二面角的基本求法例题及练习
立体几何中二面角的求法
立体几何中二面角的求法
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
二、垂线法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的
度数。
三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。
（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面； （2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
四、延伸法
中点，
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC
1
求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。
高中二面角经典例题
高中二面角经典例题
高中二面角是几何中的一个重要概念，掌握二面角的概念和计算方法对于理解空间几何和解题都具有重要意义。
下面介绍一些经典的高中二面角例题，供大家练习和参考。
1.已知四面体ABCD中，AB=3，AC=4，AD=5，BC=6，CD=8，BD=7，求角ABC和角BAD的二面角。
2.已知直角棱锥ABCDE，以AD为底面对角线，EA为高，
AB=AC=AD=10，BC=BD=CD=5，求角EAB和角EAC的二面角。
3.已知正四面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求角A和角A1的二面角。
4.已知正方体ABCDA1B1C1D1E1F1E，F在平面ABC上，以AF为底面对角线，求角FA1B1和角FA1C1的二面角。
5.已知正八面体ABCDEFGH，以AB为底面对角线，求角E和角H 的二面角。
以上这些例题都是比较典型的高中二面角例题，需要运用几何相关知识和计算方法进行解答。
希望同学们能够认真学习和练习，掌握二面角的概念和计算方法，提高几何解题能力。
- 1 -。
二面角的几种方法及例题
二面角大小的求法〔例题〕二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点〔特殊点〕，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.O OA PA OB PAOB OAAOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠︒∠︒做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
提示：PAB PCD ≅，而且是直角三角形jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。
A AH BC BC H PH ABCDPA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2tag PHA 2PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠︒∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中，例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。
求〔1〕二面角P—BC—A的大小；〔2〕二面角C—PB—A的大小提示：角PAB是二面角，找到每个面的直角！！！射影，那么PM为面ＡＢＣ的垂线！例、如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.提示：ＡＡ１与ＢＢ１互相垂直ＡＦ是辅助线且垂直ＡＢ，ＦＥ平行ＢＢ１图4 B1AαβA1B LE F四、射影法：〔面积法〕利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA ＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
二面角的多种求法
二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。
2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F DE C --的大小。
分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。
正四面体二面角8种求法(学生版)
二面角求法例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。
例1中E点，例2中O点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。
例题3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-AC-B1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1与平面BDC1例题5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C-D的大小。
例题6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，求平面BC1D与平面EC1F所成的二面角。
利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成的平面角。
例题7：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面BDC1与平面ACC1A1所成的二面角。
例题8：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，V是OO1的中点，求平面AVB与平面CVD所成的二面角。
例题9：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，H是BC棱上一点且BH：BC=1：3，求二面角H-AA1-C1的大小。
例题10：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一点，且AE：EB=1：2，求二面角A1-O1O-E的大小。
此公式法求二面角大小要注意公式中EF、d、m、n、θEF、d、m、n四个量才可以求得θ。
例题11：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F是所在棱的中点，求平面EFG与平面ABCD所成的二面角。
例题12：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中点，求平面AO1D与平面EO1F例题13：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角。
1二面角的基本求法简单
二面角的基本求法1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ． （３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．2．如图，ABCD 是正方形，P A 平面AC ，且P A =AB ，（1）求二面角B -P A -D 的度数；（2）求二面角B -P A -C 的度数；（3）求二面角A -BD -P 的度数；（4）求二面角A -PD -P 的度数；（5）求二面角B -PC -D 的度数.3．已知锐二面角α－ l － β ，A 为面α内一点， A 到β 的距离为32，到 l 的距离为 4.求二面角 α－ l － β 的大小.4．如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．P D B AC5．P 为120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求P 到棱a 的距离6．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（３）求C A '与平面CD C '所成的角；（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．7．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D 1-AB-D 和A 1-AB-D ；（2）二面角C 1-BD-C 和C 1-BD-A.8．点E 、F 、G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、AB 、A A 1中点求（1）面EFG 与面ABCD 所成的角。
二面角习题及答案
二面角1.如圖三棱錐 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32，D 是 BC の中點，且△ADC 是邊長為 2の正三角形，求二面角 P-AB －C の大小。
解：由已知條件，D 是BC の中點∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 為直角の三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂線定理) ∴∠PAC 即為二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°3. 如圖：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 與 BD 相交於O 點，P 是平面 ABCD 外一點，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC の中點，求二面角 M-BD-C 大小。
解：取OC 之中點N ，則 MN ∥PO∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，過 N 作 NR ⊥BD 於 R ，連MR ， 則 ∠MRN 即為二面角 M-BD-C の平面角過 C 作 CE ⊥BD 於S則 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅= ∴ 54RN = 25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠11. 如圖，設ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分別為AB 、A1B1の中點，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a.(1)求證：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B の大小D PC AB S R NM O BDP A C分析 本小題考查空間幾何垂直の概念和二面角の度量等知識.解 (1)∵AC ＝BC ，E 為AB 中點，∴CE ⊥AB又∵ABC —A1B1C1為直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB連結EF ，由於AB ＝2AA1∴AA1FE 為正方形∴AF ⊥A1E ，從而AF ⊥A1C(2)設AF 與A1E 交於O ，連結CO ，由於AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1∴∠COE 即為二面角C —AF —B の平面角∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝a a222＝2.∴二面角C —AF —B の大小是arctan2.13. 在正方體1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 與ABCD 所成角の大小．解析：由於BCMK 是梯形，則MK 與CB 相交於E ．A 、E 確定の直線為l ，過C 作CF ⊥l 於F ，連結MF ，因為MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C の平面角．設正方體棱長為a ，則a CM 43=，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得a EB 21=，a CF 53=，故45tan =∠MFC ．因此所求角の大小為45arctan 或45arctan π-．。
【最新精选】二面角的基本求法例题及练习
C1C1一、平面与平面的垂直关系1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。
求证：BEF BDG ^平面平面。
例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。
求证：BEF ABC ^平面平面 。
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。
二、二面角的基本求法1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，求二面角B PC D --的大小。
2．三垂线法C例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=12AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。
例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC°，PAB 是正三角形，PA BC ^。
（1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。
B13．垂面法例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；（2）求二面角C SA B --的大小；（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
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C1
C1
B
一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。
求证：BEF BDG 平面平面。
例2．AB
BCD BC CD 平面，，90BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。
求证：BEF ABC 平面平面 。
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。
二、二面角的基本求法
1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。
例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
求（1）二面角11A
B C A 的大小；
（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA
ABCD 平面，设PA=AB=a ，
求二面角B PC D 的大小。
2．三垂线法
C
例5．ABCD ABEF ABCD 平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=
1
2
AD=a ，G 是EF 的中点，
（1）求证：AGC BGC 平面平面；
（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G 的大小。
例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC
，PAB 是正三角形，PA
BC 。
（1）求证：平面PA B 平面A B C ；
（2）求二面角P AC B 的大小。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1
A
BD P 的大小。
B1
3．垂面法 例7．SA
ABC AB BC SA AB BC 平面，，，
（1）求证：SB BC ；
（2）求二面角C SA B 的大小；
（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱
例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA
ABCD 平面，设PA=AB=a ，
求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
（2）射影面积法（cos s
S
射影
）
例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱
1
AA的中点，
求平面
11
PB C与平面ABCD所成二面角的大小。
1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°角，PA地M成30°角，则二面角M—a—N的度数是
A、30°
B、45°
C、60°
D、75°
2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有
A、cosa=1/3
B、sina=1/3
C、cosa= EQ R(,3) /3
D、sina= EQ R(,3) /3
3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB 所成角的余弦值是
A、2/7
B、3/7
C、6/7
D、不同于A、B、C
4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面
A、相等
B、互补
C、相等或互补
D、不确定
5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°和30°的角，则平面ABC与a所成的角为________ _
6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________
7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________
8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若P A=AB=1，BC= EQ R(,2) ，则面PAB与面ABC所成的二面角为_______
9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为EQ R(,2) ，EQ R(,3) 到棱的距离为2，求此二面角的大小
10、四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，AB^BC 且AB= EQ F(1,2) CD ，侧棱PB^面ABCD ，PC=5，BC=3，S DPAB =6。
求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小
11.如图，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值．
12．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB ＝a 求(1)二面角B －PC －D 的大小；(2)平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小．
13、如图，ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小
14、正三角形ABC 的边长为10，A ∈平面α，
B 、
C 在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC 与α所成的角的正弦值。
15、如图，设M 为正方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD1与
底面ABCD 所成的 二面角的大小。
C
D
P
M
B
A
A
H M D 1
C 1
B 1 A 1
B
C
D。