人教版初一数学下册同步精编讲义

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人教版七年级数学下册同步授课课件：6.3_第2课时_实数的性质和运算

值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示一个实数，
则
a，当a>0时；
|a|= 0，当a=0时；
－a，当a<0时；
课程讲授
1 实数的性质
例 (1)分别写出 6 ，π 3.14 的相反数；解：(1)因为( 6) 6, (π 3.14) 3.14 π ，所以 6, π 3.14的相反数分别为 6, 3.14 π ；
（2） 2 3 2 2. 解：
课堂小结
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 实数
实数的运算
课程讲授
2 实数的运算
实数的运算顺序同有理数的运算顺序．实数运算中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结果所取的近似值要比结果要求的多一位小数．
随堂练习
一、判断 1.实数不是有理数就是无理数.（） 2.无理数都是无限不循环小数.（）
3.无理数都是无限小数.（）
4.带根号的数都是无理数.（×） 5.无理数一定都带根号.（×）
课程讲授
1 实数的性质
想一想： (1) 2 的相反数是____2__，－π的相反数是___π___， 0的相反数是___0___； (2) 2 ____2___， |－π| =___π___， |0|= ___0___.
课程讲授
1 实数的性质
归纳：数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对
(2)指出 5 ，1 3 3 分别是什么数的相反数； (2)因为 ( 5) 5, ( 3 3 1) 1 3 3 ，
所以 5,1 3 3 分别是 5, 3 3 1 的相反数；
课程讲授

人教版初中数学同步讲义七年级下册第01讲有序数对(解析版)

第01讲有序数对课程标准学习目标①有序数对的定义②表示有序数对的方法③有序数对的应用 1.掌握有序数对的定义2.掌握表示确定的点的位置的方法。

3.会用有序数对表示平面内的点的位置。

知识点01有序数对1.有序数对的概念：由有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

记做（a ，b ）。

2.有序数对的应用：利用有序数对可以表示物体的位置。

【即学即练1】1．如果剧院里“5排2号”记作（5，2），那么（7，9）表示（）A ．“7排9号”B ．“9排7号”C ．“7排7号”D ．“9排9号”【解答】解：如果剧院里“5排2号”记作（5，2），那么（7，9）表示“7排9号”．故选：A ．知识点02有序数对的表示方法及其应用1.表示有序数对的方法：有：行列定位法；经纬度定位法；方格纸定位法；方向角＋距离定位法。

2.有序数对的应用：有序数对可以用来表示准确的位置和线路。

【即学即练1】1．在平面内，下列数据不能确定一个物体位置的是（）A．北偏西40°B．3楼5号C．解放路30号D．东经30°，北纬120°【解答】解：A、北偏西40°，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意；B、3楼5号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；C、解放路30号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；D、东经30°，北纬120°，物体的位置明确，故本选项不符合题意．故选：A．【即学即练2】2．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：（1）A→C（+3，+4）；（2）B→D（+3，﹣2）；（3）若这只甲虫按最短路径行走的路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；（4）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（0，﹣2），请在图中标出P的位置．【解答】解：（1）A→C（+3，+4）；故答案为：+3，+4；（2）B→D（+3，﹣2），故答案为：+3，﹣2；（3）1+4+2+2+1＝10，答：甲虫走过的路程为10个格；（4）如图，题型01有序数对表示位置的具体方法【典例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（）A．七（3）班教室第三排B．昆明市人民东路C．南偏西45°D．东经102°，北纬24°【解答】解：A．七（3）班教室第三排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；B．昆明市人民东路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C．南偏西45°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D．东经118°，北纬51°，能确定具体位置，故本选项符合题意．故选：D．【变式1】下列表述中，不能确定具体位置的（）A．东经108°北纬53°B．某电影院1号厅的3排4座C．某灯塔南偏西30°方向D．距离某学校东北方向500米处【解答】解：A、东经108°北纬53°，能确定具体位置，故该选项不符合题意；B、某电影院1号厅的3排4座，能确定具体位置，故该选项不符合题意；C、某灯塔南偏西30°方向，没有距离，不能确定具体位置，故该选项符合题意；D、距离某学校东北方向500米处，能确定具体位置，故该选项不符合题意．故选：C．【变式2】根据下列表述，不能确定具体位置的是（）A．青县众视影城1号厅的3排4座B．青县清州镇新华西路226号C．某灯塔南偏西30°方向D．东经108°，北纬53°【解答】解：A、青县众视影城1号厅的3排4座，能确定具体位置，故该选项不符合题意；B、青县清州镇新华西路226号，能确定具体位置，故该选项不符合题意；C、某灯塔南偏西30°方向，不能确定具体位置，故该选项符合题意；D、东经108°，北纬53°，能确定具体位置，故该选项不符合题意．故选：C．【变式3】生态园位于县城东北方向5公里处，如图表示准确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵生态园位于县城东北方向5公里处，∴生态园在县城北偏东45°距离县城5公里．故选：B．题型02有序数对与位置【典例1】如果棋盘上的“第5列第2行”记作（5，2），“第7列第5行”记作（7，5），那么（4，3）表示（）A．第3列第5行B．第5列第3行C．第4列第3行D．第3列第4行【解答】解：如果棋盘上的“第5列第2行”记作（5，2），“第7列第5行”记作（7，5），那么（4，3）表示第4列第3行．故选：C．【变式1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，﹣2），“兵”位于点（﹣3，1），则“帅”位于点（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，γ则“帅”位于点（﹣1，﹣2）．故选：B．【变式2】课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用（1，1）表示，小军的位置用（3，2）表示，那么小刚的位置可以表示成（）A．（5，4）B．（4，5）C．（3，4）D．（4，3）【解答】解：根据小华的位置用（1，1）表示，小军的位置用（3，2）表示，那么小刚的位置可以用坐标表示成（5，4）．故选：A．【变式3】音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示，明明坐在聪聪正后面的第一个位置上，明明的位置用数对表示是（）A．（5，2）B．（4，1）C．（3，2）D．（4，3）【解答】解：音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示，明明坐在聪聪正后面的第一个位置上，明明的位置用数对表示是（4，3），故选：D．【变式4】甲坐在第4列第3行，用数对表示为（4，3），乙的位置用数对表示为（7，6），丙坐在甲的右边一列，乙的前面一行，则丙的位置用数对表示是（）A．（3，7）B．（4，6）C．（5，5）D．（4，7）【解答】解：甲坐在第4列第3行，用数对表示为（4，3），乙的位置用数对表示为（7，6），丙坐在甲的右边一列，乙的前面一行，则丙的位置用数对表示是（5，5），故选：C．【变式5】如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码（7，7），（8，5），对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码（2，7），（3，4），则最后输出口令为（）A．垂直B．平行C．素养D．相交【解答】解：输入数字密码（7，7），（8，5），对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”，可得平移规律为：向左平移1个单位，向下平移2个单位，所以输入数字密码（2，7），（3，4），则最后输出口令为是“相交”，故选：D．题型03有序数对表示路径【典例1】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，按图解答下列问题：（1）C→D（+1，﹣2）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为：（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（+1，﹣3），请在图中标出P的位置．【解答】解：（1）C→D（+1，﹣2）；故答案为：D，﹣2；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，甲虫走过的最少路程＝1+4+2+1+2＝10；（3）如图，点P即为所求．【变式1】如图，灰太狼和喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、懒洋洋在5×5的方格（每个小方格的边长均为1m）图上沿着网格线运动．灰太狼从点A处出发去寻找点B，C，D，E处的某只羊，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右方向的走动，第二个数表示上下方向的走动．（1）填空：从点B到点D记为B→D（2，﹣1）；（2）若灰太狼从点A处出发去找喜羊羊的行走路线依次为（+1，+3），（+1，+1），（+1，﹣2），（+1，﹣1），请在图中标出喜羊羊的位置E；（3）在（2）中若灰太狼每走1m需消耗0.6焦耳的能量，则灰太狼寻找喜羊羊的过程共需消耗多少焦耳的能量？【解答】解：（1）从点B到点D记为B→D（2，﹣1）；故答案为：（2，﹣1）；（2）如图，．（3）|+1|+|+3|+|+1|+|+1|+|+1|+|﹣2|+|+1|+|﹣1|＝1+3+1+1+1+2+1+1＝1111×0.6＝6.6（焦耳），答：灰太狼寻找喜羊羊的过程共需消耗6.6焦耳的能量．1．下列描述，能确定具体位置的是（）A．祖庙附近B．教室第2排C．北偏东55°D．东经118°，北纬40°【解答】解：A．祖庙附近，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；B．教室第2排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；C．北偏东55°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；D．东经118°，北纬40°，能确定具体位置，故此选项符合题意．故选：D．2．如图，有A，B，C三点，如果A点用（1，1）来表示，B点用（2，3）表示，则C点的坐标的位置可以表示为（）A．（6，2）B．（5，3）C．（5，2）D．（2，5）【解答】解：由A位置点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，3）可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置．根据所建坐标系从而可以确定C点的坐标（5，2）．故选：C．3．根据下列描述，能够确定一个点的位置的是（）A．学校图书馆前面B．凤凰电影院3排6座C．和谐号第2号车厢D．北偏东40°方向【解答】解：A选项中，学校图书馆前面，不能确定具体的一个点，故不符合题意；B选项中，凤凰电影院3排6座，能确定具体的一个点，故符合题意；C选项中，和谐号第2号车厢，不能确定具体的一个点，故不符合题意；D选项中，北偏东40°方向，不能确定具体的一个点，故不符合题意，故选：B．4．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）【解答】解：类比（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（3，2）．故选：B．5．根据下列表述，能确定准确位置的是（）A．华艺影城3号厅2排B．解放路中段C．南偏东40°D．东经116°，北纬42°【解答】解：A、华艺影城3号厅2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；B、解放路中段，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C、南偏东40°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D、东经116°，北纬42°，能确定具体位置，故本选项符合题意．故选：D．6．如果剧院里“5排2号”记作（5，2），那么（7，9）表示（）A．“7排9号”B．“9排7号”C．“7排7号”D．“9排9号”【解答】解：如果剧院里“5排2号”记作（5，2），那么（7，9）表示“7排9号”．故选：A．故选：D．7．钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（）A．北纬25°44′B．福建的正东方向C．距离温州市约356千米D．北纬25°44.1′，东经123°27.5′【解答】解：钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，上列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是北纬25°44.1′，东经123°27.5′，故选：D．8．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用（30，60°）表示，目标D用（50，210°）表示，则表示为（40，330°）的目标是（）A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F【解答】解：∵目标B用（30，60°）表示，目标D用（50，210°）表示，∴第一个数表示距观察站的圈数的10倍，第二个数表示度数，∴表示为（40，330°）的目标是F，故选：D．9．若按照横排在前，纵列在后的编号，甲同学的位置是（3，6），而乙同学所在的位置是第3列第6排，则甲、乙同学（）A．在同一列上B．在同一位置上C．在同一排上D．不在同一列或同一排上【解答】解：因为（3，6）表示第3排第6列，而第3排第6列与第3列第6排，不在同一列或同一排上，所以选D．10．小米同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km）．若小艇C相对于游船的位置可表示为（270°，1），则描述图中另外两艘小艇A，B的位置，正确的是（）A．小艇A（30°，3），小艇B（60°，2）B．小艇A（30°，3），小艇B（120°，2）C．小艇A（120°，3），小艇B（150°，2）D．小艇A（120°，3），小艇B（210°，2）【解答】解：图中另外两个小艇A、B的位置，正确的是小艇A（120°，3），小艇B（210°，2），故选：D．11．若电影院中的3排4号记作（3，4），则6排2号可以记作（6，2）．【解答】解：由题知，因为电影院中的3排4号记作（3，4），所以括号内数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数，故6排2号可以记作（6，2）．故答案为（6，2）．12．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（1，﹣1），“马”位于点（4，﹣1），则“兵”位于点（﹣1，2）．【解答】解：由题意可建立如下所示坐标系：∴“兵”位于点（﹣1，2），故答案为：﹣1，2．13．五（1）班同学进行队列训练，每列人数相等，张静站在最后一列的最后一个，她的位置用数对表示是（8，6），五（1）班有48名同学参加了队列训练．【解答】解：8×6＝48（名），故五（1）班有48名同学参加了队列训练．故答案为：48．14．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A的位置表示为（30°，5），则目标B 的位置可以表示为（135°，6）．【解答】解：∵目标A的位置表示为（30°，5），∴目标B的位置可以表示为（135°，6），故答案为：（135°，6）．15．同学们，你玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就获胜，如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是（1，﹣5），黑的位置是（2，﹣4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在（3，﹣1）或（7，﹣5）位置就能获胜．【解答】解：如图所示，黑旗放在图中三角形位置，就能获胜．∵白①的位置是：（1，﹣5），黑②的位置是：（2，﹣4），∴O点的位置为：（0，0），∴黑棋放在（3，﹣1）或（7，﹣5）位置就能获胜．故答案为：（3，﹣1）或（7，﹣5）．16．根据如图提供的信息回答问题．（1）书店在小军家南偏西60°方向800米处．（2）学校在小军家正北方向800米处，记作“+800米”，则少年宫在小军家正南方向大约1200米处，记作﹣1200米．（3）花店在学校南偏东30°方向400米处，请在如图中标示出来．【解答】解：（1）书店在小军家南偏西60°方向800米处．故答案为：南偏西60°，800；（2）学校在小军家正北方向800米处，记作“+800米”，则少年宫在小军家正南方向大约1200米处，记作﹣1200米故答案为：1200，﹣1200．（3）如图所示：17．填一填，画一画．（1）百姓超市的位置是（6，6）．（2）淘气堡的位置是（1，3），在图中用“●”标出来．（3）万达影城在世纪广场西偏北60度北偏西30度度的方向上，距离世纪广场2000米．（4）滑冰馆在世纪广场东偏南75°，距世纪广场1000米的位置上，在图上用“▲”标出来．【解答】解：（1）百姓超市的位置是（6，6），故答案为：（6，6）；（2）淘气堡的位置是（1，3），位置如图；（3）由图可知，万达影城在世纪广场西偏北60度或北偏西30度的方向上，∵500×4＝2000米，∴距离世纪广场2000米，故答案为：西偏北60度或北偏西30度，2000；（4）1000÷500＝2单位，位置如图．18．如图是游乐园的一角．（1）如果用（3，2）表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对（2，4）表示，碰碰车用数对（5，1）表示，摩天轮用数对（5，4）表示．（2）请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东400m，再往北300m处．（2）如图．19．如图是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用（4，2）表示．（1）用有序数对表示小李、小张家的位置；（2）（3，5），（5，4）分别表示谁家所在的位置？【解答】解：小赵家位置用（4，2），可找到原点如图所示．（1）根据图示，小李家的位置可用（2，1）来表示；小张家的位置可用（1，3）来表示．（2）根据图示，（3，5）表示小王家的位置；（5，4）表示小周家的位置．20．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系．（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；（2）火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．【解答】解：（1）保龙仓在图书馆南偏西70°方向上，且距离图书馆2.8km；中国银行在图书馆北偏东30°方向上，且距离图书馆3.2km；餐馆在图书馆北偏西50°方向上，且距离图书馆1.8km；（2）如图所示：。

人教版七年级下数学讲义

七下数学寒假讲义目录01初中数学相交线与平行线基础训练（人教版）第1讲线与线的位置关系第2讲同位角、内错角、同旁内角第3讲命题、证明及过程书写第4讲平行线与三角形内角和的综合应用第5讲三角形的外角第6讲角的相关计算和证明第7讲与角有关的辅助线02初中数学实数基础训练（人教版）第8讲平方根和立方根第9讲实数综合应用第10讲实数的化简与计算03初中数学平面直角坐标系基础训练（人教版）第11讲平面直角坐标系第12讲坐标的应用04初中数学二元一次方程组基础训练（人教版）第13讲二元一次方程组第14讲方程组解应用题05初中数学不等式与不等式组基础训练（人教版）第15讲一元一次不等式(组)基础第16讲一元一次不等式(组)应用06初中数学数据的收集、整理与描述基础训练（人教版）第17讲抽查与普查07七年级下册数学复习总结（基础）人教版第18讲综合复习第1讲线与线的位置关系（讲义）课前预习1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．2.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．3.同角（等角）的余角_______，同角（等角）的补角_______．知识点睛1.平面上不重合的两条直线的位置关系只有两种，即______和______．2.有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为___________．3.有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为_________．对顶角__________．4.垂直的定义：_________________________________________________________________________________________．5.垂直的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．6.直线外一点到这条直线的___________________，叫做点到直线的距离．7._______________________________________叫做平行线．8.平行的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．9.几何语言书写规范：①过点A作AC∥BD；②过点A作AC⊥BD，垂足为点C．10.图形的平移：（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）平移的性质：经过平移，对应点所连的线段________________________；对应线段_________________，对应角_________________．精讲精练1.平面内三条两两相交的直线（）A．有一个交点B．有一个或三个交点C．有三个交点D．有两个交点2.在平面内有任意四个点，那么这四个点可以确定（）条直线．A．1或6B．4C．6D．1或4或63.一个角的邻补角是60°，则这个角是________．4.如图，∠1，∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．5.如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一条最佳路线，理由是____________________________________．第5题图第6题图6.如图，P是直线l外一点，A，B，C在直线l上，且PB⊥l，那么下列说法中不正确的是（）A．点P到直线l的距离是线段BP的长度B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短C．PA是点P到直线l的垂线段D．点A到直线PB的距离是线段AB的长度7.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=50°，则∠AOD的度数为_______．第7题图第8题图8.如图，直线AB，CD相交于点O，OB是∠DOE的平分线，若∠COE=100°，则∠AOC的度数为_______．9.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OB平分∠EOG，若∠FOD=60°，则∠BOG的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．无法确定10.下列推理正确的是（）A．因a∥b，b∥c，故c∥dB．因a∥b，b∥d，故c∥dC．因a∥b，a∥c，故b∥cD．因a∥b，c∥d，故a∥c11.下列说法中正确的个数为（）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个12.下列推理中，错误的是（）A．在m，n，p三个量中，如果m=n，n=p，那么m=pB．在∠A，∠B，∠C，∠D四个角中，若∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠D，则∠B=∠CC．a，b，c是同一平面内的三条直线，如果a∥b，b∥c，那么a∥cD．a，b，c是同一平面内的三条直线，如果a⊥b，c⊥b，那么a⊥c13.（1）体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是___________________________________________；（2）直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在一条直线上，它的依据是_____________________ ___________________________________________________．14.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．15.如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（）A．把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．把△AB C向右平移5个单位，再向上平移2个单位D．把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位16.如图，将△ABC向右平移2cm得到△DEF，如果△ABC的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm第16题图第17题图17.如图，将三角形纸板ABC沿直线AB向右平行移动，使△ABC到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．100°18.已知△ABC和点D，将△ABC的顶点A平移到点D，请作出平移后的图形．19.如图，在边长为1的正方形网格中，平移△ABC，使点A平移到点D．（1）画出平移后的△DEF；（2）求△ABC的面积．【参考答案】课前预习1.余角，余角2.补角，补角3.相等，相等知识点睛1.平行，相交2.邻补角3.对顶角，相等4.如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直5.①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短6.垂线段的长度7.在同一平面内，不相交的两条直线8.①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2平行于同一条直线的两条直线互相平行10.平行且相等，相等，相等精讲精练1.B2.D3.120°4.C5.垂线段最短6.C7.140°8.40°9.C10.C11.B12.D13.（1）垂线段最短；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．14.D15.C16.C17.C18.图略19.（1）图略；（2）7第2讲同位角、内错角、同旁内角（讲义）课前预习1.回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题：（1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______；（2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______；（3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2.在同一平面内，_________________________叫做平行线．3.如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b，c，转动木条a，当转动到a∥b时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“>”、“<”或“=”）知识点睛1.同位角、内错角、同旁内角：2.平行线的判定：①____________相等，两直线平行；②____________相等，两直线平行；③____________互补，两直线平行．3.平行线的性质：①两直线平行，____________相等；②两直线平行，____________相等；③两直线平行，____________互补．精讲精练1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（4）∠6和∠4是同位角吗？（5）∠1和∠4是内错角吗？（6）∠5和∠6是同位角吗？2.如图所示：（1）∠NOP 和∠OMD 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（2）∠BON 和∠DMN 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（3）∠AOM 和∠CMO 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角．3.如图，在所标识的角中，是内错角的是（）A ．∠1和∠BB ．∠1和∠3C ．∠3和∠BD ．∠2和∠34.如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角；（）②∠1和∠5是同位角；（）③∠1和∠3是内错角；（）④∠1和∠2是同旁内角．（）第2题图5.请根据给出的图形完成推理过程：（1）若∠1=∠A，则______∥______，理由是___________________________________________．（2）若∠1=∠DFE，则______∥______，理由是___________________________________________．（3）若∠DEC+∠C=180°，则______∥______，理由是___________________________________________．（4）若∠ADE=_________，则DE∥BC，理由是___________________________________________．6.已知：如图，∠1=∠ADC，∠DAB+∠ABC=180°．求证：（1）AB∥CD；（2）AD∥BC．7.如图，直线a和直线b被直线c所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°其中能判断a∥b的条件是（）A．①②B．②④C．①②④D．①②③④8.如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=______．第8题图第9题图9.如图，AD∥CE，AB∥CD，∠C=50°，则∠DAB=______．外）相等的角有________个.11.请根据给出的图形完成推理过程：理由是__________________________________________．（2）若∠3=______，则AB∥CD，理由是__________________________________________．（3）若∠DAB+∠ABC=180°，则______∥______，理由是__________________________________________．（4）若______∥______，则∠C+∠ABC=180°，理由是__________________________________________．（5）若AD∥BC，则∠3=______，理由是__________________________________________．12.请根据题意，完成推理并填空：求证：BD∥CE．证明：如图，∵∠A=∠F（__________________________________）∴AC∥DF（__________________________________）∴∠D=_______（__________________________________）∵∠C=∠D（__________________________________）∴∠1=∠C（__________________________________）∴BD∥CE（__________________________________）【参考答案】课前预习1.（1）90°；（2）180°；（3）∠1=∠2．2.不相交的两条直线．3.=．知识点睛2.①同位角；②内错角；③同旁内角．3.①同位角；②内错角；③同旁内角．精讲精练1.（1）a，b，c，同位；（2）a，b，d，内错；（3）c，d，a，同旁内；（4）不是；（5）不是；（6）是．2.（1）OP，CD，NQ，同位；（2）AB，CD，NQ，同位；（3）AB，CD，NQ，同旁内．3.D4.①×②√③√④√5.AB，EF，同位角相等，两直线平行．DF，AC，内错角相等，两直线平行．DE，BC，同旁内角互补，两直线平行．∠B，同位角相等，两直线平行．6.证明：（1）∵∠1=∠ADC（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DAB+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）7.D8.60°9.50°10.5个11.（1）AB，CD，内错角相等，两直线平行．（2）∠DAB，同位角相等，两直线平行．（3）AD，BC，同旁内角互补，两直线平行．（4）AB，CD，两直线平行，同旁内角互补．（5）∠C，两直线平行，内错角相等．12.已知内错角相等，两直线平行∠1两直线平行，内错角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行第3讲命题、证明及过程书写（讲义）课前预习1.背默平行线的判定及性质．（1）平行线的判定：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．（2）平行线的性质：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．2.如图，已知OC平分∠AOB，∠AOB=70°，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC平分∠AOB（_______________________）∴________________（_______________________）∵________________（_______________________）∴________________（_______________________）知识点睛1.判断一件事情的语句，叫做命题．命题由_______和_______两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．2.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．3.一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明．4.在证明的过程中，由平行想到______、_______、________．对顶角模块书写如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠1=60°，求∠2的度数．解：如图，∵∠1=∠2（_______________________）∠1=60°（已知）∴∠2=_____（_______________________）平行模块书写已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=50°，求∠2的度数．解：如图，∵AB∥CD（_________________________）∴∠1=____（_________________________）∵∠1=50°（_________________________）∴∠2=____（_________________________）精讲精练1.下列语句属于命题的是（）A．你吃过午饭了吗？B．过点A作直线MNC．同角的余角相等D．红扑扑的脸蛋2.已知下列命题：①两个锐角的和是锐角；②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2；④同位角相等；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2是邻补角．其中是真命题的有_________．（填写序号）3.把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果__________________，那么__________________．4.如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA，∠A=50°，求∠EDF的度数．解：如图，∵DE∥BA（已知）∴∠A=∠DEC（_________________________）∵∠A=50°（已知）∴___________（_________________________）∵DF∥CA（已知）∴___________（_________________________）∴∠EDF=50°（_________________________）5.已知：如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，求∠1的度数．6.已知：如图，AB∥EF，AB∥CD，若∠C=60°，∠E=110°，求∠CAE的度数．7.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD．求证：AD∥BC．证明：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠A+____=180°（_________________________）∵∠A=∠C（已知）∴∠C+____=180°（_________________________）∴AD∥BC（_________________________）8.如图，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为E，F，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠EFD．求证：EM∥FN．9.已知：如图，∠BAC+∠GCA=180°，∠1=∠2．求证：AE∥CF．10.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（_____________________________）∠1+∠DFE=180°（_____________________________）∴______=______（_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠3=∠ADE（_____________________________）∵∠3=∠B（_____________________________）∴∠ADE=∠B（_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠AED=∠C（_____________________________）11.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A．证明：如图，∵∠1=∠2（________________________________）∠1=∠DGF（________________________________）∴∠2=_______（________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠D=_______（________________________________）∵∠C=∠D（________________________________）∴______=∠C（________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠F=∠A（________________________________）点H.求证：∠2=∠3．13.如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的平分线，∠A=70°，求∠3的度数．【参考答案】课前预习1.（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．（2）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．2.已知12AOC AOB ∠=∠；角平分线的定义AOB ∠=70°；已知12AOC ∠=⨯70°=35°；等量代换知识点睛1.题设，结论4.同位角、内错角、同旁内角对顶角相等60°；等量代换已知2∠；两直线平行，同位角相等已知50°；等量代换精讲精练1.C 2.③⑤3.两个角是对顶角，这两个角相等4.两直线平行，同位角相等∠DEC =50°；等量代换∠EDF=∠DEC ；两直线平行，内错角相等等量代换5.解：如图∵AD 平分∠BAC （已知）∴∠BAC=2∠BAD （角平分线的定义）∵∠BAD=70°（已知）∴∠BAC=2×70°=140°（等式的性质）∵AB ∥CD （已知）∴∠1+∠BAC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠1=180°-∠BAC=180°-140°=40°（等式的性质）6.解：如图∵AB∥CD（已知）∴∠C+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=60°（已知）∴∠BAC=180°-∠C=180°-60°=120°（等式的性质）∵AB∥EF（已知）∴∠E+∠BAE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠E=110°（已知）∴∠BAE=180°-∠E=180°-110°=70°（等式的性质）∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=120°-70°=50°（等式的性质）．7.∠D；两直线平行，同旁内角互补∠D；等量代换同旁内角互补，两直线平行8.证明：如图∵AB∥CD（已知）∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）∵EM平分∠AEF（已知）∴∠MEF=12∠AEF（角平分线的定义）∵FN平分∠EFD（已知）∴∠EFN=12∠EFD（角平分线的定义）∴∠MEF=∠EFN（等式的性质）∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）9.证明：如图∵∠BAC+∠GCA=180°（已知）∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC-∠1=∠DCA-∠2（等式性质）即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）10.已知平角的定义∠2，∠DFE；同角的补角相等AB，EF；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知等量代换DE，BC；同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等11.已知对顶角相等∠DGF，等量代换CE，BD；同位角相等，两直线平行∠FEC；两直线平行，同位角相等已知∠FEC；等量代换DF，AC；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等12.证明：如图∵∠1=∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥AB，FH⊥AB（已知）∴∠BDC=∠BHF=90°（垂直的定义）∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠DCB（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换）13.解：如图∵BE平分∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3+∠ABC=180°（已知）∴∠3=∠A（同角的补角相等）∵∠A=70°（已知）∴∠3=70°（等量代换）第4讲平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）课前预习1.如图，在△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，那么∠B=_____，∠A+∠B=_______，也就是∠A与∠B________（填“互余”、“互补”）．2.如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，求证：∠AOD=∠BOC．证明：如图，∵∠AOC=∠BOD=90°（_______________________）∴∠AOD=∠BOC（_______________________）知识点睛1.三角形的内角和等于__________．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．证明：_______，___________________________．∵MN∥BC（已作）∴∠B=∠1，∠C=∠2（_______________________）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（_______________________）2.直角三角形两锐角___________．精讲精练1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD=__________．第1题图第2题图2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F．若∠AED=140°，则∠C=_____，∠BDF=______，∠A=______．3.如图，AE∥BD，∠1=110°，∠2=30°，则∠C=______．第3题图第4题图4.如图，AD∥BC，AB∥CD，E在CB的延长线上，EF经过点A，∠C=50°，∠FAD=60°，则∠EAB=_______．5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=75°，∠ADE=35°，则∠EDC=_________．6.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°，AD⊥BC于点D，求∠DAC的度数．解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-______-______=180°-_____-_____=______（_______________________）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+_____=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-______=90°-______=______（_______________________）7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=∠BCD．证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+_____=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴_____+∠B=90°（______________________）∴∠A=∠BCD（______________________）8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是边AC上一点，DE∥BC，∠1=60°，求∠A的度数．9.如图，BD∥AE交△ABC的边AC于点F，∠CAE=95°，∠CBD=30°，求∠C的度数．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．【参考答案】课前预习1.60°，90°，互余2.已知，同角的余角相等知识点睛1.180°如图，过点A作MN∥BC两直线平行，内错角相等平角的定义等量代换2.互余精讲精练1.29°2.50°，40°，80°3.40°4.70°5.35°6.解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-68°=72°（三角形的内角和等于180°）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-∠C=90°-72°=18°（等式的性质）7.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）8.解：如图，∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠1=60°（已知）∴∠B=60°（等量代换）∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°（等式的性质）9.解：如图，∵BD∥AE（已知）∴∠CFD=∠CAE（两直线平行，同位角相等）∵∠CAE=95°（已知）∴∠CFD=95°（等量代换）∴∠CFB=180°-∠CFD=180°-95°=85°（平角的定义）在△CBF中，∠CBD=30°，∠CFB=85°（已知）∴∠C=180°-∠CBD-∠CFB=180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠CAF+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠EDA=90°（垂直的定义）∴∠DAE+∠AED=90°（直角三角形两锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知）∴∠CAF=∠DAE（角平分线的定义）∴∠2=∠AED（等角的余角相等）∵∠1=∠AED（对顶角相等）∴∠1=∠2（等量代换）第5讲三角形的外角（讲义）课前预习1.如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，则∠A+∠B=______，∠ACD=________，由此你得到∠A+∠B_______∠ACD（填“>”、“<”或“=”）．知识点睛1.三角形的__________________组成的角，叫做三角形的外角．2.三角形外角定理：三角形的外角等于_________________________________________．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1=∠A+∠B．证明：如图，∵∠A+∠B+∠2=180°（___________________________）∠1+∠2=180°（___________________________）∴∠1=∠A+∠B（___________________________）精讲精练1.如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=70°，∠BAD=60°，则∠ADC=_______．第1题图第2题图2.如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC=______，∠BEC=_______．3.如图，D是△ABC的边AC上一点，∠C=67°，∠CBD=33°，DE平分∠ADB，交AB于点E，则∠ADE=_______．第3题图第4题图4.如图，AC∥ED，∠C=25°，∠B=35°，则∠E=_______．5.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=______．6.如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．若∠A=45°，∠ADE=60°，∠CEG=40°，则∠EGH=______．第6题图第7题图7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠DAC=_____，∠AED=_____，∠BOE=_________．8.如图，在△ABE中，D是BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD．若∠A=80°，∠B=35°，∠BDC=140°，求∠C的度数．解：如图，∵∠BEC是△ABE的一个外角（外角的定义）∴_____=_____+_____（______________________________）∵∠A=80°，∠B=35°（已知）∴∠BEC=_____+______=______（等量代换）∵__________________________（外角的定义）∴∠BDC=_____+_____（______________________________）∵∠BDC=140°（已知）∴∠C=______-______=______-______=______（___________________）9.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在BA的延长线上，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC．10.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC=∠B+2∠E．11.如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求△ABC的外角∠ACD的度数．【参考答案】课前预习1.120°，120°，=知识点睛1.一边与另一边的延长线2.和它不相邻的两个内角的和三角形的内角和等于180°平角的定义等式的性质精讲精练1.130°2.50°3.95°，80°4.60°5.75°6.145°7.20°，85°，55°8.解：如图，∵∠BEC是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠BEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=80°，∠B=35°（已知）∴∠BEC=80°+35°=115°（等量代换）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠BEC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC=140°（已知）∴∠C=∠BDC-∠BEC=140°-115°=25°（等式的性质）9.证明：如图，∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠C+∠C=2∠C（等量代换）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC=2∠DAC（角平分线的定义）∴∠C=∠DAC（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）10.证明：如图，∵∠BAC为△ACE的一个外角（外角的定义）∴∠BAC=∠1+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠2为△BCE的一个外角（外角的定义）∴∠2=∠B+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∴∠1=∠B+∠E（等量代换）∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E（等量代换）11.解：如图，∵AB∥CE（已知）∴∠ABE=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=30°（已知）∴∠ABE=30°（等量代换）∵BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ABC=2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=50°（已知）∴∠ACD=50°+60°=110°（等量代换）第6讲角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理：（1）平行线：判定：①_______________，两直线平行；②_______________，两直线平行；③_______________，两直线平行．性质：①两直线平行，_______________；②两直线平行，_______________；③两直线平行，_______________．（2）余角、补角、对顶角：同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________．（3）三角形：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________；由垂直想到__________________、____________________；由外角想到________________________________________．精讲精练1.如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则∠BCE=_________．2.如图，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G是BC边上一点，连接DG，AE⊥DG于点E，CF⊥DG于点F．若∠DAE=25°，则∠GCF=_________．3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB=_______，∠ADC=________．4.如图，点F是△ABC边BC延长线上一点，EF∥AC，过点E作ED⊥AB于点D，交AC于点G．若∠A=35°，则∠DEF=______．5.如图，在△ABC中，∠B=60°，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠APD=________．6.已知：如图，直线BD交CF于点D，交AE于点B，连接AD，BC，∠1+∠2=180°，∠A=∠C．求证：DA∥CB．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（__________________________）∠2+∠CDB=180°（__________________________）∴_______=_______（__________________________）∴______∥________（__________________________）∴∠A+∠CDA=180°（__________________________）∵∠A=∠C（__________________________）∴______+______=180°（__________________________）∴DA∥CB（__________________________）7.已知：如图，E，F分别在AB，CD上，EC⊥AF，垂足为点O，∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求证：AB∥CD．8.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．9.已知：如图，点E是△ABC边BC延长线上一点，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE（_____________________）∴∠ACE=______=_______（_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE=∠ABC+∠A（_____________________）∴2β=2α+∠A（_____________________）∴∠A=2(β-α)（_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴∠PCE=∠PBC+∠P（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴∠P=β-α（_____________________）∴∠A=2∠P（_____________________）10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足D．求证：∠A=2∠BCD．【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；和它不相邻的两个内角的和．知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．精讲精练1.20°2.25°3.65°，70°4.125°5.60°6.已知平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等CF ，AE ；同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补已知∠C ，∠CDA ；等量代换同旁内角互补，两直线平行7.证明：如图，∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠1+∠C =90°（已知）∴∠1=∠2（同角的余角相等）∵∠2=∠D （已知）∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）8.解：如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知）∴∠BAE =12∠BAC =12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（直角三角形两锐角互余）9.已知角平分线的定义已知2∠PCE，2β；角平分线的定义外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式的性质外角的定义α，∠P；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式的性质等量代换10.证明：如图，设∠B=∠ACB=α，在△ABC中，∠B=∠ACB=α（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-2α（三角形的内角和等于180°）∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠BCD=90°-∠B=90°-α（等式的性质）∴∠A=2∠BCD（等量代换）第7讲与角有关的辅助线（讲义）课前预习1.如图，∠AOB=130°，OC⊥OB于点O，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC⊥OB（已知）∴____________（垂直的定义）∵∠AOB=130°（已知）∴∠AOC=______-______=______-______=______（等式性质）知识点睛1.为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2.辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．3.辅助线的作用：①________________________________________________；②________________________________________________．4.添加辅助线的注意事项：____________________________．精讲精练1.如图，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为______________．2.如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CD⊥CE．求证：AB∥CD．3.已知：如图，直线AB∥CD，∠EFG=130°，∠DGH=40°．你认为EF⊥AB吗？请说明理由．4.已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点．求证：∠EPF=∠AEP+∠CFP．5.如图，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．6.已知：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，则∠BCD=________．7.已知：如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．求证：β=2α．8.已知：如图，CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC．求证：AB∥GF．9.已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．【参考答案】课前预习1.∠COB=90°∠AOB-∠COB130°-90°40°知识点睛1.虚线2.已知，未知3.①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形4.明确目的，多次尝试精讲精练1.79°2.证明：如图，延长DC到点G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定义）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式的性质）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.解：EF⊥AB，理由如下：如图，延长EF交CD于点M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（对顶角相等）∴∠FGM=40°（等量代换）∵∠EFG是△FGM的一个外角（外角的定义）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM=130°-40°=90°（等式的性质）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定义）4.证明：如图，过点P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF=∠AEP+∠CFP5.115°6.45°7.证明：如图，过点C作MN∥ED．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠D=180°，∠2+∠B=180°，∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵α=∠A+∠E（已知）∴α=180°（等量代换）∵β=∠B+∠C+∠D（已知）∴β=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°（等式的性质）∴β=2α（等式的性质）8.证明：如图，延长CB交FG于点M，延长FE交CM于点N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（两直线平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一个外角（外角的定义）∴∠BMG=∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2=∠ABC（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代换）∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）9.证明：如图，延长BD交AC于点E．∵∠1是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代换）事实上：平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0，1；立方根等于它本身的数是0，±1．第8讲平方根和立方根（讲义）课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．2.做一做，想一想把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x ，则x 满足的条件为__________．知识点睛1.平方根：一般地，如果一个_______________________，2.即__________，那么这个________就叫做a 的平方根；3.也叫做____________；记作________，读作“____________”．4.一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个5.平方根，是________；负数________平方根．6.算术平方根：一般地，如果一个_______________________，7.即__________，那么这个________就叫做a 的算术平方根；8.记作______，读作“________”．0的算术平方根是______．9.求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______．10.立方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作________，读作“____________”．11.正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．12.求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．平方和开平方互为逆运算，立方和开立方互为逆运算．精讲精练1.4121的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______．2.下列说法正确的是（）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是43.下列说法正确的是（）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个数的算术平方根都是正数D ．2是4的平方根4.下列各式中，正确的是（）A =B ．0.6=±C 13=D 6=±5.下列各式中，正确的是（）A ．=-(-7)=7B ．412=121C332244=+=D 0.1=±6.的值为______的平方根是______；的算术平方根是____________．7.2===____；2=____；2=____=____=____．8.2=______=______；=______；若x 2=(-7)2，则x =__________．9.a 的取值范围是_____________．10.已知0≤x ≤3+=_____________．。

二元一次方程组的解法(教师版)2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义(人教版)

第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②732y x -=733382y y -⨯-=13y =能力拓展将代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为．【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x ﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．【即学即练】解方程组（1）（2）【答案】 13y =313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解：将①代入②：，得 y=4，将y=4代入①：2x －12=2得 x=7，∴原方程组的解是. （2）解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，， ∴原方程组的解为. 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值．【答案】B ．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2． 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②25297y ++=74x y =⎧⎨=⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②k k k k k k k 58k =-542x k ==-1538y k ==-52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以，又联立方程组，则有，解得．所以(2a+b)2011＝-1．【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：， 2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④2011(2)a b +2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③22x y =⎧⎨=-⎩48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩13a b =⎧⎨=-⎩则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：349(1)2659(2)3x y x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23x y =⎧⎨=⎩【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组1615ax my bx ny -=⎧⎨+=⎩的解为71x y =⎧⎨=-⎩，求关于x 、y 的方程组(2)()16(2)()15a x y m x yb x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解．【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x +y ，x -y 看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x +y )与(x -y )分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：．【答案】解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩ 【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设,610x y x y m n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①② 解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【即学即练】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3－①×2得，3535y =，即1y =，将1y =代入①得，99x =，即1x =，所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①② ①－②，整理得513y y -=- ③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =；当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解.将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（） A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 【答案】D【解析】【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意．故选D ．分层提分2．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【解析】【分析】根据各选项分别计算，即可解答．【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．3．解方程组231367x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2【答案】C【解析】【分析】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【详解】解：①×2得：4x+6y=2③，③+②得：7x=9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．用加减法将方程组2311255x yx y-=⎧⎨+=-⎩中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26y= B．816y=C．26y-=D．816y-=【答案】D【解析】【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．利用加减消元法解方程组2510{536x yx y+=-=，①②，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2【答案】D【解析】【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为：（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．故选D6．用代入消元法解方程组3+4=225x yx y⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是()A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x－5【答案】D【解析】【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.【详解】解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故应选D.【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】B【解析】【详解】试题解析：512{34a ba b+=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．8．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2B2C．2D．4【解析】【详解】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． 2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为2．故选C ．9．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【详解】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵32120x y x y --+-=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②， ①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．11．若方程组31331x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定【答案】A【解析】【详解】试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ． 12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为（）A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得2,c =-且3222a b +=①，由于乙看错c ，所以2622a b -+=②，解由①②构成的方程组可得：4,5a b =⎧⎨=⎩故选B ．题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．【答案】y=3-2x【解析】【详解】23x y +=移项得：y=3-2x.故答案是：y=3-2x ．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___．【答案】1【解析】【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得到一个关于a ，b 的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b 的值．【详解】解：根据题意把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得 345432b a b a +⎧⎨+⎩＝①＝②， ①+②，得：7（a+b ）=7，则a+b=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____．【答案】24．【解析】【分析】把x y 3x 5y +-、分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解：∵x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩， ∴()()()3x y 3x 5y 37324+--=⨯--=．故答案为：24．17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________．【答案】5【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为．【答案】2【解析】【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==， ∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+=，故答案为2.19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m -7n 的算术平方根是_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为 4．考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组 20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ．【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩∴方程组3()()=52()()6a b m a ba b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是12a ba b+=⎧⎨-=⎩解12a ba b+=⎧⎨-=⎩得3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．21．若方程组2313{3530.9a ba b-=+=的解是8.3{1.2,ab==则方程组的解为________【答案】6.32.2 xy==⎧⎨⎩【解析】【详解】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：6.3{2.2xy==.题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩，整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ，两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩．（2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩，两式相减得：25y =，将25y =代入5156x y +=中，得251565x +⨯=，解得：0x =．所以原方程组的解为025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．23．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx yx ny+=-=时，甲解题时看错了m，解得7{22xy==-；乙解题时看错了n，解得3{7xy==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】n = 3, m = 4，2 {3 xy==-【解析】【详解】试题分析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，由此即可求得n的值；37xy=⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；试题解析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，∴72(2)132n⨯--=，解得n=3；37xy =⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，∴375m-=，解得m=4；∴原方程组为：452313x yx y+=⎧⎨-=⎩，解此方程组得23xy=⎧⎨=-⎩，∴m=4，n=3，原方程组的解为：23 xy=⎧⎨=-⎩.点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩时，甲解题时看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”这句话的含义是：“722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”是关于x y、的二元一次方程“213x ny-=”的解.25．阅读探索解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得22xy=⎧⎨=⎩，即1222ab-=⎧⎨+=⎩，所以3ab=⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．【答案】（1）95a b =⎧⎨=-⎩；（2）23m n =-⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）设13a -=x ，25b +=y ，可得出关于x 、y 的方程组，即可求出x 、y 的值，进而可求出a 、b 的值；（2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，根据已知方程组的解确定出m 、n 的值即可.【详解】（1）设13a -=x ，25b +=y ，原方程组可变形为2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，即123215a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：95a b =⎧⎨=-⎩. （2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，原方程组可变形为：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩， ∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩， ∴5(3)53(2)3m n +=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.故答案为23 mn=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.。

人教版初中数学同步讲义七年级下册第03讲实际问题与二元一次方程组(解析版)

第03讲实际问题与二元一次方程组课程标准学习目标①列二元一次方程组解决实际问题1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，能够熟练的列方程解应用题。

2.掌握基本等量关系，能够熟练的根据题目设出未知数列出方程。

知识点01列二元一次方程组解决实际问题1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤：（1）审题：弄清题意已经题目中的等量关系。

（2）设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量。

（3）列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组。

（4）解方程：解出所列的方程组。

（5）检验：检验方程组的解是否满足实际问题。

（6）答：写出答案。

2.常见的基本等量关系：（1）行程问题：速度×时间＝路程顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度（2）配套问题：实际数量比＝配套比（3）商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%（4）工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率【即学即练1】1．甲、乙两个班去年植树时，甲班比乙班多种50棵树，今年植树时，甲班比去年多种了12%，乙班比去年多种了15%，甲班比乙班多种50棵，设去年甲、乙两班分别种树x棵、y棵，则下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】此题中的等量关系为：①甲班今年植树棵数﹣乙班今年植树棵数＝50棵；②甲班去年植树棵数﹣乙班去年植树棵数＝50棵．【解答】解：根据甲班去年植树棵数﹣乙班去年植树棵数＝50棵，得方程x﹣y＝50；根据甲班今年植树棵数﹣乙班今年植树棵数＝50棵，得方程112%x﹣115%y＝50．可列方程组为．故选：D．【即学即练2】2．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．（1）求篮球和排球的单价各是多少；（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？【分析】（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，根据买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案；（2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案．【解答】解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，由题意可得，解方程组得，答：篮球每个90元，排球每个65元；（2）若按照①套餐打折购买费用为：2（5×90+5×65）×0.8+4×90+2×65＝1730（元），若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65＝2040（元），又2040＞1999，所以2040﹣200＝1840（元）．而1840＞1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．答：选用套餐①购买更划算．题型01顺逆行问题【典例1】若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为x km/h，江水的流速为y km/h，则根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】船只顺流速度＝船静水中的速度+水流流速，船只逆流速度＝船静水中的速度﹣水流流速，根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得．故选：B．【变式1】A地至B地的航线长1200千米，一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时，它逆水返回需要40小时，设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，可列方程组（）A．B．C．D．【分析】设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，则：船顺水行驶速度为：（x+y）千米/小时．船顺水行驶速度为：（x﹣y）千米/小时．依题意，得：．故选：B．【变式2】甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是_____千米/时．（）A．2.5千米/时B．22.5千米/时C．4.5千米/时D．20.5千米/时【分析】设船在静水中的速度为x，水流速度为y，根据题意列方程求解即可．【解答】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，由题意得：，解得，即这艘轮船在静水中的速度是22.5千米/时，故选：B．【变式3】一架飞机在A、B两地飞行，风速为15km/h，它从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h．求：（1）飞机无风时的平均速度；（2）两地之间的航程．【分析】（1）设飞机无风时的平均速度是x km/h；（2）根据（1）的结论，列出算式即可求解．【解答】解：（1）设飞机无风时的平均速度是x km/h．12.5（x+15）＝13（x﹣15），12.5x+12.5×15＝13x﹣13×15，25.5×15＝0.5x，x＝765，答：飞机无风时的平均速度是765km/h．（2）12.5×（765+15）＝12.5×780＝9750（km），答：两地之间的航程是9750km．【变式4】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．（1）求该客轮在静水中的速度和水流速度；（2）若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米．【分析】（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设该客轮在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时，依题意得：，解得：，答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；（2）设从重庆港到该码头两地相距a 千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a ）千米，依题意得：＝，解得：a ＝162，答：重庆港与该码头两地相距162千米．题型02配套问题【典例1】某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人做螺杆，y 个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设安排x 个工人做螺杆，y 个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可．【解答】解：设安排x 个工人做螺杆，y 个工人做螺母，由题意得：故选：C ．【变式1】现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x 张纸板做盒身，y 张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，∴x+y＝95；∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，∴2×4x＝11y．∴根据题意可列方程组．故选：D．【变式2】2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用总价＝单价×数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，∴2x＝y；∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，∴60x+20y＝5000．∴根据题意可列出方程组．故选：C．【变式3】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有260张白铁皮，用130张制盒身可以正好制成整套罐头盒．【分析】设用x张铁皮制盒身，一共有260张铁皮，x张铁皮制盒身，那么就用（260﹣x）张制盒底；接下来，根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，列方程求解即可．【解答】解：设用x张铁皮制盒身，则用（260﹣x）张铁皮制盒底，依题意列方程：2×15x＝30×（260﹣x），解得x＝130，260﹣x＝130．所以用130张制盒身，130张制盒底可以正好制成整套罐头盒．故答案为：130．【变式4】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？【分析】设分配剪筒身的学生为x人，则剪筒底为（44﹣x），根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果．【解答】解：设分配剪筒身的学生为x人，则剪筒底为（44﹣x），依题意得50x×2＝120（44﹣x），解得x＝24，则44﹣x＝20．故应该分配24名学生剪筒身，20名学生剪筒底．【变式5】某口罩厂共有60名员工，每名员工每天可以生产250个罩面或1000根耳绳．已知一个罩面需要配两根耳绳，口罩厂预备安排若干名员工生产罩面，其余员工都生产耳绳，若在此安排下，每天生产的罩面和耳绳刚好配套，问安排生产罩面和耳绳的人数分别是多少？【分析】设安排x人生产罩面，则有（60﹣x）人生产耳绳，根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设安排x人生产罩面，则有（60﹣x）人生产耳绳，依题意，得1000（60﹣x）＝2×250x，解得x＝40，60﹣40＝20（人）．答：安排了40人生产罩面，20人生产耳绳．题型03工程问题【典例1】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路y米，依题意可列方程组（）A．B．C．D．【分析】根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度+乙工程小组整修马路的长度＝5000米，甲工程小组整修马路的天数+乙工程小组整修马路的天数＝22天，由此列出方程组，得到答案．【解答】解：根据题意，设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路y米，依题意可列方程组：，故选：C．【变式1】为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组．【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．【解答】解：依题意可得：．故答案为：．【变式2】在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间；并写出该方程组中△处的数应是18，□处的数应是4000；（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？【分析】（1）由两队共用18天完成修建任务，可得出△处的数，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率及公路的总长，可得出x，y的含义及□处的数；（2）利用公路的总长及工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用乙队的工作时间＝乙队的工作总量÷乙队的工作效率，即可求出乙队的工作时间．【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务，∴x+y＝18，∴△处的数应是18；∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米，∴200x+250y＝4000，∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，□处的数应是4000．故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000；（2）根据题意得：，解得：，∴＝＝8（天）．答：乙队修建了8天．【变式3】某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？【分析】（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，根据“A厂生产30天，B厂生产20天可生产960件新产品；B厂生产30天，A厂生产15天可生产960件新产品”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可分别求出A、B两厂单独完成所需时间；（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，根据“先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n 的值，依此可求出A、B两厂单独完成所需费用，设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，根据总费用＝工程费+技术员工资及午餐费，即可得出w关于a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求出w的最小值，再将其与88200、85800比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，根据题意得：，解得：，∴＝＝60，＝＝40．答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，根据题意得：，解得：，∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60＝88200（元），B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40＝85800（元）．设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，根据题意得：当a≤40﹣a，即a≤24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×（40﹣a）＝﹣80a+85800，此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880；当a≥40﹣a，即a≥24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×a＝120a+81000，此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880．∵88200＞85800＞83880，∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．【变式4】随着康养医疗社会需求的进一步增大，某康养中心正在扩大规模，准备装修一批新房舍．若甲、乙两个装修公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，康养中心研究后决定只选一个公司单独完成（工作总量为1）．（1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为；（2）如果从节约时间的角度考虑，你帮康养中心确定一下，应选哪家公司？请说明理由；（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．【分析】（1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“甲、乙两个装修公司合作，需6周完成；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成”，即可列出关于m，n的二元一次方程组；（2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，解（1）中的方程组可得出m，n的值，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可求出甲、乙两公司单独完成所需时间，比较后即可得出结论；（3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，设选择甲公司每周需支付装修费x万元，选择乙公司每周需支付装修费y万元，根据“甲、乙两个装修公司合作6周，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，乙公司单独做9周，共需装修费4.8万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入10x，15y中，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得：．故答案为：；（2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，理由如下：解方程组得：，∴＝＝10，＝＝15，∴甲公司单独完成所需时间为10周，乙公司单独完成所需时间为15周，又∵10＜15，∴如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司；（3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，理由如下：设选择甲公司每周需支付装修费x万元，选择乙公司每周需支付装修费y万元，根据题意得：，解得：，∴10x＝10×＝6，15y＝15×＝4，∴选择甲公司共需支付装修费6万元，选择乙公司共需支付装修费4万元，又∵6＞4，∴如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司．题型04商品利润问题问题【典例1】某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元．经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元．求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣x套，原计划每套运动衣的利润是y 元．可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合降价前后可获得的利润，可得出关于x，y的二元二次方程组，此题得解．【解答】解：∵按原价销售，能获得利润12000元，∴xy＝12000；∵降低售价后，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，∴（x+400）（y﹣10）＝12000+4000．∴根据题意可列方程组．故选：B．【变式1】某商场按定价销售某种商品时，每件可获利30元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件利润相等．设该商品的进价、定价分别为x，y，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件所获得的利润相等”，“每件可获利30元”可列出方程组．【解答】解：根据题意得，故选：A．【变式2】列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元．（1）求购进两种水果各多少千克？（2）8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值．【分析】（1）设购进m千克葡萄，n千克西瓜，根据“购进西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，且购进两种水果共花费370元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设购进m千克葡萄，n千克西瓜，根据题意得：，解得：．答：购进40千克葡萄，85千克西瓜；（2）根据题意得：（8﹣y﹣5）×40+（5﹣2）×85＝315，解得：y＝1.5．答：y的值为1.5．【变式3】2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．【分析】（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意建立方程组求解即可得出答案；（2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元，根据题意得出W＝（m﹣10）a+600﹣20m，根据商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，得到m﹣10＝0，据此解答即可．【解答】解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意得，解得，答：篮球每个100元，排球每个80元；（2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元，篮球的进价为100÷（1+25%）＝80（元），根据题意得，W＝80×25%a+（80﹣50﹣m）（20﹣a）＝（m﹣10）a+600﹣20m，∵商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，∴m﹣10＝0，∴m＝10．【变式4】某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉．共需要资金4400元．（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台进行销售，请问有几种进货方案？请写出进货方案；（3）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台进行销售，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润甲为45%．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？【分析】（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，根据“若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉．共需要资金4400元”列方程组求解即可；（2）由购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台进行销售，得共有21种方案，即可列出对应的方案；（3）设总利润问w，根据“甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润甲为45%，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元”即可列出总利润w的表达式，结合全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，即可求出m的值．【解答】解：（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，依题意得，，解得，答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价800元；（2）由购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，得共有21种方案：方案一：购进甲型号0台，乙型号20台；方案二：购进甲型号1台，乙型号19台；方案三：购进甲型号2台，乙型号18台；方案四：购进甲型号3台，乙型号17台；方案五：购进甲型号4台，乙型号16台；方案六：购进甲型号5台，乙型号15台；方案七：购进甲型号6台，乙型号14台；方案八：购进甲型号7台，乙型号13台；方案九：购进甲型号8台，乙型号12台；方案十：购进甲型号9台，乙型号11台；方案十一：购进甲型号10台，乙型号10台；方案十二：购进甲型号11台，乙型号9台；方案十三：购进甲型号12台，乙型号8台；方案十四：购进甲型号13台，乙型号7台；方案十五：购进甲型号14台，乙型号6台；方案十六：购进甲型号15台，乙型号5台；方案十七：购进甲型号16台，乙型号4台；方案十八：购进甲型号17台，乙型号3台；方案十九：购进甲型号18台，乙型号2台；方案二十：购进甲型号19台，乙型号1台；方案二十一：购进甲型号20台，乙型号0台；（3）设总利润为w元，则w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×0.45﹣m）（20﹣a），整理得w＝（m﹣100）a+7200﹣20m，∵所获得利润与a无关，∴m﹣100＝0，解得m＝100，答：若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，m的值为100．。

人教版七年级下数学精品讲义精编

第五章相交线和平行线第一节相交线一、课标导航二、核心纲要1. 对顶角与邻补角⑴对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.对顶角相等.注：相等的角不一定是对顶角.⑵邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.2.垂线⑴定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线.⑵垂线的性质性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.⑶点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同.⑷垂线的画法画法：1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.2）二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直线上. 3）三画：沿着这条直角边画线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ②过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上. 3.三线八角①∠4与∠8在截线l 的同侧，同在被截直线a ，b 的下方，则∠4与∠8是同位角.形似“F ”. ②∠5与∠3在截线l 的两旁，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠3是内错角.形似“Z ”. ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠4是同旁内角.形似“U ”.本节重点讲解：一个画法（垂线的画法），三个性质（对顶角、邻补角和垂线），七个概念（对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角和同旁内角）.三、全能突破基础演练1. (1) 在图5-1-2中所示的五个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）A. 0B. 1C. 2D.3(2) 下列说法正确的是（）A. 有公共顶点的两个角是对顶角B. 两条直线相交所成的角是邻补角C. 两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角D. 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角1212122121图5-1-21 2 3 4 5 6 782. 如图5-1-3所示，EF ⊥CD ，∠AOE 的邻补角是（），∠AOE 的余角一定是（）A. ∠BOF ；∠AODB. ∠BOC 和∠AOD ；∠BOCC. ∠DOF ；∠BOFD. ∠BOE 和∠AOF ；∠BOC 和∠AOD3. (1) 下列说法正确的的是（）A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 联结两点间的线段叫做这两点之间的距离D. 过点A 作直线l 的垂线段，则这条垂线段叫做点A 到直线l 的距离(2) 在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出如图5-1-4所示五种图形，错误的个数为（）个A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图5-1-5所示，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若α=44°，则β=（）A.56°B.46°C. 45°D.44°图5-1-5l 1l 2M Oβα 图5-1-4A CE BBA EC BA CEBEAC BAE C 图5-1-3A CD EF O5. 如图5-1-6所示，直线a ，b 被直线l 所截.则图中对顶角有对，分别是______；邻补角有______对，分别是______；同位角有______对，分别是______；内错角有______对，分别是______；同旁内角有______对，分别是______.6. 如图5-1-7所示，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，线段DE 的长度是点______到直线______ 的距离；点C 到直线AB 的距离是线段______的长度，点B 到直线CD 的距离是线段_______的长度.7. 如图5-1-8所示，BC ⊥AC ，AD ⊥CD ，AB =6，CD =5，则AC 的长的取值范围是（）A. AC ＜6B. AC ＞5C. 5≤AC ≤6D. 5＜AC ＜68. 如图5-1-9所示，一只小羊从A 地到B 地去吃草，然后去河边喝水，请做出小羊经过的最短路线.l 1 A·l 2· B图5-1-9BADC图5-1-8图5-1-7BDACE图5-1-66 7 8 5 3 1 429. 如图5-1-10所示，AO ⊥FD ，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB =40°，求∠EOF 、∠COE 的度数.能力提升10. 点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为P A =3cm ，PB =4cm ，PC =5cm ，则点P 到直线m 的距离为（）.A. 3cmB. 小于 3cmC. 不大于 3cmD. 以上结论都不对 11. 若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 的距离等于2 cm 的点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知，如图5-1-11所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且CD ⊥EF ，∠AOC =20°，若 OG 平分∠BOF ，则∠DOG = .13. 已知，如图5-1-12所示，∠ACB =90°，BC =5cm ，AC =12cm ，AB =13cm ，CD ⊥AB 于点D ，则CD = .B D 图5-1-12EFA B DOCG图5-1-11BA图5-1-1D CO F E14. 通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）:⑴ 若2条直线相交于同一点，则有对对顶角，对邻补角． ⑵ 若3条直线相交于同一点，则有对对顶角，对邻补角． ⑶ 若４条直线相交于同一点，则有对对顶角，对邻补角． ⑷ 通过⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成对对顶角，对邻补角．15. 已知，如图5-1-13所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ：∠DOE =10：1，⑴ 试判断OF 与OE 的位置关系，并说明理由. ⑵ 求∠AOF 的度数.16. 已知OC 把∠AOB 分成两部分，且有下列两个等式成立：①∠AOC =13直角+13∠BOC ；②∠BOC =13平角-13∠AOC ，问：(1) OA 与OB 的位置关系如何？并说明理由.(2) OC 是否为∠AOB 的平分线？请写出判断的理由.17. (1) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出一条直线m ，使点A 到直线m 的距离是2cm.(2) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出四条直线m 1，m 2，m 3，m 4，使点A 到四条直线的距离是2cm.OA CBE DF 图5-1-1318. 已知，如图5-1-14所示，曲线上的任意一点到直线m 的距离和到定点A 的距离都相等，点B 为曲线上方任意的一点，在曲线上找一点D ，使DB +DA 的和最小，作图并简要说明理由.19. 已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD =90°，OE 平分∠BOC .(1) 如图5-1-15（a ），若∠AOC =30°，求∠DOE 的度数；(2) 在图5-1-15（a ），若∠AOC =α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）； (3) 将图5-1-15（a ）中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图5-1-15（b ）的位置. ① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，直接写出结论；② 在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足：∠AOC —4∠AOF =2∠BOE +∠AOF ，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.图5-1-15C ABODE(a)(b)DECOAB··图5-1-14m20. 如图5-1-16所示，已知直线AB、CD交于点O，x=1，y=－1是方程ax+4y=3的解，也是方程bx－ay=1+2a的解，且∠AOC：∠AOD=b:a，EO⊥AB.(1) 求∠EOC的度数.(2) 若射线OM从OC出发，绕点O以1(°)/s的速度顺时针转动，射线ON从OD出发，绕点O 以2(°)/s的速度逆时针第一次转动到射线OE停止，当ON停止时，OM也随之停止，在转动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，OM⊥ON？(3) 在(2)的条件下，当ON运动到∠EOC内部时，下列结论：①2∠EOM－∠BON不变；②2∠EOM+∠BON不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.D E C O BA图5-1-16中考链接21.（2010·台州）如图5-1-17所示，△ABC 中∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP长（）A. 2.5B. 3C. 4D. 522. （2011·梧州）如图5-1-18所示，直线EO ⊥CD ，垂足为O ，OA 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为（）A. 120°B. 130°C. 135°D. 140°23. （2010·娄底）如图5-1-19所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，求∠AOE 的度数.巅峰突破24. O 为平面上一点，过点O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1，l 2，…，l 2005，则可形成______对以O 为顶点的对顶角.25. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有______对同旁内角.A E DOCB图5-1-19图5-1-18CBDAEOA图5-1-17CPB第二节平行线及其性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.平行线(1)定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b.(2)平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.注:点必须在直线外，而不是在直线上.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.2.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.注:判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点，两直线相交;②无公共点，两直线平行;3.两直线平行的判定方法(1)平行线的定义.(2)平行公理的推论.(3)同位角相等，两直线平行.(4)内错角相等，两直线平行.(5)同旁内角互补，两直线平行.4.平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补.本节重点讲解:一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质.三、全能突破基础演练1. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ）A. 平行或相交B. 垂直或相交C. 垂直或平行D. 平行、垂直或相交 2. 下列说法正确的是( )A. 经过一点有一条直线与已知直线平行B. 经过一点有无数条直线与已知直线平行C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 如图5-2-1所示，下列推理中错误的是( )A ．∵∠A +∠ADC =180°, ∴AB ∥CD B ．∵∠DCE =∠ABC , ∴AB ∥CD C ．∵∠3=∠4, ∴AD ∥B CD ．∵∠1=∠2, ∴AD ∥B C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是( )A. 第一次右拐50，第二次左拐130 B. 第一次左拐50，第二次右拐50 C. 第一次左拐50，第二次左拐130 D. 第一次右拐50，第二次右拐505. (1) 如图5-2-2所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ,C 分别落在C D '',的位置.若∠EFB =65,则∠ADE '等于 .(2) 如图5-2-3所示，AD //EF , EF //BC ，且EG //AC .那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是 .(3) 如图5-2-4所示，AB //CD ，直线AB , CD 与直线l 相交于点E ,F ,EG 平分∠AEF , FH平分∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为 .6. 解答题.(1) 填写推理理由如图5-2-5所示，D ,F ,E 分别是BC , AC , AB 上的点，DF //AB , DE //AC ，试说明: ∠EDF =∠A .解: ∵DF //AB ( )，∴∠A + =180( ) ∵DE //AC (已知)∴∠AFD + = 180( ) ∴∠EDF =∠A ( )70.将求∠AGD的度数过程(2) 推理填空,如图5-2-6所示，EF// AD, ∠1=∠2, ∠BAC=填写完整:解: ∵EF//AD( )，∴∠2= ( )又∵∠1=∠2( )，∴∠1=∠3( )∴AB// ( )180( )∴∠BAC+ =70( )，又∵∠BAC=∴∠AGD= .7. 已知:如图5-2-7所示，AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G, ∠E=∠3.求证:AD平分∠BAC.能力提升8. 若α和β是同位角，且α=30，则β的度数是( ) A.30 B.150 C.30或150D.不能确定9. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角分别是( )A.30和150 B. 42和138C.都等于10D.42和138或都等于1010. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图5-2-8(a)-(d)所示.从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( ) ①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，内错角相等; ③同位角相等，两直线平行;④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④11. 如图5-2-9所示，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF , ∠B =∠ C , ∠EF A 比∠FDC 的余角小10,P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠ FQP =∠QFP , FM 为∠EFP 的平分线.则下列结论:① AB //CD , ②FQ 平分∠AFP , ③∠B +∠E =140,④∠QFM 的角度为定值.其中正确的结论有( )个 A. 1 B.2 C. 3 D. 412. 如图5-2-10所示，AB // EF , EF // CD , EG 平分∠BEF , ∠B +∠BED +∠D =192 ,∠B -∠D =24 ，则∠GEF = .13. 在同一平面内有2002条直线,,21a a ... ,2002a ，如果1a ⊥2a ,2a //3a ,3a ⊥4a ,4a //5a ,... ,那么1a 与2002a 的位置关系是 .14. 如图5-2-11所示，AB //CD , ∠1=∠2, ∠3=∠4，试说明:AD //BE .15. 已知，如图5-2-12所示，∠ABC =∠ADC , BF , DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，且∠1=∠3. 求证:AB //DC .16. 如图5-2-13所示，已知∠DBF =∠CAF ,CE ⊥FE .垂足为E , ∠BDA +∠ECA =180，求证：DA ⊥FE .17. 已知，如图5-2-14所示，∠1+∠2=180 ,∠1十∠EFD=180 ,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论.18. 已知，如图5-2-15所示，AC//DE, DC//EF, CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.19. 阅读材料:材料1:如图5-2-16(a)所示，科学实验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.即∠1=∠2.材料2:如图5-2-16(b)所示，已知△ABC，过点A作AD//BC,则∠DAC=∠C.又∵AD//BC, ∴∠DAC+∠BAC+∠B=180 ,∴∠BAC十∠B+∠C=180 .即三角形内角和为180 .根据上述结论，解决下列问题:(1)如图5-2-16(c)所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50 ，则∠2= ，∠3= ;(2)在(1)中，若∠1=40 ，则∠3= ，若∠1=55 ，则∠3= ；(3)由(1)(2)请你猜想:当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由.20. 已知直线MN//BC，点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD,AC平分∠NAD,(1) 如图5-2-17(a)所示,若DE⊥AC于E，求证: ∠1=∠2.(2) 若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ= x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD+∠FDB，点D 在线段BC上(不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，F H//MN(如图5-2-17(b)所示)？试写出α、β、x之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH//MN.21.如图5-2-18所示，已知射线CB//OA, AB//OC, ∠C=∠OAB=100 ，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB, OE平分∠COF.(1)求∠EOB的度数.(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律;若不变，求出这个比值.(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在，说明理由.中考链接22. (2011·绍兴)如图5-2-19所示，已知AB//CD,BC平分∠ABE,∠C=34 ,则∠BED的度数是( )A. 17B.34C. 56D. 6823. (2011·浙江丽水)如图5-2-20所示，有一块含有45 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1 = 20 .那么∠2的度数是( )A. 30B.25C. 20D. 15巅峰突破24.如图5-2-21所示，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180 ;④∠4=∠7.其中能说明a//b的条件序号为( )A.①②B.①③C.③④D. ①②④25.如图5-2-22所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E, DF⊥AB于点F,AC//ED,CE是△ACB的角平分线.求证: ∠EDF=∠BDF.26.平面上有5条直线，其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36 ,请说明理由.第三节平行线的综合及平移初步一、课标导航二、核心纲要1．平移变换(简称：平移)（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.（2）三角形内角和定理的应用①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等.②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变.2．两条平行线间的距离在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.3．命题命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.4．基本几何模型转折角处巧添平行线(拐点+平行线).利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题).5．思想方法：转化思想本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。

初中数学七年级下册同步精品课件(人教版

初中数学七年级下册同步精品课件(人教版一、教学内容本节课我们将学习《初中数学七年级下册》第五章《相交线与平行线》的第一节“平行线的性质”。

具体内容包括：平行线的定义、平行线的判定方法、平行线的性质以及应用。

二、教学目标1. 让学生掌握平行线的定义，理解并掌握平行线的判定方法。

2. 使学生了解平行线的性质，并能运用这些性质解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点难点：平行线的判定方法及性质的应用。

重点：平行线的定义、判定方法及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、直尺、圆规等。

2. 学具：直尺、圆规、练习本等。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中常见的平行线现象（如铁轨、书本边缘等），引导学生思考平行线的定义。

2. 知识讲解（1）平行线的定义：在同一个平面内，两条不相交的直线，称为平行线。

（2）平行线的判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

（3）平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

3. 例题讲解（1）判断两条直线是否为平行线。

（2）已知一条直线和一点，作该直线的平行线。

4. 随堂练习（1）判断下列说法是否正确：同位角相等的两条直线一定平行。

（2）已知直线AB和点C，作直线AB的平行线。

5. 知识巩固通过讲解和练习，让学生掌握平行线的定义、判定方法及性质。

六、板书设计1. 平行线的定义2. 平行线的判定方法3. 平行线的性质4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列直线是否为平行线，并说明理由。

（2）已知直线MN和点P，作直线MN的平行线。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对平行线的定义、判定方法及性质掌握情况，以及教学中存在的问题。

2. 拓展延伸：引导学生思考平行线与其他几何知识（如角度、三角形等）的联系，为后续学习打下基础。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。

2. 实践情景引入的具体设计。

2024年初中七年级数学下册同步讲义(人教版)专题1.5 有理数的乘方(学生版)(人教版)

专题1.5 有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3.有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

4.科学记数法把一个大于10的数表示成 n a 10⨯的形式（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。

5.近似数的精确位：目标导航一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字考点1：乘方的定义及计算典例：（1）（2022·全国·七年级）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __．（2）（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）下列各组数中，数值相等的是（）．A ．23与32B ．32-与()32-C ．23-与()23-D ．232⨯与()232⨯ 巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）下列计算正确的是（）A ．224-=-B ．()224--=C ．()236-=D ．()311-= 2．（2022·黑龙江绥化·期末）22-的倒数等于（）A ．4-B ．4C ．14D ．14- 3．（2022·四川成都·二模）计算2(2)(5)-⨯-的结果等于（）A ．10B ．50-C ．50D ．204．（2022·河北邯郸·三模）计算：222333m n ++++⨯⨯⨯=个个（） A ．23m n + B ．23+m n C ．32m n + D ．23n m +5．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）有理数2(1)-，42-，312⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，|3|--，0，(5)--，3(2)-中正数的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2022·全国·七年级）a ，b 互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（）考点精讲A ．a 2与b 2B ．a 3与b 5C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）D ．a 2n +1与b 2n +1（n 为正整数） 7．（2022·上海·位育中学期中）56-的底数是 ____________ ．考点2：非负数的和为零典例：（2022·河北邢台·一模）若（a -1）2+|b -a +3|=0，则a =_____，b =_____．巩固练习1．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知()22650x y -++=，则x y 的值为（）．A ．15B ．15-C ．125-D ．125 2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）若()230a b b ++-=，则b a =______．3．（2022·广西崇左·七年级期末）若2|1|(2)0x y -++=，则2022()x y +=________．4．（2022·上海市闵行区颛桥中学期中）已(m - 4)2 + 3n += 0 知，则nm 的值是_________________ 考点3：含有乘方的四则混合运算典例：（1）（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：()()20222515153⎛⎫--+-÷-+- ⎪⎝⎭．（2）（2022·江西赣州·七年级期末）计算：20214(1)2(2)43-⨯--÷+- 巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）计算：(1)()()32412453⎡⎤---÷⨯--⎣⎦(2)251136412⎡⎤⎛⎫-+-+-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算： (1)211(1)323⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭(2)2332025(2)41(1)3⎡⎤⎛⎫⨯--÷-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(3)22112(6)(4)()4⎡⎤--⨯-+-÷-⎣⎦3．（2022·河南南阳·七年级期末）计算 (1)()()5753362964⎛⎫-+-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)()()()()224313110.5153232---⨯⨯--+-⨯-÷ 4．（2022·全国·七年级）定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n ＝mn +mn ﹣n ，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：(1)（﹣2）☆4；(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．考点4：科学计数法典例：（1）（2022·河北沧州·七年级期末）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（） A ．6410⨯B ．40.410⨯C ．5410⨯D ．60.410⨯方法或规律点拨此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．（2）（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x 用科学记数法表示为281.38110⨯，则x 的位数为（）A ．27B ．28C ．29D ．30 巩固练习1．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（）A ．7.2×106B ．7.2×105C ．0.72×107D ．0.72×1062．（2022·浙江绍兴·二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（）A ．3.8×103B ．3.8×104C ．0.38×105D ．0.38×1063．（2022·河南南阳·二模）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（）A ．140.202210⨯B ．1220.2210⨯C ．132.02210⨯D ．142.02210⨯4．（2022·北京·中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（） A ．1026.288310⨯ B ．112.6288310⨯ C ．122.6288310⨯ D ．120.26288310⨯5．（2022·全国·七年级）一个整数81550…0用科学记数法表示为108.15510⨯，则原数中“0”的个数为（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．106．（2022·全国·七年级课时练习）全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资81.02310⨯元资金．数据81.02310⨯可表示为（）A ．0.1023亿B ．1.023亿C ．10.23亿D ．102.3亿考点5：近似数与有效数字典例：（1）（2022·全国·七年级课时练习）近似数37.5的实际值表示大于或等于 ___而小于 ___的数．从2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为 ___．（2）（2022·全国·七年级课时练习）数a 四舍五入后的近似值为1.30，则a 的取值范围是（） A ．1.295 1.305a <<B ．1.295 1.305a ≤<C ．1.295 1.305a <≤D ．1.295 1.305a ≤≤巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（）．A ．3.14B ．3.15C ．3.141D ．3.1422．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）用四舍五入法对0.07011取近似值，其中错误的是（）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.07（精确到千分位）C ．0.07（精确到0.01）D ．0.0701（精确到0.0001）3．（2022·全国·七年级）在近似数0.0270中，共有（）有效数字．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．（2022·江苏苏州·二模）截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（）A ．22.699938×108B ．22.7×1010C ．2.27×108D ．2.270×1075．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）下列对圆周率π的取值说法错误．．的是（） A ． 3.0π≈（精确到个位）B ．31π≈.（精确到十分位）C ．31π≈.（精确到0.1）D ． 3.14π≈（精确到百分位）6．（2022·全国·七年级课时练习）近似数4.50所示的数a 的取值范围是（）A ．4.495 4.505a ≤<B ．4.040 4.60a ≤<C ．4.495 4.505a ≤≤D ．4.500 4.5056a ≤<7．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．8．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）按四舍五入法取近似数：2.704≈_________（精确到0.01）． 9．（2021·全国·课时练习）对非负有理数数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题：（1）＜π＞＝（π为圆周率）；（2）若＜x ＞＝6，则x 的取值范围是．一、单选题（每题3分）1．（2022·福建厦门·七年级期末）下列式子可以表示2的3次方的是（）A ．222++B ．32C ．33+D ．23 2．（2022·全国·七年级课时练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（） A ．7位数B ．8位数C ．9位数D ．10位数3．（2022·天津南开·二模）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m ，远地距离356000m ．将“356000”用科学记数法表示为（）A ．435.610⨯B ．53.5610⨯C ．63.5610⨯D ．60.35610⨯4．（2022·河南南阳·七年级期末）对于有理数a b ，，规定了一种运算：2a b a ab ⊗=-.如2121121⊗=-⨯=-，则计算()532⎡⎤-⊗⊗-⎣⎦的值是（）A ．100-B ．100C ．1-D ．905．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）观察下列三组数的运算：3(2)8-=-，328-=-；3(3)27-=-，3327-=-；3(4)64-=-，3446-=-．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a 表示的式子：①当0a <时，33()a a =-；②当0a >时，33()a a -=-．其中表示的规律正确的是（）A ．①B ．②C ．①、②都正确D ．①、②都不正确6．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反能力提升复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1421→→→．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取3m =，由上述运算法则得出：3105168421→→→→→→→，共需经过7个步骤变成1，得7n =．则下列命题错误的是（）A ．当7m =时，16n =B ．若5n =，则m 只能是5C ．若2n =，则m 只能是4D ．随着m 的增大，n 不一定也增大二、填空题（每题3分）7．（2022·福建·模拟预测）计算：3(1)|2|-+-=___________．8．（2022·江苏镇江·七年级期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为96.2510⨯，则原数中“0”的个数为______．9．（2020·浙江·七年级期末）把a 精确到千分位得到的近似数是6.010，则a 的范围是________． 10．（2022·北京大兴·二模）某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类有一袋茶叶，B 类有二袋茶叶，C 类有三袋茶叶，D 类有五袋茶叶，E 类有七袋茶叶，价格如下表：小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．11．（2020·浙江杭州·七年级期中）已知a 和n 都是正整数，且16n a =，则a 可能取的值是_____． 12．（2022·广东梅州·一模）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2020·江西景德镇·七年级期中）计算： (1)1251631236⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)221224143⎡⎤⎛⎫-⨯-÷--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 14．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在学习了有理数的计算后，数学王老师给出这样三道题： ①()112334⎛⎫÷-+⨯- ⎪⎝⎭；②()()10623-÷⨯-；③()()2423+-⨯⨯-．甲、乙、丙三名同学各计算一道题，过程如下：甲同学：解①：原式()()()()112232332431824634⎡⎤⎛⎫=÷-+÷⨯-=⨯-⨯-+⨯⨯-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．乙同学：解②：原式()()()()102362353331596=÷⨯--÷⨯-=⨯--⨯-=-+=-．丙同学：解③：原式()()()()()2432238343241212=⨯-⨯-+⨯⨯-=-⨯-+⨯-=-=．(1)甲、乙、丙三名同学的计算是否正确？(2)如果不正确，请你写出正确的计算过程．15．（2022·全国·七年级期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩需求量大幅增加，巴中市某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是2月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）、(1)根据记录可知前三天共生产口罩个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产口罩个；(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.6元，该工厂以每个1.5元的批发价将前5天的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将剩下两天的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？。

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第1讲相交线知识点1 直线交点个数1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=()12n n-个交点，最少有1个交点．【典例】1.观察下列平面图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.【方法总结】根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.一般地：n条直线两两相交，最多有()12n n-个交点，最少有1个交点．【随堂练习】1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则．2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？知识点2 邻补角与对顶角邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.【典例】1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【方法总结】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．【随堂练习】1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．知识点3 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；②与∠COE互补的角是___________．（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．【方法总结】结论：在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N 在同一条直线上.方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）（1）AD＞CD；（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．【方法总结】注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.【随堂练习】1．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC＝40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．2．根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．（1）过点O画直线MN⊥CD；（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．知识点4 同位角、内错角、同旁内角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来．【方法总结】判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.【随堂练习】1．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？2．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．综合运用1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．4.作图并写出结论：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．（3）图中共有几对同旁内角？9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．第2讲平行线知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】1.如图，直线a，点B，点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与（1）中所作的直线平行吗？【方法总结】本题考查了平行公理及其推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在公理中，要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.【随堂练习】1．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③相等的角是对顶角；④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．其中，错误的是_____（填序号）．2．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a ⊥c．其中正确的说法是____．知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.【典例】1.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E为直角，AB与CD平行吗？试说明理由.【方法总结】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2（∠α+∠β）.由∠E为直角可得∠α+∠β=90°，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”可得答案．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定方法．【随堂练习】1．如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．2．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图1，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM=∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．已知如图2，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．【方法总结】依据点P为A，B在直线MN上的反射点，即可得到∠APM=∠BPQ，再根据平行线的性质，即可得到∠PAB=∠PBA，经过等量代换可得∠PBA=∠QBG，所以点B是P，Q在直线HG 上的反射点．本题是新定义题，正确理解“反射点”的概念和特征，并熟练应用平行线的性质是解题的关键.【随堂练习】1．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．2．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．3．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.【典例】1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．2.学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=____________________．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？（3）已知：如图3，三角形ABC，试说明：∠A+∠B+∠C=180°．【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1．阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．2．先阅读下面的解题过程，再解答问题：如图①，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，因为EF∥AB，所以∠1＝∠B＝40°又因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝30°所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证AB∥CD，∠D必须是多少度？请写出理由．（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GH∥PQ，请直接写出满足关系的式子，并在如图②中画出需要添加的辅助线．知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.【典例】1.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明，如果是假命题，请举出反例．（1）两个锐角的和是钝角；（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．【方法总结】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．（1）任意找两个锐角，使它们的和为锐角或直角即可；（2）写出已知、求证，作出图形，利用平行线的判定即可证明命题为真命题.【随堂练习】1．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE，试回答下列问题：（1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*、*，那么*）；（2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由．2．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．（1）请按照：“∵_______，_______；∴___________”的形式，写出所有正确的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．综合运用1.“垂直于同一直线的两直线平行”的题设：_______________________________________，结论:___________________________.2.如图，已知长方形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'=24°，则∠BDC的度数为______________.3.在同一平面内三条直线交点有多少个？甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c，如图（1）所示．乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．以上说法谁对谁错？为什么？4.如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？5.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？6.判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，请举一个反例.（1）两个锐角的和是锐角；（2）若a＞b，则a2＞b2；7.如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE 平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．8.如图，已知：AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：（1）∠4=∠DAC；（2）AD∥BE．第3讲平移知识点1 平移的性质1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；2.图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．3.平移的性质：（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．【典例】1.已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．完成下列问题：（1）当t=1.5秒时，S=_______平方厘米；（2）当S=2时，小正方形平移的时间为_______秒．2.如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．3.已知，如图，CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE 平分∠COF，（1）求∠EOB的度数；（2）若向右平行移动AB，其他条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出其中的规律，若不变，求出这个比值；（3）若向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数，若不存在，说明理由．【方法总结】典例1小正方形平移后与大正方形的重叠部分随着时间的变化而变化，其变化趋势是先变大后变小，最大的面积就是小正方形的面积；已知面积求运动时间就需要分类讨论．典例2三角形沿着某一边移动，一组对应边和两条对应顶点的连线组成的四边形是平行四边形，该平行四边形与原三角形有相同的高；过三角形的一个顶点作对边的平行线，当对边不动，该顶点在做好的平行线上移动时，新三角形的面积不变（同底等高原理）．典例3考查平移与平行线综合，求不同角之间的关系，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）将已知角转化成所求角（或所求角的部分），进而求二者之间的关系．【随堂练习】1．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，DE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．2．如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．（1）写出∠EDC的度数_____；（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）3．如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．知识点2 平移作图1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法2.平移作图的步骤：（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．【典例】1.如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．（1）直接写出点C1的坐标；（2）在图中画出△A1B1C1；（3）求△AOA1的面积．【方法总结】图形上的某一点移动的轨迹同整个图形的移动轨迹是一致的，可以通过已知点的运动轨迹求出图形上所有点的运动轨迹；网格图上求一个图形的面积除了运用已知图形的面积公式以外，还可以用割补法，转化为大的长方形的面积减去其余部分的面积．【随堂练习】1．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是_________________（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为____（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有____个（注：格点指网格线的交点）2．如图，在方格纸中，已知格点△ABC及其外一点D，平移△ABC，使点A移动到点D．完成下列作图：（1）画出平移后的三角形；（2）画一条直线l，将△ABC分成面积相等的两部分．知识点3 平移的运用【典例】1.如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=（3a+2）米，宽AD为（a+1）米，从A、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为_______平方米．2.比较图甲中折线A→D→E→F→…→C与线段AB+BC的长，如果AB=20米，BC=12米．（1）已知在△ABC中，∠B=90°，你能求出折线A→D→E→…→C的长吗？（2）你能比较图乙中，中间的小正方形的周长和与大正方形周长的大小吗？【方法总结】当矩形被中间互相平行的一组或两组平行的直线或曲线分割后，求剩余部分的面积的方法如下：（1）当分割线能够通过平移组成矩形（或矩形的部分）时，可以平移分割线，求剩余的矩形面积；（2）当分割线不能组成规则图形时，可以平移分割线以外的部分，组成新的图形．【随堂练习】1．（1）如图，它的周长是____cm．（2）已知：|a|＝2，|b|＝5，且a＞b，求a+b的值．。