不等式的概念、性质及解法

姓名学科韦日辉数学学生姓名年级年级填写时间教材版本2014--北师大版阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时课题名称课时计划共（）课时（全程或具体时间）上课时间:00-:00同步教学知识内容教学目标个性化学习问题解决教学重点教学难点不等式的概念、性质及解法中考要求内容不等式(组)不等式的性质基本要求能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．理解不等式的基本性质．了解一元一次不等式(组)略高要求能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)．会利用不等式的性质比较两个实数的大小．会解一元一次不等式和由两个一较高要求能根据具体问题中的数量关系列解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问示(确定)其解集．例题精讲会根据条件求整数解．题．⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ；⑵ y 的 与 4 的和小于 x ；> )< )板块一、不等式的概念和性质☞不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：-5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1） a 是正数（2） a 是非负数（3） a 的相反数不大于 1（4） x 与 y 的差是负数（5） m 的 4 倍不小于 8（6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数（7） x 的 3 倍不大于 x 的1 3（8） a 不比 0 大【巩固】用不等式表示：1 2 53⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ．【巩固】用不等式表示：⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1☞不等式的性质不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1)基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或a bc ca b c c基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果 a > b ，并且 c < 0 ，那么 ac < bc (或 a < )⑶ 若 - x > 6 ，则 x ______ -4 ；⑷ 若 a > b ， c > 0 ，则 ac ______ bc ；⑶ a ______ b ；⑷ -a ____ - b8 8C. 1 - 2a < 1 - 2bB. a < A ． 1 a bB ． ab < b 2A ． -a > -bB ． 1 a bC ． a + b > 2b【巩固】 如果 x > 2 ，那么下列四个式子中：① x 2 > 2x② xy > 2 y ③ 2x > x ④ 1 < 正确的式子的个数共有bc c如果 a < b ，并且 c < 0 ，那么 ac > bc (或 ax > b )不等式的互逆性：如果 a > b ，那么 b < a ；如果 b < a ，那么 a > b ．不等式的传递性：如果 a > b ， b > c ，那么 a > c ．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】⑴ 如果 a > b ，则 2a > a + b ，是根据；⑵ 如果 a > b ，则 3a > 3b ，是根据；⑶ 如果 a > b ，则 -a < -b ，是根据；⑷ 如果 a > 1 ，则 a 2 > a ，是根据；⑸ 如果 a < -1 ，则 a 2 > -a ，是根据．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若 a < b ，则 2a _______ 2b ； ⑵ 若 a > b ，则 -4a ______ -4b ；3 2⑸ 若 x < 0 ， y > 0 ， z < 0 ，则 ( x - y) z _______ 0 ．【巩固】若 a < b ，用“ > ”或“ < ”填空⑴ a + 2 _____ b + 2 ；⑵ a - 2 _____ b - 21 13 3【巩固】若 a < b ，则下列各式中不正确的是（）A. a - 8 < b + 81 1bD. a - 2 < b - 2【例3】已知 a > b ，要使 -bm < -am 成立，则 m 必须满足()A ． m > 0B ． m = 0C ． m < 0D ． m 为任意数【巩固】如果关于 x 的不等式 (a + 1)x > a + 1 的解集为 x < 1 ，那么 a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a > -1D. a < -1【巩固】若 a < b < 0 ，则下列不等成立的是()<1C ． a 2 > abD ． | a |<| b |【巩固】如果 a > b ，可知下面哪个不等式一定成立()1 <D ． a 2 > ab1x 2B ． a - c 2 > b - c 2C ． ac 2 > bc 2D ． a()A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ．1 个【巩固】根据 a > b ，则下面哪个不等式不一定成立()A ． a + c 2 > b + c 2b> c 2 + 1 c 2 + 1不等式的解集1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：-4 ， -2 ， 0 ，1 ， 2 都是不等式 x ≤ 2 的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的解集在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图x > ax < a【例4】下列说法中错误的是（）a x x ≥ aa x x ≤ aa xa xA.不等式 -2x < 8 的解集是 x > -4 ；C.不等式 x < 6 的正整数解有无数多个B. -40 是不等式 2x < -8 的一个解D.不等式 x < 6 正整数解有无限个【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴ x < 1 ；⑵ x ≥ -2 ； ⑶ x < -2 或 x ≥ 1 ； ⑷ -2 ≤ x < 1【巩固】在 - 1 、 -1 、 -2 、 0 、 -3 、 1 、 - 3 中，能使不等式 x + 3 < 2 成立的有（）2 2 2A. 4 个B. 3 个C. 2 个D.1 个【巩固】下列不等式：① -7 > -6 ；② a > -a ；③ a + 1 > a ；④ a > 0 ；⑤ a 2 + 1 > 0 ，其中一定成立的有（）或 x < 的形式)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个板块二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax < b 或 ax > b 的形式，其中 x 是未知数， a, b 是已知数，并且 a ≠ 0 ，这样的不等式叫一元一次不等式．ax < b 或 ax > b ( a ≠ 0 )叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成 ax < b 或 ax > b 形式)→系数化一(化成 x >b b a a【例6】求不等式 x + 3(x + 1) x - 5 > 1 -8 2的解集．【巩固】解不等式： 5x + 1 + 9 - 2x ≤ 3x - 112 3 6【巩固】解不等式 2x + 1 - 10x + 1 ≥ 5 x - 5 ，并把它的解集在数轴上表示出来．3 6 4【巩固】解不等式 2(x + 1) - 3x > 4(x + 1) + 5【巩固】当 x 为何值时，代数式 2x + 1 - 1 的值不小于 3 + 5x 的值？3 4y - 1 y - 1 ⎩ x ≥ b⎩ x ≤ b【例7】求不等式 4x - 5 12＜1 的正整数解．【巩固】不等式 x + 3 > 1 x 的负整数解是_______．2【巩固】不等式 y + 1 -3≥ 2 6的正整数解为__________．【巩固】求不等式 x + 1 ≥ 2x - 1 的非负整数解．2 3板块三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组（ a < b ）图示 解集 口诀⎧ x ≥ a ⎨⎧ x ≤ a ⎨a b x ≥ ba b x ≤ a同大取大同小取小⎩b ≤ b a ba ≤ x ≤b ⎩ x ≥ b【例8】解不等式组 ⎨，并把它的解集表示在数轴上． 2 x < x + 2【巩固】求不等式组 ⎧⎨⎪⎪ x - 10 x - 10 【例10】解不等式组： ⎨ ； ⎪ x + 3 > 7 + ⎪⎩ ⎨⎧ x ≥ a ⎨大小，小大中间找⎧ x ≤ a ⎨a b空集小小，大大找不到⎧3x - 1 > -4 ⎩2( x - 2) ≤ 4 x - 3 ①⎩2 x - 5＜1 - x②的整数解．【例9】解不等式： -1 < 3 - 2x 2≤ 2 ；【巩固】解不等式： 2x - 3 ≤ 2 ≤ 1 x + 14 2⎧1 1 x - 1 + > 4 + x ⎪⎩ 2⎧ 3x + 2 ≥ 3 - (1- x)【巩固】解不等式组： ⎪ x - 1 x + 2 1 - > - x2 3【例11】解不等式组： ⎨ 2x - 1 x + 6 ⎪⎩ 2 ⎧ 7 - x3 +4 x ⎪⎪ 2 5x -> - ①⎪⎪ 2 3 6 【例12】解不等式组 ⎨。