数学归纳法复习(例题及解析)
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）之马矢奏春创作一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论精确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论精确,证及时1n k =+结论也精确．分化（1）、（2）,……留心：数学归纳法运用要点：两步调,一结论. 二、题型归纳：题型1.证实代数恒等式例1．用数学归纳法证实：证实：①n=1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立．②假设n=k 时,等式成立,即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,由①、②可知,对一切自然数n 等式成立． 题型2.证实不等式例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证实：①当n=1时,左边=1,右边=2．左边<右边,不等式成立．②假设n=k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++．那么当n=k+1时,这就是说,当n=k+1时,不等式成立．由①、②可知,原不等式对随便率性自然数n 都成立． 说明：这里要留心,当n=k+1时,要证的目标是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证实：12112+<++k k k ．熟习了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标．题型3.证实数列问题例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2,n∈N*)．(1)当n ＝5时,求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3,Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时,原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n,所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2,右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立 那么,当n ＝k ＋1时,左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时,等式成立．综上①②,当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。
数学倒推归纳法经典例题及解析
数学倒推归纳法经典例题及解析一、什么是倒推归纳法倒推归纳法呢，就像是我们走迷宫的时候从出口往入口找路一样。
它是一种特殊的数学归纳法啦。
通常我们先从比较大的数或者比较复杂的情况开始考虑，然后逐步往小的数或者简单的情况推导。
比如说，有这么一个例题。
二、经典例题例题：证明对于所有的正整数n，有1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)=n²。
三、解析1. 当n = 1的时候呢，左边就是1，右边就是1² = 1，等式成立。
这就像是我们搭积木的第一块，很重要哦。
2. 假设当n = k（k是一个比较大的正整数啦）的时候这个等式成立，也就是1+3 + 5+…+(2k - 1)=k²。
3. 现在我们要证明当n = k + 1的时候等式也成立。
当n = k + 1的时候，左边就变成了1+3 + 5+…+(2k - 1)+(2(k + 1)- 1)。
根据我们之前的假设，1+3 + 5+…+(2k - 1)=k²，所以现在左边就等于k²+(2(k + 1)- 1)=k²+2k + 1。
而右边呢，当n = k + 1的时候，(k + 1)²=k²+2k + 1。
左边等于右边，所以当n = k + 1的时候等式也成立。
从这个例题就可以看出倒推归纳法的厉害之处啦。
它可以让我们在证明一些关于正整数的命题的时候，有一个新的思路。
就像我们在解决生活中的问题一样，有时候从结果往前推，反而更容易找到解决的办法呢。
再看一个例题哈。
四、例题证明不等式(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)<4。
五、解析1. 当n = 1的时候，左边就是(1 + 1/2)=3/2，3/2肯定是小于4的，这第一步就走通啦。
2. 假设当n = k的时候不等式成立，也就是(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)<4。
3. 当n = k + 1的时候，左边就变成了(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)(1 + 1/2^(k + 1))。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
2#数学归纳法练习题(含答案)
2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）之杨若古兰创作一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论准确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论准确，证实1n k =+时结论也准确．综合（1）、（2），……留意：数学归纳法使用要点：两步调,一结论.二、题型归纳：例1．用数学归纳法证实：证实：①n=1时，右边31311=⨯=，右侧31121=+=，右边=右侧，等式成立．②假设n=k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切天然数n 等式成立． 例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证实：①当n=1时，右边=1，右侧=2．右边<右侧，不等式成立．②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意天然数n 都成立． 说明：这里要留意，当n=k+1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证实：12112+<++k k k ．认识了这个目标，因而就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时，原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)由于(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．右边＝T2＝b2＝2，右侧＝2(2＋1)(2－1)3＝2，右边＝右侧，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，右边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右侧． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。
(完整版)高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1． a n＝1，数列 { a n} 的前 n项和为S n，已计算得 S1＝ 2－1，S2＝ 3－ 1，n＋1＋ nS3＝1，由此可猜想 S n＝( )A. n－1B. n＋1－1C. n＋1－2D. n＋2－2[答案 ] B1 2． S k＝＋k＋ 11＋k＋21＋⋯＋k＋312k( k＝1,2,3，⋯ )，那么Sk＋1等于 ( )A．S k＋1 2( k＋1)B．S k＋1－2k＋11k＋1C．S k＋1－2k＋112k＋2D．S k＋1＋2k＋112k＋2[答案 ] C[解析 ] S k＋1＝1＋(k＋1)＋11(k＋1)＋2＋⋯＋1＝2(k＋1)1＋k＋21 1＋⋯＋＝k＋3 2k＋ 21＋k＋11＋⋯＋k＋2 1＋2k1 1＋－2k＋1 2k＋21 1＝S k＋－k＋1 2k＋11.2k＋22＋n≤ n＋1(n∈N* )，某人的证明过程以下：3．对于不等式 n2＋1≤ 1＋1，不等式成立 .1°当 n＝1时， 12°假设n＝k( k∈N * )时不等式成立，即 k2＋k< k＋1，那么n＝k＋1时， (k＋1)2＋ (k＋ 1)＝2＋3k＋2< (k2＋3k＋2)＋k＋2＝ (k＋2)2＝(k＋1)＋1. k ∴当 n＝k＋ 1时，不等式成立 .上述证法 ( )A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从 n＝k到 n＝k＋1 的推理不正确[答案 ] D含详解答案高考总复习[解析 ] 没用归纳假设．4．将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16⋯⋯那么在表中数字 2021 出现在 ( )A．第 44 行第 75 列B．第 45 行第 75 列C．第 44 行第 74 列D．第 45 行第 74 列[答案 ] D[解析 ] 第 n 行有 2n－1 个数字，前 n 行的数字个数为1＋3＋5＋⋯＋(2 n－ 1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且 1936<2021,2025>2021，∴ 2021 在第 45 行．又 2025－2021＝15，且第 45 行有 2× 45－1＝ 89 个数字，∴2021 在第 89－15＝74 列，选D.2 建马上，总可推出 f(k5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f (k)≥ k＋1)≥ (k＋ 1)2 成立〞．那么，以下命题总成立的是 ( )A．假设 f(3) ≥ 9 成立，那么当 k≥ 1时，均有 f(k)≥ k2 成立2 成立B．假设 f(5) ≥ 25 成立，那么当 k≤ 5时，均有 f(k)≥kC．假设 f(7)<49 成立，那么当 k≥ 8时，均有 f(k)> k2 成立2 成立D．假设 f(4) ＝25 成立，那么当 k≥ 4时，均有 f(k)≥k[答案 ] D[解析 ]对于 A ，f (3)≥ 9，加上题设可推出当 k≥ 3时，均有 f(k)≥ k2 成立，故 A错误．对于 B，要求逆推到比 5 小的正整数，与题设不符，故 B错误．对于 C，没有确立局部，即没有 f(8)≥ 82，故 C错误．对于 D，f(4)＝25≥ 42，由题设的递推关系，可知结论成立，应选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将节余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；这样连续下去⋯⋯那么第 n 个图共挖去小正方形 ( )含详解答案高考总复习n－1)个A．(8n＋1)个B．(81n－1)个C.7(81n＋1)个D. (87[答案 ] C2个⋯⋯第[解析 ] 第 1 个图挖去 1 个，第 2 个图挖去 1＋8 个，第 3 个图挖去 1＋8＋8n－182＋⋯＋8n－1＝个．n 个图挖去 1＋8＋ 877．观察下式：1＋ 3＝2221＋3＋5＝31＋3＋5＋7＝4221＋3＋5＋7＋9＝5⋯⋯据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A．1＋3＋5＋⋯＋ (2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋⋯＋ (2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋⋯＋ (2n－1)＝(n＋1)2( n∈N*)D．1＋3＋5＋⋯＋ (2n＋1)＝(n＋1)2( n∈N* )[答案 ] D[解析 ]观察可见第 n 行左边有 n＋1 个奇数，右边是 ( n＋1)2，应选D.x，f n(x)＝f n－1[ f(x)]( n≥ 2，n∈N*)，那么f(1) 8．(2021 ·天津滨海新区五校 )假设 f(x)＝f1(x)＝1＋x＋f (2)＋⋯＋ f(n)＋f1(1)＋ f2(1) ＋⋯＋ f n(1)＝( )A．n9B.n＋1nC.n＋1 D．1[答案 ] A12，f(2)＝[解析 ] 易知 f (1)＝2 3，f(3)＝，⋯，f( n)＝3 4n x；由 f n(x)＝f n－1(f (x))得，f2(x)＝，n＋ 1 1＋2xx x 1，⋯，f n(x)＝，从而 f1(1)＝，f2(1)＝1＋3x 1＋ nx 2f3(x)＝1 1 1，f3(1)＝，⋯，f n(1)＝，，3 4 n＋1含详解答案高考总复习因此 f(n)＋f n (1)＝1，故 f(1)＋f(2)＋⋯ ＋f(n)＋f 1(1)＋f 2(1)＋⋯ ＋f n (1)＝n.9．(2021 曲· 阜一中 )设f( x)是定义在 R 上恒不为零的函数，且对任意的实数 x ，y ∈R ，1都有 f( x) ·f( y)＝f(x ＋y)，假设 a 1＝ ，a n ＝f(n)( n ∈N *)，那么数列 { a n } 的前 n 项和 S n 的取值范围是2 ( )1 ，2) A ．[2B ．[1 ，2] 2C ．[1 ，1] 21 ，1) D ．[2 [答案] D[解析] 由可得a 1＝f(1)＝1 2 ，a 2＝f(2)＝f 2(1)＝1 2 2，a 3＝f(3)＝f(2) f ·(1)＝f 3(1)＝123，⋯ ，a n ＝f(n)＝fn(1)＝1 2 n，∴S n ＝1 ＋ ＋ 2 1 2 2＋ 1 2 3＋⋯＋ 1 2 n ＝ 1 12] 2[1－(2) ＝1－(1 n， n ，) 1 21－2∵n ∈N *，∴1 2≤ S n <1.10．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的： △ABC 是边长为1 的正三角形， 曲线CA 1、 A 1A 2，A 2A 3 是分别以 A 、B 、C 为圆心， AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3 称为 螺旋线旋转一圈．尔后又以 A 为圆心， AA 3为半径画圆弧⋯ ⋯这样画到第 n 圈，那么所得螺旋 线的长度 l n 为( )2＋n) π A ．(3n2－n ＋1) π B ．(3 n (3 n 2＋n)πC.22－n＋1)π (3nD.2[答案] A[解析] 由条件知 CA1 ， A1A2 ， A2A3 ，⋯，A n－1A n对应的中心角都是2π，且半径依32π次为1,2,3,4，⋯，故弧长依次为，3 2π×2，32π 2π×3⋯，据题意，第一圈长度为(1＋2＋3)，3 32π 2π 2π第二圈长度为3 (4＋5＋6)，第 n 圈长度为3 [(3 n－2)＋(3n－1)＋3n]，故 L 3 (1＋2＋3＋⋯n＝＋3n)＝2π3n(1＋3n)＝(3n2＋n) π.·3 2含详解答案高考总复习二、填空题2 3 11． (2021 ·浙江金华十校模考 ) 2＋ ＝ 2 2 3， 3＋3 8 ＝ 33 8， 4＋4 15＝ 44 a ，⋯ ，假设 6＋ ＝6 15 t a t ，( a ，t 均为正实数 )，类比以上等式，可推测a ， t 的值，那么a ＋t ＝________.[答案 ] 41[解析 ] 注意分数的分子、分母与整数的变化规律， 2→分子 2，分母 3＝22－1,3→分子2－1,4→分子 4，分母 15＝42－1，故猜想 a ＝6，t ＝62－1＝ 35，再考据 6＋3，分母 8＝3 6 35＝66成立， ∴a ＋t ＝ 41. 35n[议论] 一般地， n ＋＝ n 2－13n＝nn 2－1 n，( n ∈N *)成立． n 2－ 1a比方，假设 15＋ ＝15ta t成立，那么t ＋a ＝239.23＋53>22·5＋2·5212．观察以下一组不等式：4 4 3 3 ＋5>2 5 2 5 · ＋ · 25 5 1 1＋5 2·5＋222 2>2·52 2 2将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以实行，使以上的不等式成为实行不等式的特例，那么实行的不等式为 ________________________ ．m＋ n＋b m ＋n>a m b n ＋a n b m(a ，b>0，a ≠b ， m ， n>0) [答案 ] a13．(2021 浙· 江杭州质检)观察以低等式： (x 2＋x ＋ 1)0＝1； 2＋x ＋ 1)1＝x 2＋x ＋1； (x(x 2＋x ＋ 1)2＝x 4＋2x 3＋3x 2＋2x ＋1；2＋x ＋ 1)3＝x 6＋3x 5＋6x 4＋7x 3＋6x 2＋ 3x ＋1； (x可以推测(x 2＋ x ＋1)4的张开式中，系数最大的项是 ________． [答案 ] 19x 4[解析 ]观察其系数变化规律：2＋x＋ 1)1为1,1,1(x(x2＋x＋ 1)2为1,2,3,2,12＋x＋ 1)3为1,3,6,7,6,3,1 (x故由此可推测(x2＋x＋ 1)4 系数中最大的为6＋7＋6＝ 19，故系数最大项是 19x4. 14．(2021 南·京调研 )五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数含详解答案高考总复习为2，第二位同学首次报出的数为3，此后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，那么第 2021 个被报出的数为________．[答案 ] 4[解析 ] 依照规那么，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3 外，从第三位同学开始报出的数依次按 6,8,8,4,2,8 循环，那么第 2021 个被报出的数为4.[议论] 数字 2021 比较大，不可以能一个一个列出数到第 2021 个数，故隐含了探望其规律性 (周期 )的要求，因此可经过列出局部数，观察可否存在某种规律来求解．明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路．三、解答题15．点列 A n(x n,0)， n∈N*，其中 x1＝0，x2＝a(a>0)，A3 是线段 A1A2 的中点， A4 是线段 A2A3的中点，⋯ A n 是线段 A n－2A n－1的中点，⋯，(1)写出 x n 与 x n－1、x n－2之间的关系式 (n≥ 3)；(2)设a n＝x n＋1－ x n，计算 a1，a2，a3，由此推测数列 { a n} 的通项公式，并加以证明．x n－1＋x n－2[解析 ] (1)当 n≥ 3时， x n＝2 .(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝x2＋x1－x2＝－212(x2－x1)＝－12a，a3＝x4－x3＝x3＋x2－x3＝－212(x3－x2)＝14a，由此推测a n＝ (－1n－1a(n∈N*)．2)证法 1：由于a1＝ a>0，且x n＋x n x n－1－x n－1－x n＝a n＝x n＋1－x n＝＝－2 2 12(x n－x n－1)＝－12a n－1( n≥2)，1n－1a.因此 a n＝(－)2证法 2：用数学归纳法证明：1(1)当 n＝1时， a1＝x2－x1＝a＝(－2)0a，公式成立．1k－1a 成立．那么当 n＝k＋1时，(2)假设当 n＝k时，公式成立，即 a k＝(－ )2a k＋1＝ x k＋2－ x k＋1＝x k＋1＋ x k－ x k＋1＝－212( x k＋1－ x k)＝－12a k＝－12(－1k－1a＝(－2)1(k＋1)－1a，公2)式仍成立，依照 (1)和(2)可知，对任意 n∈N*，公式 a n＝(－1n－1a 成立．)2含详解答案高考总复习16．设数列 { a n }的前 n 项和为S n ，对所有 n ∈N S n *，点 n ， n 都在函数 f(x)＝x ＋ a n的图象 2x上．(1)求 a 1，a 2， a 3 的值，猜想 a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列 { a n } 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7， a 8，a 9， a 10)；( a 11)，(a 12， a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17， a 18，a 19， a 20)；( a 21)，⋯ ，分别计算 各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后序次组成的数列为{ b n } ，求 b 5＋b 100 的 值．S n [解析 ] (1)将点 n ， n a n的坐标代入函数 f(x)＝x ＋中，经过整理获取 S n 与 a n 的关系，2x那么a 1，a 2，a 3 可求；(2)经过观察发现b 100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和，各组第 4 个括号中各数之和 组成首项为68、公差为80 的等差数列，利用等差数列求和公式可求 b 100.S n n [解析 ] (1)∵点 n ， 在函数 f( x)＝ x ＋a n 的图象上， 2x∴ S n ＝n ＋ n a n 1 ，∴S n ＝n 2＋ 2n2a n .1令 n ＝1 得， a 1＝1＋ a 1，∴ a 1＝2；21令 n ＝2 得， a 1＋a 2＝4＋2a2， ∴a 2＝4；令 n ＝3 得， a 1＋a 2＋a 3＝9＋1 2a 3， ∴a 3＝6.由此猜想： a n ＝2n. 用数学归纳法证明以下：①当 n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立． ②假设n ＝k(k ≥ 1)时猜想成立，即 a k ＝2k 成立，那么当 n ＝k ＋ 1时，注意到 S n ＝ n 2＋1n( n ∈N *)， 2a故 S k ＋1＝(k ＋1)2＋1 1 a k a k .＋1，S k ＝k2＋＋1，S k ＝k2＋2 21 1两式相减得， a k＋1＝ 2k＋1＋k，因此 a k＋1＝4k＋2－a k.2a k＋1－2a由归纳假设得， a k＝2k，故 a k＋1＝4k＋2－a k＝4k＋2－2k＝2(k＋1)．这说明 n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知，对所有 n∈N*，a n＝2n 成立．(2)由于a n＝ 2n(n∈N*)，因此数列 { a n} 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，含详解答案高考总复习(8,10,12) ，(14,16,18,20)； (22)，(24,26)， (28,30,32)，(34,36,38,40) ；(42)，⋯ .每一次循环记 为一组．由于每一个循环含有 4 个括号，故 b 100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和．由分 组规律知，各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由 各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、 所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差 数列，且公差均为20.故各组第 4 个括号中各数之和组成等差数列， 且公差为80.注意到第一 组中第 4 个括号内各数之和是 68，因此 b 100＝68＋24× 80＝1988， 又 b 5＝22，因此 b 5＋b 100＝2021.[议论] 由求出数列的前几项，做出猜想，尔后利用数学归纳法证明，是不完满归 纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的要点是依照已 知条件和假设搜寻 a k 与 a k＋1或 S k 与 S k ＋1间的关系，使命题得证．n＝ a 0＋ a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋ a 3(x －1)3＋⋯ ＋ a n (x － 17． (2021 南· 京调研 )： (x ＋ 1) 1) n (n ≥ 2，n ∈N *)．(1)当 n ＝5时，求 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5 的值．(2)设b n ＝a 2n －3， T n ＝ b 2＋ b 3＋ b 4＋⋯ ＋ b n .试用数学归纳法证明：当 n ≥ 2时， T n ＝ 2n(n ＋1)( n －1).3[解析 ] (1)当 n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋ a 3(x － 1)3＋a 4(x －1)4＋ a 5(x －1)5令 x ＝2 得 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋ a 5＝35＝243.－2n＝[2＋(x －1)]n ，因此 a 2＝C n 2·2n(2)由于(x ＋1)b n ＝ a 2n －3＝2C n2＝n(n －1)(n ≥ 2)2①当 n ＝2时．左边＝ T 2＝b 2＝2， 2(2＋1)(2－1)右边＝ ＝2，左边＝右边，等式成立．3 ②假设当 n ＝k(k ≥ 2，k ∈N *)时，等式成立，即 T k ＝k (k ＋1)(k －1)成立3 那么，当 n ＝k ＋1时，k(k ＋1)( k －1) 左边＝ T k ＋b k ＋1＝3k(k ＋1)(k －1) ＋(k ＋1)[( k ＋1)－1]＝ ＋k(k ＋1)3＝k( k ＋1)k －1 ＋1 ＝ 3k (k ＋1)(k ＋2)3＝(k ＋1)[( k ＋1)＋1][( k ＋1)－1] ＝右边．3含详解答案高考总复习故当 n＝k＋1 时，等式成立．n( n＋1)( n－1)综上①②，当 n≥2 时，T n＝3 .含详解答案。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
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数列的通项以及用归纳法证明不等式
例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：
（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；
（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．
分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．
解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，
,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a
))(())()((121231212
a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯= 2,,,,,,1321n
b b b b 成等差数列，
,3211=+=+∴n b b
.2
32)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22n
n A =，数列}{n B 的通项.23n B n =
（2）,4
9,2,23,22222n B A n B A n n n n n
n ==∴== 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与24
9n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4
922n n > 经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4
922n n >下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）7=n 时已证24
92n n > （ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即24
92k k >，好么
].1)2()1[(4
9]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k ,)1(4
9]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故21)1(,4
92+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，24
92n n >成立，即.,22n n n n B A B A >∴> 说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．
猜想数列通项、利用归纳法证明不等式
例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n
（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；
（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n
（ⅱ）.2
111111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．
解：（1）由21=a 得,3112
12=+-=a a a
由,32=a 得,4122223=+--a a a
由43=a ，得.5133234=+-=a a a 由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n
（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：
①当213,11+=≥=a n ，不等式成立．
②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k
根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n
（ⅱ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对2≥k ，有。