mx +m 2－1=0. 因为直线l 与椭圆有公共点,所以Δ=4m 2－20(m 2－1)≥0, 解得22m -<<,即实数m 的取值范围是(2-,2 ). 设直线l 与椭圆交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则1225m x x +=-,2121(1)5x x m =-. 于是||AB = == ==所以当m =0时，|AB |取到最大，此时直线l 的方程为y =x . 练习：
1.已知椭圆11 22 2=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，求AB 。 2.如图,设P 是圆22 25x y += 上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且 4||||5 MD PD = (Ⅰ)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 45 的直线被C 所截线段的长度. 答案： 1.解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x 由?????=+--=112 222 2y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 12AB y =- 解法二： 由?????=+--=112 222 2y x x y 可得061692=++x x ， 92101212=-+=x x k AB
《椭圆的弦长公式》专题
《椭圆的弦长公式》专题 2018年（）月（）日班级姓名从善如登,从恶如崩。——《国语》 两点间距离公式：|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 完全平方公式：(a+b) 2＝① 完全平方公式：(a-b) 2＝② ①-②，得： 问题：设直线l：y＝kx＋m交椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝ ＝ ＝ 同理可得|P1P2|＝|y1－y2|·1＋1 k2(k≠0).
1.已知椭圆22 12521 x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 2.已知直线y =2x -5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB 3.已知直线y =x +2与椭圆9 2 x +2y =1相交于A ，B 两点，求AB 4.已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.32 6 5.过椭圆x 25＋y 2 4 ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________.
6.已知椭圆x 236＋y 29 ＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. (1)当直线l 的斜率为12 时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程. 7.已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12 . (1)试求动点P 的轨迹方程C ； (2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝ 423 时，求直线l 的方程. 8.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C . (1)写出C 的方程； (2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少？
直线与椭圆的综合问题
第二课时 直线与椭圆的综合问题 考点二 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值． [解题技法] 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ??? ?1＋1 k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． [题组训练] 1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423 ，则实数m 的值为 ( ) A ．±1 B ．±12 C. 2 D ．±2 2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12 ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 考点三 椭圆与向量的综合问题 [典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ? ???3，32. (1)求椭圆C 的方程； (2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直
椭圆弦长问题
1.已知斜率为1的直线L 过椭圆2 214 x y += 的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。 2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A .直线(1y k x =-） 与椭圆C 交于不同的两点M,N. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN k 的值. 3.（12分）设椭圆C: 2222x y 1a b += (a>b>0)过点(0,4)，离心率为35 . (1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为 45 的直线被C 所截线段的中点坐标.
4.（本小题满分13分） 如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另 一个交点，1F ∠A 2F =60°. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 5、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=?，设12 PF PF λ=， ⑴求椭圆离心率e 和λ的关系式； ⑵设Q 是离心率最小的椭圆上的动点，若PQ 的最大值为，求椭圆的方程．
1.答案1.85 2.答案 ：解：（1 ）由题意得222 2a c a a b c =???=??=+?? 解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）由22(1)142 y k x x y =-???+=??得2222(12)4240k x k x k +-+-=. 设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 2122412k x x k +=+，21222412k x x k -=+. 所以 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-） 的距离 d =， 所以△AMN 的面积为1 ||2 S MN d =?=. 由=，解得1k =±. 3.答案：36(,-)25 4.答案：弦长公式或余弦定理22 110075 x y +=【解析】（I ）1216022 c F AF a c e a ο∠=?=?== （Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =- 在12BF F ?中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο =+-??
椭圆的弦长中点弦
椭圆弦长中点弦问题 1．已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，焦距是22． （1）求椭圆的方程； （2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点,5 26= CD ，求k 的值． 2．椭圆C:12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线y=x+1与椭圆C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离． 3．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线2:-=x y l 与椭圆C 交于N M ,两点，O 是原点，求OMN ?的面积．
4．已知椭圆2222x 1(0)y a b a b +=>>经过点A （0，4），离心率为5 3； （1）求椭圆C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为 5 4的直线被C 所截线段的中点坐标． 5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点 ） （02,D . （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点） ，（2 11A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程. 6．已知椭圆5x 2+9y 2=45，椭圆的右焦点为F ， （1）求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长． （2）求以M （1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程． （3）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．