基本不等式知识点归纳教学内容
第9讲 基本不等式
第9讲基本不等式【知识点梳理】1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a R ≥∈≥≥∈（2）基本不等式：如果,ab R +∈，则2a b+≥(当且仅当“a b =”时取“”).特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）.（3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(421)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【例2】已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【题型专练】1.若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．902.已知二次函数()22f x ax x c =++（R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【例2】已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【例3】已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【例4】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【例5】当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【题型专练】1.已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．122.若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．23.已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．524.已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.5.设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．6．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b ++，则3a b +的最小值为___________.题型三常规凑配法【例1】已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【例2】函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【例4】设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）（A ）2（B ）4（C ）（D ）5【例5】若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【题型专练】1.函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．32.若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52C ．3D ．3+3.若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.题型四换元法【例1】函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【例2】函数2y =___________.题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【题型专练】1.若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-的最大值为___________.2.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．13.已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值为．A ．3B ．C ．1+D ．2【题型专练】1.若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．2.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．3.若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________4.若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x yy x +++的最小值是__________．题型七齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例1】已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y xy+++的最小值为．【例2】若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 【题型专练】1.已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-最小值为（）A B ．53C ．72+D 2.已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.3.已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______．4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A ．3-B ．1+C 1-D ．1+题型八和、积、平方和的转化若出现c nab b a m =++)(，其中a 、b 、m 、n 、c *∈R 因为4)(22b a ab ab b a +≤⇒≥+，可以转化为c nab ab m ≤+2或c b a nb a m ≥+++4)()(2，从而求出b a +及ab 的取值范围．若出现求nb ma +取值范围，先将式子c nab b a m =++)(因式分解成为z y b x a =++))((形式，再用基本不等式求出nb ma +最值．【例1】设0a >，0b >，24a b ab ++=，则()A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8【例2】设,1,0,0ab b a b a =++>>求b a 23+最小值．【例3】设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是．【题型专练】1．已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．2.已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．题型九多选题【例1】已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m =B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C 的最大值为m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为2【例2】已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（）A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．112a b+≥【例3】设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（）A ．()()0.51,,L a b L a b ≤B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤【例4】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【题型专练】1.（多选题）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a ba b+≥+D ．22a b a b+≥+2．（多选题）设1,1a b >>，且()1ab a b -+=，那么（）A ．+a b 有最小值)21+B ．+a b 有最大值)21+C ．ab 有最大值3+D ．ab 有最小值3+。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)
基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点 （1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22Sy x =+,∴xy ≤42S .） 和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,xx 4+≥44242==⋅x x ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab b a 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2ba +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=xx x x y ≥3142142=-=-⋅x x ,即y ≥3.当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立. ∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当yxx y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立.∴yx11+的最小值为223+.点评 本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为 【 】 （A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722. ∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x . ∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x . ∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=xx x x y ≥()638621623222-=-+⋅+x x . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xa x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()xa x x f +=4≥a x a x 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a ,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y 当且仅当yx x y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x .∵y x m m 222+<+恒成立∴只需()min 222y x m m +<+即可∴822<+m m ,解之得:24<<-m .∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值. 分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111*********+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0. 注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若m m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解: ()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+m m m m . 当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴mm 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴311132++=++x x x x x ≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴xa x 29+≥a x a x 6922=⋅. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当ba ab 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴ab b a 92231322=⋅≤13132=+ba ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xy y x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当xy y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xyy x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x 4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元） 当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>yxz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyzxyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x yy x x y 3321313312≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值. 例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值.分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,xx y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42maxx y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216xx +≥816222=⋅x x .当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y .（当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立）当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4.证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()ba b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立.∴ba b a -+22≥4.例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()ba ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a .∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+baa b . 当且仅当baa b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件. 证明: ∵10<<x ,∴01>-x .∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a xx a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()x x a x x b -=-1122,即b a ax +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数∴ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+ 33223332213231232132-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++-++-+=c b b c c a a c b a a b cb c a b c b a a c a b≥336332232332222=-=-⋅+⋅+⋅cb bc c a a c b a a b . 当且仅当cbb c c a a c b a a b 3223,33,22===,即c b a 32==时,等号成立. ∴c c b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 例38. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4分析: 注意到02>+y x ,根据题目所给条件的特点可先求出()[]min22y x +,然后开方即可得到()min 2y x +,而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x y x y x 81222.解: ∵y yx x -=-812,∴y x y x 812+=+.∵0,0>>y x ,∴02>+y x .∴()()y x y x +=+222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 81x y y x x y y x ++=+++=16108162 ≥1816210=⋅+xyy x . 当且仅当xyy x =16,即22,22==y x （x y 4=）时,等号成立. ∴()22y x +的最小值为18. ∴y x +2的最小值为2318=. ∴选择答案【 C 】.例39. 已知0,0>>b a ,且8=+b a ,则ba ab43+的最大值是_________. 解: ∵0,0>>b a ,8=+b a∴()a b b a a b b a b a b a b a ab b a b a ab 452414424148131434343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+=+ ≤38924452442524==+=⋅+abb a . 当且仅当a b b a 4=,即38,316==b a 时,等号成立. ∴b a ab 43+的最大值是38. 例40. 已知93,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 3+的最小值为_________. 解: ∵93=++xy y x ,∴39+-=x xy . ∵0,0>>y x ∴()()633633336336333933-+++=-++=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x ≥()6612633632=-=-+⋅+x x . 当且仅当3363+=+x x ,即1,3==y x 时,等号成立. ∴y x 3+的最小值为 6. 点评: 上面的方法为消去元y 后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知x 为正实数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值. 解: ∵x 为正实数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+22122212112222222y x y x y x y x≤423221122221222=+⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯y x .当且仅当22122y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 另解: ∵1222=+y x ,∴2222=+y x .∵x 为正实数∴()()()22222221222122111y x y x y x y x +=+⋅=+=+ ≤()4232122221222212222222=+⨯=++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯y x y x . 当且仅当2212y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 例42. 求函数131-++-=x x x y 的最大值.解: 设1-=x t ,则t ≥0,∴12+=t x . ∴41312++=-++-=t t tx x x y .当0=t ,即1=x 时,0=y ; 当0>t ,即1>x 时,141++=t t y ≤511421=+⋅tt . 当且仅当tt 4=,即5,2==x t 时,取等号. ∴当1>x 时,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.综上所述,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.例43. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,代数式zy x 212-+的最大值为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3 解: ∵04322=-+-z y xy x ,∴2243y xy x z +-=.∵z y x ,,为正实数 ∴341431432222-+=+-=+-=x y y x xy y xy x y xy x xy z xy ≤13421=-⋅xy y x .当且仅当xyy x 4=,即y x 2=时,等号成立,此时22y z =. ∴1112122122212222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=-+y y y y y y z y x ≤1 ∴当1=y 时,zy x 212-+的最大值为1. ∴选择答案【 B 】.例44. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是 【 】（A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）45解: ∵xy y x 39422++≥xy xy xy xy y x 153123322=+=+⋅⋅∴xy 15≤30,∴xy ≤2. ∴xy 的最大值是2. ∴选择答案【 C 】.例45. 设0,0>>b a ,且ba kb a +++11≥0恒成立,则实数k 的最小值等于 【 】 （A ）0 （B ）4 （C ）4- （D ）2-解: ∵ba kb a +++11≥0恒成立∴k ≥()abb a 2+-恒成立.（这里,注意0>+b a ）只需k ≥()max2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a 即可,此时()ab b a 2+取得最小值. ∵0,0>>b a ∴()abb a 2+≥()4422==ababab ab ,当且仅当b a =时,等号成立. ∴()abb a 2+-≤4-,∴()4max2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a ∴k ≥4-,即k 的最小值为4-. ∴选择答案【 C 】.例46. 设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; 解: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a .∵c b b a -+-11≥ca m-恒成立 ∴c b ca b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可.∵cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+cb ba b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.例47. 对于任意∈x R ,不等式031222>++-x a x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解: ∵031222>++-x a x 恒成立∴13222++<x x a 恒成立,只需<a min 22132⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 即可.()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=+++=++12112111*********2222222x x x x x x x x . 设t x =+12,则[)+∞∈,1t ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++t t x x 21213222. ∵[)+∞∈,1t ,且()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t f 212在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22上单调递增 ∴()()321121min=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==f t f ,即3132min22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . ∴3<a ,即实数a 的取值范围是()3,∞-.注意 本题不能用基本不等式求最值.当111222+=+x x 时,方程无解.例48. 设0,0>>b a ,5=+b a ,则31+++b a 的最大值为_________. 解: ∵()()()()()31293124312+++=+++++=+++b a b a b a b a≤()()18319=++++a a . 当且仅当31+=+b a ,即23,27==b a 时,取等号. ∴()231+++b a 的最大值为18.∵031>+++b a∴31+++b a 的最大值为2318=.例49. 已知3,2>>y x ,()()432=--y x ,则y x +的最小值是 【 】（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x ∴()()232-+-y x ≥()()2432==--y x∴25-+y x ≥2,∴y x +≥9. ∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】.另解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x∴()()532+-+-=+y x y x ≥()()95425322=+⨯=+--y x .∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】. 例50. 若关于x 的不等式ax x -+4≥5在()+∞∈,a x 上恒成立,则实数a 的最小值为_________.解: ∵()+∞∈,a x ,∴0>-a x .∵ax x -+4≥5恒成立 ∴只需min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ≥5即可. ∵a ax a x a x x +-+-=-+44≥()a a a x a x +=+-⋅-442 当且仅当ax a x -=-4,即2+=a x 时,等号成立. ∴a a x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+44min ∴a +4≥5,解之得:a ≥1.∴实数a 的最小值为1.例51. 已知0,0>>y x ,且121=+yx ,则y x xy ++的最小值为_________. 解: ∵121=+yx ∴xy y x =+2∴y x y x y x y x xy 232+=+++=++.∵0,0>>y x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x 2123()y xx y y x x yy x 627462323++=+++=+≥3476227+=⋅+y xx y. 当且仅当y x x y 62=,即23,3323+=+=y x 时,等号成立.∴y x 23+,即y x xy ++的最小值为347+.例52. 已知0,0>>y x ,且053=+-+xy y x ,求xy 的最小值.解: ∵053=+-+xy y x∴xy y x 35=++.∵0,0>>y x∴5++y x ≥52+xy ,即xy 3≥52+xy ∴523--xy xy ≥0 ∴()()531-+xy xy ≥0解之得:xy ≥35.∴xy ≥925,当且仅当35==y x 时,等号成立.∴xy 的最小值为925.例53. 已知z y x ,,为正数,则222z y x yzxy +++的最大值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）22（D ）2解: ∵z y x ,,为正数 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++222222222z y y x yz xy z y x yz xy ≤yz xy yz xy 222222⨯+⨯+ ()22212==++=yz xy yzxy . 当且仅当y z x 22==时,等号成立. ∴222z y x yz xy +++的最大值为22. ∴选择答案【 C 】.例54. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ∵0>>b a ,∴0>-b a .∴()()()()ab ab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++ ≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a . 当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立. ∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.例55. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy .（1）求xy 的最小值;（2）求y x +的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵()1=+-y x xy ∴xy y x =++1. ∵y x ,都是正数 ∴y x ++1≥xy 21+,即xy ≥xy 21+. ∴12--xy xy ≥0. 解之得:xy ≥21+. ∴xy ≥()223212+=+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为223+;（2）由（1）知:xy y x =++1. ∵y x ,都是正数∴xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. （当且仅当21+==y x 时取等号） ∴()42y x +≥y x ++1,()()142-+-+y x y x ≥0. ∴()()442-+-+y x y x ≥0. 解之得:y x +≥222+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+.。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
第7讲 基本不等式(知识点串讲)(解析版)
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．]
练习、(2019·山东济宁月考)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()
A． B．
C． D．
【答案】B[∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝ .当且仅当x＝1－x，即x＝ 时，“＝”成立．]
练习、(2019·广东梅州月考)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则 的最小值是________.
【答案】3[∵a－2b＋3c＝0，∴b＝ ，∴ ＝ ≥ ＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”．]
【知识梳理】
6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解(1)由题设，得S＝(x－8) ＝－2x－ ＋916，x∈(8，450)．
(2)因为8<x<450，
所以2x＋ ≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【考点精炼】
考点四、基本不等式的实际应用
例4、(2019·山东聊城月考)某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。
基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。
本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。
解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。
具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。
令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。
同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。
解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。
例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。
2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。
根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。
解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。
具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。
高一教学基本不等式知识点
高一教学基本不等式知识点不等式是数学中常见的一种数学关系，它与等式相比具有更加灵活的性质和表达方式，因此在数学教学中具有重要的地位。
在高一阶段的数学学习中，不等式是一个非常基础且关键的内容，对学生的数学思维能力和解题能力有着重要的影响。
本文将从基本概念、性质、解不等式的方法和应用等方面进行论述。
一、基本概念1. 不等式的含义：不等式是用不等号（大于号或小于号）连接的两个数或两个代数式，表示二者的大小关系。
2. 不等式的符号表示：大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
二、不等式的性质1. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
若 a < b，b < c，则 a < c。
2. 加减性：若 a > b，则 a ± c > b ± c。
若 a < b，则 a ± c < b ± c。
3. 乘除性：若 a > b 且 c > 0，则 ac > bc；若 a > b 且 c < 0，则ac < bc。
若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc；若 a < b 且 c < 0，则 ac > bc。
三、解不等式的方法1. 加减法解不等式：将未知数移项集中，注意不等号方向的变化。
2. 乘除法解不等式：将未知数移项集中，注意不等号方向的变化。
当乘（除）一个负数时，不等号要反向。
3. 绝对值不等式：分两种情况讨论，根据绝对值的定义进行求解。
4. 一元二次不等式：将不等式化为一元二次函数的形式，通过求导或其他方法求解。
四、不等式的应用1. 区间表示法：用不等式表示数的范围，如 (a, b) 表示大于 a小于 b 的开区间，[a, b] 表示大于等于 a 小于等于 b 的闭区间。
2. 线性规划问题：利用不等式求解最值问题，常用于经济、工程等实际问题中。
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基本不等式知识点归纳基本不等式知识点总结向量不等式：||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤【注意】： a b r r 、同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r ur u r u r ； a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥；,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等双向不等式：a b a b a b -±+≤≤（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）放缩不等式：①00a b a m >>>>，，则b m b b ma m a a m-+<<-+. 【说明】：b b m a a m+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈，b d ac <，则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>，21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x =+>、图象及性质(1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0).基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R∈⇒222a b ab+≥(当且仅当a b=时取到“=”)．【变形】：①222()22a b a bab++≤≤（当a = b时，222()22a b a bab++==）【注意】：(,)2a ba b R++∈，2()(,)2a bab a b R+∈≤2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”22“”112ab a ba ba ba b+===++≤时取）*.若0x>，则12xx+≥ (当且仅当1x=时取“=”）;若0x<，则12xx+≤- (当且仅当1x=-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x xx x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当ba=时取“=”）*.若0>ab，则2≥+abba (当且仅当ba=时取“=”）若0ab≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当ba=时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3333a b c abc++≥（0a b c++>等式即可成立，时取等或0=++==cbacba）；3a b c++⇒3()3a b cabc++≤3333a b c++≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab时，abba222≥+同时除以ab得2≥+baab或baab-≥-11。
*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a ba -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则222)11(2111ba b a +≥+。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。
最值定理（积定和最小）①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值（和定积最大）②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有则的最小值为：21111()()by axax by a b a b x y x y x y+=++=+++++=≥④已知，若则和的最小值为：①. ②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域；⑷变用公式：基本不等式2a b +≥有几个常用变形2a b+≥，222()22a b a b ++≥不易想到，应重视；例4.求函数15()22y x =<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>，且xy e =，求ln (2)y t x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b=+的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设,,x y αα==，其中02απ<≤.①(,))4f x y x y πααα=+=+=+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44ππ上是减函数；②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x y xy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+，其中[1)(1,1)t ∈--U U .由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-，从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)--U U 上是减函数.⑵和为定值若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2b+∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2bb b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2b+∞上是增函数.③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b+∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.cy x=①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y c m x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数，在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=（d 为定值，111,,x d y ），则.c y x=成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d≠±，则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz==-+.①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时，在11(,),(,0]d d-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.。