人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(教师版)

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式.重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.第12讲不等式定义及其性质不等式的定义1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.例如：2≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠52,314,10,10,0,35a x a x a a2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．注意：不等式32≥成立．=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33≥也成立，因为333.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1【答案】C【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式.练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系.练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子.利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式.列不等式1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系.2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号3．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．如：某人至少有10元钱，是说这个人的钱数多于或等于10元．（3）正数、负数、非负数、非正数等概念．如：a是非正数，应写成：a≤0．例1.用不等式表示：（1）x的23与5的差小于1；（2）8与y的2倍的和是正数；（3）x与5的和不小于0；（4）x的14小于等于2；（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；（6）x与8的差的23不超过0.【答案】（1）23x-5£1；（2）8+2y＞0；（3）x+5³0；（4）14x£2；（5）4x＞3x-7；（6）23(x-8)£0.【解析】根据语言叙述的关系列不等式.练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．【答案】见解析.【解析】（1）x+2x≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r ，则应有r≥300；（3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3a+4b≤268；（4）用P 表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a≥b．练习2.用适当的不等式表示下列关系：（1）a 是非负数 ；（2）x 与2差不足15 ；（3）x+3与y ﹣5的和是负数.【答案】（1）a≥0；（2）x ﹣2＜15；（3）（x+3）+（y ﹣5）＜0.【解析】（1）a 是非负数则：a≥0； 故答案为：a≥0；（2）x 与2差不足15：x ﹣2＜15．故答案为：x ﹣2＜15．（3）∵x+3与y ﹣5的和是负数，∴（x+3）+（y ﹣5）＜0.一般根据所描述的语句，列出不等关系.注意非正数、非负数、不大于、不小于等符号表示.例2.用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0； (3)－5______－1；(4)6＋2______5＋2； (5)6＋(－2)______5＋(－2)；(6)6×(－2)______5×(－2)．【答案】＞；＜；＜；＞；＞；＜【解析】根据给出的已知数判断大小即可.练习1.下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<- B.5172< C.(－6.4)2＜(－6.4)3D.－｜－27｜＜－（－3）3【答案】D【解析】计算即可.练习2.用“＜”或“＞”填空：⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0；(5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ． 【答案】＞；＞；＞；＞；＜；＞【解析】分别计算即可，遇到字母可带特殊值.给出已知数，可直接判断它们的大小关系；含字母的可带特殊值法进行比较.例3.金坛市2月份某天的最高气温是15°C ，最低气温是﹣2°C ，则该天气温t （°C ）的变化范围是 ．【答案】﹣2≤ t ≤15【解析】因为最低气温是﹣2°C ，所以﹣2≤t，最高气温是15°C ，t≤15，则今天气温t （℃）的范围是﹣2≤ t ≤15．故答案是：﹣2≤ t ≤15．练习1.在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗？【答案】（1）|a ﹣1|＜3；（2）0.【解析】（1）根据题意得：|a ﹣1|＜3，（2）由（1）得：到点B 的距离小于3的数在﹣2和4之间，在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B 点的距离小于3练习2.若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．【答案】2a ＜3a 或2a=3a 或2a ＞3a.【解析】分情况讨论：当a ＞0时，2a ＜3a ；当a=0时，2a=3a ；当a ＜0时，2a ＞3a.利用不等关系解决实际问题，另注意分类讨论的思想.例4.如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A. B. C. D.ab ＜1 【答案】A【解析】可以采用设数法，再判断即可.练习1.｜a ｜＋a 的值一定是( )．A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零 【答案】D【解析】分情况讨论，当a ＞0时，是正数；当a ＜0时，是0；当a=0时，结果是0. 练习2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a 2＞b 2，则a ＞b C.若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜ D.若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b【答案】D【解析】A 、B 、C 表达的都不全面，所以选D.给出字母的不等关系，在这个基础上去判断其他的不等式的关系：可采用设数法、分类讨论法等.不等式的解、解集及解集的表示方法一、 不等式的解、解集1.相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集； ③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；2.不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.1>b a 1<b a ba 11<联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内.3.用数轴表示不等式的解集：①x ≥-2表示为：②x ≤-2表示为：③x ﹤2表示为： ④x ＞2表示为： 特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”.例1.下列说法不正确的是（ ）A ．不等式﹣x ≤1的解集是x ≥1B ．不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4C ．不等式2（x ﹣1）≤3的解集是x ≤2.5D ．不等式1≤x 的解集是x ≥1【答案】A【解析】A 不等式﹣x ≤1的解集是x ≥﹣1．故A 不正确．B 不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4．故正确．C 正确；D 正确；故选A ．练习1.下列说法中错误的是（ ）A.不等式的解集是；B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个D.不等式正数解有无限个【答案】C【解析】不等式的正整数解只有5个.练习2.下列不等式的解集不正确的是（ ）A ．不等式2x ＞4的解集是x ＞2B ．不等式x ﹣3＜5的解集是x ＜8C ．不等式x ﹣2≥1的解集是x ≥3D ．不等式＜3的解集是x ＞﹣3 【答案】D【解析】A 2x ＞4的解集是＞2，故A 正确；B x ﹣3＜5的解集是x ＜8，故B 正确；C x ﹣2≥1的解集是x ≥3，故C 正确；D 的解集是x ＜6，故D 错误； 28x -<4x >-40-28x <-6x <6x <6x <故选：D ．根据不等式的解和解集的概念去判断或选择是不是不等式的解或解集例2.当x=3时，下列不等式成立的是（ ）A ．x+2＜6B ．x ﹣1＜2C ．2x ﹣1＜OD ．2﹣x ＞0【答案】A【解析】A.当x=3时，x+2=3+2=5＜6，故本选项正确；B.当x=3时，x ﹣1=3﹣1=2，故本选项错误；C.当x=3时，2x ﹣1=6﹣1=5＞0，故本选项错误；D.当x=3时，2﹣x=2﹣3=﹣1＜0，故本选项错误．故选A ．练习1.在、、、、、、中，能使不等式成立的有（）A.个B.个C.个D.个【答案】B【解析】的解集是x ＜-1，满足条件的只有3个.练习2.下列不等式＞50的解的个数有（ ）①x=80；②x=75；③x=78；④x=10．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】不等式x ＞50，解得：x ＞75，则x=80，x=78都为不等式的解，个数为2个．故选B考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的意义是解本题的关键例3. 在数轴上表示x ＜﹣3的解集，下图中表示正确的是（ ）12-1-2-03-1232-32x +<432132x +<A．B． C．D．【答案】B【解析】x＜﹣3在数轴上表示﹣3左边的数，在数轴上可表示为：故选B．练习1.如图在数轴上表示的是下列哪个不等式（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2【答案】C【解析】由图示可看出，从﹣2出发向右画出的线，且﹣2处是实心圆，表示x≥﹣2．所以这个不等式的解集为x≥﹣2．故选C．练习2.把下列不等式的解集表示在数轴上(1)x≥﹣5 (2) x＜6【答案】【解析】根据不等式解集的表示方法：注意空心和实心的区别.在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．不等式的性质一、不等式基本性质1.基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b>，那么a c b c±>±如果a b<，那么a c b c±<±2.基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b>，并且0c>，那么ac bc>(或a bc c >)如果a b<，并且0c>，那么ac bc<(或a bc c <)3.基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b>，并且0c<，那么ac bc<(或a bc c <)如果a b<，并且0c<，那么ac bc>(或a bc c >)补充：不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例1. 填空：⑴ 如果，则，是根据 ；⑵ 如果，则，是根据 ；⑶ 如果，则，是根据 ； ⑷ 如果，则，是根据 ；⑸ 如果，则，是根据 ．【答案】不等式的性质1；不等式的性质2；不等式的性质3；不等式的性质2；不等式的性质3【解析】根据不等式的三个性质填即可.练习1.利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______；⑶ 若，则______； ⑷ 若，，则______； ⑸ 若，，，则_______．【答案】＜；＜；＜；＞；＞【解析】利用不等式的性质判断不等关系.练习2.若，用“”或“”填空⑴； ⑵⑶； ⑷ 【答案】＜；＜；＜；＞【解析】利用不等式的三个基本性质填写即可.利用不等式的三个基本性质，去判断新的不等式之间的关系.例2. 如果ax ＞b 的解集为则a ______0． a b >b a <b a <a b >a b >b c >a c >a b >2a a b >+a b >33a b >a b >a b -<-1a >2a a >1a <-2a a >-a b <2a 2b a b >4a -4b -362x ->x 4-a b >0c >ac bc 0x <0y >0z <()x y z -0a b <><2_____2a b ++2_____2a b --11______33a b ____a b --,a b x >【答案】＞【解析】不等号方向未改变，所以a ＞0.练习1.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据不等式的性质3，不等号方向改变了，所以a+1＜0，a ＜-1.练习2.根据，则下面哪个不等式不一定成立( )A. B ． C. D.【答案】C【解析】c 2有可能为0，所以不一定成立利用不等式的性质，解决未知数系数是含参数的不等式.例3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）．A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■【答案】C【解析】所以选Cx (1)1a x a +>+1x <a 0a >0a <1a >-1a <-a b >22a c b c +>+22a c b c ->-22ac bc >2211a b c c >++练习1.设a、b、c表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三个物体的质量从小到大排序正确的是( ).A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【答案】A【解析】由左边的天枰可得3c=b+c即b=2c；由右边的天枰可得a＞b，所以a＞b＞c.所以从小到大排序为c＜b＜a.练习2.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞b+c【答案】B【解析】观察数轴可知，a＜b＜0＜c..由a＜b，c＞0根据不等式两边同乘一个正数，不等号的方向不变，可知ac＜bc ，∴A选项不正确；由a＜c，b＞0根据不等式两边同乘一个负数，不等号的方向改变，可知ab＞cb，∴B选项正确；由a＜b，c＞0根据不等式两边同加上一个数，不等号的方向不变，可知a+c＜b+c，∴C选项不正确；由a＜c，b＜0根据不等式两边同加上一个数，不等号的方向不变，可知a+b＜c+b，∴ D选项不正确.作差法比较大小一、作差法应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小,这就是“作差法”,即要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断.如果A-B＞0，则A＞B；如果A-B=0, 则A=B；如果A-B＜0，则A＜B.例1.用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．【答案】（1）＜；＝；＜.(2) 4m≤m2+4.【解析】分别代入，求出两个数的大小再比较.（2）∵m2+4-4m=(m-2)2≥0，∴4m≤m2+4练习1.比较2x2+4x+2与2x2+4x-6的大小关系，并说明理由【答案】2x2+4x+2＞2x2+4x-6【解析】作差法，判断出（2x2+4x+2）-（2x2+4x-6）＞0.练习2.比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系【答案】＞或=或＜【解析】∵（2x+3）﹣（﹣3x﹣7）=5x+10，∴当x＞﹣2时，5x+10＞0，2x+3＞﹣3x﹣7，当x=﹣2时， 5x+10=0，2x+3=﹣3x﹣7，当x＜﹣2时，5x+10＜0，2x+3＜﹣3x﹣7．利用作差法，不能直接判断出关系时，采用分类讨论.例2.试判断a2﹣3a+7与﹣3a+2的大小．【答案】a2﹣3a+7＞﹣3a+2【解析】要判断两个数的大小，我们往往用作差法，即若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b=0，则a=b．解：∵（a2﹣3a+7）﹣（﹣3a+2）=a2﹣3a+7+3a﹣2=a2+5，又∵a2＞0，∴a2+5＞0．∴a2﹣3a+7＞﹣3a+2．练习1.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：1221；2332；3443；4554；5665；…由以上结果可以猜想n n+1与（n+1）n的大小关系是．根据以上猜想，你能判断20032004与20042003的大小吗？【答案】20032004＞20042003【解析】当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时，n n+1＞（n+1）n．∵2003＞2，∴20032004＞20042003．练习2.比较与的大小．【答案】＞.【解析】解：∵﹣=a2﹣b2+1﹣a2+b2﹣=（a2+b2）+又∵a2+b2＞0∴（a2+b2）+＞0∴＞.利用作差法，比较较复杂的两个式子的大小，结果与0做比较，再判断原式的大小关系即可.本讲内容主要讲解了不等式的定义、不等式的解与解集，会用数轴表示不等式的解集,以及不等式的三个性质，要学会利用不等式的性质去判断不等关系，以及进行不等变换；学会用数轴标数法比较大小、以及会用作差法比较两个代数式的大小等.。