质点动力学基本方程

例10.1 程为x＝a cos wt，y＝b sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运
v
动：由运动方程消去时间 t，得
M
x2Baidu Nhomakorabeay2 a2 b2 1
j Fry
a O ix
x
质点作椭圆运动。将运动方程对时
b
间求两阶导数得：
&x& aw2 coswt, &y& bw2 sin wt
19
第十章 质点运动微分方程
§10-1 质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。 （F 可理解为作用在质点上的合力）
1.矢量形式
mddt22r F ( 式中r r(t) 为质点矢径形式的运动方程)
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
Fx m&x& maw2 coswt, Fy m&y& mbw2 sinwt F Xi Yj maw2 coswti mbw2 sinwtj
mw2 (a coswti bsinwtj) mw2 (xi yj) mw2r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有2心4 力。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的 系统。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
13
质点动力学
三.动力学分类：
质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
17
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种 不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立 地发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自 然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原 理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理 论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将 这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。
力
解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择含已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
23
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
d2y dt 2
Y
m
d2y dt 2
Z
x x(t)
( 式中 y y(t) 为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
20
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
14
15
第9章 质点动力学基本方程 §9–1 动力学基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
§9–3 质点动力学的两类基本问题
16
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家 中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改 嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
18
第9章 质点动力学
§9-1 质点运动的动力学建模
一、动力学基本定律
第一定律（惯性定律）： 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度关系定律）： 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大 小，加速度的方向与力的方向相同。
ma F
第三定律（作用与反作用定律）： 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相 反，沿同一直线且同时分别作用在这两个物体上。（静 力学公理四）
例题 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转 动,OA = AB = r。滑块B的运动方程为x = 2rcos 。如 滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计。求当 = wt = 0 时连杆 AB所受的力。
1
第三篇 动力学
第 九 章 动力学基础
第十 章 动量定理
第十一章 动量距定理
第十二章 动能定理
2
• 本篇重点： • 动力学基本定律,即牛顿三定律; • 质点动力学基本方程; • 动力学普遍定理（三大定理); • 动力学普遍定理的综合应用；
3
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
21
§9-2 质点动力学两类问题
22
§9-2 质点运动的动力学分析
质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点运动，求作用在质点上的力。（微分问题）
运动方程 求导 速度 求导 加速度
4
工程实际中的动力学问题
5
爆
工
破
程 实 际 中
时 烟 囱
的
怎
动
样
力 学 问
倒 塌
题
6
工程实际中的动力学问题
v1 F
v2
7
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
8
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
9
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
10
道路转弯中的力学问题
11
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型：
1.质点： 2.质点系：
12
引言
一.研究内容：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
二.研究对象（力学模型）：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。