不等式的基本性质知识点

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高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质

高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质

4.1不等式的基本性质1.不等式的基本性质: ①对称性:a>b b<a; ②传递性:a>b,b>c a>c; ③可加性:a>b a+c>b+c; ④加法法则:a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性:a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则:a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则:a>b>0 an>bn;⑨开方法则:a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2.基本不等式(以下√表示根号,^表示指数)如果a 、b 都为实数,那么a 平方+b 平方≥2ab,当且仅当a=b 时等号成立 证明如下: ∵(a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数,那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数,那么(a+b )/2 ≥√ab ,当且仅当a=b 时等号成立。

(这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数,当且仅当a=b 时等号成立。

)和定积最大:当a+b=S 时,ab≤S^2/4(a=b 取等) 积定和最小:当ab=P 是,a+b≥2√P(a=b 取等)ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式:如果a,b 都为正数,那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥(a+b )/2 ≥√ab≥2/(1/a+1/b)(当且仅当a=b 时等号成立。

)( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数;(a+b )/2叫正数a,b 的算数平均数;√ab 正数a,b 的几何平均数;2/(1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。

初中数学知识点梳理第四章不等式

初中数学知识点梳理第四章不等式

初中数学知识点梳理第四章不等式初中数学第四章主要介绍了不等式的基本理论、解不等式的一般步骤以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法等内容。

一、不等式的基本性质1.不等式的定义:不等式是表达两个数据之间大小关系的数学式,用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。

2.不等式的两端可以加上、减去相同的数,并且不等号方向不变。

3.不等式的两端可以乘以、除以正数,并且不等号方向不变;如果乘以或除以负数,则需要改变不等号的方向。

4.不等式的两端可以交换位置,但要改变不等号的方向。

二、不等式的解法步骤1.将不等式化简,使其符合格式要求。

2.根据不等式的性质,找出合适的变量范围。

3.根据条件,求出变量的取值范围。

4.根据不等式的性质,确定不等式的解集。

三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式是指只含有一个变量的一次函数不等式,形如ax + b < c 或 ax + b > c。

2.解一元一次不等式的步骤:(1) 将不等式化为形如ax + b < 0或ax + b > 0的形式。

(2)确定变量范围,找出通解的形式。

(3) 求解方程ax + b = 0,得出一个关键点,并将变量范围分为几个部分。

(4)根据关键点判断每个部分的取值情况,得出不等式的解集。

四、一元二次不等式的解法1. 一元二次不等式是指只含有一个变量的二次函数不等式,形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

2.解一元二次不等式的步骤:(1) 将不等式化为标准形式ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

(2)确定变量范围,找出通解的形式。

(3) 求解方程ax² + bx + c = 0,得出两个关键点,并将变量范围分为几个部分。

(4)根据关键点判断每个部分的取值情况,得出不等式的解集。

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点,是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质,还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性:若a < b,且b < c,则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性:若a < b,则有a±c < b±c,其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性:若a < b,且c > 0,则有ac < bc;若a < b,且c < 0,则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式:例如ax + b < c或ax + b > c,其中a、b、c 为已知实数,x为未知数。

求解一元一次不等式时,可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式:例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0,其中a、b、c为已知实数,x为未知数。

求解一元二次不等式时,可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式:例如|ax + b| < c或|ax + b| > c,其中a、b、c为已知实数,x为未知数。

求解绝对值不等式时,可以利用绝对值的性质,将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示:例如a < x < b或a ≤ x ≤ b,其中a、b为已知实数,x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴,标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示:例如y < ax + b或y > ax + b,其中a、b 为已知实数,x、y为未知数。

数学必修一不等式知识点

数学必修一不等式知识点

数学必修一不等式知识点一、不等式的基本性质。

1. 对称性。

- 如果a > b,那么b < a;如果a < b,那么b > a。

2. 传递性。

- 如果a > b,b > c,那么a > c。

3. 加法法则。

- 如果a > b,那么a + c>b + c。

- 推论:如果a > b,c > d,那么a + c>b + d。

4. 乘法法则。

- 如果a > b,c>0,那么ac > bc;如果a > b,c < 0,那么ac < bc。

- 推论:如果a > b>0,c > d>0,那么ac > bd。

- 乘方法则:如果a > b>0,那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 开方法则:如果a > b>0,那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈ N,n≥slant2)。

二、一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 求解一元二次不等式的步骤(以ax^2+bx + c>0(a>0)为例)- 先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根(判别式Δ=b^2-4ac)。

- 当Δ>0时,方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1,不等式的解集为{xx < x_1或x>x_2}。

- 当Δ = 0时,方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0,不等式的解集为{xx≠ x_0}。

- 当Δ<0时,方程ax^2+bx + c = 0无实根,不等式ax^2+bx + c>0的解集为R。

- 对于ax^2+bx + c < 0(a>0)的情况,当Δ>0时,解集为{xx_1;当Δ = 0时,解集为varnothing;当Δ<0时,解集为varnothing。

高考数学知识点不等式的基本性质详解

高考数学知识点不等式的基本性质详解

高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝,以下是不等式的基本性质详解,请参考。

不等式的基本性质
1.不等式的定义:a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景,来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。

作差后,为判别差的符号,需求分解因式,以便运用实数运算的符号法那么。

2.不等式的性质:
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。

不等式基本性质有:
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时,abc
c0时,abac
运算性质有:
(1)ada+cb+d。

(2)a0,c0acbd。

(3)a0anbn(nN,n1)。

(4)a0N,n1)。

应留意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:和即推出关系和等价关系。

普通地,证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。

解不等式就是实施一系列的等价变换。

因此,要正确了解和运用不等式性质。

②关于不等式的性质的调查,主要有以下三类效果:
(1)依据给定的不等式条件,应用不等式的性质,判别不等式能否成立。

(2)应用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判别实数值的大小。

(3)应用不等式的性质,判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。

以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。

根据不等式的基本性质知识点梳理,解决以下问题。

根据不等式的基本性质知识点梳理,解决以下问题。

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根据不等式的基本性质知识点梳理不等式是数学中常见的一种关系表达式,通过它我们可以描述数值的大小关系。

在解决问题时,掌握不等式的基本性质是非常重要的。

下面将梳理一些关于不等式的基本性质知识点,并解决以下问题。

1. 不等式的基本性质1.1 加减性质不等式的加减性质指的是,如果不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等式的关系不会改变。

这个性质可以简化不等式的求解过程。

1.2 乘除性质不等式的乘除性质指的是,如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个正(或负)数,不等式的关系不会改变。

需要注意的是,当乘(或除)以一个负数时,不等式的方向会发生变化。

1.3 反号性质不等式的反号性质指的是,如果不等式两边同时取反,不等式的关系会改变。

例如,如果原不等式是大于(或大于等于),则取反后变成小于(或小于等于)。

2. 解决问题2.1 例题一:解不等式现有一个不等式 2x + 1 > 5,求解 x 的取值范围。

解答:根据加减性质,我们可以将不等式两边同时减去1,得到 2x > 4。

再根据乘除性质,可以将不等式两边同时除以2,得到x > 2。

所以不等式的解集为 x > 2。

2.2 例题二:求不等式的交集已知两个不等式 3x - 2 ≤ 5 和 x + 3 > 2x,求解 x 的取值范围。

解答:对第一个不等式进行变形,得到3x ≤ 7。

对第二个不等式进行变形,得到 x < 3。

所以不等式的交集为3x ≤ 7 且 x < 3,即解集为x ≤ 7/3 且 x < 3。

总结通过对不等式的基本性质的了解,我们可以简化不等式的求解过程,找到不等式的解集。

不等式的加减、乘除和反号性质是我们解决不等式问题时的有力工具。

不等式的基本性质知识点分析得出以下结论

不等式的基本性质知识点分析得出以下结论

不等式的基本性质知识点分析得出以下结论1.加减法性质:-如果不等式两边同时加上(或减去)同一个实数,不等号的方向不变。

-如果不等式两边同时加上(或减去)一个正实数,不等号的方向不变。

-如果不等式两边同时加上(或减去)一个负实数,不等号的方向会发生改变。

2.乘除法性质:-如果不等式两边同时乘以(或除以)一个正实数,不等号的方向不变。

-如果不等式两边同时乘以(或除以)一个负实数,不等号的方向会发生改变。

-如果不等式两边同时乘以(或除以)一个变量,需要分析变量的正负情况来确定不等号的方向:-当变量为正时,不等号的方向不变。

-当变量为负时,不等号的方向会发生改变。

-当变量为0时,需要特别注意约束条件。

3.绝对值性质:-若x为实数,则,x,>=0,即绝对值永远是非负数。

-若x为实数,则,x,=-x当且仅当x<=0。

-若x为实数,则,x^2,=x^2成立。

4.幂性质:-如果指数为正偶数,不等号的方向不变。

-如果指数为负偶数,不等号会发生改变。

-如果指数为正奇数,则不等号的方向不变。

-如果指数为负奇数,则不等号会发生改变。

-幂函数在整数幂的变化过程中,大于1的正数变得更大,小于1的正数变得更小。

5.开放性质:-开方函数只对非负的实数有意义。

-如果指数为偶数,不等式要求变量的取值范围非负。

-如果指数为奇数,不等式对变量的取值范围没有限制。

总结:-加减法性质可以使不等式两边进行加减运算,相当于改变不等式两边的基准值,但不改变不等式的相对大小关系;-乘除法性质可以使不等式两边进行乘除运算,相当于改变不等式两边的比例关系;-绝对值性质可以对不等式中的绝对值进行简化处理;-幂函数的幂性质可以改变不等式的绝对值大小;-开放性质用来限定不等式中变量的取值范围。

以上是不等式的基本性质的分析和结论。

这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行合理的变换和推导,使得问题的求解更加简洁明了。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质:①对称性:a>b等价于b<a。

②传递性:a>b。

b>c则a>c。

③可加性:a>b等价于a+c>b+c,其中c为任意实数。

同向可加性:a>b,c>d,则a+c>b+d。

异向可减性:a>b,cb-d。

④可积性:a>b,c>0则ac>bc,a>b,c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性:a>b>0,c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性:a>b>0,0bc。

a>b>0,则a^n>b^n,其中n为正整数且n>1.⑦开方法则:a>b>0,则√a>√b。

⑧倒数法则:a>b>0,则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式:a/b+b/a>=2,当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab,当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab,当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc,当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc,当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3,当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|,对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式:a-b|<=√(a^2+b^2),对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2),对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1),对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2),对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab,对任意正实数a,b成立。

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不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点
1.不等式的定义:a-b&gt;0a&gt;b, a-b=0a=b,
a-b&lt;0a&lt;b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数,
设x1, x2&isin;(-&infin;,+&infin;), x1&lt;x2,
f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2
+x22]
再由(x1+)2+x22&gt;0, x1-x2&lt;0,可得f(x1)&lt;f(x2), &there4; f(x)为单增。

2.不等式的性质:
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有:
(1) a&gt;bb&lt;a (对称性)
(2) a&gt;b, b&gt;ca&gt;c (传递性)
(3) a&gt;ba+c&gt;b+c (c&isin;R)
(4) c&gt;0时,a&gt;bac&gt;bc
c&lt;0时,a&gt;bac&lt;bc。

运算性质有:
(1) a&gt;b, c&gt;da+c&gt;b+d。

(2) a&gt;b&gt;0, c&gt;d&gt;0ac&gt;bd。

(3) a&gt;b&gt;0an&gt;bn(n&isin;N, n&gt;1)。

(4) a&gt;b&gt;0&gt;(n&isin;N, n&gt;1)。

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此,要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

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