不等式的概念与性质
不等式的性质、解不等式
不等式的基本性质、解不等式【基础知识】一、不等式的概念及基本性质注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。
如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求a b -的范围可以转化成求()a b +-的范围，求a b 的范围可以转化成求1a b⨯的范围。
②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。
三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集。
温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。
2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。
实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。
四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。
方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。
注意小分类求交大综合求并。
方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以用平方法。
2、绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。
【例题精讲】例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。
等式与不等式
等式与不等式在数学中，等式与不等式是两种不同的数学表达方式。
等式是指两个数或者表达式之间相等的关系，通常用等号（=）表示；而不等式则表示两个数或者表达式之间不相等或者大小关系的一种数学形式。
本文将对等式和不等式进行详细介绍，包括其定义、性质以及在数学中的应用。
一、等式的定义与性质等式是指数学表达式中两个数或者表达式之间相等的关系。
等式使用等号（=）进行表示，左右两边的数或表达式具有相等的值。
例如：2 +3 = 5在这个等式中，左边的表达式2 + 3与右边的数5具有相等的值，因此该等式成立。
等式具有以下性质：1. 反身性：任何数与自身相等，即a = a。
2. 对称性：如果a = b，则b = a。
3. 传递性：如果a = b且b = c，则a = c。
4. 替换性：在等式的两边同时加上（或减去）相同的数或者表达式，等式仍然成立。
表达式，等式仍然成立。
等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解方程、证明等各个领域。
二、不等式的定义与性质与等式相比，不等式表示的是两个数或者表达式之间不相等或者大小关系。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
例如：3 +4 > 7这个不等式表示左边的表达式3 + 4大于右边的数7，因此该不等式成立。
不等式具有以下性质：1. 反身性：任何数与自身不相等，即a ≠ a。
2. 对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。
3. 传递性：如果a > b且b > c，则a > c；如果a ≥ b且b ≥ c，则a ≥ c。
4. 替换性：在不等式的两边同时加上（或减去）相同的正数，不等式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时加上（或减去）相同的负数，不等式的大小关系发生改变。
等式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时乘以（或除以）相同的负数，不等式的大小关系发生改变，并且需要反转不等号的方向。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
举例说明不等式的形式，如a > b、a ≤b 等。
1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。
性质2：如果a > b 且c > d，a + c > b + d。
性质3：如果a > b 且c < d，a + c < b + d。
性质4：如果a > b，a c > b c（其中c 是任意实数）。
第二章：不等式的运算2.1 加减法不等式介绍加减法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，a + c > b + c；a > b 且c < 0，a + c < b + c。
举例说明如何解决涉及加减法的不等式问题。
2.2 乘除法不等式介绍乘除法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，ac > bc；a > b 且c < 0，ac < bc。
举例说明如何解决涉及乘除法的不等式问题。
第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如解a > b 的问题，可将b 移至不等式右边，得到a b > 0。
举例说明如何解简单不等式。
3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如解a > b 且c > 0 的问题，可将不等式两边乘以c，得到ac > bc。
举例说明如何解复合不等式。
第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的应用举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，如判断身高、体重等是否符合要求。
引导学生运用不等式解决实际问题。
4.2 线性不等式组的解法介绍线性不等式组的解法，如解a > b 且c > d 的问题，可先解a > b，再解c > d，求交集。
不等式与不等式的性质
学习不等式与不等式的性质，有助于培养学生的逻辑思维和推理能力 ，对于提高学生的数学素养具有积极意义。
不等式与不等式性质的教学与学习建议
掌握基础概念
对于初学者来说，首先需要掌握不等式的基本概念和性 质，例如不等式的定义、不等式的性质、不等式的证明 等。
实践应用
通过解决实际问题，加深对不等式性质的理解。例如， 通过解决实际生活中的一些不等关系问题，可以帮助学 生更好地理解不等式的应用。
系统梳理
对于已经掌握了一定基础的学生，可以系统梳理不等式 与不等式的性质，形成知识网络，以便更好地理解和应 用。
不等式与不等式性质的未来发展与挑战
深入研究不等式性质
目前，对于一些复杂的不等式和不等式组，其性质的探究仍然是一个开放的问题。未来， 可以进一步深入研究不等式的各种性质以及它们之间的相互关系。
探索不等式在其他领域的应用
随着科学技术的发展，未来可以进一步探索不等式在其他领域的应用，例如在人工智能、 大数据分析、金融等领域。
发展不等式教学方法
针对不同学生的特点和需求，未来可以进一步发展和创新不等式的教学方法，以便更好地 满足学生的学习需求和提高教学效果。
THANK YOU.
总结词
不等式的对称性是指当两个不等式的变量互换时，不等式不改变方向。
详细描述
设x和y是不等式中的两个变量，如果x>y时，不等式成立，那么当y>x时，不 等式依然成立。这是由于不等式的性质决定的，因为不等式在变量互换时不 改变方向。
不等式的性质2：传递性
总结词
不等式的传递性是指当两个不等式同时成立时，它们的和、差、积也满足不等关 系。
化学反应
在化学反应中，反应物的浓度和温度等因素对反应速率有着重要的影响。不等式可以用来 建立反应速率与这些因素之间的关系，为化学反应的研究和控制提供依据。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式及其性质
不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．（2015春•辽阳校级期中）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27举一反三：【变式】aa 的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个3．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形，判断下列正确的情形是( ).举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■类型二、不等式的基本性质4.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b-3a ＜0，则b ＜3a ； （2）如果-5x ＞20，那么x ＞-4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）． （6）若a ＞b ＞0，则1a <1b．5.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ). A ．a+c ＞b+c B ．c-a ＞c-b C ．ac ＞bc D ．a b c c>举一反三： 【变式】（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则ac bc >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个7. （2015春•十堰期末）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．8.若关于x、y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a 的取值范围是．【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞bC．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b【基础练习】一、选择题1. （2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列不等式表示正确的是( ).A ．a 不是负数表示为a ＞0B ．x 不大于5可表示为x ＞5C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0D ．m ＞n ，n ＞4，则m ＞43.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a+3＞b+3B ．2a ＞2bC ．-a ＜-bD ．a-b ＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.A.a ＞cB.a ＜cC.a ＜bD.b ＜c 6．下列变形中，错误的是（ ）.A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5B ．若213x ->，则23x <- C ．若115x -<，则x ＞-5 D ．若1115x >，则511x >二、填空题7．用“＞”或“＜”填空：(1)-10.8________10.4； (2)327-________2(2)--；(3)15-________16- ； (4)32________8； (5)(-2)3________3|2|- ； (6) -1.11________119-； (7)当a ＞0，b_____0 时，ab ＜0 ； (8) 当a ＞0，12-a_____0. 8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： (1)a 的绝对值与它本身的差是非负数________； (2)x 与-5的差不大于2________；(3)a 与3的差大于a 与a 的积________； (4)x 与2的平方差是—个负数________． 9．（2015春•玉田县期末）如果a ＜b ．那么3﹣2a 3﹣2b ．（用不等号连接）10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ；(3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1．11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2bc (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题 13．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？请完成下列填空（填“＞”或“＜”），探索归纳得到一般的关系式： （1）已知5321>⎧⎨>⎩可得5+2______3+1，已知3512->-⎧⎨->-⎩可得-5-2_____-3-1； 已知2314-<⎧⎨<⎩可得-2+1_____3+4，…，一般地，如果a bc d >⎧⎨>⎩，那么a+c____b+d ．（2）应用不等式的性质证明上述关系式．14. （2015春•睢宁县校级月考）用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x x 2+1当x=1时，2x x 2+1当x=﹣1时，2x x 2+1（2）任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小；15．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)516x -+和516y -+； (3) x-2和y-1．【提高练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2. 若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得﹣2a ＞﹣2b C ．由a ＞b 得﹣a ＜﹣b D ．由a ＞b 得a ﹣2＜b ﹣24．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<<5.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b <cd，给出下列四个不等式：①a c a b c d <++；②c a c d a b <++；③d b c d a b <++；④b da b c d<++ 其中不等式正确的是（ ）.A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．如果a ＞b ，那么下列不等式一定成立的是( ).A ．a+c ＞b-cB ．a-c ＜b-cC ．11a b< D ．-a ＜-b 二、填空题 7．（2015春•盐城校级期中）给出下列表达式：①a （b+c ）=ab+ac ；②﹣2＜0；③x ≠5；④2a ＞b+1；⑤x 2﹣2xy+y 2；⑥2x ﹣3＞6，其中不等式的个数是 ． 8．(1)若22a b c c <，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________．11．下列结论：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac ＞bc ，则a ＞b ；③若a ＞b ，且c ＝d ，则ac ＞bd ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ，其中正确的有_________．(填序号)12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．(2015.保定期末)用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．14．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A ＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ． 2. 【答案】D ；【解析】a 不是负数应表示为a ≥0，故A 错误； x 不大于5应表示为x ≤5，故B 错误； x 与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C 错误；故D 正确. 3.【答案】B. 4.【答案】D ；【解析】从不等式a ＜b 入手，由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A 不成立；由不等式的性质2，不等式a ＜b 的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a ＜2b ，故选项B 不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b 的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a ＞-b ，故选项C 也不成立；由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都减去b 后，不等号的方向不变，得a-b ＜0．故应选D ． 5.【答案】A. 6.【答案】B ；【解析】B 错误，应改为：213x ->，两边同除以23-，可得：32x <-. 二、填空题7.【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6) ＞ (7)＜ (8)＜； 【解析】根据大小进行判断．8.【答案】 (1)|a|-a ≥0 (2)x-(-5)≤2 (3)23a a -> (4)2220x -<；9.【答案】＞．【解析】∵a ＜b ，两边同乘﹣2得：﹣2a ＞﹣2b ，不等式两边同加3得：3﹣2a ＞3﹣2b. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断. 12.【答案】-1＜k ≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）由题意得，5+2＞3+1；-5-2＜-3-1；-2+1＜3+4；a+c ＞b+d ； （2）令c=d+1，则可得a+d ＞b+d ，a+d+1＞b+d ， ∴a+c ＞b+d ． 14.【解析】解：（1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x ＜x 2+1当x=1时，2x=x 2+1当x=﹣1时，2x ＜x 2+1， 故答案为：＜，=，＜；（2）当x=3时，2x ＜x 2+1，当x=﹣2时，2x ＜x 2+1.15.【解析】解： (1)∵ x ＜y ∴ 8x ＜8y ， ∴ 8x-3＜8y-3．(2)∵ x ＜y ，∴ 55y 66x ->-， ∴ 551166x y -+>-+．(3)∵ x ＜y ，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴ x-2＜y-1．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3.【答案】C ．【解析】∵a ＞b ，∴①c ＞0时，ac ＞bc ；②c=0时，ac=bc ；③c ＜0时，ac ＜bc ， ∴选项A 不正确；∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，∴选项B 不正确；∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ， ∴选项C 正确；∵a ＞b ，∴a ﹣2＞b ﹣2，∴选项D 不正确． 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】D ； 二、填空题 7.【答案】4.8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8.10．【答案】35a >-； 11.【答案】④ .12.【答案】9≤m ＜12；【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m ＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：（1）x+2x ≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r ，则应有r ≥300；（3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3a+4b ≤268；（4）用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%；（5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a≥b ．14.【解析】解： ∵ -2＜a ＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a ≥-2时，3a+6就为非负数．又∵ -2＜a ＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-715.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<．∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ；当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ；当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。
5不等式和它的基本性质
不等式和它的基本性质一、考点扫描：1．了解不等式的意义。
2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。
二、名师精讲：1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc(或> )（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<BC(< SPAN>或< )3．不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。
不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。
在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。
三、例题分析第一阶梯[例1]我们已经学过的等式，方程是用"="连接式子，它表示数量间的相等关系，例如2+3=5，3x-1=2x+7， a+b=b+a等。
事实上，在实际生活中，同类量之间具有不相等关系的例子是大量的，普遍的，例如：某天的气温最低是-2℃，最高是3℃说明气温不相等，两个同学们体重分别是95斤和87斤，也不相等，上述两个例子我们可以分别表示成-2＜3，95＞87，像这种用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有"＞""＜""＞""≥""≤""≠"。
根据不等式的概念，请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4提示：什么叫做不等式？常用的不等号有哪些？参考答案：②③④⑤是不等式。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。
不等式与不等式的性质
不等式与数列的相互转化
转化方法
将不等式问题转化为数列问题，或利用数列解决不等式问题。
典型例子
利用放缩法证明不等式，再利用数学归纳法证明数列不等式。
不等式在经济分析中的应用
应用场景
在经济学中，不等式可以用来描述市场均衡、供需关系、最 优化问题等。
典型例子
利用不等式求解最大值和最小值，分析企业的最优定价策略 。
不等式与不等式的性质
xx年xx月xx日
目 录
• 不等式的定义和表示 • 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式的扩展知识
01
不等式的定义和表示
不等式的定义
数学上，不等式是指用不等号（如“$<$”、“$>$”、 “$\leq$”、“$\geq$”等）连接两个数或表达式的数学式 子。
决策优化问题
在生产生活中，经常需要在多个方案中选择最优方案，如何选择才能使得目标函数达到最 优ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？可以用不等式来表示各个方案的目标函数之间的关系，从而优化目标函数并得到最 优解。
05
不等式的扩展知识
不等式与方程的相互转化
转化方法
将不等式问题转化为方程问题，或利用不等式解决方程问题。
典型例子
利用均值不等式证明算术平均数大于等于调和平均数。
根据不等号的不同，不等式可以分为 严格不等式（如“$<$”、“$>$”） 和等式（如“$\leq$”、“$\geq$” ）。
根据不等式中数或变量的个数，不等式可 以分为简单不等式和多元不等式。
根据不等式的解法，不等式可以分 为线性不等式和非线性不等式。
02
不等式的性质
不等式的基本性质
01
传递性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结： 不等式的概念与性质
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、不等式的性质 单向性：① a b, b c a c;
② a b, c d a c b d; ③ a b, c 0 ac bc; ④ a b, c 0 ac bc; ⑤ a b 0, c d 0 ac bd; ⑥ a b 0, n N* an bn; ⑦ a b 0, n N* n a n b .
(2)作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
a、b R :
a b a 1 b
a b a 1 b
a b a 1 b
例1、在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
例2、比较两个实数的大小
1
与2 n (n N *)
n1 n
例3、比较x2+y2与xy+x+y-1ห้องสมุดไป่ตู้大小．
例5、已知a>b>0,C<d<0,e<0,
求证： e
e
ac bd
在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己“制造”性质来进行．
例6、已知 1 a 0, A 1 a2, B 1 a2,C 1 , D 1 则
2
1 a 1a
A、A<B<C<D; C、D<B<A<C;
练习：已知：x y z 0. 比较 y 与 z 的大小. xy xz
例4、已知 1 x 2 ，求下列式子的取值范围。
3
3
（1）1-x
（2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算。当同向不等式两 边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值 范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的 取值范围.
B、D<A<B<C; D、B<D<A<C
本题采用了赋值法，使问题得以简化、明朗．赋值法 是解选择题、开放题等常用的方法．它将复杂的问题 简单化，是我们常用的数学方法．
双向性：①a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.
②a b b a. ③a b a c b c.
3、比较两个实数大小的主要方法
(1)作差比较法：作差——变形——定号
a b ab 0
a b ab 0 ab ab0