不等式的概念和基本性质
不等式的基本概念与性质
不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。
不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。
不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。
2. 不等式的符号及其含义（1）≠：不相等。
表示两个数或两个代数式不相等。
（2）<：小于。
表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。
（3）≤：小于等于。
表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。
（4）>：大于。
表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。
（5）≥：大于等于。
表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性如果a＜b，b＜c，那么a＜c。
即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之间的大小关系也成立。
2. 不等式的加减性如果a＜b，那么a±c＜b±c。
即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。
3. 不等式的乘除性（1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。
（2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。
4. 不等式的倒置性如果a＜b，那么-b＜-a。
即不等式两边取相反数，不等式的方向发生改变。
5. 不等式的平方性（1）如果a＜b，且a、b≥0，那么a²＜b²。
即两个非负数之间的不等关系，其平方的大小关系保持不变。
不等式的性质、解不等式
不等式的基本性质、解不等式【基础知识】一、不等式的概念及基本性质注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。
如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求a b -的范围可以转化成求()a b +-的范围，求a b 的范围可以转化成求1a b⨯的范围。
②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。
三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集。
温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。
2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。
实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。
四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。
方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。
注意小分类求交大综合求并。
方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以用平方法。
2、绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。
【例题精讲】例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式及其性质
不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．（2015春•辽阳校级期中）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27举一反三：【变式】aa 的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个3．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形，判断下列正确的情形是( ).举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■类型二、不等式的基本性质4.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b-3a ＜0，则b ＜3a ； （2）如果-5x ＞20，那么x ＞-4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）． （6）若a ＞b ＞0，则1a <1b．5.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ). A ．a+c ＞b+c B ．c-a ＞c-b C ．ac ＞bc D ．a b c c>举一反三： 【变式】（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则ac bc >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个7. （2015春•十堰期末）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．8.若关于x、y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a 的取值范围是．【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞bC．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b【基础练习】一、选择题1. （2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列不等式表示正确的是( ).A ．a 不是负数表示为a ＞0B ．x 不大于5可表示为x ＞5C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0D ．m ＞n ，n ＞4，则m ＞43.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a+3＞b+3B ．2a ＞2bC ．-a ＜-bD ．a-b ＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.A.a ＞cB.a ＜cC.a ＜bD.b ＜c 6．下列变形中，错误的是（ ）.A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5B ．若213x ->，则23x <- C ．若115x -<，则x ＞-5 D ．若1115x >，则511x >二、填空题7．用“＞”或“＜”填空：(1)-10.8________10.4； (2)327-________2(2)--；(3)15-________16- ； (4)32________8； (5)(-2)3________3|2|- ； (6) -1.11________119-； (7)当a ＞0，b_____0 时，ab ＜0 ； (8) 当a ＞0，12-a_____0. 8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： (1)a 的绝对值与它本身的差是非负数________； (2)x 与-5的差不大于2________；(3)a 与3的差大于a 与a 的积________； (4)x 与2的平方差是—个负数________． 9．（2015春•玉田县期末）如果a ＜b ．那么3﹣2a 3﹣2b ．（用不等号连接）10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ；(3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1．11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2bc (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题 13．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？请完成下列填空（填“＞”或“＜”），探索归纳得到一般的关系式： （1）已知5321>⎧⎨>⎩可得5+2______3+1，已知3512->-⎧⎨->-⎩可得-5-2_____-3-1； 已知2314-<⎧⎨<⎩可得-2+1_____3+4，…，一般地，如果a bc d >⎧⎨>⎩，那么a+c____b+d ．（2）应用不等式的性质证明上述关系式．14. （2015春•睢宁县校级月考）用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x x 2+1当x=1时，2x x 2+1当x=﹣1时，2x x 2+1（2）任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小；15．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)516x -+和516y -+； (3) x-2和y-1．【提高练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2. 若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得﹣2a ＞﹣2b C ．由a ＞b 得﹣a ＜﹣b D ．由a ＞b 得a ﹣2＜b ﹣24．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<<5.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b <cd，给出下列四个不等式：①a c a b c d <++；②c a c d a b <++；③d b c d a b <++；④b da b c d<++ 其中不等式正确的是（ ）.A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．如果a ＞b ，那么下列不等式一定成立的是( ).A ．a+c ＞b-cB ．a-c ＜b-cC ．11a b< D ．-a ＜-b 二、填空题 7．（2015春•盐城校级期中）给出下列表达式：①a （b+c ）=ab+ac ；②﹣2＜0；③x ≠5；④2a ＞b+1；⑤x 2﹣2xy+y 2；⑥2x ﹣3＞6，其中不等式的个数是 ． 8．(1)若22a b c c <，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________．11．下列结论：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac ＞bc ，则a ＞b ；③若a ＞b ，且c ＝d ，则ac ＞bd ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ，其中正确的有_________．(填序号)12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．(2015.保定期末)用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．14．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A ＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ． 2. 【答案】D ；【解析】a 不是负数应表示为a ≥0，故A 错误； x 不大于5应表示为x ≤5，故B 错误； x 与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C 错误；故D 正确. 3.【答案】B. 4.【答案】D ；【解析】从不等式a ＜b 入手，由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A 不成立；由不等式的性质2，不等式a ＜b 的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a ＜2b ，故选项B 不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b 的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a ＞-b ，故选项C 也不成立；由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都减去b 后，不等号的方向不变，得a-b ＜0．故应选D ． 5.【答案】A. 6.【答案】B ；【解析】B 错误，应改为：213x ->，两边同除以23-，可得：32x <-. 二、填空题7.【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6) ＞ (7)＜ (8)＜； 【解析】根据大小进行判断．8.【答案】 (1)|a|-a ≥0 (2)x-(-5)≤2 (3)23a a -> (4)2220x -<；9.【答案】＞．【解析】∵a ＜b ，两边同乘﹣2得：﹣2a ＞﹣2b ，不等式两边同加3得：3﹣2a ＞3﹣2b. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断. 12.【答案】-1＜k ≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）由题意得，5+2＞3+1；-5-2＜-3-1；-2+1＜3+4；a+c ＞b+d ； （2）令c=d+1，则可得a+d ＞b+d ，a+d+1＞b+d ， ∴a+c ＞b+d ． 14.【解析】解：（1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x ＜x 2+1当x=1时，2x=x 2+1当x=﹣1时，2x ＜x 2+1， 故答案为：＜，=，＜；（2）当x=3时，2x ＜x 2+1，当x=﹣2时，2x ＜x 2+1.15.【解析】解： (1)∵ x ＜y ∴ 8x ＜8y ， ∴ 8x-3＜8y-3．(2)∵ x ＜y ，∴ 55y 66x ->-， ∴ 551166x y -+>-+．(3)∵ x ＜y ，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴ x-2＜y-1．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3.【答案】C ．【解析】∵a ＞b ，∴①c ＞0时，ac ＞bc ；②c=0时，ac=bc ；③c ＜0时，ac ＜bc ， ∴选项A 不正确；∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，∴选项B 不正确；∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ， ∴选项C 正确；∵a ＞b ，∴a ﹣2＞b ﹣2，∴选项D 不正确． 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】D ； 二、填空题 7.【答案】4.8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8.10．【答案】35a >-； 11.【答案】④ .12.【答案】9≤m ＜12；【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m ＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：（1）x+2x ≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r ，则应有r ≥300；（3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3a+4b ≤268；（4）用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%；（5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a≥b ．14.【解析】解： ∵ -2＜a ＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a ≥-2时，3a+6就为非负数．又∵ -2＜a ＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-715.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<．∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ；当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ；当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。
§7.1 不等式的概念及性质、一元二次不等式
b m
b <⑦ a m ; b > b m (b-m>0);
a
a am
a m
a > a m ; a <⑧ b m (b-m>0).
b bm b
4
考向突破
考向 利用不等式性质比较大小
例1 (2017山东烟台模拟,9)若a,b为非零实数,且a<b,则下列判断正确的
是 ( )
解析 原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,x≤-1.
②当a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
当a>0时,x≥ 2 或x≤-1.
a
当a<0时,由于 2 -(-1)= a 2 ,
a
a
于是,当-2<a<0时, 2 ≤x≤-1;
a
当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤ 2 .
ab2 a2b
ab
答案 C
5
考点二 一元二次不等式
考向基础 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
6
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不 等式的性质,将二次项系数转化为正数,再对照上表求解. 2.含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项含有参数,则应先讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后 整理不等式. (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式Δ与0的关系,判断相应一元二次 方程的根的个数. (3)确定无根时直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两根的大 小关系,从而确定解集的形式.
a
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综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为
高一基本不等式知识点笔记
高一基本不等式知识点笔记在高一的数学学习中，基本不等式是一个非常重要的知识点。
掌握好基本不等式的相关概念和性质，对于解决各种数学问题和提高数学思维能力都具有重要的作用。
本文将为大家总结高一基本不等式的知识点，并提供相关例题进行讲解。
一、基本不等式的定义在数学中，不等式是通过“大于”、“小于”等符号来表示大小关系的数学语句。
基本不等式是指那些具有普遍适用性的不等式，它们是数学思维的基础。
二、基本不等式的性质1. 加法性质：如果a＞b，则a+c＞b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：如果a＞b，则a-c＞b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，且c ＜0，则ac＜bc。
4. 除法性质：如果a＞b，且c＞0，则a/c＞b/c；如果a＞b，且c＜0，则a/c＜b/c。
5. 倒数性质：如果a＞b，且a、b为正数，则1/a＜1/b。
三、基本不等式的解法1. 原则一：不等式两边同时加（或减）一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。
2. 原则二：不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的正数，不等式的大小关系保持不变；不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的负数，不等式的大小关系颠倒。
3. 原则三：同一个不等式两边可以加（或减）同一个数，可以乘以一个正数，但不能除以一个有可能为零的数。
四、基本不等式的例题解析例题一：如果3x+4y＞2，且x＞1，求x和y的取值范围。
解析：根据题目条件，可以得到不等式3x+4y＞2，以及x＞1。
首先，解不等式 x＞1，可以得到 x 的取值范围为 x＞1。
然后，将 x 代入不等式 3x+4y＞2 中，得到 3(1)+4y＞2，化简为 4y＞-1，再化简为 y＞-1/4。
综合以上两个条件，可以得到不等式 x＞1 且 y＞-1/4，即 x 的取值范围为 x＞1，y 的取值范围为 y＞-1/4。
例题二：已知 a＞0，b＞0，c＞0，证明 (a+b+c)/3＞√(abc)。
5不等式和它的基本性质
不等式和它的基本性质一、考点扫描：1．了解不等式的意义。
2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。
二、名师精讲：1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc(或> )（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<BC(< SPAN>或< )3．不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。
不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。
在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。
三、例题分析第一阶梯[例1]我们已经学过的等式，方程是用"="连接式子，它表示数量间的相等关系，例如2+3=5，3x-1=2x+7， a+b=b+a等。
事实上，在实际生活中，同类量之间具有不相等关系的例子是大量的，普遍的，例如：某天的气温最低是-2℃，最高是3℃说明气温不相等，两个同学们体重分别是95斤和87斤，也不相等，上述两个例子我们可以分别表示成-2＜3，95＞87，像这种用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有"＞""＜""＞""≥""≤""≠"。
根据不等式的概念，请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4提示：什么叫做不等式？常用的不等号有哪些？参考答案：②③④⑤是不等式。
初中数学知识点必备：不等式
初中数学知识点必备：不等式学校数学学问点：不等式1用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集(solution set)。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality of one unknown)。
不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的`方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
三角形中任意两边之差小于第三边。
三角形中任意两边之和大于第三边。
不等式(组)1、不等式：用不等号(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等关系的式子。
2、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。
提示大家：解不等式指的是求不等式解集的过程叫做解不等式。
学校数学学问点：不等式21.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.留意：一般说二元一次方程有很多个解.2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.留意：一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)留意：推断如何解简洁是关键。
5.一次方程组的应用：(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能简单一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。
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不等式的概念和基本性质
重点：不等式的基本性质
难点：不等式基本性质的应用
主要内容：
１．不等式的基本性质
（１）a>b b<a
（２）a>b,b>c a>c
（３）a+b<c a<c-b
a>b a+c>b+c
（４）a>b
２．不等式的运算性质
（１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d
（２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c
（３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0
（４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0
（５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2)
（６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2)
３．基本不等式
（１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号）
（２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）
（３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号）
（４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）
（５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号）
（６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
基本不等式可以在解题时直接应用。
例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac<bc;（２）若ac2>bc2, 则a>b;
（３）若a<b<0, 则a2>ab>b2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|;
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
解：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。
（３）因为所以a2>ab①
又所以ab>b2②
综合①②得a2>ab>b2
故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．
（５）因为所以
所以从而ab<0
又因a>b所以a>0, b<0．
故原命题为真命题．
例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围．
解：由题意可知：∴
∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1)∴运算可知-1≤f(3)≤20
错解：依题设有①消元，得②
∵f(3)=9a-c∴-7≤f(3)≤26
错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范围，同向不等式在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性．。