七年级下册数学讲义

合集下载

北师大七年级数学下册期末复习讲义(机构专用)

10．化简求值：，其中，，．
11．化简求值：，其中．
12．先化简，再求值．
，其中
13．化简与求值：，其中，．
14．化简求值：，其中．
15．先化简，再求值：．其中，．
16．先化简，再求值：
，其中．
17．先化简，再求值．，其中m，n满足．
03乘法公式应用专题
1．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
4．如图，对一个正方形进行面积分割，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关．
12．（1）已知4m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值；②求：24m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
13．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
8．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．

七年级数学下册培优辅导讲义(人教版)

1第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A ACD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 2202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 53【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （）又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （） ∴AB ∥DE （） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． ABDCHＧ EF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDA．0 B． 2 C．4 D．6ABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图4505．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝（已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠2＝（已知） ∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＋＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD ∥BC ．ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A CDEB AB C DEF12AB CD EF第14题图6培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（） A ．60° B ． 75° C ．90°D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b AB C7【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ． 50°B ． 55°C ． 60° D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） AB CDOE FAEBC （第1题图）（第2题图） E A F GDC B BA MCD N P （第3题图）CDABE F 1 328DA2 E1 B C B F E AC D 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF .AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D1B（第2题图）3 1 AB G DC E9 α βP B C D A ∠P ＝α＋β3 2 1 γ 4ψDα β E B CAFH F γ Dα β E B C AF D EBC A B C AA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C10西B 30° A北东南【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F CD 4 P 23 1A BEFC D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1[即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD. AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O A BCD第06讲实数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -+++=，∴20b +=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____．演练巩固反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝－2，2c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ．－a ＜bD ．－b > a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____． 12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a ba b aba b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x y +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b满足5b ＝7，S＝3b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．。

七年级数学下册知识讲义-6 平方根-人教版

精讲精练1. 平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根。

即：如果x2＝a，则x叫做a的平方根。

正数a的平方根记作“±”，读作“正、负根号a”。

性质：①正数有两个平方根，它们互相反数，如25的平方根是±5，且5＋（－5）＝0；②0的平方根是0；③负数没有平方根。

2. 开平方定义：求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫作被开方数。

提示：①平方根是一个数，是开平方的结果，开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程。

②开平方与平方互为逆运算，被开方数a一定是非负数（即正数或零）。

可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。

3. 算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定0的算术平方根是0。

非负数a的算术平方根记为，读作：“根号a”，a叫做被开方数。

如32＝9，那么3叫作9的算术平方根（或9的算术平方根是3）。

性质：①一个正数的算术平方根只有一个，且它的算术平方根也是正数。

②0的算术平方根是0。

③负数没有算术平方根。

提示：①双非负性：≥0，a≥0；②只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根；③实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”。

例题1（江岸区模拟）下列说法中错误的是（）A.是0.25的一个平方根B. 正数a的两个平方根的和为0C.的平方根是D. 当x≠0时，﹣x2没有平方根思路分析：因为0.25的平方根是±，所以是0.25的一个平方根，故选项A正确；因为正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，故选项B正确；的平方根是±，故选项C 错误；因为负数没有平方根，故当x≠0时，﹣x2没有平方根，故选项D正确。

故选C。

答案：C例题2 （北流市期中）已知a﹣1与5﹣2a是m的平方根，求a和m的值。

思路分析：分两种情况讨论，①a﹣1与5﹣2a是同一个平方根，②a﹣1与5﹣2a不是同一个平方根，分别计算即可。

七年级(下)数学同步讲义实数的概念及数的开方 (解析版)

知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，16，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【答案】2π、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【答案】一样．例题解析【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【答案】略．【解析】移项得：()()a c d b x -=-，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=，于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】 3为什么是无理数?请说明理由．【解析】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3p q=，又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．把3p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =，则2239q m =，同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，故3是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．x=±，1的平方根是1±．如21x=，1说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2=2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根号a a叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方．a叫做被开方数，n叫做根指数．2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．★注意：1）实数a a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a”表示，负n次方根用“0n=时，在中省略n）；a>，根指数n是正偶数（当23）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2）2(9)-．【答案】（1）311±；（2）3±．【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】写出下列各数的正平方根：（1）225；（2）9．【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15；（2）93=，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（4）81的平方根是9±．【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；（4）2π-错：819=，9的平方根是3±．例题解析【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1-；（4）3438-；（5）27．【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72-；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4-【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】求值：（1 （2）；（3）2；（4）2(．【解析】（1）12；（2）0.1- ；（3）4；（4）11．【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）4；（2）35-；（3）原式54=-；（4）原式2-．【总结】考查实数的立方根的运用．【例14】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）6 ；（2）3 ；（3）3- ；（4）2．【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】求值：（1（2）（3．【解析】（1）0.5 ；（2）原式=95；（3）原式60=．【总结】考查实数的立方根运算．【例16】小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=．【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．【例18】若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=．【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值．【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“>”把下列各式连接起来：=，-12-23【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2____________；（3≈_________；（4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【答案】略．【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（4 5.4770.10.5477≈⨯=；（5 1.7320.10.1732⨯=；（6 5.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．【例22】填写下表，并回答问题：a…0.000001 0.001 1 1000 1000000 …….3a……（1）数a与它的立方根3a的小数点的移动有何规律?（2）根据这个规律，若已知33，，求a的值．==a0.005250.1738 1.738【解析】（1）由题可知，被开方数a的小数点每向右或向左移动三位，立方根3a的小数点相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a=．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。

初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。

0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根；可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1；试一试：1.64的平方根是，64的立方根是 .2.16的平方根是，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32；【例题精讲】例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。

参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向移动位，则立方根的小数点相应地向移动位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算【例题精讲】例6. 计算：（1）38515；（2）327102--- ；（3）3387）（- ；（4）6356）（-；（5）312564-38+1001 ；（6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。

人教版七年级数学下册5.1.2《垂线段最短》讲义(PDF版 )

释义图示垂线段线段PO点P 为直线l 外一点，点O ，1A ，2A ，3A ，…，在直线l 上，其中l PO ⊥公理：垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.【简单说成，垂线段最短】点P 与直线l 各点的连线中，线段PO 最短点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度．．，叫做点到直线的距离.线段PO 的长度即为点P 到直线l 的距离：点到直线的距离是一个正的数值，并非图形，所以不能说．．．垂线段是距离名称定义性质图示点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度垂线段最短两点之间的距离连接两点线段的长度两点之间，线段最短ii1、如图所示，ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，下列说法正确的是（）A.点B 到AC 的垂线段是线段ABB.点C 到AB 的垂线段是线段ACCABD2、【2017北京】如图所示，点P 到直线l 的距离是（）A．线段PA 的长度B．线段PB 的长度C．线段PC 的长度D．线段PD 的长度3、如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，CE BD ⊥于M .说法正确的是（填序号）①BM 的长度是点B 到CE 的距离；②CE 的长度是点C 到AB 的距离；③BD 的长是点B 到AC 的距离；④CM 的长是点C 到BD 的距离.CEM A BD4、点到直线的距离是（）A 、点到直线上一点的连线B 、点到直线的垂线C 、点到直线的垂线段D 、点到直线的垂线段的长度5、如图所示，︒=∠90AOB （1）、AB BO （填“>”，“<”或“=”），判断理由是（2）、若m OA 2=，cm OB 3=，则点A 到OB 的距离是cm ；点B 到OA 的距离是cm ；ABO6、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是()A ．2.5B ．3C ．4D ．5P7、点P 为直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上三点，cm PA 4=，cm PB 5=，cm PC 2=，则P 到直线l 的距离（）A．不小于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．不小于5cm 8、如图，点M ，N 分别在直线1l ，2l 上，画出三条线段，使它们的长分别是：（1）、M ，N 两点间的距离；（2）、点M 到直线2l 的距离；（3）、点N 到直线1l 的距离.∙MN∙1l 2l 9、如图，计划把河水引到水池A 中，先引CD AB ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_______________________________________.10、如图，修一条公路将村庄A ，B 与公路MN 连接起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由.A BM N∙∙答案：1、D 2、B ；3、①④4、D 5、（1）、>；垂线段最短；（2）、2；36、A7、C8、EF ∙M N∙1l 2l 答案：（1）、图中线段MN 为所求（2）、图中线段ME 为所求（3）、图中线段NF 为所求9、垂线段最短10、连接AB ，作MN BC ⊥于C ，沿AB ，BC 修公路长度最短.理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短A BCMN∙∙。

七年级下数学专题讲义-不等式的应用

不等式的应用知识点扫描（一）填空:1. 把若干苹果分给几个小孩，如果每人分3个则余下8个；每人分5个，则最后一人分得的苹果不足5个，共有_______个小孩，________个苹果。

2.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25题，每道题都给出4个答案，其中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了道题。

3.某制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条，制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排__________名工人制作衬衫。

4.某供电公司为了鼓励市民用电，制定了如下标准收取电费：若每户每月用电不超过100度，则每度电收费0.5元；若每户每月用电超100度，则超出部分每度电收费0.4元，小颖家某月的电费不多于80元，那么她家这个月的用电量最多是_________。

5.某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费）。

超过3千米，每增加1千米加收2.4元（不足1千米按1千米记）某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元设此人从甲到乙地所经过的路程为x千米，那么x的最大值是__________。

（二）解答:1．某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14．5万元；每件乙种商品进价8万元，售价l0万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20 件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．(1)该公司有哪几种进货方案?(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?2．某公司甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆.现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y（元）与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若要求总运费不超过900元，问有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？例题剖析【例1】“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元。

七年级下册实数以及实数的运算讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实数知识点一无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。

练习：下列说法正确的是（）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。

2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

目录第一讲同底数幂的乘法 (1)第二讲幂的乘方与积的乘方 (5)第三讲同底数幂的除法 (9)第四讲整式的乘法 (13)第五讲平方差公式（1） (18)第六讲平方差公式（2） (22)第七讲完全平方式(1) (26)第八讲完全平方式(2) (29)第九讲整式的除法 (33)第十讲单元测试 (37)第十一讲两条直线的位置关系 (41)第十二讲平行线的性质 (47)第十三讲平行线的判定(1) (52)第十四讲平行线的判定(2) (57)第十五讲本章复习 (61)第十六讲用表格表示的变量间关系 (66)第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)第一讲同底数幂的乘法1. 同底数幂的乘法性质：a m ⋅ a n = a m +n (其中 m ,n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.⎛ 1 ⎫3 ⎛ 1 ⎫4例 1. 计算：（1） - ⎪ ⎝ 2 ⎭ • - ⎪⎝ 2 ⎭（2） a 2 • a • a7（3） - a 2• (- a )3（4）32⨯ 27 ⨯ 812. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.例 2.计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x )3(2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )33. 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m ⋅ a n ⋅ a p = a m +n + p（ m , n , p 都是正整数）.例 3.计算：（1） (- 2)2• (- 2)3• (- 2) =；（2） a • a 3 • a 5= ；（3） (a + b )(a + b)m(a + b )n=；（4） a 4nan +3a =；4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即 am +n= a m ⋅ a n （ m , n 都是正整数）.例 4. 已知 a m= 2, a n= 3 ，求下列各式的值。

（1）a m +1（2）a 3+n（3）a m +n +31知识点梳理一．选择题;1. 已知 2x＝a ，2y＝b ，那么 2x ＋y等于( )A ．a ＋bB ．2abC ．abD ．xy2．一块长方形土地的长为 4×108d m ，宽为 3×103d m ，则这块土地的面积( )A ．12×1024dm2B ．1.2×1012dm2C ．12×1012dm 2D ．12×108dm 23．计算(－2)2000·22001的结果，正确的是()A ．2B ．－2C ．24001D ．－240014. 在等式 x 2·x 3·()＝x 12 中，括号里面应填( )A ．x2B ．x 6C ．x7D ．x 85．下列各式计算正确的是()6．7．81×27 可记为()A ．B ．C ．D ．8．当 a <0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n的值为（）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数9．若 10m＝3,10n＝2，则 10m ＋n的值为()A ．5B ．6C ．8D ．9二．填空题； 1．计算：a 7·（－a ）6=． 2．44×（﹣0.25）5= ．3．计算：．4.（－2）2009+（－2）2010＝.5. 计算：2随堂练习A ．a ·a 2＝a3B ．x 5·x 5＝x 25C ．a 2·a 2＝2a2D ．x 2＋x 3＝x 6若 x ≠ y ,则下面多项式不成立的是( )A ． ( y - x )2 = (x - y )2B ． ( y - x )3= -(x - y )3C ． (- y - x )2= (x + y )2D ． (x + y )2= x 2+ y2(1)若2x＋1＝16，则x＝．(2)若x n－3·x n＋3＝x10，则n＝．(3)若a x＝4，a y＝3，则a x＋y＝．a2x＋y＝．6.（1）若a m =2 ，a n = 8 ，则a m+n =[-(x -y)3m]=（2）(x -y)p(y -x)2n（3）已知2x+2 =m ，用含m 的的代数式表示2x =三.解答题;1．已知a n＋1·a m＋n＝a6，且m＝2n＋1，求m n的值．2．(1）我们规定：a*b＝10a×10b，试求12*3和2*5的值．（2）已知3×27×39＝3x＋8，求x的值．3.1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤完全燃烧放出的热量，据估计地壳里含9.2×109千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤完全燃烧放出的热量？34.某种病毒繁殖非常快，每分钟会由 1 个繁殖到 3 个．试问：经过 4 分钟，1 个病毒会繁殖到多少个？若这些病毒继续繁殖，m 分钟后会繁殖到多少个？课后巩固1．计算并把结果写成同一个底数幂的形式:① 34 ⨯ 9 ⨯81 ；② 625 ⨯125 ⨯ 564知识点梳理第二讲幂的乘方与积的乘方1.幂的乘方法则：(a m )n =a mn (其中m, 例1. 若x3 =8a3b6，求x 的值；2.公式的推广：（1）((a m )n ) p =a mnp n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ( a ≠ 0 ，m, n, p 均为正整数)(2) 逆用公式：a mn=(a m)n=(a n)m例2. 3555 ，4444 ，5333 的大小．3.积的乘方法则：(ab)n =a n ⋅b n(其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例3.若5n = 2 ，4n = 3 ，则20n = ．4.（1）公式的推广：(abc)n =a n ⋅b n ⋅c n( n 为正整数).（2）逆用公式：a n b n=(ab)n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便。

例4.已知：26=a2=4b，求a+b的值．.例5.若x=2m+1，y=3+4m．（1）请用含 x 的代数式表示 y；（2）如果 x=4，求此时 y 的值．5一．选择题;1.若，那么的值是 ( )A．10 B．52 C．20 D．322.下列运算正确的是（）A．3a+2b=5a b B．a3•a2=a5C．a8•a2=a4D．（2a2）3=﹣6a6 3．计算的结果为（）．A．B．C．D．4．如果，那么、的值为（）．A．C．，，B．D．，，5．下列四个等式：（）；（）；（）；（）．其中正确的算式有（）．A．个B．个C．个D．个6.如果，则的值是（）．A．B．C．D．无法确定7．已知，那么的值是（）．A．B．C．D．8．若5x=125y,3y=9z,则x∶y∶z等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶6D．6∶2∶19．已知10x=m,10y=n,则102x+3y等于()A．2m+3n B．m2+n3C．6mn D．m2n310．已知a=-34,b=(-3)4,c=(23)4,d=(22)6,则下列a,b,c,d四者关系的判断正确的是()A．a=b,c=d B．a=b,c≠d 11．计算(－p)8·[(－p)2]3·[(－p)3]2的结果是( A．－p20B．p20C．a≠b,c=d)C．－p18D．a≠b,c≠dD．p186随堂练习二. 填空题;1．若a4n＝3，那么(a3n)4＝．2．已知实数、满足，，则的值是．3．（）若，则．（）若，则．4．（）若，则．（）若，则．5．．三.解答题;1．计算(1)(-0.25)11×411(2)(-0.125)200×82012．已知，求的值．3．（）如果，求的值．（）已知，求的值．4．已知2x=a,4y=b,8z=ab,试猜想x,y,z之间的数量关系,并说明理由.75.如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．7.若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．课后巩固1.用公式表示图中阴影部分面积S，并求出当a＝1.2×103c m，r＝4×102c m时，S的值．(π取3.14) 8知识点梳理第三讲同底数幂的除法1. 同底数幂除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减 a m ÷ a n = a m -n例 1.下列计算正确的是（）A ．x 8÷x 4=x2B ． -x 10÷ (-x )4= (-x )6C ．x 3÷x =x2D ．x 6÷x 3÷x 2=x 6÷x =x 52.0 指数幂的意义： a 0 = 1(a ≠ 0)例 2.下列各式的计算中，不正确的个数是 ()①100÷10-1= 10 ；②10-4⨯(2 ⨯ 4)0= 1000 ；③ (-0.1)0÷ (-2-1 )-3= 8 ；④ (-10)-4÷ (-10-1 )-4= -1 ；A ．4B ．3C ．2D ．13. 负整式幂的意义： a- p= ( 1) p （ a ≠ 0, a 是正整数）a例 3.若 a=0.32 ， b=﹣3﹣2， c=（﹣ ）﹣2， d=（﹣ ）0 ，则（） A. a ＜b ＜c ＜dB. b ＜a ＜d ＜cC. a ＜d ＜c ＜bD. c ＜a ＜d ＜b4.科学计数法： a ⨯10n (1 ≤ a < 10) (1nm = 10-9 m )例 4. （1）已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 克／厘米 3，1.24×10－3用小数表示为 ()A ．0.000124B ．0.0124C ．－0.00124D ．0.00124（2）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，1 克＝1000 毫克，那么0.000037 毫克用科学记数法表示为( )A ．3.7×10－5克B ．3.7×10－6克C ．37×10－7克D ．3.7×10－8克9一．选择题;1.下列计算正确的是（）A. （a+b ）2=a 2+b 2B. a 9÷a 3=a 3C. （ab ）3=a 3b 3D. （a 5）2=a 72.计算：（）﹣2+（﹣2）0 等于（）A. 10B. 9C. 7D. 43. 下列运算中，正确的是（）A. 0.50=0B. （9﹣3﹣2）0=0C. （﹣1）0=1D. （﹣2）0=﹣24. 下列运算中，正确的是（）﹣﹣-21 ﹣﹣﹣ ﹣ ﹣A. a 2•（a 3）2=a3B. (a - 2) =a 2- 4C. a 2÷a 6=a4D. （a 2） 3÷a 2=a 85.计算（a 3）3÷（﹣a 2）4 的结果是（）A. a 4B. a 3C. a 2D. a6.若 10y =5，则 102﹣2y等于（）4 A. 75B. 4C. ﹣5 或 5D.57.如果 a=（﹣99）0 ， b=（﹣0.1）﹣1， C=（）﹣2，那么 a 、b 、c 的大小关系为（）A. a ＞c ＞bB. c ＞a ＞bC. a ＞b ＞cD. c ＞b ＞a8．将( 1 )-1，(-2)0，(-3)2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是 ()6A ． (-2)0 <( 1 )-1< 6(-3)21 B. ( ) 6-1 < (-2)0 < (-3)2C ． (-3)2 < (-2)0 < ( 1)-16D ． (-2)0 < (-3)2 < ( 1)-169．已知 5m －2n －3＝0，则 25m ÷22n的值为()A ．2B ．0C ．4D ．810．下列计算错误的有（）①a 8÷a 2=a 4； ② (-m )4 ÷ (-m )2 = -m 2 ；③x 2n ÷x n =x n； ④ -x 2÷（-x ）2=-1．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个10随堂练习二．填空题；⎛1 ⎫-11.计算：（﹣1）0﹣ ⎪=⎝2 ⎭2.若3x=12，3y=4，则3x﹣y=．3.已知a m=3，a n=9，则a3m﹣n=4.若（x+1）0=1，则x的取值范围是．5.如果10b=n，那么称b为n的“拉格数”，记为d（n），由定义可知：d（n）=b．如102=100，则d（100）=d（102）=2，给出下列关于“拉格数”d（n）的结论：①d（10）=10，②d（10﹣2）= d(10)3﹣2，③d (10) =3，④d（mn）=d（m）+d（n），⑤d（）=d（m）÷d（n）．其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）．6.计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=．7.已知以a m=2，a n=4，a k=32．则a3m+2n﹣k的值为．8.若实数m，n满足|m﹣3|+（n﹣2015）2=0，则m﹣1+n0=9.用小数表示下列各数：(1)2.05×10－3=；(2)－2.36×10－5=；(3)31×10－6=；10．已知5x-2y+2=0，则35x÷32y=三．解答题；1.已知x m=9，x n=4，x k=4，求x m+2k﹣3n的值．2.已知a2-3a+1=0，求a+a-1的值；113.已知(2x -1) x+2 = 1 ，求整数x的值；4.已知4m=y﹣1，9n=x，22m+1÷32n﹣1=12，试用含有字母x的代数式表示y．课后巩固1．阅读材料，求1+ 2-1 + 2-2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2-2018 的值；解：设S=1+ 2-1 + 2-2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2-2018 ①则 2S = 2 ++1+ 2-1 + 2-2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2-2017 ②② - ①，得：S= 2 - 2-2018请仿此计算：(1) 1+ 3-1 + 3-2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3-2018 ；(2) 1+ 3-1 + 3-2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3-n(n为正整数).12知识点梳理第四讲整式的乘法1. 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1 11例 1：（1） a 2bc 2 ⋅ 2abc ⋅ bc 23（2） (-2m 3n 3 )3⋅ (-2m 2 n 2 )42. 单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例 2：（1） 2abc ( 121 ab 2c + a 2bc2 )（2） (- 1 2m 2 n )2⋅ (2n + 3m - n 2 )3. 多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例 3：（1）（2 - a ）(4 - b )( 2 )( 2 a - c )( 3 c + b +2 a )3例 4.(1)(3a-n)(a-2n)．(2) (x+2y)(5a+3b)．13随堂练习一. 选择题：1.如果(x-5)(2x+m)的积中不含x 的一次项，则m 的值是（）A. 5B. -10C. -5D. 102.下列运算中，正确的是（）A. 4a•3a=12aB. （ab2）2=ab4C. （3a2）3=9a6D. a•a2=a33.已知M，N 分别表示不同的单项式，且3x（M﹣5x）=6x2y3+N（）A. M=2xy3 ，N=﹣15xB. M=3xy3 ，N=﹣15x2C. M=2xy3 ，N=﹣15x2D. M=2xy3 ，N=15x24.下列各式计算正确的是（）A. （x+5）（x﹣5）=x2﹣10x+25B. （2x+3）（x﹣3）=2x2﹣9C.（3x+2）（3x﹣1）=9x2+3x﹣2 D. （x﹣1）（x+7）=x2﹣6x﹣75.化简﹣3a•（2a2﹣a+1）正确的是（）A. ﹣6a3+3a2﹣3aB. ﹣6a3+3a2+3aC. ﹣6a3﹣3a2﹣3aD. 6a3﹣3a2﹣3a6.计算2x3•（﹣x2）的结果是（）A. ﹣2x5B. 2x5C. ﹣2x6D. 2x67.下列运算中正确的是（）A. 3a+2a=5a2B. （2a2）3=8a6C. 2a2•a3=2a6D. （2a+b）2=4a2+b28.如果（x﹣p）（x﹣3）=x2+qx+6，那么（）A. p=2，q=﹣5B. p=2，q=﹣1C. p=1，q=﹣5D. p=﹣2，q=59.计算y2（﹣xy3）2 的结果是（）A. x3y10B. x2y8C. ﹣x3y8D. x4y121410.下列说法不正确的是（）A.两个单项式的积仍是单项式B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和二. 填空题;1.若（x+3）（x﹣5）=x2+ax+b，a=．b=．2.计算：（2a+3b）=12a2b+18ab2．3.计算：﹣a（﹣2a+b）= ．4.有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（3a+2b）的大长方形，则需要C 类卡片张．5.如果（x+1）（x2﹣4ax+a）的乘积中不含x2项，则a为． 6.若（ax﹣b）（3x+4）=bx2+cx+72，则a+b+c的值为7.关于整式（x﹣2）（x+n）运算结果中，一次项系数为2，则n= ．三．解答题；1.计算：（1）(﹣3a﹣4)（3x+4）（2）（x2+3）（2x2﹣5）2 12 32..若（x +px﹣3）（x ﹣3x+q）的积中不含 x 项与x 项，（1）求 p、q 的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．153.甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中 a 前面的符号，得到的结果为6x2+18x+12；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2+2x﹣12，请你计算出 a、b 的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．4 .阅读后作答：我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1所示的面积关系来说明．（1）图2 中阴影部分的面积为；（2）根据图 3 写出一个等式；（3）已知等式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请画出一个相应的几何图形加以说明．16课后巩固1.观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）=a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）17第五讲平方差公式（1）知识点梳理1.平方差公式：(a +b)(a -b) =a2 -b2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差2.平方差公式常见的变形：（1）位置变化：(x +y)(-y +x) =x2 -y2（2）符号变化：(-x +y)(-x -y) =x2 -y2例1.①已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝．②计算：(2x＋3)(3－2x)＝.（3）指数变化：(x2 +y2 )(x2 -y2 ) =x4 -y4（4）系数变化：(2a +b)(2a -b) = 4a2 -b2例2．在下列各式中，计算结果是a2b2－64的是() A．(－ab＋8)(－ab＋8) B．(8＋ab)(8－ab)C．(－ab－8)(－ab＋8) D．(－ab＋8)(ab－8)例3.计算(－4a－1)(4a－1)的结果等于( )A．16a2－1B．－8a2－1C．－4a2＋1D．－16a2＋1例4．若M·(3x－y2)＝y4－9x2，则多项式M为() A．－3x－y2B．y2－3xC．3x＋y2D．3x－y2例5．对于任意的整数n，能整除(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整数是( ) A．4 B．3 C．5 D．218一．选择题；1．计算(－3a ＋2b )(－3a －2b )的结果是()A ．9a 2－4b2B ．－9a 2－4b 2C ．4b 2－9a2D ．9a 2＋4b 22. 下列式中能用平方差公式计算的有()①(x － y )(x ＋ y )；②(3a －bc )(－bc －3a )；③(100＋1)(100－1)；④(x ＋1)(y －1)．3. 如果(2x ＋3y )M ＝9y 2－4x 2，那么 M 表示的式子为( ) A ．2x ＋3y B ．2x －3y C ．－2x －3yD ．－2x ＋3y2 1 4. 用简便方法计算 40 ×39 ，变形正确的是( )3 32 1 2 2A ．(40＋C ．(40＋ )(39＋3 1 )(40－ 3 ) B ．(40＋ 31)D ．(40－ 3)(40－ ) 3 3 2 2)(40－ ) 3 3 5. 为了应用平方差公式计算(a －b ＋c )(a ＋b －c )必须先适当变形，下列各式变形中，正确的是 ( )A ．[(a ＋c )－b ][(a －c )＋b ]B ．[(a －b )＋c ][(a ＋b )－c ]C ．[(b ＋c )－a ][(b －c )＋a ]D ．[a －(b －c )][a ＋(b －c )] 6．计算(a ＋1)(a －1)(a 2＋1)(a 4＋1)的结果是() A ．a 8－1B ．a 8＋1C ．a 16－1D ．以上答案都不对7．计算(a －1)(a ＋1)－(a 2＋1)的结果是()A ．2aB ．0C ．－2D ．－18．为了应用平方差公式计算(x ＋2y －1)(x －2y ＋1)，下列变形正确的是()A ．[x －(2y ＋1)]2B ．[x －(2y －1)][x ＋(2y －1)]C ．[(x －2y )＋1][(x －2y )－1]D ．[x ＋(2y ＋1)]29．计算 20172－2016×2018＋(－1)2017的结果是( )A ．0B ．1C ．－1D ．310．计算(a 4+b 4)(a 2+b 2)(b -a )(a +b )的结果是()A.a 8-b 8B.a 6-b 6C.b 8-a 8D.b 6-a 619随堂练习1 12 A ．1 个2B ．2 个C ．3 个D ．4 个二．填空题；1．计算：(1)(x＋6)(6－x)＝；1 (2)(－x＋21)(－x－2)＝.2．在一个边长为11.75cm 的正方形纸板内，剪去一个边长为8.25cm 的正方形，剩下部分的面积等于cm2.3．(a2+1)(a+1)()=a4-1．4．(a+1)(a-1)(1-a2)=5．(x- -3)(x+2y- )=[( )-2y][( )+2y]6．(x+y-3)(x-y-3)= - ．7．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=．8．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=；22012+22011+…+22+2+1=．三．解答题；1．化简．(1)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)·…·(x16+y16)；(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．2.阅读下列材料：正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的，以 3 为例：∵31＝3,32＝9,33＝27,34＝81， 35＝243,36＝729,37＝2187,38＝6561，39＝19683，…∴指数以1到4为一个周期，幂的个位数字就重复出现，一般来说，若a k的个位数字是b，20则a4m＋k的末位数字也是b(k为正整数，m为非负整数)．请你根据上面提供的信息，求出下式：(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(332＋1)＋1的计算结果的个位数字是几吗？课后巩固1.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4 = 42 - 02 ,12 = 42 - 22 ,20 = 62 - 42 ，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数．(1)28 和2012 这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为 2k+2 和2k(其中 k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?21第六讲平方差公式（2）知识点梳理1.增项的变化：(x -y +z)(x -y -z)= (x -y)2 -z 2= (x -y)(x -y) -z 2= x2 - 2xy +y2 -z 2例 1.计算；（1）(x+4)(x2+16)(x-4)（2）(2x+y-2)(2x+2-y)2.连用公式变化：(x +y)(x -y)(x2 -y2 )= (x2 -y2 )(x2 +y2 )= x4 -y43.逆用公式变化：(x -y +z)2 - (x +y -z)2= [(x -y +z) + (x +y -z)][(x -y +z) - (x +y -z)]= 4xz - 4xy例 2.计算；（1）(3m-1)(3m+1)(9m2+1)（2）(b+1)(b-1)(b2+1)(b4+1)(b8+1).例3.用平方差公式计算(a +b +c -d )(a -b +c +d ) ，结果是（）A. (a +b)2 - (c -d)2B. (a +c)2 - (b -d )222随堂练习C. (a + d )2 - (c - d )2D. (c + b )2 - (a - d )2一．选择题;1. 平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母 a ，b 表示（）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ）1 1 22C ．（ 3a+b ）（b － 3a ）D ．（a －b ）（b +a ）3. 下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．1.1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个4．若 x 2－y 2=30，且 x －y=－5，则 x+y 的值是（）A ．5B ．6C ．－6D ．－55．下列运算中，正确的是（）A ．（a+3）（a-3）=a 2-3 B ．（3b+2）（3b-2）=3b 2-4 C ．（3m-2n ）（-2n-3m ）=4n 2-9m2D ．（x+2）（x-3）=x 2-66. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）11A ．（x+1）（1+x ）B ．（ 2 a+b ）（b- a ）2C ．（-a+b ）（a-b ）D ．（x 2-y ）（x+y 2）7. 对于任意的正整数 n ，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）的整数是（）A ．3B ．6C ．10D ．9二．填空题；1．（－2x+y ）（－2x －y ）=．2．（－3x 2+2y 2）（）=9x 4－4y 4．3．（a+b －1）（a －b+1）=（）2－（）2．2314. 两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是 5．9.8×10.2=6.（x-y+z ）（x+y+z ）=17.（ 2 x+3）2-（ 1 2x-3）2=三.解答题； 1.计算；（1）(2m + 3n )(2m - 3n ) - (3m - 2n )(3m + 2n )（2）(a 2 + b )(a 2 - b ) - (-a )2 ⋅ (-a 2) ；（3） (4b + 3a - 5c )(3a - 4b + 5c ) ；（4） 25 ⨯ 24 6．7 72.观察下列各式的规律．12 + (1⨯ 2)2 + 22 = (1⨯ 2 +1)2 ;22 + (2 ⨯ 3)2 + 32 = (2 ⨯ 3 +1)2 ;32 + (3⨯ 4)2 +42 = (3⨯ 4 +1)2 ;…（1）写出第 2019 行的式子；（2）写出第 n 行的式子，并说明你的结论是正确的．243．已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n ）=．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=．②2+22+23+…+2n=（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）= ．②（a－b）（a2+ab+b2）=．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=．1．求值：(1- 1)(1-221)(1-321) (1-421)(1-921)10225课后巩固⎩知识点梳理第七讲完全平方式(1)⎧(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 21.完全平方式: ⎨(a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。