2018届高三数学二轮专题复习资料专题14：不等式与三角、向量综合难点专项研究

专题14: 不等式与三角、向量综合专项研究
类型一:不等式与三角
一､高考回顾
1．(16年江苏) 在锐角三角形ABC ∆，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是___________． 分析与解：由sin A ＝2sin B sin C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，
两边同时除以cos B cos C 可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，
考虑消元，根据条件得到了B ，C 所满足的关系，因此可将tan A tan B tan C 中的A 消去， 因此有tan A tan B tan C ＝－tan B tan C tan(B ＋C )＝(tan B ＋tan C )tan B tan C
tan B tan C －1，
再由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C 可得：tan A tan B tan C ＝2(tan B tan C )2
tan B tan C －1
，
至此，消去了A ，继续利用B ，C 满足的关系tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，可以消去B 或者C 转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将tan B tan C 看作一整体，这样求解就变得简单了，
设tan B tan C ＝t (t ＞1)，
则tan A tan B tan C ＝2t 2t －1＝2(t －1＋1
t －1
＋2)≥8．
于是tan A tan B tan C 最小值为8，当然得到关于t 的函数后，也可以利用导数求最小值．
如果能注意到在锐角三角形ABC ∆中有如下恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ， 考虑整体有：
tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 解得tan A tan B tan C ≥8，
可以检验等号能取到，故tan A tan B tan C 的最小值是8． 二､方法联想
三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程．
三､归类研究
1．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是___________． 答案：
6－2
4
． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b 2－c 2＝1，则cos A 的最小值是___________． 3．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin α
sin β，则tan α的最大值是___________． 答案：2
4．
4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2
－a 2
＝ac ，则3tan A －4
tan B 的最小值___________．
答案：22．
5．在△ABC 中，3sin 2B ＋7sin 2C ＝2sin A sin B sin C ＋2sin 2A ，则sin(A ＋π
4)的值是 ．
答案：－1010
．
F
E
D
C B
A
类型二:不等式与向量
一､高考回顾
1．(15年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．点E 和点F 分别
在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λ
DC →，则AE →·AF →
的最小值为____________．
分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算．
方法1：选择AB →，AD →作为一组基底，易知AB →2＝4，AD →2＝1，AB →·AD →
＝1， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(－AB →＋AD →＋12AB →)
＝(1－12
λ)AB →＋λAD →
，
AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋19λDC →＝118λ
AB →＋AD →，
于是AE →·AF →＝[(1－12λ)AB →＋λAD →]·(118λAB →＋AD →)＝118λ(1－12λ)AB →2＋(1918－12λ)AB →·AD →＋λAD →
2
＝12λ＋29λ＋1718≥2918(当λ＝2
3时取等号)，
所以AE →·AF →
的最小值为2918
．
方法2：建立如图所示的直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (32，32)，D (12，3
2
)，
根据BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →
，可以求得E (2－λ2，32λ)，F (19λ＋12，32)于是AE →·AF →
＝(2－λ2)(19λ＋12)＋32λ×32＝＝12λ＋29λ＋1718≥2918．
二､方法联想
向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算．
三､归类研究
1．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →
|＝t ，若P 点△ABC 所在平面内一点，
且AP →＝AB →|AB |＋4AC →|AC |，则PB →·PC →的最大值是___________．
答案：13．
2．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，记|AD →|＝m ，|BC →|＝n ，若AB →·AC →
＝1，则1m 2－1n 2的最大值是__________．
答案：14．
3．以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→
BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 答案：3．
4．已知平面向量a ，b 不共线，且满足条件|a |＝1，|a ＋2b |＝1，则|b |＋|a ＋b |的取值范围是__________． 答案： (1，2]．
5．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点（不包括端点），若AC →＝λAM →＋μAN →，则1λ＋3μ的最小值为 ．b a ＝y x ，
答案：27
4
．
类型三:含多个变量的不等式问题
一､高考回顾
1．(12江苏)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b
a 的取值范围是 ．
分析与解：由5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可得：5－3a c ≤b c ≤4－a c ，ln b c ≥a
c ，
设a c ＝x ，b
c
＝y ，则有5－3x ≤y ≤4－x ，y ≥e x ，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)， 当直线y ＝kx 与y ＝e x
相切于点M 时，b a ＝y x 最小，容易求得M (1，e)，因此b a 的最小值是e ，,当y ＝kx 过点N (12，72)时，b
a 最大，最大值为7，
所以b
a 的取值范围是[1，e]．
二､方法联想
含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换）．二是减元，例如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握．
三､归类研究
1．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y
的最大值是___________．
答案：43．提示：减元，4x 4x ＋y ＋y x ＋y
＝44＋y x ＋y x
1＋y x ＝44＋t ＋t 1＋t ，其中t ＝y x ．
2．设a ，b ，c 是正实数，满足b ＋c ≥a ，则b c ＋c
a ＋
b 的最小值为___________．
答案：2－1
2
．提示：消元(不等替换)、减元，
b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c (b ＋c )＋b ＝b c ＋c 2b ＋c ＝b c ＋12b c ＋1＝t ＋12t ＋1
，其中t ＝b c ．
3．若不等式x 2＋xy ≤a (x 2＋y 2)对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值是___________． 答案：
2＋1
2
． 4．已知实数a 、b 、c 满足条件0≤a ＋c －2b ≤1，且2a
＋2b
≤21＋c
，则2a －2b
2
c 的取值范围是_________．
答案：[－14，5－17
2
]．
5．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5
c ，则a ＋3b c 的取值范围是____________． 答案：[27
5，7]．。